Matematica dicas como resolver problemas

M A T E M Á T I C A
5o. A n o do En s in o F u n dame n t al

DICAS DE MATEMÁTICA:
COMO RESOLVER PROBLEMAS?

CHRISTINE CÓRDULA DANTAS
2009
christinedantas@yahoo.com
ccdantas@iae.cta.br

Matemática - 5o. Ano do Ensino Fundamental

Índice

Como resolver problemas? 1

Problemas com Soma e Subtração 8

Problemas com Multiplicação 11

Problemas com Divisão 14

Problemas com Frações 17

Problemas Misturados - Desafio para você! 29

Parabéns! 31

Christine C. Dantas! Matemática

i

Como resolver problemas?

Para se resolver um problema de matemática (ou qualquer proble-

1) ma!), você precisará, antes de mais nada, estar muito atento! Des-
ligue a TV, o game, ou o que seja (se estiver em casa), ou se estiver
na escola, acorde!

Leia com muita atenção o enunciado
para entender o que se pede.

Esta é a etapa fundamental para se resolver um problema! Nada vai adiantar
se você ler com pressa e sem atenção, e tentar sair resolvendo o
problema de qualquer maneira, ou "chutando" o que deve ser feito!

Exemplo: Sua mãe pede para que você vá no mercado e compre uma
dúzia de laranjas, uma caixa de ovos, meia-dúzia
de maçãs, um quilo de arroz, quatro garrafas de refrigerante e um
litro de leite.

Tudo bem, tudo bem, você vai ao mercado e... O que era
mesmo? Você não prestou muita atenção, e agora...?

Com certeza, se você sair comprando um monte de coisas
que não tem nada a ver com o que sua mãe pediu, ela vai
ficar, no mínimo, uma fera!

No caso de uma prova de matemática, da mesma forma, não vai adi-
antar responder qualquer coisa, mas tem que atender ao que foi pedido, pois
na matemática, embora haja várias maneiras de resolver uma questão, só
existe uma resposta correta, não adianta enrolar!


1

2) Em segundo lugar, tente dividir o enunciado em partes. Isto é muito im-
portante, principalmente quando o enunciado tem muitas informações
e/ou muitas perguntas. Senão você provavelmente ficará confuso!

Separe o enunciado em partes.

Esta etapa é muito importante, pois é aqui que você vai deter-
minar todos os passos seguintes. Evite ficar confuso nesta parte!

Exemplo: Marina tinha R$ 155,00. Seu irmão pediu emprestado
R$50,00. Mais tarde, Marina foi à banca e comprou 10 figu-
rinhas, cada uma custando R$ 2,00. Com o que sobrou do dinheiro, Marina foi
ao Shopping e comprou um livro, pagando em 5 parcelas iguais, não sobrando
nenhum dinheiro depois disso. Quanto custou cada prestação do livro?

Não se desespere! Se você dividir o problema em partes, tudo vai ficar mais
simples!

Como assim, dividir em partes? Pegue o seu lápis e separe as frases do enun-
ciado, de forma que cada parte contenha uma informação que você entenda.

Sempre divida um problema muito difícil (ou grande) em etapas, onde
cada etapa pode ser entendida (ou resolvida) com mais facilidade.


2

Veja como dividimos o enunciado deste exemplo, usando colchetes ("["):

[Marina tinha R$ 155,00.] [Seu irmão pediu emprestado
R$50,00.] [Mais tarde, Marina foi à banca e comprou 10
figurinhas, cada uma custando R$ 2,00.] [Com o que so-
brou do dinheiro, Marina foi ao Shopping e comprou um li-
vro, pagando em 5 parcelas iguais, não sobrando nenhum
dinheiro depois disso.] [Quanto custou cada prestação do
livro?]

Não iremos resolver este problema agora, mas tente entender como dividimos
o enunciado em partes mais simples.

De acordo com as partes separadas, identifique o que é "dado" (infor-
3) mação fornecida no enunciado, no texto) e o que é "pedido" (o que se
pede como resposta ou respostas, o que você vai fornecer).

Identifique o que é dado e
o que é pedido.

Para isso, você irá considerar somente o que é importante. Você já sabe o que
é dado e pedido no exemplo anterior? Vamos circular o que é dado, e subli-
nhar o que é pedido!


3

[Marina tinha R$ 155,00.] [Seu irmão pediu emprestado
R$50,00.] [Mais tarde, Marina foi à banca e comprou 10 figurinhas,
cada uma custando R$ 2,00.] [Com o que sobrou do dinheiro, Ma-
rina foi ao Shopping e comprou um livro, pagando em 5 parcelas
iguais, não sobrando nenhum dinheiro depois disso.] [Quanto cus-
tou cada prestação do livro?]

4) Organize o que você identificou (dado e pedido), antes de começar a
tentar resolver o problema.

Organize-se antes de come-
çar a resolver o problema.

No exemplo anterior, vamos então escrever assim, antes dos cálculos a serem
feitos:

Dados:
Valor inicial: R$ 155,00.
Valor emprestado: R$ 50,00.
Compra na banca: 10 figurinhas a R$ 2,00 cada.
Compra do livro: 5 parcelas iguais do que sobrou.
Valor final: R$ 0,00 (não sobrou nada).

Pedido:
Quanto custou cada prestação do livro?


4

5) Agora sim! Vamos resolver o problema por etapas, de acordo com
toda a nossa organização até agora. Não tivemos todo este traba-
lho à toa!

Resolva o problema por etapas.

Solução:

1- Empréstimo: 2- Figurinhas:
R$ 155,00 R$2,00
- R$ 50,00 x 10
--------------- ---------------
R$ 105,00 R$ 20,00

3- Sobrou: 4- Livro:
R$ 105,00 R$ 85,00 ÷ 5
- R$ 20,00 = R$ 17,00
---------------
R$ 85,00

Ainda não acabou! Ao final, escreva a resposta completa, de acordo com o
pedido:

Resposta:
Cada prestação do livro custou R$ 17,00.

Como ficou então o nosso exercício completo? Com certeza, bem organizado e
caprichado, e, melhor ainda, conseguimos resolvê-lo! Aí está:


5

PROBLEMA: Marina tinha R$ 155,00. Seu irmão pediu emprestado R$50,00.
Mais tarde, Marina foi à banca e comprou 10 figurinhas, cada uma custando R$
2,00. Com o que sobrou do dinheiro, Marina foi ao Shopping e comprou um li-
vro, pagando em 5 parcelas iguais, não sobrando nenhum dinheiro depois dis-
so. Quanto custou cada prestação do livro?

Dados:
Valor inicial: R$ 155,00.
Valor emprestado: R$ 50,00.
Compra na banca: 10 figurinhas a R$ 2,00 cada.
Compra do livro: 5 parcelas iguais do que sobrou.
Valor final: R$ 0,00 (não sobrou nada).

Pedido:
Quanto custou cada prestação do livro?

Solução:

1- Empréstimo: 2- Figurinhas:
R$ 155,00 R$ 2,00
- R$ 50,00 x 10
--------------- ---------------
R$ 105,00 R$ 20,00

3- Sobrou: 4- Livro:
R$ 105,00 R$ 85,00 ÷ 5
- R$ 20,00 = R$ 17,00
---------------
R$ 85,00

Resposta:
Cada prestação do livro custou R$ 17,00.

6

Resumo das nossas 5 regras de ouro:

1) Leia com muita atenção o enunci-
ado para entender o que se pede.

2) Separe o enunciado em partes.

3) Identifique o que é dado e o que
é pedido.

4) Organize-se antes de começar a
resolver o problema.

5) Resolva o problema por etapas.

Mas, espere um pouco! (Você deve estar pensando...) Não demos realmente
as dicas de como resolver o problema em si! Ou seja, quando usar adição,
multiplicação, divisão... Às vezes, não é tão simples descobrir estas coisas!

Calma! É isto que iremos explorar nos próximos capítulos... O que fizemos até
agora, foi apenas lhe mostrar um método, uma maneira lógica de como pro-
ceder diante de um problema de matemática. Agora, vamos colocar isso em
prática!


7

Problemas com Soma e Subtração

Um problema envolve soma (+) quando existe uma quantidade, valor,
número ou qualquer "coisa" inicial, e algo acontece: esta "coisa" aumenta,
chega mais, é acrescentada, enfim, é somada!

Exemplos: Quan- Quanti-
tidade inicial dade aumentou

1) [ Marina tinha uma porquinha. ] [ Nasceram 3 filhotes desta porquinha. ]
[ Com quantos porquinhos Marina ficou? ]

+

Quan- Quanti-
tidade inicial dade aumentou

2) [ Marina tinha uma balde com 100 ml de água. ] [ Seu tio encheu o balde
com mais 200 ml.] [ Qual a quantidade de água que ficou no balde? ]

Quan-
Quan- tidade aumentou (várias
tidade inicial situações)

3) [ Marina tinha R$ 100,00. ] [ Seu irmão lhe pagou uma dívida de R$ 50,00.
Seu tio lhe deu de aniversário R$ 145,00. Marina vendeu suas figurinhas por
R$ 5,00. ] [ Com quanto de dinheiro Marina ficou? ]


8

Um problema envolve subtração (-) quando existe uma quantidade, va-
lor, número ou qualquer "coisa" inicial, e algo acontece: esta "coisa" diminui,
sai, é diminuída, enfim, é subtraída!

Exemplos: Quan- Quanti-
tidade inicial dade diminuiu

1) [ Marina tinha três porquinhos. ] [ Morreram dois porquinhos. ] [ Com
quantos porquinhos Marina ficou? ]

-

Quan- Quanti-
tidade inicial dade diminuiu

2) [ Marina tinha uma balde com 300 ml de água. ] [ Seu tio despejou no chão
100 ml de água do balde.] [ Qual a quantidade de água que ficou no balde? ]

Quan-
Quan- tidade diminuiu (várias
tidade inicial situações)

3) [ Marina tinha R$ 400,00. ] [ Ela então pagou uma dívida de R$ 50,00 a
seu irmão. Depois deu de aniversário R$ 145,00 a seu tio. Depois Marina com-
prou 10 figurinhas por R$ 5,00 no total. ] [ Com quanto de dinheiro Marina fi-
cou? ]


9

Problemas: (Resolva você mesmo!)
1) Guilherme tinha 14 batatas. Ele cortou 3 delas e colocou-as para cozinhar.
Outras 2 estavam estragadas e ele as jogou fora. Quantas batatas sobraram?

2) Julio tinha uma pet shop. Dois cães chagaram para o banho. Depois, quatro
cães chegaram para a tosa do pelo. No final do dia, mais um cão chegou para
o corte de unhas. Quantos cães foram tratados naquele dia?

3) Ua boneco custa R$ 20,00. Um carrinho custa R$ 5,00. Uma bola custa R$
10,00. Um jogo custa R$ 13,00. José tinha R$ 30,00. Indique quantas combi-
nações de brinquedos ele pode comprar, no máximo? Indique em cada combi-
nação se resta algum dinheiro, e quanto.

Exemplos:

Combinação 1 -> Um boneco e uma bola: total = R$ 30,00, resta = R$ 0,00.

Combinação 2 -> 2 jogos: total = R$26,00, resta R$ 4,00.


10

Problemas com Multiplicação
Um problema envolve multiplicação (x) quando você soma, soma,

soma, soma, soma, etc... (ufa!), repetidas vezes uma certa
quantidade ou valor fixo.

Quan-
Número tidade a se re-
Exemplo: de repetições petir

[ Marina tinha três porquinhos. ] [ Ela os vendeu por R$ 100,00 cada ] [
Quanto Marina recebeu? ]

Dados:
Número de porcos : 3
Valor de cada porco: R$ 100,00.
Pedido:
Quanto Marina recebeu?

Solução número 1:
R$100,00 + R$100,00 + R$100,00 = R$ 300,00.

R$ 100,00 x 3 = R$300,00.

Note que este problema envolveu somar uma certa quantidade fixa (R$100,00)
repetidas vezes (3 vezes), ou seja, multiplicar.


11

Atenção: Neste exemplo, você poderia ter resolvido das duas maneiras indi-
cadas. Mas e se Marina tivesse 1236 porquinhos? É claro que você não iria sair
somando R$100,00 + R$100,00 + R$100,00 + .... + ..... (1236 somas!), mas
realizar a multiplicação de R$100,00 x 1236, que é muito mais inteligente,
mais rápida e até mais fácil de realizar!

A multiplicação facilita uma soma que é
efetuada repetidas vezes para um
mesmo valor ou quantidade.

Quan-
Número tidade a se re-
Exemplo: de repetições petir

[ Uma sala tinha 236 metros quadrados de chão. ] [ Um piso de madeira cus-
ta R$ 50,00 um metro quadrado. ] [ Quanto custa colocar este piso na sala
toda? ]

Dados:
Área da sala : 236 metros quadrados
Valor de 1 metro quadrado: R$ 50,00.
Pedido:
Custo do piso na sala?

R$50,00 + R$ 50,00 + ... + R$50,00 = ????

somar 236 vezes! (Ufa !!!!)

Solução número 2: (mais inteligente!)
R$50,00 x 236 = R$ 11.800,00.


12

1) Marina tinha 5 caixas. Cada caixa continha exatamente 10 bonecas. Quan-
tas bonecas tinha Marina?

2) No Halloween, Amanda visitou 23 casas. Cada casa lhe entregou 12 balas.
Quantas balas Amanda conseguiu?

3) Uma caixa d'água consegue armazenar 2.000 litros. Quantos litros de água
conseguem armazenar as caixas d'água de uma fábrica de brinquedos, que
contém 6 caixas d'água?

4) Juliana ganhava R$120,00 de mesada. Quanto ela ganhou em um ano?

5) Paulina sobrevoou em seu avião 7 cidades. Em cada cidade, avistou 20 pré-
dios e 25 casas. Quantos prédios avistou no total? E quantas casas? E quantos
imóveis no total?


13

Problemas com Divisão

divisão ( ÷ ) quando você reparte ou
Um problema envolve

distribui uma certa quantidade por um valor fixo
(igualmente).

Exemplo: Quanti-
dade a se repartir
Número
[ Marina tinha seis quilos de ração. ] de partes iguais

[ Ela dividiu a mesma quantidade de ração entre os seus três porquinhos. ]

[ Quanto cada porquinho comeu? ]

?

Dados: 6 kg ?
Quantidade de ração: 6 quilos.
?
Número de porcos : 3
Pedido:
Cada porco comerá
Quanto cada porco comeu? a mesma quanti-
dade! Quanto
será??

Solução:
6 ÷ 3 = 2 quilos.

Atenção: Nem sempre fica tão óbvio que um problema envolve divisão, por-
que nem sempre está dito claramente que vai ser "repartido" alguma quanti-
dade ou valor entre pessoas, animais, etc. Basta perceber que você precisa de-
terminar como obter partes iguais de alguma coisa maior.


14

Exemplo: Quanti-
dade a se repartir

[ No ano de 2008, Marina gastou R$ 6.000,00 de aluguel. ] Número

[ Quanto Marina paga mensalmente de aluguel? ] de partes??

Neste problema, você precisa identificar quais são as "partes iguais" de uma
"coisa maior", e quantas são. Bom, a "coisa maior" é fácil: R$ 6.000,00. Ela
gastou isso no total do aluguel num determinado ano. Também está dito no
enunciado que o aluguel é mensal, e geralmente o aluguel tem um valor fixo.
Ora, um ano contém 12 meses, logo, são 12 aluguéis ao longo do ano, e este é
o número de "partes iguais" que estamos procurando! Assim:

Dados:
Valor total do aluguel em 2008 : R$ 6.000,00.
Número de aluguéis (mensais) em um ano : 12
Pedido:
Valor mensal do aluguel.
Solução:
÷
6000 12 = 500.
Resposta:
Marina paga mensalmente R$ 500,00 de aluguel.


15

1) Uma fazenda continha 16 acres de terra. O dono cedeu suas terras aos 4
filhos, em lotes de tamanho igual. Quantos acres recebeu cada filho?

2) Lúcio tinha 100 garrafas, que precisava guardar em 5 caixas. (A) Quantas
garrafas coube em cada caixa? (B) E se ele tivesse 105 garrafas? (C) E se ti-
vesse 117 garrafas? Indique quantas garrafas sobraram, se for o caso, em
cada um dos casos (letras A, B, e C).

3) André comprou um aparelho de som. Havia duas formas de pagamento à
prazo: (A) em três prestações iguais, totalizando ao final das prestações um
valor total de R$ 465,00; e (B) em 10 prestações iguais, totalizando ao final
das prestações um valor total de R$ 500,00. Encontre o valor das prestações
nos casos (A) e (B). André optou pela menor prestação. Indique qual opção ele
escolheu.


16

Problemas com Frações
Fração
Numerador

2
Denominador 3

Vamos lembrar o que são frações através das representações em forma de
"barras de chocolate". Claro que frações podem representar muito mais do que
barras de chocolate! Mas é uma maneira visual muito proveitosa para entender
frações.

Para entendermos o que significa uma fração, vamos começar observando 3
casos possíveis:

CASO 1) Se o numerador for IGUAL ao denominador, isto significa que
a fração vale exatamente o número inteiro 1 !

Exemplos:
3 12
=1 =1
3 12
4367 1
=1 =1
4367 1

17

CASO 2) Se o numerador for MENOR que o denominador, imagine
sempre assim: "pegue tantos pedaços (NUMERADOR) dentre tantos pedaços
(DENOMINADOR) repartidos igualmente de um chocolate".

Como assim????

2
É fácil! Por exemplo, a fração significaria:
3

"pegue 2 pedaços de 3 pedaços que foram repartidos igualmente em uma bar-
ra de chocolate". Hummmmm!!!

Vamos fazer exatamente isto, por partes:

1) pegue uma barra de chocolate.

2) Reparta em três pedaços iguais:

3) Retire 2 pedaços dos 3:
Trec!

retirei

Conclusão: Os pedaços retirados VALEM 2/3 de uma barra inteira.

Dois de três!


18

Exemplos:
Seja esta barra de chocolate (ainda não dividida):

Ela "vale 1". Claro! É uma barra, né??? Mas você também pode pensar como
se você a tivesse "dividido" em apenas 1 pedaço, ou seja, a própria barra!
Logo, podemos representá-la como uma fração! E ela seria, simplesmente:

1
1

Agora, vamos dividí-la de várias maneiras, e cortar pedaços valendo as frações
indicadas!

Trec!
1
2
Trec!
2
5
Trec!
1
3


19

CASO 3) E se o numerador for MAIOR que o denominador? Imagine
sempre assim: "pegue tantas barras (NUMERADOR) e dividir cada uma delas
em tantos pedaços (DENOMINADOR) iguais. Depois pegue 1 (um) pedaço de
cada".

Como assim????

3 Vejamos o que a fração ao lado quer dizer: Vamos pegar 3 barras de
chocolate (NUMERADOR) e dividir cada uma delas em 2 pedaços (DE-
2 NOMINADOR) iguais. De forma pictórica:

1o. Passo: pegar 3 barras e dividir cada uma em 2 pedaços iguais.

2o. Passo: Pegar 1 pedaço de cada barra. Os pedaços (todos) que você pegou
valem 3/2 !

Trec!

3 Trec!

2
Trec!


20

Atenção! Na verdade, estamos pegando 1 pedaço qualquer, e repetindo isso
3 vezes. Você pode, é claro, pegar 1 pedaço da primeira barra, 1 pedaço da
terceira, e pegar 1 pedaço de novo da primeira. Não importa! A fração 3/2 si-
gnificará o mesmo que no desenho anterior. Veja abaixo:

!!
Trec! Trec!

3 =3 Trec!

2 2
Trec!
Trec!

Atenção! Daqui por diante, ao invés de "cortar" um pedaço ("Trec!") e pegá-
lo, vamos apenas imaginar pintá-lo ou hachureá-lo, certo? E, também, você
não precisa sempre pensar em barras de chocolate! Pode ser qualquer coisa
que você reparta. A idéia aqui é que você quer representar uma parte desta
"coisa". Esta parte representada é a fração.

Atenção! Note que, no desenho anterior, você na verdade pegou 1/2 de cada
barra (ou 1/2 de cada vez, seja qual for a barra), e fez isso 3 vezes, juntou os
pedaços e isto deu 3/2, certo? Matematicamente, você simplesmente somou:

1/2 + 1/2 + 1/2, ou, multiplicou:

1/2 x 3.

De uma forma ou de outra, isso dá 3/2. Confuso? Vamos ver a seguir!


21

Como somar e multiplicar frações?

1) Somando frações:

Considere o caso em que o DENOMINADOR é o mesmo. (Você ainda irá apren-
der o que fazer se isto não for o caso, depois; não vamos tratar estes casos
aqui). Então, basta SOMAR os numeradores e manter o mesmo denominador!

Exemplo:

1 3 1 2 2 9
+ + + + =
2 2 2 2 2 2
2) Multiplicando frações:

Multiplique numerador com numerador, e denominador com denomina-
dor, separadamente.

3 5 15 3 5 15
× = × =
2 5 10 2 2 4
3) Dividindo (ou multiplicando) o denominador e o numerador por um valor
fixo ("em cima e em baixo" na fração"):

Você sempre pode fazer isto sem alterar o valor da fração!

Multipliquemos a fração 3/2 por um valor fixo (por exemplo, 5), tanto no nu-
merador quanto no denominador:


22

3×5 15
=
2×5 10
O que aconteceu com a fração 3/2 ao multiplicar em cima e em baixo por 5?
Ela se transformou em 15/10, certo? Mas... Você deve estar se perguntando se
não tem algum erro. Afinal, não é verdade que:

3 5 3 3 15
× = ×1= = ???
2 5 2 2 10
Não se engane, está tudo certo!

As frações 3/2 e 15/10 são equivalentes. Podemos encontrar uma fração
equivalente a uma outra fração se multiplicarmos (ou dividirmos!) o numera-
dor E denominador desta fração por um valor fixo, tal como fizemos acima.
As frações 3/2 e 15/10 são equivalentes por que começamos com a fração 3/2
e a multiplicamos em cima e em baixo por um mesmo número (no caso o 5).

Toda vez que você faz isso, você estará encontrando uma fração equivalente, e
ela significa a mesma coisa que a fração inicial. Vamos ver do jeito inverso.
Para checar que 15/10 é equivalente a 3/2, devo achar um valor que dê para
dividir certinho em cima e em baixo de 15/10 e encontrar 3/2. No caso, ve-
mos que o valor fixo é o mesmo 5, pois divide tanto 15 (resultado = 3), tanto
10 (resultado = 2), ou seja:

15 ÷ 5 3
=
10 ÷ 5 2

23

Logo, 15/10 e 3/2 são equivalentes por que eu posso dividir 15/10 por 5 (em
cima e em baixo) e obtenho 3/2; ou, da mesma forma, posso multiplicar 3/2
por 5 (em cima e em baixo), e obtenho 15/10!!

Uma outra forma de entender por que eu sempre posso multiplicar ou dividir
em cima e em baixo de uma fração por um mesmo número qualquer (no caso
do nosso exemplo, usamos o 5, mas poderia ser qualquer outro número), sem
alterar o significado da fração (pois o que encontramos é sempre uma fração
equivalente à fração inicial), é simplesmente por causa do fato que:

5
=1
5
E, é claro que você sabe que multiplicar ou dividir um número (seja inteiro ou
fração, ou qualquer tipo de número) por 1 sempre dá o mesmo resultado, né??

Atenção!

Há um número infinito de frações equivalentes entre si! Por exemplo, as fra-
ções abaixo são todas equivalentes, porque você pode começar com 3/2 e
multiplicar em cima e em baixo desta fração por um valor fixo, digamos, 2,
dando 6/4, repetindo assim infinitamente... Ou começar em, digamos, 24/16,
dividindo em cima e em baixo por 2, até chegar de novo em 3/2:

3 6 12 24
, , , , ...
2 4 8 16 Continua "para sempre"...!


24

Ou você poderia usar o valor fixo 3, e assim teria um conjunto diferente de
frações equivalentes, etc, etc, etc! Tente outras frações equivalentes a 3/2!

3 9 27 81
, , , , ...
2 6 18 54
Tendo relembrado o que são frações, vamos agora resolver PROBLEMAS COM
FRAÇÕES! Vejamos estes exemplos primeiro, pois contém alguns conceitos que
ainda não vimos.

Exemplos:
1) Marina tinha 15 porquinhos. Ela vendeu 1/3 de sua criação. Quantos por-
quinhos foram vendidos?

Note que para resolver este problema, precisamos tirar 1/3 de 15 porquinhos
(e eles não são barras de chocolate!) Como fazer isto? Toda vez que você pre-
cisar saber qual é a fração de um certo número (no caso, 1/3 de 15), isto si-
gnifica, matematicamente, multiplicar 1/3 por 15 (ou vice-versa, dá no mes-
mo). Você deve estar se perguntando como multiplicar (ou dividir) uma fração
(no caso, 1/3) por um número inteiro (no caso, 15)... Mas é fácil!

Concorda que um número inteiro pode ser expresso sempre como uma fração?
E daí você já sabe multiplicar frações, pela regra ensinada anterioremente,
certo?

Então façamos a conta...


25

1 15 1 15
15 × = × = .
3 1 3 3
Transformamos o 15 em fração...

Vamos entender o que foi feito acima, passo a passo!

Primeiro, note que um número inteiro, no caso, o 15, sempre pode ser repre-
sentado por uma fração, colocando o número "1" no denominador (você sabe
por quê?). No caso acima, "15" é o mesmo que a fração "15/1"! Então agora
você tem simplesmente duas frações, 15/1 e 1/3, e para multiplicá-las, você já
conhece a regrinha.

Segundo, toda vez que você tem que tirar uma fração de algo, você multiplica
este "algo" pela fração, neste caso, o "algo" é 15, e a fração é 1/3. (Parece es-
tranho, não deveria diminuir? Bem, no momento, o que você precisa saber é
que é assim mesmo para frações. Depois você vai entender o porquê.)

Terceiro. Note que no problema acima 15/3, que foi o resultado da conta, é
equivalente a 5/1, pois você pode dividir 15/3 por um valor fixo (no caso, 3),
em cima e em baixo, de forma que você obtém uma fração equivalente, que
no caso é um número inteiro! Isto é,

15/3 é equivalente a 5/1 que é igual a 5.

Mas isto é o que queremos mesmo! O problema pede o número de porcos (um
valor inteiro), logo, você estava buscando um número inteiro como resposta,
dai achou a fração equivalente de 15/3 que pode ser expressa como inteiro, e
a única fração que pode fazer isso é 5/1 = 5 !!

Logo, a resposta é que foram vendidos 5 porquinhos.


26

2) João tinha uma caixa com 15 carrinhos. 5 carrinhos estavam quebrados.
Qual a fração de carrinhos que estão quebrados?

Este exemplo é o raciocínio inverso do anterior, pois o problema pede a fração
de carrinhos quebrados (correspondentes a 5 carrinhos de 15). Ora, se pen-
sarmos nas barras de chocolate, seria 5 pedacinhos de uma barra dividida em
15 partes, certo? (5 de 15). Logo: Se eu quiser achar uma fração equiva-
lente a 5/15, divido em cima e em baixo

5 5÷5 1 pelo mesmo número que dá para dividir

= =
"certinho", ou seja, 5.

15 15 ÷ 5 3
Note que 5/15 já é a resposta correta, mas prefirimos mostrar a fração
equivalente (1/3) mais "reduzida" possível, ou seja, na qual o único número
possível para dividir "certinho" em cima e em baixo a fração 1/3 é o número 1.

3) Marina tinha uma garrafa de água com 2 litros. Às 10 horas, ela bebeu 1/2
da garrafa. Às 11 horas, ela bebeu mais 1/2 do que havia na garrafa. Quantos
litros ela bebeu?

O que significa 1/2 de 2 litros?

1 1 2 2
×2= × = =1
2 2 1 2
Ou seja, 1 litro (às 10 horas). Depois (às 11 horas), ela bebeu 1/2 do que ha-
via na garrafa, ou seja, 1 litro, o que acabamos de calcular. Isto dá então:

1 1 1 1
×1= × = .
2 2 1 2
Então, Marina bebeu no total 1 litro + 1/2 de litro, ou seja, 1 litro e meio de
água.


27

1) Mário tinha 10 figurinhas. Vendeu 5 figurinhas. Qual a fração de figurinhas
vendidas?

2) Ângelo tinha 35 bonecos. Vendeu 1/7 deles. Quantos bonecos ele vendeu?

3) Maria tinha um galão com 6 litros de leite. Usou 1/3 de litro para fazer bis-
coitos para a festa. Com o que sobrou de leite, usou 1/2 de litro para fazer um
bolo. Quantos litros usou para os biscoitos e quantos litros usou para o bolo?
Quantos litros sobraram?

4) Juliana tinha 10 anos. Sua irmã, Marina, tinha 1/2 de sua idade. Seu primo,
Paulo, tinha 1/5 da idade de Juliana. Quantos anos tinha Marina e Paulo?

5) Maurício tinha R$ 450,00. Gastou 1/3 no mercado. Quanto dinheiro sobrou?


28

Problemas Misturados - Desafio para você!

1) Paulo tinha R$ 1200,00. Seu irmão pediu emprestado R$ 300,00. Com o di-
nheiro que sobrou, Paulo pagou um relógio em três prestações de R$ 100,00
cada. Depois da última prestação paga, Paulo doou 1/3 do que sobrou para um
orfanato. Sobrou algum dinheiro? Se sim, quanto?

2) Marina tinha 320 latas para distribuir em 12 caixas. No entanto, seu pai
precisou usar 1/3 destas caixas para um trabalho, e as levou embora. Marina
ainda assim conseguiu distribuir as 320 latas nas caixas que sobraram. Quan-
tas caixas sobraram, e quantas latas foram colocadas em cada caixa?


29

3) Sophia tinha 16 anos e tinha três irmãos. O mais novo tinha 1/8 da sua ida-
de. O do meio, tinha duas vezes a idade do mais novo. E o terceiro, tinha a
idade do meio, somada a 1/16 da idade de Sophia. Quantos anos tinha cada
irmão?

4) Josefina queria comprar uma casa. Ela havia economizado R$ 60.000,00
para isto. O vendedor lhe disse, no entanto, que a casa custava 1/3 a mais do
valor que ela tinha. Também lhe disse que era possível pagar a casa em 10
prestações iguais, porém, o valor total final, após as prestações pagas, ficaria
mais caro em R$ 2.000,00 com relação ao valor pago à vista. Josefina resolveu
economizar para comprar a casa, e também decidiu comprá-la à prazo. Quanto
Josefina irá pagar pela casa ao final das prestações?


30

Parabéns!
Se você chegou até aqui, mesmo que não tenha acertado tudo, ou não tenha
entendido tudo, ainda assim demonstra que você tem força de vontade e perseveran-
ça! Tente depois discutir suas dúvidas com um professor ou um adulto que possa aju-
dá-lo. É importante você terminar esta apostila sem nenhuma dúvida.

De qualquer forma, o que importa na matemática, é ter paciência. Isto por-
que, para ser "bom em matemática", você precisa apenas entender pequenas par-
tes, e ir juntando aos poucos esta compreensão em partes maiores e mais complica-
das. E para isto, precisa de paciência! Estude bem os conceitos básicos apresentados
nesta apostila, mas nunca deixe de lado o seu livro da escola!

A matemática é dita por muitos ser uma "disciplina difícil". Na ver-
dade, ela é apenas como a construção de um edifício. Um edifício certa-
mente é algo complicado, ao vermos um já pronto. Mas os blocos básicos da constru-
ção, como cimento, tijolo, etc, são simples, e a maneira como juntá-los tem regras
bem conhecidas. O que é importante é seguir as regras de como colocar um bloco em
cima do outro de maneira correta, que o edifício acaba sendo erguido aos poucos, até
ficar pronto! Assim também é a matemática. Se você se esforçar a en-
tender os princípios básicos, aos poucos vai evoluir sua compreen-
são.

Na verdade, a matemática é algo bem mais interessante do que
você imagina. A Natureza pode ser descrita por leis
puramente matemáticas. Isto é um desafio e, ao mesmo tem-
po, uma dádiva e tanto, para nós, humanos, tão diminutos diante
do Universo! Isto é mesmo um mistério da Natureza, talvez o mai-
or de todos: o fato de podermos compreendê-la mais e mais, atra-
vés da matemática!

E quando você estuda a matemática, você na verdade está
fazendo parte desta grande jornada do intelecto humano! Na verdade, é bem legal,
pense sobre isto.

Assim, boa sorte no seu estudo da matemática! Você consegue, sim! Seja
positivo, tenha disposição, paciência, e disciplina nos estudos, e você obterá sucesso!

Christine. (Setembro de 2009).


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