Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp dạy toán với đề tài: Nghiên cứu didactic việc dạy học hàm số và phương trình chứa tham số trong môi trường casyopée ở bậc trung học phổ thông, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Lê Tấn Phú
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẠY HỌC
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
TRONG MÔI TRƯỜNG CASYOPÉE
Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Lê Tấn Phú
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẠY HỌC
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
TRONG MÔI TRƯỜNG CASYOPÉE
Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học Toán
Mã số : 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3. LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Chí Thành đã tận tình hướng dẫn tôi
từng bước trên con đường nghiên cứu khoa học của mình. Mặc dù thầy ở rất xa
nhưng thầy luôn quan tâm, động viên, chỉ dẫn tôi những lúc gặp khó khăn. Điều
đó giúp tôi thêm nghị lực để hoàn thành luận văn này. Không có gì hơn, kính
chúc thầy và giá đình thật nhiều sức khỏe và có nhiều niềm vui trong cuộc sống.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Vũ Như Thư
Hương…đã dạy cho chúng tôi những lý thuyết cơ bản về didactic Toán, những
kiến thức và lời khuyên quý báo mà quý thầy cô đã dành cho chúng tôi.
Tôi cũng cảm ơn Ban Giám đốc Trung tâm Giáo dục thường xuyên và Kĩ
thuật tổng hợp hướng nghiệp Đức Hòa đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
suốt quá trình học. Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Ban giám hiệu, và thầy cô tổ
Toán Trường THPT Hậu Nghĩa, Trường THPT An Ninh đã tạo điều kiện cho
tôi tiến hành thực nghiệm.
Sẽ thật là thiếu sót nếu không nhắc đến gia đình và vợ của tôi đã chấp nhận
xa tôi và thay tôi gánh vác chuyện gia đình để tôi yên tâm theo suốt khóa học.
Tôi cầu mong tất cả có nhiều sức khỏe và niềm vui trong cuộc sống.
Lê Tấn Phú

4. MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU....................................................................................................... 1
1. Đặt vấn đề và câu hỏi xuất phát................................................................. 1
2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết................. 3
3. Cấu trúc luận văn....................................................................................... 6
Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG
ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ............ 7
1. Điều tra khoa học luận kí hiệu chữ trong Đại số ....................................... 7
2. Điều tra khoa học luận về tham số, phương trình chứa tham số.............. 11
3. Hàm số..................................................................................................... 16
4. Kết luận chương 1.................................................................................... 17
Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI
TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG
BIỂU THỨC CHỨA THAM SỐ........................................................... 19
1. Hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số trong SGK............................. 20
2. Các tổ chức toán học liên quan đến phương trình chứa tham số và hàm
số cho bằng biểu thức chứa tham số........................................................ 21
2.1.Các KNV T1 “ Giải và biện luận”.................................................... 22
2.2.Các KNV T2: “Tìm các giá trị tham số” trong phương trình hoặc trong
hàm số thỏa điều kiện nào đó .................................................................. 36
3.3. Các KNV T3: “Chứng minh”........................................................... 46
3.4. KNV T4: “Tìm điểm cố định của hàm số y = f(x,m)”...................... 46

5. 3.5. NV T5: “Tìm quỹ tích điểm” của họ đương cong phụ thuộc thuộc tham
số 52
3. Kết luận chương 2.................................................................................... 60
Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM............................................. 64
1. Đối tượng và hình thức tổ chức và nội dung thực nghiệm ...................... 64
2. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm thực nghiệm của giáo
viên 71
3. Phân tích tiên nghiệm các thực nghiệm học sinh .................................... 76
4. Phân tích hậu nghiệm các thực nghiệm của học sinh .............................. 82
4.1.Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm B ............................................... 82
4.2.Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm C ............................................... 87
5. Kết luận chương 3.................................................................................... 98
KẾT LUẬN CHUNG................................................................................ 100
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................ 103
PHỤ LỤC.................................................................................................. 106

6. DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HH: Hình học SGK : Sách giáo khoa
SGV: Sách giáoviên
SBT: Sách bài tập
GV: Giáo viên
HS: Học sinh
TCTH: Tổ chức toán học
THPT: Trung học phổ thông
PT: Phương trình
KNV: Kiểu nhiệm vụ
MT: Môi trường
ĐS: Đại số
HH: Hình học

7. 1
MỞ ĐẦU
1.Đặt vấn đề và câu hỏi xuất phát
Trong quá trình phát triển toán học, Đại số kí hiệu được hình thành và phát triển
trong quá trình tìm kiếm những biện pháp tổng quát để giải các bài toán cùng kiểu.
Những biện pháp đó thường là lập và giải phương trình. Với việc hình thành các kí hiệu,
đặc biệt là kí hiệu chữ trong Đại số và hình thành lí thuyết tập hợp sau đó, đã làm cho
cách diễn đạt trong toán học hết sức tiện lợi, rõ ràng. Việc tính toán trên số cụ thể chuyển
sang tính toán hình thức trên chữ đã giúp Đại số nghiên cứu các tính chất tổng quát của
hệ thống số và những phương pháp tổng quát các bài toán bằng phương trình. Các
phương pháp giải thường được trình bày theo một quy trình mang tính thuật toán. Chính
việc sử dụng kí hiệu chữ trình bày nội dung toán học theo phương diện cú pháp1
nên có
lúc phương diện ngữ nghĩa2
bị xem nhẹ. Đồng thời, một kí hiệu chữ trong Đại số có thể
có nhiều nghĩa và vai trò khác nhau. Ví dụ như trong một phương trình, chữ đóng vai trò
ẩn, chữ đóng vai trò tham số; a + b chỉ vai trò là một quy trình (cộng a với b) cùng lúc
chỉ một kết quả (tổng của a và b); dấu đẳng thức có vai trò chỉ một kết quả, hoặc một
quan hệ tương đương. Vậy câu hỏi đặt ra là:
Chữ trong Đại số có những vai trò nào?
Theo Phan Thị Hằng (2002), “ […] vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất
phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ
vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ số .v.v. Chính sự phức tạp này có thể
gây nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong
đó có sự tham giá của các kí hiệu chữ.” ([8], tr 61). Dựa trên kết quả đó chúng tôi tự đặt
ra câu hỏi như sau:
Học sinh gặp khó khăn nào khi giải một bài toán có kí hiệu chữ quy định là tham số?
1
“Phương diện cú pháp (syntaxic) của toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức những
biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải.” ([10],
tr.80])
2
Phương diện ngữ nghĩa (semantic) của toán học là mặt xem xét nội dung của những mệnh đề toán học và
nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học.” ([10], tr.80])

8. 2
Quá trình dạy - học, luôn đòi hỏi phải có sự tương tác, nhất là trong môi trường có
tích hợp công nghệ như phần mềm dạy học, Internet…
Theo didactic “Chủ thể học bằng cách thích nghi (đồng hóa và điều ứng) với môi trường,
nơi tạo ra những mâu thuẫn, khó khăn và mất cân bằng.”
Theo Brousseau ,“Trong tình huống didactic, môi trườnglà hệ thống đối kháng với
học sinh, tức là cái làm thay đổi tình trạng của kiến thức theo cách mà học sinh
không kiểm soát được.” Các yếu tố hình thành nên môi trườngcó thể là vật chất hoặc phi
vật chất.
Hiện nay, có rất nhiều phần mềm dạy-học môn Toán ở bậc THPT, trong đó có phần
mềm Casyopée. Casyopée là phần mềm dạy học hàm số do Lagrange (2002) và nhóm
nghiên cứu thuộc trung tâm nghiên cứu Didactic Diddirem (nay là trung tâm nghiên cứu
Didactic LDAR Đại học Paris VII) phát triển. Một đặc trưng nổi bật của phần mềm
này là có hai môđun đại số và môđun hình học động và kết nối chặt chẽ với nhau.
Đây là phần mềm duy nhất nghiên cứu quan hệ hàm có sự tích hợp của hai mođun đại
số và hình học.
- Trong môđun đại số: Các hàm số với biến số thực là trung tâm nghiên cứu của
Casyopée. Casyopée cung cấp phương tiện để tạo ra các tập số thực có điều kiện (mô
hình hóa tham số bằng thanh trượt thay đổi giá trị) mà các hàm, biểu thức xác định trên
nó. Casyopée cho phép tính toán, biến đổi hình thức chứa kí hiệu chữ là tham số. Cần
nhấn mạnh thêm các kĩ năng tính toán, khảo sát hàm số… đều được chương trình tự
động thực hiện. Và đồ thị hàm số sẽ tự thay đổi theo sự thay đổi giá trị của tham số.
- Trong mô đun hình học: Có các công cụ dựng các đối tượng mới dựa trên cơ sở
đối tượng đã có (như trung điểm của đoạn thẳng, giao điểm của hai đường thẳng, của
đường thẳng và đường tròn). Khi thay đổi vị trí của điểm di động, các đối tượng trên
vẫn bảo toàn cấu trúc của nó. Nhờ khả năng này mà HS có thể phát hiện ra một số tính
chất của hình, quỹ tích của điểm… khi dịch chuyển điểm.
Xác định được miền xác định và công thức tính các đại lượng như diện tích, độ dài
…, và tuỳ theo giá trị biến do người dùng tự chọn (theo quy ước riêng của
Casyopée), nó chuyển các biểu thức này thành các hàm số trên môđun đại số. Nhờ khả
năng này, nó kiểm tra mối quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên có là quan hệ hàm hay
không ?
Qua một số tính năng của Casyopée mà chúng tôi trình bày ở trên, chúng tôi nhận

9. 3
thấy Casyopée tỏ ra thích hợp thiết kế môi trường dạy-học có tích hợp Casyopée thể
hiện sự thay đổi giá trị của tham số. Môi trường đó nhằm tạo điều kiện thuận lợi để giải
quyết KNV chứa tham số trong môi trường Casyopée hoặc hỗ trợ kĩ thuật giải quyết KNV
chứa tham số trong môi trường truyền thống. Điều đó sẽ khắc phục khó khăn khi học sinh
giải quyết KVN chứa tham số trong chủ đề phương trình và hàm số bậc THPT.
Câu hỏi chúng tôi đặt ra là:
Những KNVchứa tham số nào giải được trong môi trường Casyopée? Và môi trường
Casyopée khắc phục khó khăn nào khi học sinh giải bài toán chứa tham số trong môi
trườngtruyền thống?
2.Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết
2.1. Quan hệ thể chếvới một tri thức
Lý thuyết nhân học trong didactic dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa là
đối tượng, cá thể, thể chế.
Khi một cá thể X thâm nhập vào một thể chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng tri
thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành. Cá thể X và hệ
thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân. Thông qua mối quan hệ cá nhân
R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thể chế I.
“Trong didactic, vấn đề trung tâm là vấn đề nghiên cứu mối quan hệ thể chế, các điều
kiện và những hiệu ứng của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân cũng là một vấn
đề của khoa học sư phạm, cơ bản về mặt thực hành nhưng thứ yếu về mặt khoa học
luận3
” [Chevallard (1989), tr 93].
2.2. Tổ chức praxélogic, tổ chức toán học
Theo lý thuyết nhân học trong didactic, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều
nhằm hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó. Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu
nhiệm vụ T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật τ. Công nghệ θ là những
3
Khoa học luận (tiếng Pháp: épistémologie, tiếng Anh: epistemology) nghiên cứu về lịch sử, phương pháp và
nguyên lý của các ngành khoa học. Cộng đồng Pháp ngữ có xu hướng xem khoa học luận là một nhánh của triết
học về các khoa học trong khi cộng đồng Anh ngữ xem khoa học luận là nhận thức luận.

10. 4
gì cho phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật t. Đến lượt mình, công nghệ θ được
giải thích, biện minh bằng lý thuyết Θ.
Bộ bốn phần tử [T/t/θ/Θ] gọi là một praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai từ Hy
Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý lẽ, lập luận). Thật vậy, trong một praxéologie,
khối [T/ t] thuộc về thực hành và khối [θ/Θ] thuộc về lý lẽ, lập luận. Nếu T là một kiểu
nhiệm vụ toán học thì praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức toán học.
Việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O (đối tượng toán
học) có thể thực hiện qua việc phân tích các tổ chức toán học gắn liền với O.
2.3. Hợp đồng didactic
Hợp đồng didactic là sự mô hình hóa của nhà nghiên cứu về quyền lợi và nghĩa vụ
ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với tri thức toán học được giảng dạy, là tập hợp
các quy tắc (thường là ngầm ẩn) phân chia và giới hạn trách nhiệm của giáo viên và
học sinh đối với tri thức toán học này.
Chúng tôi sử dụng hợp đồng dạy học trong nghiên cứu của mình bởi vì hợp đồng dạy
học là một công cụ để nghiên cứu một số sai lầm của học sinh mà nguồn gốc của những
sai lầm đó là do những quan hệ ngầm ẩn giữa các thành phần trong hệ thống dạy học.
Đặc biệt hơn, trong điều kiện có một bộ SGK như nước ta hiện nay thì hợp đồng dạy học
còn có thể cho thấy một phần ảnh hưởng của SGK lên quan niệm của học sinh về đối
tượng tri thức O nào đó.
2.4. Cách đặt vấn đề sinh thái học
Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho phép
sự tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng, cũng như của mối liên hệ giữa chúng, bởi vì
như Chevallard (1989b) đã nói : “[… ] một đối tượng tri thức O không tồn tại độc lập
trong một thể chế mà nó có mối quan hệ tương hỗ và thứ bậc với các đối tượng khác
trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của
nó trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng này hợp thành điều kiện sinh thái cho
cuộc sống của đối tượng tri thức O trong thể chế đang xét.”
Chúng tôi phát biểu lại các vấn đề đặt ra ban đầu bằng thuật ngữ của các công cụ lý
thyết đã lựa chọn như sau:

11. 5
Q1. Kí hiệu chữ trong Đại số phổ thông có những vai trò nào? Đặc trưng của tham
số trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số?
Q2. Tham số gây ra những khó khăn nào khi học sinh giải quyết kiểu nhiệm vụ chứa
tham số trong chủ đề phương trình và hàm số ở bậc THPT?
Q3. Trong chủ đề phương trình và chủ để hàm số ở bậc THPT, môi trường Casyopée
giải quyết được những KNV chứa tham số nào, Casyopée khắc phục những khó khăn nào
của học sinh khi giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường truyền thống?
Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận văn này chủ yếu tìm ra những
khó khăn, chướng ngại4
do tham số gây ra khi học sinh giải một bài toán chứa tham số
trong chủ đề phương trình và hàm số. Những khó khăn, chướng ngại nói chung và
chướng ngại khoa học luận5
nói riêng có thể là một trong các nguyên nhân gây sai lầm6
ở
học sinh. Do đó, để tìm hiểu các khó khăn, chướng ngại đó chúng tôi tiến hành quy trình
như sau:
Tìm hiểu khoa học luận kết hợp với phân tích thể chế, tìm hiểu tính năng phần mềm
Casyopée sử dụng để giải quyết một số KNV chứa tham số phát hiện khó khăn hình
thành giả thuyết, câu hỏi thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết.
Việc tìm hiểu khoa học luận, chúng tôi tham khảo các luận văn, luận án, tài liệu lịch
sử toán học mà tôi hiện có.
Phân tích thể chế chỉ liên quan đến lớp 10 và 12 ở Việt Nam (do chủ đề hàm số và
phương trình lượng giác ở lớp 11 không có các bài tập chứa tham số) nên chúng tôi phân
4
Không phải mọi khó khăn đều được xem là chướng ngại.
“Sai lầm không chỉ đơn giản do thịếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra…, mà còn là một hậu quả một kiến
thức trước đây đã từng có ích, đem lại thành công nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp
nữa. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán được, Chúng tạo thành chướng
ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây
dựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được.” ([2], tr57)
5
Kiến thức sai là cần thịết cho học tập: con đường đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số
kiến thức sai, bởi vì việc ý thức được đăc trưng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của kiến thức mà ta
muốn xây dựng cho học sinh. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chướng ngại khoa học luận,
nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức. ( [2], tr 59 )
6
Học thuyết hành vi coi sai lầm chỉ là phản ánh của sự thịếu hiểu biết hay sự vô ý.
Học thuyết kiến thịết gán cho sai lầm và nhận ra sai lầm một vai trò có tính xây dựng trong hoạt động nhận thức.
Didactic đã liên kết được quan điểm kiến thịết và định đề của phái Bachelar – định đề khẳng định trong lịch sử các
bộ môn khoa học, sai lầm không phải là một sự kiện thứ yếu xảy ra trong một quá trình: nó không nằm ngoài
kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức.” ([2], tr 57)

12. 6
tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 10, 12 hiện hành.
Thực nghiệm, chúng tôi tiến hành ở lớp 10 và 12.
3.Cấu trúc luận văn
Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG
ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG BIỂU THỨC CHỨA
THAM SỐ
Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

13. 7
Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ
TRONG ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM
SỐ
Mục đích chương này nhằm trả lời câu hỏi
Q1. Kí hiệu chữ trong Đại số phổ thông có những vai trò nào? Đặc trưng của tham số
trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số?
1. Điều tra khoa học luận kí hiệu chữ trong Đại số
1.1.Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển kí hiệu trong Đại số7
Theo kết quả nghiên cứu trong luận án Tiến sĩ của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt
lịch sử, đại số ra đời nhằm giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công
cụ giải các bài toán thuộc các lĩnh vực khác. Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại
sự phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba Giai đoạn:
“Giai đoạn 1: “Hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng
ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho
việc biểu thị các biến số. Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không
dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả.
Giai đoạn 2: “Rút âm từ” (từ thời Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã
đưa vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng
một số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử dụng
thường xuyên hơn.
Giai đoạn 3: “Đại số ký hiệu” (từ thời F.Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử
dụng để chỉ các đại lượng: do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử dụng đại
số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” ([18], tr.5).
“Trong chỉ thảo thư Rinda cổ Ai Cập (khoảng 2000 năm trước CN), trong đó đại
lượng chưa biết được gọi bằng một từ có nghĩa là “ một đống, một mớ” và được kí hiệu
bằng một chữ hình tượng tương ứng. Người Ai Cập cổ xưa trình bài cả đề bài và lời giải
7
Đại số là một trong các nhánh lâu đời của Toán học. Hiện nay lĩnh vực Đại số rất rộng lớn. Ở đây, chúng
tôi chỉ đề cập đến Đại số phổ thông

14. 8
của bài toán bằng lời và chỉ cho những thí dụ cụ thể bằng số.
Các nhà nhà toán học phương Đông thời trung cổ trình bày tất cả các phép toán bằng
lời. Sự tiến bộ sau này của Đại số bắt đầu có được chỉ sau khi kí hiệu thuận tiện được sử
dụng phổ cập để biểu thị các phép toán. Quá trình tiến bộ đó diễn ra rất chậm chạp và
quanh co.” ([24], tr 243-244)
Diophante đã dùng i ( chữ cái đứng đầu từ Hi Lạp ϊδus (izos) có nghĩa là “ bằng
nhau”) để chỉ sự bằng nhau. Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu
sau: s’ để chỉ ẩn số, δ v
−
chỉ bình phương của ẩn số, xv
−
chỉ lập phương của ẩn số. Bên
phải ẩn số hay lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x5
được viết là xδ v
−
β
(trong đó β =2). Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu
gạch ngang trên đầu, chẳng hạn α =1, β =2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa
biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn dần
thành x.
Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ
bình phương, chẳng hạn 3x2
+ 10x. Theo cách viết của BrakhmaguPTa (thế kỉ thứ 7) có
dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương).
Đến thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L.Pacioli dùng kí hiệu
p (là chữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu m (là chữ
đầu của minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ.
Vào cuối thế kỉ 15, trong một số sách toán đã xuất hiện dấu + và -, và cho biết thêm
rằng các dấu đó đã được sử dụng từ lâu trong thực tiễn thương mại để biểu thị thừa và
thiếu trọng lượng. Các dấu còn lại (lũy thừa, căn, dấu ngoặc,…) được nhanh chóng đưa
vào và được mọi người thừa nhận.
Trước cải cách của F.Viète, trong đại số và số học gần như không có quy tắc chung,
người ta chỉ xét những ví dụ bằng số. Một giáo trình Toán sơ cấp thời đó rất khó, vì
người ta cho rất nhiều quy tắc riêng thay vì một quy tắc chung.
Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu toán học là việc F.Viète
(1591) là người đầu tiên bắt đầu viết các bài tập của mình dưới dạng tổng quát, bằng
cách kí hiệu các đại lượng chưa biết bằng nguyên âm a, e, i,…, và những đại lượng đã

15. 9
biết bằng phụ âm b, c, d,…, rồi nối lại bằng những dấu phép toán của thời ấy. Như vậy,
lần đầu tiên xuất hiện những công thức chữ rất đặc trưng cho Đại số. Điều đó phép viết
các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng. Để chỉ các ẩn số Vìète
dùng các nguyên âm a, e…
Nhà bác học Pháp R. Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như hiện
nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và các đại
lượng đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng a2
, a3
…Các
kí hiệu của R.Descartes có ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đó nhanh chóng
được thừa nhận rộng rãi.
Đến giữa thế kỉ 17, sự phát triển kí hiệu trong đại số đến cơ bản đã hoàn thành. Sử
dụng chữ không chỉ biểu thị ẩn mà còn biểu thị tất cả những đại lượng.
Sự diễn đạt trong đại số trong Đại số đã xảy ra sự chuyển biến:
bằng lời viết tắt các từ đưa ra các kí hiệu hoàn thiện các kí hiệu
Sự phát triển của Đại số kí hiệu, đặc biệt là kí hiệu chữ và các phép toán trên những
kí hiệu đó đã thúc đẩy sự ra đời quan điểm coi đại lượng toán học là đại lượng biến thiên
( thế kỉ 16-17), trong đó biến thiên liên tục của một đại lượng nào đó thường tương ứng
với sự biến thiên liên tục của một đại lượng khác, là hàm của nó, đó là nét đặc trưng của
giải tích toán học. Vậy, sự phát triển kí hiệu nói chung và kí hiệu chữ nói riêng và đưa
vào sử dụng kí hiệu ấy đã thúc đẩy sự phát triển các lĩnh vực mới của toán học, đặc biệt
là sự chuẩn bị ra đời của Giải tích.
“Việc đưa vào kí hiệu và thực hiện các phép toán trên chữ thay thế cho bất kì những
số cụ thể nào có ý nghĩa cực kì quan trọng. Không có công cụ đó- ngôn ngữ các công
thức-không thể có được sự phát triển của toán học.”([24], tr 245).
1.2. Vai trò của chữ trong Đại số
Theo Booth (1984), Kieran (1991), “ […] Trong số học chữ dùng để chỉ các đơn vị
đo hay chỉ các sự vật. Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g. Khi chuyển sang đại số
các chữ dùng để chỉ các số, và biểu thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một
số.”(dẫn theo Nguyễn Ái Quốc, 2006)
Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó ông phân
biệt:

16. 10
“ - Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số
- Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán
- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn
- Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm
- Chữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị
- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” ([18], tr.6).
Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002), “ Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa của
các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng: Trong số học, các chữ đã hiện diện,
chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12
mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m được dùng như một nhãn hiệu). Việc chuyển sang đại số
kéo theo một sự mở rộng về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng
sẽ có nghĩa là 12 lần số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đó chúng được đưa vào để
tính toán […]
Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ không bị
rút gọn vào ý nghĩa nhãn hiệu. Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này không hề được
làm rõ, hơn thế nữa nó được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết cũng như bởi các
phương tiện tranh luận thông thường kiểu như: để làm cho học sinh hiểu rằng
2 3 5x x x+ = người ta gợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những quả táo, điều này
càng củng cố thêm cách hiểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu. Vì vậy, bước chuyển từ
quan niệm này sang quan niệm khác có thể hình thành một chướng ngại quan trọng đối
với học sinh.” ([8], tr 11)
Theo Phan Thị Hằng (2002), “Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong
phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò
như một chữ số của một số có nhiều chữ số .v.v. Chính sự phức tạp này có thể gây nên
những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong đó có sự
tham gia của các kí hiệu chữ.” ([8], tr 61) .
Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi rút ra một số đặc trưng của kí hiệu chữ
trong Đại số như sau:
- Kí hiệu chữ giữ nhiều vai trò khác nhau: chữ là một nhãn, chữ được gán giá trị, chữ
chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số…

17. 11
- Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ rất đa dạng và phụ thuộc vào ngữ cảnh sử dụng.
- Về mặt lịch sử, kí hiệu chữ dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó dùng
để biểu thị một tập hợp các giá trị.
- Trong dạy học đại số, dùng kí hiệu chữ biểu thị ẩn số xuất hiện trước khi dùng kí
hiệu chữ biểu thị biến số.
- Bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác trên cùng một kí hiệu chữ có
thể hình thành chướng ngại đối với học sinh.
- Về mặt khoa học luận, việc chuyển từ quan niệm đại lượng không đổi  quan niệm
đại lượng biến thiên là một chướng ngại.
Tiếp theo chúng tôi sẽ hiểu xem tham số được hiểu như thế nào?
2.Điều tra khoa học luận về tham số, phương trình chứa tham số
2.1.Tham số
Trong chương trình toán phổ thông, có hai loại tham số:
Tham số trong phương trình chứa tham số, nó có bản chất là hằng số bất kì cho trước
hay tham số có bản chất là “số cố định tạm thời”. Sự thay đổi của tham số làm biến đổi
đến sự tồn tại và giá trị nghiệm của phương trình.
Tham số trong phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, Elips, mặt
phẳng… . Nó có bản chất là biến trung gian. Sự thay đổi tham số dẫn tới sự thay đổi tọa
độ của điểm, có sự tương ứng một một giữa tọa độ điểm với giá trị tham số. Tham số
thay đổi nhưng điểm vẫn thuộc đường,mặt…
Ở đây chúng tôi nghiên cứu tham số theo quan điểm thứ nhất.
Tham số (tham biến hay thông số) là một khái niệm“paramathématique8
” : có tên
nhưng chưa được định nghĩa chính xác về mặt toán học.
Sau đây là một số mô tả về tham số:
Trong cuốn Dictionnaire des mathématiques đã viết: “Tham số (danh từ) là thuật ngữ
8
“Chevallard (1985) phân biệt ba loại khái niệm toán học: khái niệm toán học (notion mathématique) là khái
niệm có tên, có định nghĩa; khái niệm cận toán học (notion paramathématique) là khái niệm có tên nhưng không
được định nghĩa); khái niệm tiền toán học (notion protomathématique) là khái niệm không có tên, không có định
nghĩa nhưng được dùng một cách ngầm ẩn. ([2], tr 59)

18. 12
không được định nghĩa rõ ràng, được sử dụng ngược với ẩn số, để chỉ các hệ số hay các
đại lượng nào đó mà người ta muốn biểu đạt một mệnh đề hay các nghiệm của một hệ
phương trình theo chúng.” ([7], tr 5).
Theo X.M.Nikolxki (2002), “ Tham số là đại lượng mà giá trị của nó dùng để phân
biệt các phần tử của một tập hợp nào đó.
Thí dụ: Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc, tập hợp các đường tròn bán kính 1 trên
mặt phẳng Oxy được xác định bởi PT 2 2
( ) ( ) 1x a y b− + − =.
Lấy a = 3, b = 4 chẳng hạn, ta tách ra được từ tập hợp đó một đường tròn hoàn toàn xác
định có tâm (3;4), do đó a, b là các tham số của đường tròn trong tập hợp được xét”.([25,
tr139])
Theo Nguyễn Bá Kim (1994), “[…] trong dạng phương trình ax b= thì các biến ,a b
có vai trò khác về căn bản so với biến x . Biến x là biến cần được biểu thị qua các biến
còn lại, còn các biến dùng để biểu thị dạng của phương trình nên còn gọi là biến chỉ dạng
hay tham biến”. ([10], tr 63-64)
Trong các cách trình bày trong các tài liệu trên cho ta thấy không có tiêu chí thống
nhất về tham số.
- Tham số có chức năng xác định các phần tử của tập hợp.
- Tham số được xem là hằng số tùy ý hay là số cố định tạm thời. Như vậy, tham số
vừa có tính cố định (hằng số) vừa có tính tự do (tùy ý). Chúng tôi gọi đó là “tính chất
kép: cố định- tự do” của tham số
- Phân biệt tham số với biến số và ẩn số có thể dựa vào:
o Quy ước phô bày kí hiệu chữ (x, y, ..là ẩn, m, n.. là tham số)
o Ngữ nghĩa
o Quy ước phô bài kết hợp với ngữ nghĩa.
Trong thể chế Việt Nam, do tham số là một khái niệm “paramathématique” nên
không là đối tượng nghiên cứu của toán học. Để hiểu rõ hơn bản chất của tham số, ta có
thể nghiên cứu những đối tượng mà trong đó tham số xuất hiện thường xuyên. Đối tượng
được xem là mảnh đất thuật lợi cho tham số xuất hiện là phương trình, hàm số. Tiếp
theo, ta tìm hiểu tham số trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức
chứa tham số.

19. 13
2.2.Khái niệm phương trình
Trong nhà trường phổ thông, khái niệm phương trình được nhìn ở cả hai phương
diện: phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa.
a. Phương diện cú pháp
Theo quan điểm“cú pháp”, phương trình được xem như một dãy kí hiệu có một
dạng nhất định, và từ đó có khả năng nghiên cứu được cấu trúc của dãy kí hiệu trừu
xuất khỏi những nội dung cụ thể.
“Phương trình là hai biểu thức nối với nhau bởi dấu = ; trong các biểu thức đó có
một hoặc nhiều biến, gọi là ẩn.” ( [24], tr.295.)
Theo Dương Quốc Việt (2007), “Ta kí hiệu 1( ,... ).nx x x= Khi đó biểu thức
1( ,..., )nf x x được viết gọn là ( )f x . Hai biểu thức toán học chứa biến x được nối với nhau
bởi dấu bằng, ( ) ( )f x g x= , được gọi là một phương trình”. ([20], tr 144)
b. Phương diện ngữ nghĩa
Khái niệm phương trình còn có thể được hiểu theo phương diện“ngữ nghĩa”.
Phương diện này coi phương trình như một hàm mệnh đề.
Ví dụ: “Giả sử cho y = f(x) và y = g(x) là các hàm số mà giáo hai miền xác định của
chúng là M. Ta gọi hàm mệnh đề “Số trị của f(x) và g(x) bằng nhau” xác định trên M là
một phương trình và kí hiệu là f(x) = g(x). Tập M được gọi là miền xác định của phương
trình đó.” ( [10], tr 61)
Cần chú ý rằng, nếu triệt để tuân theo quan điểm cú pháp thì không thể nói phương
trình là một hàm mệnh đề mà chỉ có thể nói phương trình biểu thị một hàm mệnh đề.
2.3. Phương trình chứa tham số
Đầu tiên, ta tìm hiểu xem phương trình tham số được hình thành như thế nào trong
lịch sử?
“Vào thế kỷ 16, F.Viète (1540-1603) tìm ra phương pháp tổng quát để biểu diễn
nghiệm của một họ phương trình mà ông gọi là phương pháp tham số hóa. Ví dụ dưới
đây của Vandebrouck không chỉ minh họa cho phương pháp của F.Viète mà còn nêu lên
vấn đề đưa khái niệm tham số vào trường trung học phổ thông.

20. 14
Mỗi phương trình dưới đây có bao nhiêu nghiệm thực?
x2
= 2x + 1 (1)
x2
= 2x – 2 (2)
x2
=2x – 1 (3)

21. 15
Xét các hàm số f, g1, g-2, g-1 xác định bởi f(x) = x2
,g1(x)=2x+1 ,
g-2(x) = 2x – 2 và g-1(x) = 2x – 1. Đồ thị của f, g1, g-2 và g-1 lần lượt là parabol (P)
và các đường thẳng d1, d2, d3. Nghiệm của mỗi phương trình (1), (2), (3) tương ứng là
hoành độ giao điểm của (P) với d1, d2, d3.
Do đó, số nghiệm của mỗi phương trình cũng là số giao điểm của (P) và các đường
thẳng d1, d2, d3.
Dựa vào đồ thị ta thấy: (P) cắt d1 nên (1) có hai nghiệm phân biệt; (P) không có
điểm chung với d2 nên (2) vô nghiệm; (P) tiếp xúc với d3 nên (3) có nghiệm kép.
Việc giải ba phương trình trên đưa chúng ta đến phương trình tham số hóa tổng quát
2
2x x a= + với a là một số thực cho trước bất kỳ. Ba phương trình đã xét tương ứng với
ba trường hợp đặc biệt là a=1, a=-2 và a=-1
Như vậy, về mặt khoa học luận, phương trình chứa tham số là sự tổng quát hóa (hay
tham số hóa – theo cách gọi của F.Viète) một họ những phương trình cụ thể mà việc
giải và biện luận phương trình chứa tham số này cho phép suy ra nghiệm của
những phương trình cụ thể đang xét bằng cách gán cho tham số những giá trị tương
ứng. Theo nghĩa đó, tham số là một hằng số cho trước có thể nhận những giá trị tùy ý
thuộc một tập E ⊂  cho trước.” ([13],tr 6).
Tiếp theo, ta tìm hiểu khái niệm phương trình chứa tham số được trình bày như thế
nào trong một số giáo trình Đại học?
Theo Nguyễn Bá Kim (1994), khái niệm phương trình chứa tham số (hay tham biến)
được hiểu thông qua việc chỉ ra các đặc trưng của phương trình nhiều biến như sau :
“Một phương trình nhiều biến có thể được xét dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng
hạn :
–Tìm tất cả các bộ số là nghiệm của phương trình đó.
–Dùng như một công thức để biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại lượng, ví dụ
như S = vt. Khi ấy, vấn đề không phải ở chỗ tìm những bộ ba số thỏa mãn phương
trình trên mà là ở chỗ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và
thời gian trong chuyển động đều.
Dùng để đặc trưng cho một dạng phương trình nhất định. Các phương trình2 3x = ;

22. 16
0,4 2y = ;
1
0,15
2
t = ;
3 4
2 6
a = đều có cùng một dạng ax b= . Vấn đề ở đây không phải
là tìm những bộ ba số thỏa mãn phương trình này. Trong khi ở hai trường hợp đầu,
vai trò của các biến là bình đẳng thì trong trường hợp thứ ba này các biến a, b có vai trò
khác về căn bản so với biến x. Biến x là biến cần được biểu thị qua các biến còn lại,
còn các biến a, b dùng để biểu thị dạng của phương trình nên còn gọi là biến chỉ dạng
hay tham biến. Phương trình nhiều biến nếu được nhìn dưới góc độ như thế thì sẽ bao
gồm được tất cả các phương trình có cùng một dạng. Dưới góc độ đó, phương trình
nhiều biến được gọi là dạng phương trình hay phương trình có chứa tham biến. [...]
Phương trình ax = b được gọi là phương trình một ẩn có chứa hai tham biến a và
b. [...] Ta cần hiểu rằng đây là một phương trình có 3 biến, trong đó có sự phân biệt giữa
hai loại biến: x là biến cần biểu thị qua các biến còn lại, còn a và b là các biến chỉ
dạng phương trình. Thực chất của phương trình có tham biến là như vậy. Khi giải một
phương trình chứa tham biến, các tham biến được xem như đại diện cho những số đã
biết và ta phải biểu thị nghiệm qua các tham biến đó.” ([10], tr 63-64).
Trong một số tài liệu, ví dụ như Đại số sơ cấp của Hoàng Kì (2001), phương trình
chứa tham số còn được mô tả như sau: “Phương trình f(x, a, b,...., c) = 0 với ẩn số
x∈Cn và các tham số a, b, ..., c được gọi là phương trình chứa tham số. Khi có một hệ
thống giá trị thừa nhận được của tham số, phương trình trở thành phương trình cụ thể :
f(x, α , β , ..., γ ) = 0 với ẩn số x∈Cn và không chứa tham số nữa, và tập nghiệm của nó
hoàn toàn xác định (có thể rỗng). Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả
các nghiệm của nó với mỗi hệ thống giá trị thừa nhận được của tham số.” ([12], tr94-
95)
3.Hàm số
Hàm số có ba đặc trưng cở bản: tương ứng, phụ thuộc và biến thiên.
Ta xét định nghĩa hàm số trong Từ điển toán học – Bản dịch tiếng Việt của Hoàng
Hữu Như và Lê Đình Thịnh – NXB khoa học và kĩ thuật, 1977, tr 238 như sau:
“Phần tử của một tập hợp Ey (bản chất bất kì) được gọi là hàm của phần tử x xác định
trên một tập hợp Ex (bản chất bất kì), nếu mỗi phần tử x của tập hợp Ex được đặt tương

23. 17
ứng với một phần tử duy nhất y ∈ Ey. Phần tử x được gọi là biến độc lập hay đối số [….]
Tùy theo bản chất các tập hợp Ex và Ey ta có các loại hàm khác nhau. Nếu Ex và Ey
là những tập hợp số thực nào đó, nghĩa là x và y nhận các giá trị là những số thực, thì ta
có hàm số biến số thực hay đơn giản là hàm số. […] ”
Hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số
Theo Hoàng Kì (2002), Đại số sơ cấp, tr 94, “Cho hàm số f(x), ngoài các đối số ra
còn có các chữ a, b, c… Nếu trong việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, c….
như là đã biết thì chúng gọi là tham số, hay thông số hay tham biến”
4.Kết luận chương 1
Chúng tôi tổng hợp lại các kết quả đã nghiên cứu được ở chương 1.
- Sự diễn đạt trong Đại số đã xảy ra sự chuyển biến:
bằng lời  viết tắt các từ đưa ra các kí hiệu hoàn thiện các kí hiệu
- Kí hiệu chữ giữ nhiều vai trò khác nhau: Chữ được gán giá trị, chữ là một nhãn, chữ
chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số …
- Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ rất đa dạng và phụ thuộc vào ngữ cảnh sử dụng.
- Về mặt lịch sử, kí hiệu chữ dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó dùng để
biểu thị một tập hợp các giá trị.
- Trong dạy học đại số, dùng kí hiệu chữ biểu thị ẩn số xuất hiện trước khi dùng kí hiệu
chữ biểu thị biến số.
- Bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác trên cùng một kí hiệu chữ có thể
hình thành chướng ngại đối với học sinh.
- Về mặt khoa học luận, việc chuyển từ quan niệm đại lượng không đổi  quan niệm đại
lượng biến thiên là một chướng ngại.
- Tham số trong phương trình chứa tham số và tham số trong hàm số cho bằng biểu thức
chứa tham số đều có bản chất là hằng số nhưng là những số tùy ý (số cố định tạm
thời), đôi khi hạn chế trong những giới hạn nhất định. Như vậy, tham số có tính chất
kép:cố định-tự do.
- Tham số trong phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, Elips, mặt

24. 18
phẳng… Nó có bản chất là biến trung gian.
- Về mặt khoa học luận, phương trình chứa tham số là sự tổng quát hóa (hay tham số
hóa – theo cách gọi của F.Viète) một họ những phương trình cụ thể.
Khái niệm tham số và phương trình chứa tham số chuyển hóa vào SGK THPT của
Việt Nam như thế nào? Mục đích và vai trò của nó? Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ
phụ thuộc ngữ cảnh sử dụng có gây những khó khăn gì cho học sinh khi giải quyết KNV
có chứa tham số ở chủ đề phương trình và hàm số ở bậc THPT? Để trả lời cho câu hỏi
đó, chúng tôi tiến hành phân tích SKG Đại số 10 nâng cao và SGK Giải tích 12 nâng cao
trong chương trình hiện hành.

25. 19
Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI
TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG
BIỂU THỨC CHỨA THAM SỐ
Mục đích chương này nhằm trả lời câu hỏi
Q2. Tham số gây ra những khó khăn nào khi học sinh giải quyết kiểu nhiệm vụ chứa
tham số trong chủ đề phương trình và hàm số ở bậc THPT?
Q3. Trong chủ đề phương trình và chủ để hàm số ở bậc THPT, môi trường Casyopée
giải quyết được những KNV chứa tham số nào, Casyopée khắc phục những khó khăn
nào của học sinh khi giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường truyền thống?
Tham số và phương trình chứa tham trong SGK
Trong bài Đại cương về phương trình ở chương 3 của SGK ĐS 10 NC, sau khi nêu
khái niệm phương trình một ẩn, phương trình tương đương, phương trình hệ quả, phương
trình nhiều ẩn, tiếp theo SGK mô tả phương trình tham số ở trang 71 như sau:
“Chúng ta còn xét cả những phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những
chữ khác. Các chữ này được xem là những số đã biết và được gọi là tham số.
Chẳng hạn, phương trình m(x + 2) = 3mx – 1 (với ẩn x) là một phương trình chứa
tham số m.
H4 Tìm tập nghiệm của phương trình mx + 2 = 1 – m (với m là tham số) trong mỗi
trường hợp:
a) m = 0; b) m ≠ 0.
Rõ ràng nghiệm và tập nghiệm của một phương trình chứa tham số phụ thuộc vào
tham số đó. Khi giải phương trình chứa tham số, ta phải chỉ ra tập nghiệm của phương
trình tùy theo các giá trị có thể của tham số. Để nhấn mạnh ý đó, khi giải phương trình
chứa tham số, ta thường nói là giải và biện luận phương trình.”
Nói rõ hơn, biện luận chính là quá trình lập luận về số nghiệm của phương trình
theo giá trị nhận được của tham số. Phần lớn các bài toán biện luận đều liên quan chặt
chẽ đến việc phân chia các trường hợp riêng đối với tham số. Từ đó dẫn đến sự phân
lớp các tập nghiệm, nghĩa là ứng với trường hợp này của tham số thì ta có tập nghiệm

26. 20
này và ứng với trường hợp kia ta lại có tập nghiệm kia …
Mục đích của việc đưa phương trình chứa tham số vào sách Đại số 10 nâng cao
là gì?
Để trả lời câu hỏi đó, ta xem mở đầu chương 3 Phương trình và hệ phương trình
SGK Đại số 10 nâng cao trang 65 đã nêu: “Từ thuở xa xưa, trong lịch sử phát triển
của toán học, phương trình đã là vấn đề trung tâm của đại số học. Trong Đại số 10 nâng
cao, các vấn đề về phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai cũng là một nội
dung trọng tâm của chương trình. Chúng được trình bày chính xác hơn, đầy đủ hơn,
hệ thống hơn so với lớp dưới. Trong đó, điều đáng lưu ý và tương đối khó là vấn đề
giải và biện luận phương trình. Bởi vậy, chương này đồi hỏi những kỹ năng thành thạo
trong việc giải các phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai trên cơ sở các
phương pháp cơ bản mà sách giáo khoa đã cung cấp”. Điều đó cho chúng tôi thấy SGK
không nhằm làm rõ đến mối liên hệ khoa học luận giữa đặc điểm của tham số và sự ra
đời của phương trình chứa tham số như F. Viète (1540-1603). Theo các tác giả SGK,
phương trình chứa tham số là một chủ đề “đáng lưu ý và tương đối khó”, được đưa
vào giảng dạy ở lớp 10 nhằm “trình bày chính xác hơn, đầy đủ hơn, hệ thống hơn so
với lớp dưới” các vấn đề về phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai. Vậy
cái “ tương đối khó” ở đây là sự xuất hiện của chữ có vai trò khác với ẩn số gọi là tham
số. Tiếp theo, tham số đưa vào hàm số như thế nào?
1. Hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số trong SGK
Trong SGK không có giải thích nào dành cho hàm số cho bằng biểu thức chứa tham
số. Điều đó cho thấy, cách hiểu về tham số trong hàm số cho bằng biểu thức chứa tham
số dựa theo cách hiểu về tham số trong phương trình chứa tham số.
Việc dùng kí hiệu chữ thể hiện vai trò ẩn số, biến số đã được học sinh tiếp cận từ lâu,
nhưng khi xuất hiện thêm một kí hiệu chữ khác xuất hiện trong cùng một phương trình,
một hàm số nhưng đóng vai trò khác (tham số) buộc học sinh có sự phân biệt vai trò của
các kí hiệu chữ và đồng thời theo dõi sự chuyển đổi vai trò của kí hiệu chữ khi giải toán.
Điều đó ích nhiều sẽ gây khó khăn cho học sinh. Khó khăn của học sinh có thể có nguồn
gốc khoa học luận, cũng có thể do sự chuyển đổi didactic gây ra. Khó khăn này thường
được thể hiện qua các sai lầm của học sinh.
Những khó khăn do tính chất kép: cố định – tự của tham số và chuyển đổi vai trò kí

27. 21
hiệu chữ gây ra (có nguồn gốc khoa học luận) đã được chúng tôi nghiên cứu ở chương 1.
Để tìm hiểu những khó khăn do sự chuyển đổi didactic gây ra, chúng tôi tiến hành phân
tích thể chế dạy học toán nâng cao lớp 10 và lớp 12. Một trong những phương pháp tìm
hiểu mối quan hệ thể chế với đối tượng phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng
biểu thức chứa tham số là phân tích các tổ chức toán học liên quan tới hai đối tượng đã
nói trên.
Cần nhấn mạnh rằng, mục tiêu của luận văn là không đi sâu vào phân tích kĩ thuật,
công nghệ của các KNV có chứa tham số trong chủ phương trình và hàm số ở bậc THPT.
Vả lại, điều này đã được nhiều tác giả phân tích khá kĩ. Chúng tôi kế thừa một số kết quả
đó. Mục tiêu luận văn này là chúng tôi phân tích TCTH nhằm làm rõ những khó khăn,
chướng ngại của học sinh do tính chất kép của tham số và sự chuyển đổi ý nghĩa và vai
trò kí hiệu chữ gây ra khi giải quyết các KNV có chứa tham số ở chủ đề phương trình, và
chủ đề hàm số. Song song với việc phân tích các tổ chức toán học chúng tôi tìm hiểu kĩ
thuật giải quyết các KNV trong môi trường Casyopée. Casyopée sẽ giúp học sinh hiểu
được tính chất kép của tham số như thế nào? Nó sẽ giúp học sinh khắc phục những sai
lầm nào?
2.Các tổ chức toán học liên quan đến phương trình chứa tham số
và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số
Chúng tôi đã khảo sát các kiểu nhiệm vụ chứa tham số trong chủ đề phương trình,
hàm số có mặt trong sách Đại số 10 nâng cao và sách Bài tập Đại số 10 nâng cao, Giải
tích 12 nâng cao và sách Bài tập Giải tích 12 nâng bao gồm các KNV sau:
T1:“Giải và biện luận” bao gồm :
T1
1
: “Giải và biện luận phương trình chứa tham số”.
T1
2
: “Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số”.
T1
3
: “Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường”.
T2: “Tìm các giá trị tham số” thỏa một điều kiện cho trước bao gồm:
T2
1
: “Tìm các trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước”.
T2
2
: “Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C): y = f(x) cắt đường thẳng
(d): y = g(x,m) tại n (n = 0, 1, 2,3,4 ) điểm thỏa mãn điều kiện cho trước”.

28. 22
T2
3
: “Tìm các giá trị tham số để hàm số y = f(x,m) đơn điệu trên một tập cho trước”.
T2
4
: “Tìm các giá trị tham số để hàm số y = f(x,m) đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x0”.
T2
5
: “Tìm các giá trị tham số để hàm số y = f(x,m) có n cực trị ( n = 0,1,2,3)”.
T2
6
: “Tìm các giá trị tham số để đồ thị hai hàm số tiếp xúc với nhau”.
Tương ứng với các KNV T2 là KNV T3 “chứng minh”
T3:“Chứng minh”
T3
1
: “Chứng minh rằng phương trình chứa tham số có nghiệm thỏa mãn điều kiện
nào đó với các giá trị của tham số”.
T3
2
: “Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C): y = f(x) cắt đường thẳng (d): y = g(x, m)
tại n (n = 0, 1, 2,…) điểm thỏa mãn điều kiện cho trước nào đó với các giá trị của
tham số m”.
T3
3
: “Chứng minh rằng hàm số y = f(x,m) đơn điệu trên một tập cho trước thỏa mãn
điều kiện nào đó với các giá trị của tham số”.
T3
4
: “Chứng minh rằng hàm số y = f(x,m) đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x0 thỏa mãn
điều kiện nào đó với các giá trị của tham số”.
T3
5
: “Chứng minh rằng hàm số y = f(x,m) có n cực trị ( n = 0,1,2,3) thỏa mãn điều
kiện nào đó với các giá trị của tham số”.
T3
6
: “Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số tiếp xúc với nhau thỏa mãn điều kiện nào
đó với các giá trị của tham số”.
T4: “Xác định các yếu tố cố định của họ đường cong”
T5: “Xác định quỹ tích điểm”
Tiếp theo chúng tôi phân tích cụ thể một số KNV đã nêu ở trên như sau:
2.1. Các KNV T1 “ Giải và biện luận”
KNV T1
1
: “Giải và biện luận phương trình chứa tham số”
Việc giải và biện luận phương trình chứa tham số được bắt đầu từ bài Phương trình
bậc nhất và bậc hai một ẩn trong sách Đại số 10 nâng cao với lời giới thiệu tường
minh: “Trong bài này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải và biện luận các phương trình

29. 23
bậc nhất và bậc hai có chứa tham số.” Xem như học sinh đã biết cách giải phương
trình bậc nhất và bậc hai ở các lớp dưới, phần bài học trình bày ngay kết quả giải và
biện luận các phương trình dạng ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0 trong hai bảng sau:
Bảng 1. Kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
1) a = 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất
b
x
a
= −
2) a = 0 và b = 0: Phương trình vô nghiệm.
3) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x∈
Tiếp sau đó SGK có một ví dụ như sau:
Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m
2
2 2 (1)m x x m+ = + .
Giải: Ta biến đổi tương đương
2
2
(1) 2 2
( 1) 2( 1),(1 )
m x x m
m x m a
⇔ − = −
⇔ − = −
Xét các trường hợp sau đây:
1) Khi m ≠ -1 và m ≠ 1, ta có m2
-1 = 0 nên (1a) có nghiệm 2
2( 1) 2
1 1
m
x
m m
−
= =
− +
Đó là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho;
2) Khi m = 1, phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình này nghiệm đúng với
mọi x∈ phương trình cũng nghiệm đúng với mọi x∈ ;
3) Khi m = -1, phương trình (1a) trở thành 0x = -4; phương trình này vô nghiệm nên
phương trình (1) cũng vô nghiệm.
Kết luận:
1:m ≠ ± (1) có nghiệm
2
1
x
m
=
+
( tập nghiệm là
2
1
S
m
 
=  
+ 
);
1m = − : (1) vô nghiệm (tập nghiệm S = ∅);
1m = : (1) nghiệm đúng với mọi x∈ ( tập nghiệm S =  ).
Tiếp theo, SKG trình bày kết quả giải và biện luận phương trình dạng
2
0ax bx c+ + = được nêu trong bảng sau:

30. 24
Bảng 2: Kết quả giải và biện luận phương trình dạng 2
0ax bx c+ + =
0a = : Trở về giải và biện luận PT 0bx c+ =
0:a ≠
0∆ > : phương trình có hai nghiệm (phân biệt)
2
b
x
a
− + ∆
= và
2
b
x
a
− − ∆
=
0:∆ = Phương trình có một nghiệm (kép)
2
b
x
a
−
=
0:∆ < Phương trình vô nghiệm.
Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau:
Bước 1: Tạo tham số m và lập hàm số 2
( ) ( 1) 2( 1)f x m x m= − − − .
Bước 2: Thực hiện lệnh giải PT ( ) 0f x = và trên NotePad sẽ hiện ra nghiệm
2
1
x
m
=
+
.
Bước 3: Bấm vào hàm f thì phần mềm sẽ tự động minh họa đồ thị của hàm số. Khi đó
ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị sẽ thay đổi theo như sau:
- Khi thay đổi giá trị tham số đến giá trị m=1 thì đồ thị trùng trục hoành, nên PT có
vô số nghiệm.
- Khi thay đổi giá trị tham số đến giá trị m=-1 thì đồ song song với trục hoành, nên PT
vô nghiệm.
- Các giá trị tham số còn lại thì đồ thị luôn cắt trục hoành tại một điểm nên PT có
nghiệm duy nhất
2
1
x
m
=
+
được thể hiện trên NotePad.
Minh họa trường hợp PT có nghiệm duy nhất trong Casyopée như sau:

31. 25
Nhận xét:
Phần định lượng (tìm nghiệm PT): Casyopée cho phép tìm nghiệm của PT là
2
1
x
m
=
+
và nghiệm đó được thể hiện trên NotePad.
Phần định tính (biện luận): Khi cho tham số m thay đổi giá trị bằng thanh trượt thì
trên NotePad vẫn luôn thể hiện nghiệm PT là
2
1
x
m
=
+
kể cả khi 1; 1m m= = − . Điều đó
cho thấy Casyopée không thực hiện biện luận trực tiếp PT bằng kĩ thuật “ Đại số” mà
phải nhờ kĩ thuật “ Hình học”. Biện luận PT bằng kĩ thuật “Hình học” dựa vào công
nghệ sau: “Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số f và g là nghiệm PT: ( ) ( )f x g x= . Đặc
biệt, hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f với trục ox là nghiệm PT ( ) 0f x = . Vậy, số
ngiệm PT ( ) ( )f x g x= bằng số giao điểm hai đồ thị của hàm số f và g, số ngiệm
PT ( ) 0f x = bằng số giao điểm đồ thị của hàm số f với trục ox.” Nhờ công nghệ đó mà
học sinh chuyển bài toán biện luận trong phạm vi9
ĐS trong MT truyền thống (biện luận
9
Theo Douady (1986), phạm vi (cadre) được tạo thành từ các đối tượng của một ngành toán học, những mối liên hệ giữa
chúng, cách trình bày chúng, cách suy nghĩ, cách lập luận, cách hành động trên chúng. Đối với toán học, ta có phạm vi hình
học, phạm vi số học, phạm vi đại số, phạm vi giải tích, …
Hai phạm vi có thể có một số đối tượng như nhau nhưng khác nhau ở sự kết hợp giữa các đối tượng ấy, ở mối liên hệ giữa
chúng và ở cách thức hành động, lập luận trên các đối tượng.( dẫn theo Nguyễn Nhật Phương 2012)

32. 26
số nghiệm PT theo tham số) sang phạm vi HH (biện luận số giao điểm hai đường) trong
MT Casyopée. Quá trình này luôn gắn liền với sự chuyển đổi cách biểu thị ĐS trong MT
trường truyền thống sang cách biểu thị HH trong MT Casyopée. Để trình bày kết quả
biện luận trong phạm vi ĐS ở MT truyền thống, học sinh phải chuyển đổi từ phạm vi và
cách biểu thị HH trong MT Casyopée sang phạm vi và cách biểu thị ĐS trongMT truyền
thống.
Qua phân tích kĩ thuật giải bài toán trên trong môi trường Casyopée cho phép học
sinh hiểu rõ tính chất kép: cố định-tự do của tham số khi cho tham số thay đổi giá trị,
tương ứng đồ thị của hàm số và giao điểm cũng thay đổi. Khi chuyển đổi phạm vi và
cách biểu thị từ ĐS sang HH và ngược lại để giải, giúp học sinh hiểu rõ mối qua hệ HH
và ĐS trong một bài toán biện luận. Điều đó đã làm giảm bớt sự ngắt quãng giữa hàm số
và phương trình nói riêng, giữa “Đại số” và “Hình học” nói chung. Đây ưu điểm của
Casyopée. Nó đã khắc phục khó khăn việc hiểu tính chất kép của tham số, khắc phục khó
khăn do sự ngắt quãng giữa hàm số và phương trình trong bài toán biện luận PT theo
tham số trong MT truyền thống. Cần nói thêm rằng: việc nghiên cứu phương trình nhờ
vào đồ thị chiếm vị trí “yếu ớt” trong thể chế Việt Nam.
Tiếp theo SGK minh họa bằng một ví dụ sau:
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m
mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0. (2)
Giải. Với m = 0, phương trình (2) trở thành 4x – 3 = 0, nó có nghiệm
3
4
x =
Với m ≠ 0, (2) là phương trình bậc hai với biệt thức thu gọn là
'∆ = (m – 2)2 – m(m – 3) = 4 – m. Do đó:
- Nếu m > 4 thì '∆ < 0 nên (2) vô nghiệm;
- Nếu m = 4 thì '∆ = 0 nên (2) có một nghiệm
2 1
2
m
x
m
−
= = ;
- Nếu m < 4 và m ≠ 0 thì '∆ > 0 nên (2) có hai nghiệm

33. 27
2 4m m
x
m
− − −
= và
2 4m m
x
m
− + −
=
Kết luận
m > 4 : (2) vô nghiệm;
m = 0 : (2) có một nghiệm
3
4
x = ;
0 4m≠ ≤ (2) có hai nghiệm
2 4m m
x
m
− ± −
= ( hai nghiệm này trùng nhau và bằng
1
2
khi m = 4).
Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau:
Bước 1: Ta nhập hàm số 2
( ) 2( 2) 3f x mx m x m= − − + − .
Bước 2: Thực hiện lệnh giải PT ( ) 0f x = . Trên NotePad sẽ hiện ra nghiệm
2 4 2 4
;
m m m m
m m
− − − − + −
.
Bước 3: Bấm hàm vào hàm f thì phần mềm sẽ tự động minh họa đồ thị của hàm số.
Khi đó ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị sẽ thay đổi theo.
- Khi thay đổi giá trị tham số đên giá trị m<4 và 0m ≠ thì đồ thị hàm số là một
Parabol cắt trục hoành hai điểm, nên PT có hai nghiệm
2 4 2 4
;
m m m m
m m
− − − − + −
được minh họa trên NotePad;
- Khi tham số đạt giá trị m =4 thì đồ thị hàm số là một Parabol tiếp xúc trục hoành
nên PT có một nghiệm (nghiệm kép);
- Khi tham số đạt giá trị m =0 thì đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt trục hoành
một điểm nên PT có một nghiệm.
Quá trình biện luận phải dựa vào sự tương giao đồ thị hàm số với trục hoành. Đồ thị
thay đổi vị trí theo tham số nên giao điểm đồ thị với trục hoành thay đổi theo. Để có kết
quả biện luận chính xác thì phân chia các trường hợp biện luận phải rơi vào các giá
trị“đẹp”.

34. 28
Nhận xét: Trước đó, học sinh đã tiếp cận với phương trình số một thời gian khá dài ở
lớp 8 lớp 9 với một tần số tương đối cao. Đây là lần đầu tiên học sinh gặp KNV T1“Giải
và biện luận” phương trình chứa tham số. Do đó, khi học sinh tiếp cận phương trình chứa
tham số luôn bị “cái cũ” (PT số10
) thống trị “cái mới” (PT chứa tham số). Tôi nhận thấy
rằng SGK không xây dựng bước chuyển “tổng quát hóa” để nối khớp PT số với PT
tham số. Ví dụ: học sinh ứng xử trước tình huống giải PT 2mx-3=0 sẽ khác với tình
huống giải PT 2x-3=0. Chúng tôi cho rằng: Sự ngắt quãng giữa PT số với PT chứa tham
số PT số với PT tham số là một khó khăn cho HS ở thời điểm bắt đầu làm quen với
phương trình chứa tham số. Tuy nhiên, SGK đã không xây dựng sự nối khớp giữa PT số
với PT chứa tham số nhằm xóa bỏ sự ngắt quãng đó. Đây là khó khăn do thể chế gây ra
cho học sinh. Cũng nói thêm rằng, khi đã có kết quả biện luận tổng quát về diễn biến tập
nghiệm của phương trình theo tham số, học sinh có sử dụng kết quả đó để trả lời cho
nghiệm của các phương trình cụ thể hay không? Điều này không thấy thể hiện trong
SGK. Theo cách nói biện chứng giữa cái cụ thể với cái trừu tượng thì sau khi chuyển từ
cái cụ thể (PT số) cái trừu tượng (PT chứa tham số ), chúng tôi nhận thấy SGK không
quan tâm đến chiều ngược lại trừu tượng  cụ thể.
Quay lại phân tích hai ví dụ trên, ta thấy hai ví dụ trên cho thấy tính phụ thuộc một
10
Chúng tôi muốn nhấn mạnh “phương trình số” theo nghĩa là phương trình với hệ số là số thực cụ thể,
nhằm phân biệt với phương trình có hệ số chứa tham số.

35. 29
chiều (nghiệm x phụ thuộc vào tham số), chiều ngược lại không có. Tôi tự hỏi rằng, học
sinh có dựa vào tính phụ thuộc một chiều (ẩn phụ thuộc vào tham số) để phân biệt chữ
nào là ẩn, chữ nào là tham số hay không? Ta tìm hiểu qua ví dụ sau trong bài một số
phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai trong SGK ĐS 10 NC
Ví dụ 2, trang 82, Giải và biện luận phương trình
1
2 (2)
1
mx
x
+
=
−
Giải. Điều kiện của phương trình là x-1≠0, tức là x≠1. Với điều kiện đó, ta có
(2) 1 2( 1)
( 2) 3 (2 )
mx x
m x a
⇔ + = −
⇔ − =−
1) Với m≠2, ta có m-2≠0 . Phương trình (2a) có nghiệm
3
.
2
x
m
−
=
−
Giá trị này là
nghiệm của (2) nếu nó thỏa mãn điều kiện x≠1. Ta có
3
1 1
2
m
m
−
≠ ⇔ ≠ −
−
Do đó:
Khi m ≠2 và m≠-1 thì
3
2
x
m
−
=
−
là nghiệm của (2)
Khi m=-1 thì giá trị
3
2
x
m
−
=
−
bị loại. PT (2) vô nghiệm
2) Với m = 2, PT (2a) trở thành 0x = 3. PT này vô nghiệm nên PT (2) vô nghiệm.
Kết luận:
Khi m ≠2 và m≠-1, PT (2) có nghiệm
3
2
x
m
−
=
−
Khi m =2 hoặc m = -1, PT (2) vô nghiệm.
Qua ví dụ trên cho thấy, ẩn phụ thuộc vào tham số nhưng ngược lại, tham số cũng
phụ thuộc theo ràng buộc điều kiện của ẩn. Sau khi tìm được x, ta phải quay lại xác định
điều kiện của tham số m. Đến bước này, ẩn x cung cấp giá trị cho tham số m. Xuất
hiện chuyển đổi vai trò của kí hiệu chữ: ẩn x chuyển đổi vai trò thành tham số, tham số
m chuyển đổi vai trò thành ẩn.

36. 30
Cũng nói thêm, nếu nhìn theo ngữ cảnh hàm số, biểu diễn ẩn số phụ thuộc vào
tham số ( ví dụ
3
2
x
m
−
=
−
, đại lượng x thay đổi phụ thuộc vào sự thay đổi của đại lượng
m) có thể xem x là hàm theo đối số m. Điều đó cho thấy việc ý nghĩa của chữ không cố
định mà nó phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể.
KNV T1
2
Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số.
Ví dụ 3, trang 74, SGK ĐS 10 NC
Cho phương trình: 2
3 2 (3)x x x a=− + + +
Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình (3) tùy theo các giá trị của
tham số a.
Lời giải SGK. Trước hết, ta đưa phương trình (3) về dạng 2
2 2 (4)x x a+ + =
Số nghiệm của phương trình (3) cũng là số nghiệm của phương trình (4) và bằng số
giao điểm của parabol (P): y = x2 + 2x + 2 với đường thẳng (d): y = a. Quan sát đồ
thị (h.3.1), ta thấy đỉnh của parabol (P) là điểm ( 1;1)M − , khi a thay đổi thì đường
thẳng (d) cũng thay đổi nhưng luôn luôn song song (hoặc trùng) với trục hoành. Từ đó,
ta suy ra
- Với a < 1, phương trình (3) vô nghiệm (đường thẳng (d) và parabol (P) không có
điểm chung);
Với a = 1, phương trình (3) có một nghiệm (kép) (đường thẳng (d) tiếp xúc với
parabol (P));
- Với a > 1, phương trình (3) có hai nghiệm (đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại
hai điểm phân biệt).
Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau:
Cách 1
Bước 1: Ta nhập hàm số 2
( ) 2 2f x x x= + + và ( )g x a= tiếp theo ta bấm hàm vào hàm
f, g thì phần mềm sẽ tự động minh họa đồ thị của hai hàm số.
Bước 2: Ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị hàm số g sẽ thay đổi
cùng phương với trục hoành. Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số g ( đường thẳng di

37. 31
động cùng phương trục hoành) với đồ thị hàm số f ta sẽ có kết quả biện luận.
Cách 2
Bước 1; Ta nhập hàm số 2
( ) 2 2f x x x a= + + −
Bước 2: Ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị hàm số f sẽ thay đổi
theo phép tịnh tiến véc tơ (0; )u a−

đồ thị hàm số 2
2 2y x x= + + . Dựa vào sự tương giao đồ
thị hàm số f với trục hoành ta sẽ có kết quả biện luận.
Như vậy, quá trình biện luận phải dựa vào sự tương giao đồ thị hàm số với trục hoành
hoặc sự tương giao giữa hai đồ thị. Trong điều kiện đó, phân chia các trường hợp biện
luận phải rơi vào những giá trị m phải “đẹp” của tham số.
Xét về kĩ thuật:
Có hai kĩ thuật “Đại số” và “Hình học” để giải quyết kiểu nhiệm vụ trên. Tuy nhiên,
kĩ thuật hình học được học sinh sử dụng khi đề cho hoặc gợi ý. Ngoài ra, thể chế vẫn ưu
tiên kĩ thuật đại số hơn.
Xét về ngữ nghĩa tham số a:
Đường thẳng y a= song song hoặc trùng với trục hoành  hiểu tham số a là hằng
số (số cố định).
Đến bước biện luận hiểu tham số a theo nghĩa tự do (số thay đổi) nhưng không là

38. 32
biến số.
KNV: T1
3
“Biện luận theo tham số” số giao điểm của hai đường
Xét bài tập 1.91 sách Bài tập Giải tích 12 nâng cao trang 29.
Cho hàm số
2
2 3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho .
b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số giao điểm của đường thẳng
y = m(x+1) + 3 và đường cong (C), tùy theo các giá trị của m.
Lời giải trong sách bài tập Giải tích 12 nâng cao trang 64.
b) Giải. Đường thẳng y = m(x + 1) + 3 có hệ số góc m, đi qua điểm ( 1;3)I − , I nằm
trên tiệm cận đứng x = - 1 của (C ).
Với m < 0 đường thẳng không cắt đường cong (C);
Với m = 0 đường thẳng tiếp xúc với (C) tại điểm (0 ; 3);
Với 0 < m < 2 đường thẳng cắt (C) tại hai điểm (cả hai giao điểm đều thuộc
nhánh phải của (C));
Với m = 2, đường thẳng song song với tiệm cận xiên của (C); đường thẳng cắt (C)
tại một điểm;
Với m > 2, đường thẳng cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (C).
Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau:
Cách 1
Bước 1: Ta nhập hàm số
2
2 3 3
( )
1
x x
f x
x
+ +
=
+
và ( ) ( 1) 3g x m x= + + tiếp theo ta bấm
hàm vào hàm f, g thì phần mềm sẽ tự động minh họa đồ thị của hai hàm số.
Bước 2: Ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị hàm số g sẽ thay đổi.
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số g với đồ thị hàm số f ta sẽ có kết quả biện luận.
Tuy nhiên trong trường hợp này đồ thị hàm số g thay đổi quay quanh một điểm cố định I(-
1;3) trên tiệm cận đứng.
Cách 2: Đưa về PT dạng ( )f x m= để giải

39. 33
Bước 1; Ta biến đổi PT về
2
2
2
( 1)
x
m
x
=
+
Bước 2: Ta nhập hai hàm số
2
2
2
( )
( 1)
x
f x
x
=
+ và ( )g x m= và bấm vào hai hàm f và g
để phần mềm tự vẽ đồ thị hai hàm số.
Bước 3: Ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì hàm số g thay đổi cùng
phương với trục hoành. Dựa vào sự tương giao đồ thị hàm số f với đồ thị hàm số g, ta sẽ
có kết quả biện luận.
Kĩ thuật
Trong các KNV liên quan đến “biện luận theo tham số”, có hai kĩ thuật cơ bản kĩ
thuật “Đại số” và kĩ thuật “Hình học”.
Kĩ thuật Đại số dựa công nghệ là hai bảng tóm tắt giải và biện luận phương trình
0ax b+ = và PT 2
0ax bx c+ + =.
Kĩ thuật “hình học” dựa trên công nghệ được thể chế hóa trong SGK Giải tích 12
nâng cao trang 51 như sau:
“Hoành độ giao điểm của hai đồ thị ( )y f x= và ( )y g x= là nghiệm của phương
trình ( ) ( )f x g x=
Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị”

40. 34
Dựa vào công nghệ trên được nêu trong sách giáo khoa, học sinh có thể huy động kĩ
thuật Hình học hoặc kĩ thuật Đại số để giải quyết KNV biện luận số giao điểm hoặc số
nghiệm của phương trình. Tuy nhiên, thể chế vẫn ưu tiên kĩ thuật “Đại số” hơn kĩ thuật
“Hình học”. Kĩ thuật hình học được huy động khi được đề gợi ý hoặc sau bài khảo sát
hàm số. Vấn đề này được nghiên cứu rất rõ trong luận văn của Nguyễn Nhật Phương
(2012).
Nhận xét chung KNV T1 “ Giải và biện luận”
Về kĩ thuật
Để giải quyết KNV T1 có hai kĩ thuật “ Đại số” và “ Hình học”.
Thể chế ưu tiên huy động kĩ thuật “Đại số” hơn kĩ thuật “Hình học” để giải quyết
KNV T1. Kĩ thuật “Hình học” được huy động khi được đề gợi ý hoặc sau bài khảo sát
hàm số. Kĩ thuật “Hình học” thường huy động biện luận các bài toán định tính (số
nghiệm, số giao điểm). Các bài toán định lượng (xác định nghiệm, tìm tọa độ giao
điểm,..) kĩ thuật hình học không được huy động mà huy động kĩ thuật Đại số.
Về tham số
Tham số có tính chất kép: cố định – tự do.
Tính tự do cho phép nhìn một phương trình (hoặc hàm số) chứa tham số là một tập
hợp.
Tính cố định của tham số cho phép xác định phần tử của tập hợp.
Trong hoạt động giải và biện luận phương trình bao gồm hai hoạt động song song với
nhau là biến đổi phương trình để giải tìm nghiệm + biện luận.
Trong hoạt động biến đổi phương trình để tìm nghiệm, ưu tiên huy động tính cố định
của tham số.
Trong hoạt động biện luận, ưu tiên huy động tính tự do của tham số. Tức là khi giá trị
tham số thay đổi thì mới xảy ra sự phân chia trường hợp.
Biện luận chính là chia lớp tập nghiệm của phương trình.
Một cách nói khác, biện luận chính là chia lớp tập hợp phương trình theo quan hệ
tương tương là số nghiệm của phương trình. Tức là số phương trình vô nghiệm cho vào
một lớp, số phương trình có một nghiệm cho vào một lớp, số phương trình hai nghiệm
cho vào một lớp…

41. 35
Điều đó cho thấy, khi học sinh giải quyết KNV “giải và biện luận”, phải huy động
đồng thời tính cố định và tính tự do của tham số. Nếu không quan tâm đầy đồng thời hai
tính chất trên của tham số thì dễ dẫn đến sai lầm.
Trong thể chế dạy học ở Việt Nam, việc xác định tham số dựa vào hình thức phô bài
trên kí hiệu chữ “ […] ngoài các ẩn còn có những số khác. Các chữ này xem như là
những số đã biết và được gọi là tham số” [ SGK 10 Đs nâng cao, tr 71]. Chức năng cố
định của tham số được thể chế hóa, chức năng tự do thể hiện ngầm ẩn. Đồng thời, việc
phân biệt tham số với ẩn số, biến số dựa vào hình thức phô bài kí hiệu chữ. Điều đó có
thuận lợi là đơn giản. Tuy nhiên, nó cũng có nhược điểm làm học sinh xem nhẹ ý nghĩa
của kí hiệu chữ. Kí hiệu chữ không chỉ một vai trò cố định mà thay đổi ý nghĩa tùy theo
ngữ cảnh sử dụng.
Mặt khác, “cái cũ” (phương trình số) thống trị “cái mới” (phương trình chứa tham
số) nên học sinh dễ xem tham số như số và áp dụng quy tắc biến đổi phương trình số lên
phương trình chứa tham số. Nói cách khác, học sinh đã đồng hóa phương trình chứa
tham số lên cấu trúc phương trình số có sẵn trước đó.
Qua phân tích trên cho thấy, ở thời điểm bắt đầu làm quen với phương trình chứa
tham số, học sinh ưu tiên tính cố định hơn tính tự do của tham số. Đồng thời tính chất
kép (vừa cố định, vừa tự do )của tham số là một nguyên nhân gây khó khăn, sai lầm cho
học sinh khi giải quyết KNV “giải và biện luận phương trình chứa tham số”. Đó là một
khó khăn, chướng ngại khi học sinh giải quyết KNV T1 ở thời điểm này.
Trong môi trường Casyopée thực hiện được KNV T1
1
“Giải và biện luận phương
trình chứa tham số”. Môi trường đó thể hiện được nghiệm của phương trình (phần định
lượng) theo tham số chính xác . Phần biện luận (phần định tính) dựa vào sự tương giao
của đồ thị hàm số với trục hoành hoặc sự tương giao đồ thị hai hàm số khi cho tham số
thay đổi giá trị trên thanh trượt. Trong môi trường Casyopée, giá trị tham số thay đổi
không liên tục mà nó thay đổi rời rạc theo bước nhảy ấn định trước. Điều đó dẫn tới
không bao quát hết các trường hợp biện luận nếu phân chia các trường hợp biện luận rơi
vào các giá trị tham số “không đẹp”. Đó là nhược điểm của phần mềm khi thực hiện kiểu
nhiệm vụ này.
Đối với hai KNV T1
2
“ Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số” và T1
3
“Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường” là hai kiểu nhiệm vụ định tính. Khi
mô hình hóa bài toán bằng hình ảnh kết hợp thể hiện định lượng là nghiệm phương trình

42. 36
trong môi trường Casyopée, ta cho tham số thay đổi giá trị thì bài toán trở nên trực quan,
rõ ràng mà trong môi trường truyền thống.
Tóm lại, khi kết hợp với môi trường Casyopée thực hiện các KNV T1 sẽ làm học sinh
hiểu rõ tính chất kép của tham số-khắc phục khó khăn hiểu tính chất kép của tham số
trong MT truyền thống, điều đó giúp học sinh hiểu được hiểu bản chất bài toán. Tất cả
các bài toán biện luận trong KNV T1 đều phải chuyển đổi về phạm vi trong Hình học để
biện luận trong MT Casyopée, đồng thời phải chuyển đổi cách biểu thị ĐS sang cách
biểu thị HH và ngược lại. Điều đó cho thấy, Casyopée là môi trường tương tác tạo sự
nối khớp giữa đồ thị và phương trình. Đó là lợi ích sư phạm mà MT Casyopée mang lại
khi dạy- học chủ đề PT và chủ đề Hàm số.
2.2. Các KNV T2: “Tìm các giá trị tham số” trong phương trình
hoặc trong hàm số thỏa điều kiện nào đó
Để làm rõ sự biến đổi vai trò và ý nghĩa của tham số trong KNV “tìm các giá trị tham
số” Chúng tôi phân tích các KNV thuộc nhóm KNV T2
KNV T2
1
: “Tìm các giá trị của tham số” để phương trình có nghiệm thỏa điều
kiện cho trước
Lớp 10
Ví dụ bài 18/80 ĐS 10 NC : Tìm các giá trị của m để phương trình 2
4 1 0x x m− + − =
có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn hệ thức 3 3
1 2 40x x+ =.
Lời giải trong SGV:
Điều kiện để phương trình có nghiệm là 4 ( 1) 5 0m m∆ = − − = − ≥ , hay 5m ≤ . Khi đó
1 2 4x x+ =và 1 2 1x x m= −
( ) ( ) ( )
33 3 3
1 2 1 2 1 2 1 23 4 12 1 76 12x x x x x x x x m m+ = + − + = − − = − .
Vậy 3 3
1 2 40 76 12 40 12 36 3x x m m m+ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn 5m ≤ ).
Nhận xét: Để tìm m, học sinh phải lập phương trình theo ẩn m. Chữ m chuyển từ vai
trò tham số sang vai trò ẩn số.
Trong môi trường Casyopée bài toán trên được giải như sau:

43. 37
Bước 1: Giải tìm nghiệm của phương trình trong phần mềm cho kết quả là:
1 22 5 , 2 5x m x m= − − =+ −
Bước 2, Giải PT 3 3
1 2 40 0x x+ − =, tìm được m=3
Nhận xét: Trong MT Casyopée tính toán hình tính trực tiếp tìm ra nghiệm cụ thể của
PT và lập PT theo ẩn m không qua bước phân tích đưa về tổng, tích các nghiệm để sử
dụng định lí Vi ét như trong môi trường truyền thống.
Đến lớp 12, phân tích sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao chúng tôi không thấy
bài toán nào liên quan đến PT chứa tham số xuất hiện trong phần bài học, từ đầu

44. 38
chương đến cuối chương, ngoại trừ một ví dụ duy nhất trong sách giáo khoa Giải tích
12 nâng cao là ví dụ 1 trang 51 ở bài 8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị:
Với giá trị nào của m, đường thẳng y = m cắt đường cong 4 2
2 3x x− − tại bốn điểm
phân biệt?
Lời giải của sách giáo khoa trang 51
“Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của PT
4 2
2 3x x m− − = , tức là:
4 2
2 3 0x x m− − − = (1)
Đặt X = x2, X > 0 ta được X 2 – 2X – m – 3 = 0 (2)
Đường thẳng cắt đường cong tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1)
có bốn nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm
dương 1 2,X X phân biệt, tức là:
1 2
1 2
' 0 4 0
0 3 0 4 3
2 00
m
X X m m
X X
∆ > + > 
 
> ⇔ − − > ⇔ − < < − 
  >+ > 
Tiếp theo sách giáo khoa đưa thêm mục nhận xét ngay sau đó như sau: “Có thể giải
bài toán trên bằng đồ thị như sau:
Đồ thị của hàm số y = x4 – 2x2 – 3 được cho trong hình1.15.
Đồ thị của hàm số y = m là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục
hoành. Dựa vào đồ thị của hai hàm số đã cho, ta thấy ngay rằng đường thẳng và đường
cong đã cho cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi – 4 < m < – 3.”
Nhận xét: Ta thấy có hai kĩ thuật “Đại số” và “Hình học” để giải quyết KNV trên, tuy
nhiên “[…] SGK muốn học sinh ưu tiên chuyển đổi bài toán trong phạm vi Hình học
sang Đại số hơn là giải bài toán trong phạm vi Hình học.” (Nguyễn Nhật Phương, 2012)
Ở lớp 10, phương trình chứa tham số là đối tượng nghiên cứu. Ở lớp 12, phương
trình tham số không là đối tượng nghiên cứu nhưng nó là công cụ để phục vụ cho việc
giải quyết các KNV trong nội dung chương 1 Giải tích lớp 12 (tính hai mặt của ĐS: công
cụ- đối tượng). Tham số cũng không là đối tượng nghiên cứu trong lớp 12, điều này thể

45. 39
hiện rõ trong SGV như sau:
Trong Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với mục
tiêu được sách Giáo viên Giải tích 12 nâng cao nêu lên như sau:
“[…] kỹ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính đơn điệu) của
hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một
tập hợp số thực cho trước, viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị và khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đơn giản […]” ([33], tr 18). Trong lời giới thiệu
đầu chương 1 của SGK “Trong chương này, chúng ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để
xét một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị; từ đó khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số”. Mặc dù SGK 12 không mô tả đến khái niệm
hàm số chứa tham số nhưng lại xuất hiện khá nhiều KNV liên quan tới tham số. Trong
các kĩ thuật giải quyết các KNV trên thường sử dụng một số kiến thức liên quan đến đạo
hàm, đồ thị, sự tương giao… nhằm làm xuất hiện phương trình, bất phương trình , hệ
phương trình tham số để giải). Tổng quát hơn, chương trình giải tích ở phổ thông xem
như “Đại số hóa tăng cường một số yếu tố của giải tích như giới hạn, đạo hàm. Nền tảng
kĩ thuật được xử lí chủ yếu vẫn dựa vào Đại số.” ( Lê văn Tiến, 2001). Đồng thời, vai
trò của đồ thị rất mờ nhạt. Đồ thị thường minh họa, mô tả, giải thích, và nó chỉ có vai trò
nhất định trong các bài toán định tính. Đồ thị gần như không có một vai trò nào trong bài
toán định lượng. Ví dụ giải phương trình bằng đồ thị gần như không chấp nhận trong thể
chế Việt Nam. Điều đó có thể lí giải như sau: thể chế VN quan niệm nghiệm phương
trình là nghiệm đúng và gần như không chấp nhận quan niệm nghiệm gần đúng trong
phương trình. Như vậy, Đại số có vai trò rất quan trọng trong chương trình THPT ở VN.
Cho dù bước sang mảnh đất Giải tích nhưng vẫn xử lí dựa trên nền tảng Đại số trước đó.
Nếu giả sử trong nội dung lớp 10 không có phương trình chứa tham số thì ở lớp 12
không có xuất hiện KNV “tìm các giá trị tham số m”. Và việc xuất hiện hàm số cho
bằng biểu thức chứa tham số không có nhiều lí do để xuất hiện. Theo cách nhìn sinh
thái, KNV “tìm các giá trị tham số m” trong chủ đề hàm số sống được là nhờ vào sự
xuất hiện của phương trình chứa tham số ở lớp 10 trong thể chế.
Điều đó cho thấy ngoài lí do “[…] trình bày chính xác hơn, đầy đủ hơn, hệ thống
hơn so với lớp dưới ” được nêu tường minh trong SGK, còn có thể lí giải sự xuất hiện

46. 40
phương trình chứa tham số là công cụ nghiên cứu một số KNV liên quan đến hàm số
cho bằng biểu thức chứa tham số lớp 12, theo cách nhìn sinh thái “[…] một đối tượng
không phải ngẫu nhiên xuất hiện trong thể chế, mà nó có mối quan hệ với những đối
tượng khác trong thể chế. Mối quan hệ đó bền vững hay lỏng lẻo là tùy theo sự lựa
chọn của từng thể chế.” ( [5], tr 34)
KNV T2
2
:“Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C): y = f(x) cắt
đường thẳng (d): y = g(x,m) tại n (n = 0, 1, 2,3,4 ) điểm thỏa mãn điều kiện cho
trước”
Xét ví dụ 65 sách Giải tích 12 nâng cao trang 58:
a) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị của hàm số.
2
2 1
1
x x
y
x
− +
=
−
b) Với các giá trị nào của m đường thẳng y = m – x cắt đồ thị của hàm số đã cho tại
hai điểm phân biệt?
c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng
AB khi m biến thiên.
Lời giải:
a) GV tự làm.
b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của
phương trình
2
2
2
2 1
1
2 1 ( )( 1)
3 ( 2) 1 0
x x
m x
x
x x m x x
x m x m
− +
= −
−
⇔ − + = − −
⇔ − + + + =
(Ba phương trình trên tương đương vì x = 1 không phải là nghiệm của hai
phương trình sau).
Đường thẳng cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương
trình
(2) có hai nghiệm phân biệt, tức là:
( )
2
2
2 4.3.( 1) 0
8 8 0
m m
m m
∆= + − + >
⇔ − − >

47. 41
4 2 6 4 2 6m hoac m⇔ < − > +
Trong môi trường Casyopée, phân chia các trường hợp biện luận của bài toán rơi vào
các giá trị của tham số m “ không đẹp” nên rất khó biện chính xác theo giá trị tham số
trong Casyopée mà chỉ là giá trị gần đúng gần đúng của tham số. Tuy Casyopée không
cho ra kết quả biện luận chính xác nhưng nó vẫn mô hình hóa bài toán bằng hình ảnh,
giúp học sinh hiểu rõ được bản chất của bài toán.
KNV T2
4
: “Tìm các giá trị tham số” để hàm số chứa tham số đạt cực trị tại điểm
x0.
Trong SGK Giải tích 12 nâng cao, KVN trên xuất hiện gặp lần đầu tiên là bài tập 14
trong phần bài tập của bài cực trị hàm số.

48. 42
BT13/Tr17 SGK GT12 NC
Xác định các hệ số a, b, c, d của hàm số
3 2
( )f x ax ax cx d= + + +
Sao cho hs f đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm
1, (1) 1x f= =
Lời giải SGV (Tr 37)
(0) 0 0.f d= ⇒ =
Hs đạt cực tiêu tại x = 0 nên '(0) 0f = . Từ đó ta có 0c = .
(1) 1 1.f a b= ⇒ + = Hs đạt cực đại tại x = 1 nên '(1) 0.f =
Từ đó ta có 3a + 2b = 0.
Giải hệ phương trình
1
3 2 0
a b
a b
+ =

+ =
Ta được a = -2; b = 3
Kiểm tra lại:
3 2
2
( ) 2 3
'( ) 6 6 , ''( ) 12 6
f x x x
f x x x f x x
=− +
=− + =− +
''(0) 0f > . Hs đạt cực tiểu tại điểm x = 0.
''(1) 6 0f =− < . Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Về kĩ thuật
Bước 1: Giải điều kiện cần của cực trị và tọa độ điểm cực trị của đồ thị ta thu được
các phương trình theo các ẩn a, b,c,d rồi giải hệ ta được các kết quả.
Bước 2: Giải điều kiện đủ: kiểm tra lại các giá trị tham số tìm được ở bước 1 rồi kết
luận.
Nhận xét:
Bài toán trên phải giải điều kiện cần và điều kiện đủ. Ở đây chúng tôi quan tâm đến
chuyển đổi vai trò chữ kí hiệu tham số.
Đầu đề bài yêu cầu “ xác định a, b, c, d” tức nó có vai trò là ẩn.

49. 43
Trong công thức hàm số các chữ a, b, c, d đóng vai trò là tham số.
Khi giải điều kiện cần thì các chữ a, b, c, d quay lại đóng vai trò là ẩn
Khi đến giải điều kiện đủ thì a, b, c, d đóng vai trò là số cố định cho trước tức là
tham số. Nó mang chức năng là các tham số a, b,c, d xác định được một phần tử của tập
hợp (xác định được một hàm số cụ thể)
Trong bài toán trên các tham số a, b, c, d lần lượt chuyển đổi vai trò từ:
ẩn số  tham số ẩn số  tham số
KNV T2
5
: “Tìm giá trị tham số m” để hàm số có n cực trị (n =0,1,23)
KNV này gặp lần đầu tiên là bài tập 48/Tr45 sau bài khảo sát hàm số đa thức.
BT 48/Tr45 SGK 12 NC
Cho hs 4 2
2 2y x mx m= − +
a) Tìm các giá trị m sao cho hàm số có ba điểm cực trị.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với
1
2
m = . Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.
Lời giải SGV
3 2
2
' 4 4 4 ( )
0
' 0
y x mx x x m
x
y
x m
= − = −
=
= ⇔ 
=
Nếu m > 0 thì phương trình
0
' 0
x
y
x m
=
= ⇔ 
= ±
Lập bảng biến thiên
Kết luận m > 0 hàm số có ba điểm cực trị.
Dễ thấy 0m ≤ thì hàm số có một cực tiểu
Trong môi trường Casyopée, ta nhập hàm số f và bấm vào hàm f thì đồ thị hàm số sẽ
tự động hiện ra. Do kết quả biện luận theo tham số là giá trị nguyên nên ta có thể dễ dàng
dựa vào đồ thị để biện luận.

50. 44
Thay đổi giá trị tham số m>0 quan sát trên đồ thị thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực
trị
Thay đổi giá trị tham số 0m ≤ quan sát trên đồ thị thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực
trị
Nhận xét: Đề bài không giải thích rõ vai trò chữ m xuất hiện trong hàm số là gì?
Điều đó cho thấy kí hiệu chữ m được mặc định có vai trò là tham số.
Tham số m xem như cố định trong các bước biến đổi, đồng thời cũng xem tham số
m như số tự trong trong bước biện luận m >0.