O documento discute a eficiência de algoritmos e a análise da complexidade algorítmica. Aborda como medir o tempo e espaço de execução de algoritmos e como classificar sua complexidade, variando entre classes como constante, logarítmica e exponencial. Também apresenta notações matemáticas como O, Ω, Θ e ω para comparar taxas de crescimento de funções.
2. Eficiência de algoritmos
Que recursos computacionais são necessários
para executar um algoritmo?
Tempo
de execução = Complexidade Temporal
Espaço de memória = Complexidade Espacial
Espaço e tempo dependem da dimensão dos
dados. Podemos portanto representar a
eficiência por funções!
3. Eficiência de algoritmos
Na prática é muito difícil calcular com rigor o
tempo de execução de um algoritmo!
Identificar no algoritmo as operações elementares
e determinar o número de vezes que são
executadas.
O tempo real de execução de cada operação
elementar será uma constante multiplicativa!
Independentemente do computador!
Dados vários algoritmos para solucionar um
mesmo problema, devemos escolher aquele que
nos permite resolver o problema mais
rapidamente e utilizando o menor espaço possível
para representar os dados do problema!
4. Eficiência de algoritmos
Um algoritmo pode ser mais eficiente que
outro para inputs de “pequena” dimensão e
deixar de o ser para inputs de “grande”
dimensão.
Um algoritmo pode ser mais eficiente que
outro em tempo e não o ser em espaço.
Mais ainda, diferentes amostras com a mesma
dimensão podem ser processadas em tempos
diferentes, podendo-se falar de eficiência
temporal mínima (melhor caso), máxima
(pior caso) e média.
5. Ordem de Complexidade
Normalmente a análise de algoritmos é
simplificada se nos concentrarmos na sua
eficiência assintótica.
Exemplos:
(n+1)/2
= O(n)
2n3+2n -7 = O(n3)
(n2+5)(n-3) = O(n3)
ln n = O(log2 n)
25 = O(n0) = O(1)
8. Classes de Complexidade
Algorítmica
Com 210 ≈103 , logo, Bomba! ≈ número grande
inimaginável
1 dia 24 X 60 X 60 = 86400 ≈ 9 X 1010 microssegundos
1 ano = 365 X 24 X 60 X 60 § 3 X 107 segundos ≈3 X 1013
microssegundos
1 século ≈ 3 X 109 segundos ≈ 3 X 1015 microssegundos
1 milênio ≈ 3 X 1010 segundos ≈ 3 X 1016 microssegundos
Big Bang ≈ 15 X 109 anos ≈ 45 X 1016 segundos ≈ 45 X
1022 microssegundos
Algoritmos de complexidade constante e logarítmica
são os mais eficientes
Algoritmos de complexidade exponencial geram
tempos de execução incomputáveis
9. Complexidade de um problema
O limite superior é estabelecido pelo melhor
algoritmo, entre os algoritmos conhecidos.
A
descoberta de um novo algoritmo mais eficiente
faz descer o limite superior.
O limite inferior é estabelecido por técnicas de
prova que comprovem que não existem
algoritmos mais eficientes.
Qualquer
algoritmo, conhecido ou desconhecido,
deverá ser mais complexo do que esse limite.
10. Notações
Θ(theta) – A expressão f(n) = Θ(g(n)) significa que as
funções f(n) e g(n) possuem a mesma ordem de
crescimento, isto é, crescem de forma equiparável.
As funções n2 e 5n2, por exemplo, crescem em ritmo
quadrático.
O(O maiúsculo ou big o) – A expressão f(n) =
O(g(n)) significa que f(n) não cresce mais que g(n),
podendo crescer de forma igual ou inferior.
o (o minúsculo) – e f(n) = O(g(n)), a ordem de
crescimento de f(n) nunca será maior que a de g(n),
podendo ser igual. Entretanto, se f(n) = o(g(n)), a
ordem de crescimento de f(n) nunca será maior nem
igual à de g(n)
11. Notações
Ω(Omega maiúsculo) – A expressão f(n) =
Ω(g(n)) significa que a ordem de crescimento
de f(n) é maior ou igual à ordem de g(n)
ω(ômega minúsculo) - A notação ω denota
um limite assintótico inferior, assim como Ω. A
diferença é que, se f(n) = ω(g(n)),
para qualquer constante c > 0 que multiplique
g(n) existe um n0 > 0 tal que para todo n ≥ no,
f(n) nunca será menor nem igual a g(n).
Assim, diferentemente de Ω, o crescimento da
função f(n) nunca se igualará ao de g(n).
12. Notações
A analogia com números reais tornou o
entendimento das notações mais intuitivo,
com a visualização das regras:
f(n)
= O(g(n)) ≈ a ≤ b,
f(n) = Ω(g(n)) ≈ a ≥ b,
f(n) = Θ(g(n)) ≈ a = b,
f(n) = o(g(n)) ≈ a < b,
f(n) = ω(g(n)) ≈ a > b.
