1. ENGLISH MEDIUM OF INSTRUCTION
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan - Universitas Jember
By: Fitra Rizki Azizah (110210101010)
Norma Indriani M.J. (110210101074)
SMART SOLUTION
0.1 Number Theory
0.1.1 Excercise
1. Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bulat positif berurutan yang
dihilangkan semua bilangan kelipatan tiga : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, ...
maka suku ke-67 barisan tersebut adalah ...
2. Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan terke-
cil dari semua bilangan tersebut adalah ...
3. Jika S1 = 1, S2 = S1 − 3, S3 = S2 + 5, S4 = S3 − 7, S5 = S4 + 9, ... adalah
suku - suku suatu barisan bilangan, maka S2013 adalah ...
4. Diketahui a2
+ b2
= 5 dan c2
+ d2
= 5. Tentukan nilai maksimum dari
ac + bd!
5. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi (n−1)(n−3)(n−5)(n−2013) =
n(n + 2)(n + 4)(n + 2012) adalah ...
0.1.2 Solution
1. Dari barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... untuk mendapatkan barisan
baru 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, ... cukup dengan menghilangkan bilangan
1

2. kelipatan tiga yang ada. Itu artinya bilangan n, bukan kelipatan tiga, dari
barisan bilangan asli akan menjadi suku ke-(n − n3 ) pada barisan yang
baru. Sebagai contoh bilangan 50 akan menjadi suku ke-(50 − 503 ) = 34
pada barisan yang baru. Selanjutnya masalah yang ditanyakan adalah kita
harus mencari bilangan n sehingga (n − n3 ) = 67. Karena n bukan
kelipatan 3 maka ada dua kemungkinan.
Untuk n = 3k + 1 diperoleh, 3k + 1 − 3k + 13 = 67 ⇔ 3k + 1 − k = 67 ⇔
k = 33 sehingga diperoleh n = 333 + 1 = 100.
Untuk n = 3k +2 diperoleh, 3k +2− 3k + 23 = 67 ⇔ 3k + 2 − k = 67 ⇔
2k = 65 yang jelas tak mungkin karena k bulat.
Jadi, suku ke-67 dari barisan bilangan yang baru adalah 100.
2. Misalkan ke-51 bilangan tersebut adalah, a, a + 1, a + 2, a + 3, ..., a + 50
maka diperoleh a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + ... + a + 5051a + (1 + 2 + 3 +
... + 50)51a + 5125a + 25a = 5110 = 510 = 510 = 10 = −15
Jadi, bilangan terkecil adalah −15.
3. Barisan bilangan pada soal berbentuk : 1, −2, 3, −4, 5, ... sehingga S2013 =
2013.
4. Berdasarkan AM-GM diperoleh, 10 = a2
+b2
+c2
+d2
≥ 2ac+2bd sehingga
ac + bd ≤ 5.
Jadi, nilai maksimum dari ac+bd adalah 5 yang dicapai ketika a = b = c =
d =
√
10
2
.
5. Jika n genap maka ruas kanan genap tetapi ruas kiri ganjil. Sedangkan jika
n ganjil maka ruas kanan ganjil tetapi ruas kiri genap. Jadi, tidak ada nilai
n yang memenuhi (0).
2

3. 0.2 Algebra
0.2.1 Excercise
1. Jika f adalah fungsi linier, f(1) = 2000 dan f(x + 1) + 12 = f(x) maka
nilai f(100)=...
2. Tentukan semua nilai b sehingga untuk semua x paling tidak salah satu dari
f(x) = x2
+ 2012x + b atau g(x) = x2
− 2012x + b positif!
3. Misalkan S = 1, 2, 3, ..., 10 dan f : S → S merupakan korespondensi satu -
satu yang memenuhi f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 5 dan f(5) = 6.
Banyak fungsi f yang memenuhi adalah ...
4. Diketahui f adalah fungsi kuadrat dengan f(1) = 8 dan f(8) = 1. Nilai
dari f(0)-f(1)+f(2)-f(3)+f(4)-f(5)+f(6)-f(7)+f(8)-f(9) adalah ...
5. Nilai rata-rata kelas A adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas B adalah
88. Jika jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai rata-rata
kedua kelas adalah 80, maka banyak siswa kelas A adalah ... orang.
0.2.2 Solution
1. Karena f fungsi linier dan f(x + 1) = f(x) − 12 maka f(1),f(2),f(3),...
merupakan barisan aritmatika dengan beda −12. Oleh sebab itu, f(100) =
2000 + 99(−12) = 2000 − 1188 = 812.
2. Jumlahkan kedua fungsi, maka diperoleh f(x) + g(x) = 2x2
+ 2b
Sehingga jika b > 0 untuk sebarang nilai x, f(x) + g(x) selalu bernilai
positif. Ini berarti paling tidak salah satu dari f(x) atau g(x) bernilai posi-
tif. Selanjutnya tinggal dibuktikan, untuk b ≤ 0 terdapat x = t sehingga
f(t) ≤ 0 dan g(t) ≤ 0. Untuk itu pilih t = 0 sehingga f(t) = f(0) = b ≤ 0
3

4. dan g(t) = g(0) = b ≤ 0.
Jadi, terbukti nilai b yang memenuhi adalah b > 0.
3. Karena 5 nilai sudah pasti, berarti kita tinggal memasangkan lima nilai
yang lain yaitu f : (6, 7, 8, 9, 10) → (1, 7, 8, 9, 10)
yaitu ada sebanyak 5! = 120. Jadi, banyak fungsi f yang memenuhi adalah
120.
4. Misalkan f(x) = ax2
+ bx + c maka diperoleh, a + b + c64a + 8b + c = 8 = 1
Kurangkan persamaan pertama pada persamaan kedua sehingga diperoleh
63a + 7b = −7 ⇔ 9a + b = −1.
Selain itu, f(0) − f(1)f(2) − f(3)f(4) − f(5)f(6) − f(7)f(8) − f(9) =
c − (a + b + c) = −a − b = (4a + 2b + c) − (9a + 3b + c) = −5a − b =
(16a+4b+c)−(25a+5b+c) = −9a−b = (36a+6b+c)−(49a+7b+c) =
−13a − b = (64a + 8b + c) − (81a + 9b + c) = −17a − b
Sehingga diperoleh,f(0) − f(1) + f(2) − f(3) + f(4) − f(5) + f(6) − f(7) +
f(8) − f(9) = −45a − 5b = −5(9a + b) = (−5)(−1) = 5.
5. Misal banyak siswa kelas A adalah x dan banyak siswa kelas B adalah y
maka diperoleh x + y = 75 dan 73x + 88y/x + y = 80 ⇔ 8y = 7x sehingga
didapat 8x + 8y = 600 ⇔ 8x + 7x = 600 ⇔ 15x = 600 ⇔ x = 40 Jadi,
banyak siswa kelas A adalah 40.
0.3 Geometry
0.3.1 Excercise
1. N lingkaran digambar pada sebuah bidang datar demikian sehingga terda-
pat enam titik dimana keenam titik tersebut terdapat pada paling sedikit
tiga lingkaran. Berapa N terkecil yang memenuhi kondisi tersebut?
4

5. 2. Diberikan segi-100 beraturan dengan panjang sisi 1 satuan. Jika S meny-
atakan himpunan semua nilai yang mungkin dari panjang diagonal - diag-
onal segi-100 tersebut maka banyak anggota S adalah ...
3. Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan AB sebagi sisi miringnya. Jika
keliling dan luasnya berturut-turut 624 dan 6864. Panjang sisi miring se-
gitiga tersebut adalah ...
4. Diketahui ABC. sama kaki dengan panjang AB = AC = 3,BC = 2, titik
D pada sisi AC dengan panjang AD = 1. Tentukan luas ABD!
5. Diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi : AB = x + 1, BC = 4x − 2 dan
CA = 7 − x. Tentukan nilai dari x sehingga segitiga ABC merupakan
segitiga sama kaki!
0.3.2 Solution
1. Jika kita menggambar 3 lingkaran pada bidang datar maka maksimal akan
terbentuk 6 titik potong, seperti gambar berikut Karena melalui sebarang
3 titik yang tidak segaris dapat dibentuk sebuah lingkaran yang melalui
ketiga titik tersebut, maka dengan membuat dua lingkaran yang masing
- masing melalui 3 titik A,B,C,D,E,F akan terbentuk 5 lingkaran dimana
5

6. terdapat 6 titik yang masing - masing terdapat pada 3 lingkaran, sesuai
apa yang diminta
2. Ambil satu titik sebagai acuan. Dari titik tersebut bisa dibuat 97 diagonal.
Dari 97 diagonal tersebut, 48 pasang memiliki ukuran panjang yang sama.
Oleh karena itu, banyak anggota S adalah 49.
3. Dari keterangan soal diperoleh, a + b + c = 624 ⇔ a + b = 624 − c
dan ab2
= 6864
Dengan rumus phytagoras diperoleh
c2
= a2
+ b2
= ((a + b)2
) − 2ab = (624 − c)2
− 4 · 6864 = c2
− 2 · 624c +
6242
− 4 · 6864
maka diperoleh c = 290.
4. Dengan heron formula diperoleh, Luas ABC =
√
4 · 1 · 1 · 2 = 2
√
2
Selain itu, kita punya Luas ABD/Luas ABC = AD/AC = 13
sehingga diperoleh, Luas ABD = 2/2
√
3.
5. Karena x + 1, 4x − 2 dan 7 − x membentuk sisi - sisi segitiga maka berlaku,
(x+1)+(4x−2) > 7−x(x+1)+(7−x) > 4x−2(7−x)+(4x−2) > x+1
sehingga x > 4/3 sehingga x < 5/2 sehingga x ≥ 2
6

7. Oeh karena itu, Jika x+1 = 4x−2 diperoleh x = 1 yang jelas tidak mungkin
sebab 4/3 < x < 5/2. Jika x + 1 = 7 − x diperoleh x = 3 yang jelas tidak
mungkin sebab 4/3 < x < 5/2. Jika 7 − x = 4x − 2 diperoleh x = 9/5.
0.4 Probability
0.4.1 Excercise
1. Lima orang anak akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk,
yakni dua di depan termasuk pengemudi (Sopir), dua di tengah, dan dua
di belakang. Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara
mengatur tempat duduk mereka adalah ...
2. Misalkan S adalah himpunan semua faktor positif dari 1.000.000. Sebuah
bilangan diambil secara acak dari S. Peluang bilangan yang terambil meru-
pakan pangkat 3 dari suatu bilangan asli adalah ...
3. Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru, dan 3 bola hijau. Di-
ambil sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Pelu-
ang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada
pengambilan kedua adalah ...
4. Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya dike-
tahui busuk. Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat
satu di antaranya busuk adalah ...
5. Sepuluh kartu ditulis dengan angka satu sampai sepuluh (setiap kartu hanya
terdapat satu angka dan tidak ada dua kartu yang memiliki angka yang
sama). Kartu - kartu tersebut dimasukkan kedalam kotak dan diambil satu
secara acak. Kemudian sebuah dadu dilempar. Probabilitas dari hasil kali
angka pada kartu dan angka pada dadu menghasilkan bilangan kuadrat
adalah ...
7

8. 0.4.2 Solution
1. Misalkan orang pertama dan orang kedua yang bisa mengemudikan mobil.
Andai orang pertama menjadi sopir maka empat teman yang lain bebas
untuk duduk dimana saja dengan masih ada 5 kursi tersisa, sehingga ke-
mungkinan duduk ada 5432 = 120 cara. Andai orang kedua yang menjadi
sopir juga akan ada 120 kemungkinan cara duduk. Jadi, total ada 240 cara
mengatur tempat duduk mereka berlima.
2. Karena 1.000.000 = 26
56
maka banyaknya faktor positif dari 1.000.000
adalah (6 + 1)(6 + 1) = 49. Perhatikan juga bahwa 1.000.000 = (23
)2
(53
)2
.
Jadi, banyaknya faktor positif dari 1.000.000 yang merupakan bilangan
pangkat 3 ialah (2 + 1)(2 + 1) = 9. Oleh karena itu, peluang bilangan
yang terambil merupakan pangkat 3 dari suatu bilangan asli adalah 949.
3. Peluang terambil bola pertama merah adalah 15/30 = 1/2. Sedangkan
peluang terambil bola kedua hijau adalah 3/29. Oleh karena itu, pelu-
ang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada
pengambilan kedua adalah 1/23/29 = 3/58.
4. Peluang terambil tepat satu apel busuk yaitu C21 ·C102/C123 = 2·45/2·11·
10 = 9/22.
5. Misalkan a angka dari dadu dan b angka dari kartu. Pasangan (a,b) yang
menghasilkan ab bilangan prima yaitu (1, 1), (1, 4), (1, 9), (2, 2), (2, 8), (3, 3),
(4, 1), (4, 4), (4, 9), (5, 5), (6, 6) yang ada 11 kemungkinan. Sedangkan kemu-
ngkinan ruang sampel adalah 60. Oleh karena itu, peluang dari hasil kali
angka pada kartu dan angka pada dadu menghasilkan bilangan kuadrat
adalah 11/60.
8