2. 2
NÚMEROS INTEIROS
Slide 1 Slide 4 Situação 2
O extrato bancário a seguir descreve alguns créditos (valores positivos) e
débitos (valores negativos) em uma conta-corrente e mostra como o saldo da
conta ficou negativo.
Números inteiros
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
1 4
Slide 2 Números positivos e números negativos Slide 5 Situação 3
No Campeonato Brasileiro de Futebol, os números negativos podem aparecer
no saldo de gols, ou seja, na diferença entre o número de gols marcados e o
número de gols sofridos. Abaixo, apresentamos a classificação final de alguns
Em nosso dia-a-dia, muitas medidas ou contagens são representadas por
times da série A no Campeonato Brasileiro de 2006.
números negativos. Medidas de temperaturas, dados de extratos bancários e
saldos de gols são apenas alguns exemplos de situações em que os números
negativos costumam aparecer.
2 5
Slide 3 Situação 1 Slide 6 Conjunto dos números inteiros
N = { 0,1, 2, 3, 4, 5...}
Em um mesmo dia, é possível encontrar dois locais no mundo com
temperaturas muito diferentes. No dia 19 de março de 2007, por exemplo, a Z = {..., − 4, − 3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3, 4,...}
temperatura mínima em São Luís, no Maranhão, era 24°C, já em Berlim, na
O número - 4 é elemento do conjunto Z, assim como +5, que também
Alemanha, registrava-se −1°C.
pertence a esse conjunto.
Você percebeu que, para indicar a temperatura em Berlim, usamos o sinal Indicamos: - 4 ∈ Z e +5 ∈ Z (lê-se “- 4 pertence a Z e +5 pertence a Z”).
negativo (−), mas para indicar a temperatura em São Luís, que foi positiva
(estava acima de zero), não escrevemos o sinal positivo (+). Isso porque, na O conjunto dos números inteiros é, portanto, o conjunto formado pelos
representação de valores positivos, o uso do sinal + junto ao número é números naturais, acrescidos dos números negativos.
optativo, na representação dos valores negativos, o uso do sinal − deve, OBS:
necessariamente, acompanhar o número a que se refere.
• Em Z não há menor número, nem maior número;
Já para representação do número zero (0), não usamos nenhum dos sinais, • O conjunto dos números inteiros sem o zero é representado por Z*;
pois o zero não é positivo nem negativo. Z* = {..., − 4, − 3, − 2, − 1, 1, 2, 3, 4, ...}
• Todos os elementos do conjunto são também elementos do conjunto Z, isto
é, N ⊂ Z (lê-se “ N está contido em Z”).
3 6
3. 3
Slide 7 Representação dos números inteiros na reta
numérica
Slide 10 Módulo ou valor absoluto de um número
No esquema abaixo:
• o menino está ao nível do mar, então dizemos que sua distância em relação
ao nível do mar é nula (0);
• já a pipa está 6 m acima do nível do mar;
• e o cardume 10 m abaixo do nível do mar.
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à
direita do número dado. Já o antecessor de um número inteiro é o número
que está imediatamente à esquerda do número dado.
Por exemplo: o sucessor de - 4 é - 3, e o antecessor de - 4 é - 5.
7 10
Slide 8 Par ordenado: localização de pontos no plano Slide 11 A distância de um ponto da reta numérica à origem é chamada de valor
absoluto, ou módulo, do número que corresponde a esse ponto.
Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:
Assim, o valor absoluto, ou módulo, do número +4 é 4 distância (do ponto A à
• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas origem). Da mesma forma, o módulo de - 3 é 3 (distância do ponto B à
perpendiculares e orientadas; origem).
• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo Indicamos o valor absoluto, ou módulo, de um número, colocando esse
indica o crescente dos números; número entre duas barras paralelas. Por exemplo: o módulo de - 3 é
• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x; representado por .
• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;
Exemplos:
• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema,
e corresponde ao par ordenado (0,0); −5 = 5 − 18 = 18
• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números
7 =7 + 10 = 10
positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e
abaixo da origem.
0 =0
• O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.
8 11
Slide 9 Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de
números que chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a
Slide 12 Números opostos ou simétricos
abscissa do ponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P
(3,4), teria sua representação assim:
Os pontos A’ e A representam, respectivamente, os números inteiros - 5 e 5. A
distância do ponto A’ à origem é de 5 unidades, assim como a distância de A até a
origem também é de 5 unidades. Os pontos A’ e A estão a uma mesma distância da
origem, porém situados em lados opostos da reta numérica (em relação ao zero). Por
isso, - 5 é 5 são chamados de números simétricos ou números opostos.
Exemplos:
• −7 e 7 são números opostos, ou simétricos.
• 4 é o oposto de −4, e −4 é o oposto de 4.
9 12
4. 4
Slide 13 Comparação de números inteiros Slide 16 Propriedades da adição de números inteiros
Símbolos: Fechamento: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois
> Maior números inteiros ainda é um número inteiro.
< Menor
Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.
= Igual a+b=b+ a
Quanto mais à direita um número estiver na reta numérica, maior ele será. Associativa: Na adição, podemos associar as parcelas de diferentes maneiras,
pois o resultado será o mesmo.
a+(b+c) =( a+b) +c
1º) Os dois números são positivos
Elemento neutro: O elemento neutro da adição é o zero, que, somado a
Quem é maior, 15 ou 21? qualquer número inteiro, resulta no próprio número.
21 > 15 ou 15 < 21 a+0= a ou 0 + a= a
Elemento oposto: Qualquer número inteiro tem um oposto que, adicionado a
2º) Um número é positivo e o outro é zero ele, resulta no elemento neutro.
Quem é maior, 0 ou 17? a + (- a) = 0 ou (- a) + a = 0
17 > 0 ou 0 < 17 13 16
Slide 14 Slide 17 Subtração de números inteiros
3º) Um número é negativo e o outro é zero
Para subtrair números inteiros, somamos ao minuendo o oposto do
Quem é maior, 0 ou - 17? subtraendo.
0 > - 17 ou - 17 < 0
4º) Um número é positivo e o outro é negativo Adição algébrica
Quem é maior, 23 ou - 41?
Vimos que a subtração com dois números inteiros equivale a uma adição do
23 > - 41 ou - 41 < 23
minuendo ao oposto do subtraendo. Por isso, a adição e a subtração com
números inteiros são consideradas uma única operação: a adição algébrica.
5º) Os dois números são negativos A idéia de adição algébrica ajuda a simplificar uma expressão numérica pela
Quem é maior, - 21 ou - 14? eliminação dos parênteses e dos sinais de + e - das operações. Veja:
- 14 > - 21 ou -21 < - 14
14 17
Slide 15 Operações com números inteiros Slide 18
(−10) − ( +7) − ( −8) + ( +12) =
Adição de números inteiros − 10 − 7 + 8 + 12 =
Na adição, podemos encontrar dois casos: Podemos resolver essa expressão de duas maneiras:
1ª) Resolvendo as operações na ordem em que aparecem
Quando as duas parcelas têm o mesmo sinal: para somar dois números − 10 − 7 + 8 + 12 =
inteiros de mesmo sinal, somamos seus valores absolutos e atribuímos ao
resultado o sinal comum a eles. − 17 + 8 + 12 =
− 9 + 12 = 3
Quando as parcelas têm sinais diferentes: para somar dois números inteiros
2ª) Agrupando os valores e, ao final, calculando a diferença
de sinais diferentes, devemos achar seus valores absolutos, subtraí-los e
atribuir ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto. − 10 − 7 + 8 + 12 =
− 17 + 20 = 3
15 18
5. 5
Slide 19 Multiplicação de números inteiros Slide 22 Divisão de números inteiros
Para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro,
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os
diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
valores são repetidos.
Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um
⋅
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a⋅b número inteiro positivo.
ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. (+ 20) : (+ 5) = + 4 ou (- 20) : (- 5) = + 4
Exemplos: Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um
número inteiro negativo.
a) 8 ⋅ 4 = 32 c) d) (+ 20) : (- 5) = - 4 ou (- 20) : (+ 5) = - 4
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
b) 5 ⋅ (−3) = −15
Sinais dos números Resultado do quociente
iguais positivo
diferentes negativo
19 22
Slide 20 Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à
seguinte regra de sinais:
Slide 23 Potenciação de números inteiros
A potência a n do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores
⋅
(+1)⋅(+1) = (+1) iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
⋅
(–1)⋅( –1) = (+1)
a n = a ⋅ 42⋅43
1 a ⋅ a ... ⋅ a
4 4 a é multiplicado por a n vezes
⋅
(+1)⋅( –1) = (–1)
n vezes
⋅
(–1)⋅(+1) = (–1)
Com o uso das regras apresentadas, pode-se concluir que:
Sinal de uma potência de base não nula
Sinais dos números Resultado do produto
iguais positivo Expoente Base positiva Base negativa
diferentes negativo
Par Potência positiva Potência positiva
Ímpar Potência positiva Potência negativa
20 23
Slide 21 Propriedades da multiplicação de números inteiros Slide 24 Propriedades da potência no conjunto Z
Fechamento: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a 1ª) Produto de potências de mesma base
multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
a n ⋅ a m = a n+ m
Comutativa: Em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o
produto. 2ª) Quociente de potências de mesma base
a ⋅b =b ⋅a
a n : a m = a n− m
Associativa: Na multiplicação com três ou mais fatores, podemos associar os
fatores de maneiras diferentes, pois o resultado será o mesmo. 3ª) Potência de uma potência
a ⋅( b⋅ c) = ( a ⋅b )⋅ c
Distributiva da multiplicação em relação à adição: Em uma multiplicação,
(a )
n m
= a n ⋅m
dado por uma adição algébrica, podemos multiplicar o primeiro número pelas
parcelas e adicionar os resultados. 4ª) Potência de um produto ou de um quociente
a ⋅( b+ c)= (a ⋅ b) +( a ⋅c) ( a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
Elemento neutro: O elemento neutro da multiplicação é o 1, que, ( a : b) n = a n : b n
multiplicado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número.
a ⋅1 =a ou 1 ⋅a=a 21 24
6. 6
Slide 25 Raiz quadrada exata de um número inteiro Slide 26 Bibliografia
Vamos considerar o exemplo abaixo: ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São
Paulo: Brasil, 2002.
9 = 3 ⋅ 3 = 32
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD,
Ao descobrir que o número 3 ao quadrado é igual a 9, encontramos a raiz 2006.
quadrada de 9. A operação realizada foi a radiciação. Dizemos que extraímos DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
a raiz quadrada de 9. O símbolo da raiz quadrada é: ou 2 .
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São
Paulo: Moderna, 2007.
A raiz quadrada de um número inteiro a é um número positivo b que, elevado
ao quadrado, resulta em a. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
Assim: a = b é o mesmo que b 2 = a , com b > 0. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Bened ito; GIOVANNI JUNIOR, Jo sé Ruy.
A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática,
1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo:
Scipione, 2006.
25
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. 26
BIBLIOGRAFIA
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo:
Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo:
Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São
Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da
matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione,
2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
