Himpunan Bagian

Modul Matematika Himpunan MTs Kelas VII Semester 2
MODUL MATEMATIKA
OLEH : UMAR FAUZI, S.Pd
KELAS VII
SEMESTER 2
UNTUK MTs DAN YANG SEDERAJAT
HIMPUNAN
Diajukan untuk memenuhi salahsatu syarat kenaikan pangk
MTs RAUDLATUL HUDA
SUKARENDAH-SUMBERBANDUNG
PAGELARAN UTARA
2015/2016

BAB I PEMBELAJARAN
A. Kegiatan Belajar 1: Pengertian Himpunan dan Notasinya
1. Tujuan Kegiatan Belajar 1:
Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini diharapkan siswa dapat memahami dan menjelaskan:
 Pengertian dan notasi himpunan
 Cara menyatakan suatu himpunan
2. Uraian Materi:
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (obyek) yang telah terdefinisi dengan jelas.
Contoh kumpulan objek yang merupakan himpunan adalah: siswa-siswa kelas 8A, kumpulan
angka 2, 4, 5, 8., kelompok siswa SMP Sejahtera yang mengikuti upacara, kumpulan hewan
pemakan daging, dan lain-lain.
Lambang Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital; A, B, C, N, P, dan sebagainya. Anggota himpunan
dinyatakan dengan huruf kecil, dalam kurung kurawal, dan anggota satu dengan yang lainnya
dipisahkan dengan tanda koma. Anggota yang sama cukup ditulis sekali.
Contoh:
 Himpunan huruf vokal dapat ditulis V = {a, i, u, e, o} dengan anggotanya; a, i, u, e, dan o.
 Himpunan bilangan cacah dapat ditulis C = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} dengan anggotanya: 0, 1, 2, 3, 4,
dan seterusnya.
 Himpunan bilangan prima dapat ditulis P = {2, 3, 5, 7, . . .} dengan anggotanya: 2, 3, 5, 7, dan
seterusnya.
 K adalah himpunan huruf pembentuk kata “ MATEMATIKA”, dapat ditulis: K = {m, a, t, e, i k} atau
K = {k, a, t, e, m, i}, bukan K = {m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}.
Anggota himpunan pada contoh 1 dan 4 berhingga. Himpunan seperti ini disebut himpunan
berhingga. Sedangkan contoh 2 dan 3 mempunyai anggota tak terbatas (dicirikan dengan tiga
buah titik terakhir). Himpunan seperti ini disebut himpunan tak berhingga.
Contoh Soal :
1. Dari pernyataan berikut, manakah yang merupakan himpunan dan bukan himpunan?
a. kelompok bilangan ganjil
b. kelompok makanan enak dan pedas
c. kumpulan hewan menyusui
d. B himpunan bilangan prima

Jawab:
a. kelompok bilangan ganjil merupakan himpunan
b. bukan merupakan himpunan, karena makanan enak dan pedas sifatnya relatif.
c. kumpulan hewan menyusui merupakan himpunan
d. B adalah himpunan
2. Tuliskan anggota himpunan dibawah ini!
a. himpunan bilangan asli kurang dari 6
b. himpunan 5 nama Ibu kota Negara ASEAN
c. himpunan Negara di kawasan Asia Tenggara
d. himpunan huruf pembentuk kata “PENDIDIKAN”
Jawab:
a. misal himpunan bilangan asli kurang dari 6 adalah A, maka A = {1, 2, 3, 4, 5}
b. misal himpunan 5 Ibu kota Negara ASEAN adalah B, maka B = {Jakarta, Bangkok, Kuala
Lumpur, Singapura, Bandar Sri Bengawan}
c. misal himpunan Negara dikawasan Asia Tenggara adalah C, maka C = {Indonesia,
Malaysia, Filiphina, Singapura, Brunei Darussalam, Vietnam, Myanmar, Timor Leste}
d. misal himpunan huruf pembentuk kata ‘PENDIDIKAN” adalah P, maka P = {A,D,E,I,K,N,P}
Anggota Himpunan
Simbol anggota satu himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:
 Bila x anggota A, maka ditulis x  A
 Bila x bukan anggota A, maka ditulis x  A
Menentukan banyaknya anggota suatu himpunan berarti menghitung anggota himpunan tersebut.
Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n (A).
Menyatakan Himpunan
Menyatakan suatu himpunan dapat dilakukan dengan cara: Kata-kata (metode deskripsi),
mendaftar (metode tabulasi/roster), notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/rule)
1. Dengan kata-kata (metode deskripsi)
Menuliskan suatu himpunan dengan kata-kata atau pernyataan untuk menunjukkan syarat
keanggotaannya dan syarat keanggotaanya harus dinyatakan dengan jelas.
2. Dengan cara mendaftar (metode tabulasi/roster),
Dengan metode ini, anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung kurawal
yang setiap anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.
3. Dengan notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/rule)

Pada cara ini himpunan dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, anggotanya
dilambangkan dengan variabel kemudian diikuti dengan pernyataan matematika yang
menggambarkan syarat keanggotaanya.
Contoh Soal 2:
Nyatakan pernyataan berikut dengan 3 cara dalam menyatakan himpunan, lalu tentukan
banyaknya masing-masing himpunan tersebut:
a. himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
b. himpunan bilangan ganjil antara 10 sampai 30
Jawab:
a. metode diskripsi : himpunan bilangan prima kurang dari 20 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan
17
metode tabulasi : B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}
metode bersyarat : B = { xI x 20, x  bilangan prima}
b. metode diskripsi : himpunan bilangan ganjil antara 10 sampai 30 adalah 11, 13, 15, 17,
19, 21, 23, 25, 27, dan 29.
metode tabulasi : B = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
metode bersyarat : B = { xI 10  x  20, x  bilangan ganjil}
Himpunan Bilangan
Himpunan bilangan yang sering digunakan diantaranya adalah:
1. Himpunan Bilangan Asli (A)
Anggota himpunan bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5…..secara tabulasi dinyatakan sebagai: A
= {1, 2, 3, 4, 5….}
2. Himpunan Bilangan Cacah (C)
Anggota himpunan bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4,….secara tabulasi dinyatakan sebagai:
C = {0, 1, 2, 3, 4…..}
3. Himpunan Bilangan Prima (P)
Anggota himpunan bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11,…..secara tabulasi dinyatakan
sebagai: P = {2, 3, 5, 7, 11,….}
4. Himpunan Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari 3 macam, yaitu: bilangan bulat positif (bilangan asli), bilangan nol,
dan bilangan bulat negatif.
Anggota himpunan bilangan bulat adalah…..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….. secara tabulasi
dinyatakan sebagai: B = {…..,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3….}

Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong disimbolkan
dengan   atau Ǿ.
Perhatikan kedua contoh berikut ini:
1. H adalah himpunan bilangan satu cacah yang pertama, berarti H = {0} dan n(H) = 1. Anggota H
adalah 0.
2. T adalah himpunan bilangan asli antara 3 dan 4, berarti T =   dan n(T) = 0. Anggota T tidak ada.
Berdasarkan kedua contoh diatas terlihat bahwa:  0 tidak sama dengan   atau  0   
Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat sebuah objek
pembicaraan. Semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada
himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal dan
disimbolkan dengan S atau U.
Contoh Soal :
R = {3, 5, 7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R di antaranya adalah:
a. S = R = {3, 5, 7}
b. S = {bilangan ganjil}
c. S = {1, 2, 3, 5, 7}
d. S = {bilangan cacah}
e. S = {bilangan prima}
Contoh soal :
Selidikilah apakah himpunan berikut kosong atau bukan!
a. himpunan bilangan prima genap
b. himpunan bilangan genap yang habis dibagi 7
c. himpunan nama bilangan yang lamanya 32 hari tiap bulan
d. A = { },62 aslibilanganxxx 
e. B = { 4tan,185 kelipacacahbilangankk  }
Jawab:
a. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, yaitu: 2
b. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, salah satunya adalah 42 habis dibagi 7 yaitu
6
c. Himpunan kosong, karena tidak ada 32 hari dalam sebulan

d. Himpunan kosong, karena tidak ada bilangan asli yang memenuhi kecuali bilangan bulat negatif
-4
e. Bukan himpunan kosong karena ada angotanya
3. Tugas Kegiatan Belajar 1:
1. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal:
a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.
b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.
c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.
2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. Nyatakan himpunan Z dengan kata-kata,
dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
3. Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut:
a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10}
c. R = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
4. N adalah himpunan namanama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf C. Nyatakan N
dalam notasi himpunan.
5. Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut:
a. {2, 3, 5, 7}
b. {kerbau, sapi, kambing}
B. Kegiatan Belajar 2 : Himpunan Bagian
Setelah melakukan kegiatan belajar 3 ini, diharapkan siswa dapat menentukan:
 Himpunan bagian dari suatu himpunan
 Banyaknya anggota himpunan dari himpunan bagian
2. Uraian Kegiatan Belajar 2:
Pengertian Himpunan bagian
Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian dari B jika setiap anggota A juga menjadi anggota
himpunan B. lambing yang menyatakan himpunan bagian adalah “  ”. Jika B = {1, 2, 3} maka
himpunan bagiannya adalah: { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Ketentuan-ketentuan
dalam himpunan bagian, antara lain:
 Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
 Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpuna itu sendiri. Untuk sembarang
himpunan A, berlaku A  A


Menentukan Semua Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan
Untuk menentukan semua himpunan bagian dari suatu himpunan ada dua cara yaitu dengan
metode penghapusan anggota dan dengan metode diagram pohon. Misal B = {1, 2, 3} himpunan
bagiannya adalah:
a. dengan metode penghapusan
 tanpa penghapusan diperoleh {1, 2, 3} = B
 penghapusan 1, diperoleh {2, 3}
 penghapusan 1 dan 2, diperoleh {3}
 penghapusan 1, 2, dan 3, diperoleh {…} atau Ǿ
jadi himpunan bagiannya adalah { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
b. dengan metode diagram pohon
aturan pembuatan diagram pohon dalam menentukan semua himpunan bagian adalah:
 setiap pangkal pohon harus bercabang dua
 cabangnya hanya boleh berbuah satu buah saja dan yang lainnya tidak
 buah dari cabang diambil dari anggota himpunan tetapi harus mempunyai keteraturan
(berurutan)
Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian
Apabila banyaknya anggota himpunan adalah n buah, maka banyaknya himpunan bagian dari
himpunan tersebut sama dengan n
2
Contoh Soal :
1. Tentukan himpunan bagian dari A = {2, 4, 6, 8, 10} yang anggotanya adalah:
a. himpunan bilangan prima
b. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
c. himpunan bilangan bulat yang habis 4
Jawab:
a. P ={2}
b. T = {6}
c. E = {4, 8}
2. Tulislah semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut
a. H = {h, i, a, t}

b. A = {1, 2, 3, 4, 5,}
Jawab:
a. Himpunan bagian dari H adalah {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a}, {i, t}, {a, t}, {h, i, a}, {h,
i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}, {..}
b. himpunan bagian dari A adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5},
{3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, { 1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5},
{3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {{2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, {…}.
Hubungan Antarhimpunan
 Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan itu tidak
mempunyai anggota persekutuan. Himpunan saling lepas dinotasikan dengan // atau  .
 Himpunan Tidak Saling Lepas
Dua himpunan dikatakan tidak aling lepas, jika:
a. himpunan yang satu bukan merupakan himpunan bagian yang lain. Biasanya
dinotasikan dengan
b. himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain atau himpunan yang saling
bergantung. Biasanya dinotasikan dengan 
 Himpunan yang Sama
Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan itu mempunyai angota yang sama, baik
banyak maupun unsurnya. Biasanya dinotasikan dengan =
 Himpunan yang Ekuivalen
Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika banyak masing-masing anggota himpunan adalah
sama. Biasanya dinotasikan dengan ~
Contoh Soal :
1. Pasangkanlah himpunan-himpunan dibawah ini sehingga merupakan dua himpunan yang
sama.
A = {3, 4, 5, 6} D = {huruf vocal}
B = {bilangan asli antara 2 dan 7} E = {a, s, i, p}
C = {s, a, p, i} F = {e, i, u, e, o}
Jawab:
C ekuivalen dengan E, D ekuivalen dengan F, A ekuivalen dengan B
2. Manakah himpunan-himpunan berikut yang ekuivalen.
a. A = {1, 3, 5, 7}, B = {4, 6, 8, 10}
b. C = {bilangan ganjil}, D = {bilangan genap}

c. T = {huruf pembentuk kata “HISAP”}, K = {huruf pembentuk kata “PINTAR”}
Jawab:
a. A tidak ekuivalen dengan B
b. C tidak ekuivalen denganD
c. T tidak ekuivalen dengan K
1. Diketahui K = {p, q, r, s}. Tentukan himpunan bagian dari K yang mempunyai
a. satu anggota;
b. dua anggota;
c. tiga anggota;
d. empat anggota.
2. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan berikut.
a. Himpunan bilangan asli kurang dari 6.
b. Himpunan bilangan prima antara 4 dan 20.
c. P = {huruf-huruf pembentuk kata “stabilitas”}
d. Q = {nama-nama hari dalam seminggu}
3. Tulislah anggota dari masing-masing himpunan berikut. Kemudian tentukan hubungan
antarhimpunan tersebut.
P ={x | x < 7, x  A}
Q = {bilangan prima kurang dari 10}
R = {empat huruf pertama dalam abjad}
S ={x | 1  x  6, x  C}
C. Kegiatan Belajar 3: Operasi pada Himpunan (Irisan dan Gabungan)
1. Tujuan Kegiatan Belajar 3: Operasi Irisan dan Gabungan dari Himpunan
Setelah mengikuti kegiatan belajar 3 ini, diharapakan siswa dapat menentukan:
 Irisan dua atau lebih dari himpunan
 Gabungan dua atau lebih suatu himpunan
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3
Irisan
Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B.
secara matematis ditulis : }{ BxdanAxxBA  .
Dilihat dari persekutuan dua himpunan, irisan dua himpunan dapat ditentukan:
1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Jika BA  maka ABA  dan berlaku sebaliknya

2. Himpunan yang sama
Jika BA  , maka )( BABA 
3. Himpunan yang saling lepas
Jika BA// , maka {..} BA dan berlaku sebaliknya
4. Himpunan yang tidak saling lepas
Contoh Soal :
1. Diberikan A = {1, 2, 3, 4}, B ={2, 4, 6, 8}, dan C ={3, 4, 5, 7}. Tentukanlah:
a. A B c. B  C e. A (B C)
b. A C d.(A B)  C
Jawab:
a. {2, 4} c. {4} e. {4}
b. {3, 4} d. {4}
2. Perhatikan gambar dibawah ini!
Tentukanlah:
a. S c. A B e. B C
b. B d. A C f. A B C
Jawab:
a. S = {a, b, c, d, e, f, g} c. A B = {a, b} e. B C = {b, f}
b. B = {a, b, d, f} d. A C = {b, e} f. A B C = {b}
Gabungan
Gabungan dari A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada A atau B. secara
matematis ditulis: }{ BxatauAxxBA 
Dilihat dari persekutuan dua himpunan, gabungan dua himpunan dapat ditentukan:
1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Jika BA  maka BBA  dan berlaku sebaliknya
2. Himpunan yang sama
Jika BA  , maka )( BABA 
c e
a
g
b
f
d
S A C
B

3. Himpunan yang saling lepas
Jika BA// , maka }{ BxatauAxxBA  dan berlaku sebaliknya
4. Himpunan yang tidak saling lepas
Jika BA  , maka )}(,{ BAxatauBxAxxBA 
Contoh Soal :
1. Diketahui A = {2, 3, 5}, B ={1, 3, 5, 7}, dan C = {7, 9}, tentukanlah:
a. A B
b. A B  C
c. A (B C)
d. (A B)  C
e. (A B)  (A
C)
Jawab:
a. A B = {1, 2, 3, 5, 7}
b. A B  C = {1, 2, 3, 5, 7, 9}
c. A = {2, 3, 5} dan B  C = {1, 3, 5, 7, 9} maka A (B C) = {3, 5}
d. A B = {3, 5} dan C = {7, 9} maka (A B)  C = {3, 5, 7, 9}
e. A B = {1, 2, 3, 5, 7} dan A C = {2, 3, 5, 7, 9} maka (A B)  (A C) = {2, 3, 5, 7}
Tentukanlah:
a. A B
b. A (B  C)
c. (B  C)  A
d. (A B) (B C)
e. banyaknya himpunan bagian dari A (B C)
Jawab:
a. A B = {a, b, c, d, e, f, g}
b. A = {a, b, c, e} dan B  C = {a, b, d, e, f, g} maka A (B C) = {a, b, e}
c. B  C = {b, f} dan A = {a, b, c, e} maka (B  C)  A = {a, b, c, e, f}
d. (A B) = {a, b, c, d, e, f} dan (B  C) = {a,b,d,e,f,g} maka (A B) (B C) = {a,b,d,e,f}
e. A (B  C) = {a, b, e}, maka n(A (B C)) = 3 sehingga banyaknya himpunan bagian
adalah 23
= 8
c e
a
g
b
f
d
S A C
B

1. Diketahui A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Tentukan A B.
2. Misalkan A = {bilangan asli kurang dari 6} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Tentukan anggota AB.
3. Misalkan P = {bilangan asli kurang dari 11} dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}. Tentukan
anggota P  Q.
4. Diketahui :
K = {faktor dari 6} dan
L = {bilangan cacah kurang dari 6}.
Dengan mendaftar anggotanya, tentukan :
a. anggota K  L;
b. anggota K  L;
c. n(K  L).
D. Kegiatan Belajar 4 : Operasi Himpunan Komplemen dan Selisih
Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar 4 ini, diharapkan siswa dapat memahami dan
menentukan:
 Komplemen suatu himpunan
 Selisih suatu himpunan
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4:
Komplemen
Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}, maka A S. himpunan {1, 2, 6, 7} juga disebut
himpunan bagian dari himpunan S. himpunan tersebut adalah himpunan himpunan komplemen
atau pelengkap dari himpunan A atau disebut komplemen dari A yang dibaca “bukan A”.
Dalam himpunan komplemen berlaku:
 {..}' AA
 SAA  '
 )()'()( SnQnQn 
Komplemen dari S adalah S’, karena S adalah himpunan semesta maka S’ adalah himpunan
kosong dan ditulis S’ = {…}, sebaliknya {…}’ = S, sehingga berlaku:
 {…}’ = S
 S’ = {…}
 (A’)’ = A

Selisih Dua Himpunan
Komplemen A terhadap B ditulis B – A adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A,
sebaliknya komplemen B terhadap A ditulis A – B adalah himpunan yang di A tetapi tidak ada di
B. secara umum berlaku:
 }{ BxdanAxxBA 
 )()()( BAnAnBAn 
 ASA '
 )()()'()( ASnSnAnASn 
1. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah
himpunan semesta.
Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7},
Tentukan
a. anggota Ac
;
b. anggota Bc
;
c. anggota (A  B)c
2. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan
semesta. Jika P = {2, 3, 5, 7} dan Q = {1, 3, 5, 7,
9}, tentukan
a. anggota S – P;
b. anggota P – Q;
c. anggota Q – P.
E. Kegiatan Belajar 5 : Menentukan Himpunan dan Banyaknya Anggota Himpunan dengan
diagram Venn
Setelah mengikuti kegiatan belajar 5 ini, diharapkan siswa dapat :
 Memahamai diagram venn
 Menentukan himpunan dengan menggunakan diagram venn
 Menentukan banyaknya anggota himpunan dengan diagram venn
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 5:
Diagram Venn
Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 – 1923)
Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:
a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan disudut
kiri atas persegi panjang.
b. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tertutup.
c. Setiap anggota ditunjukkan dengan nokta (titik)
d. Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.

S P Q
6 7
8 10
15 17
18 19
11 12 13 14
Contoh Soal :
1. Lukislah diagram Venn dari setiap himpunan berikut ini:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2, 4, 6}
b. S = { xxx ,20 bilangan Asli}, P = {1, 4, 9, 16}, dan Q = {1, 2, 3, 4, 5}
Jawab:
a. b.
2. Perhatikan gambar diagram Venn berikut ini:
Hasil survei kegemaran siswa kelas IX terhadap olah raga.
S = {siswa kelas IX A}, B = {siswa yang suka Basket}, C = {siswa yang suka Sepak Bola}
Tentukan:
a. himpunan yang ada pada B dan C
b. himpunan S yang ada di B tetapi tidak ada di C
c. himpunan C tetapi tidak ada di B
d. himpunan yang tidak termasuk di B maupun di C
e. berapa banyak siswa yang suka bola basket?
Jawab:
a. Himpunan yang ada pada B dan C adalah {Aam, Azis}
b. B – C = {Beni, Adi, Doni, Anang, Markis}
c. C – B = {Anwar, Desta, Kamil, Maki, Ari, Ken}
d. (B  C)c
= {Ali, Modin, Rifqi}
e. n(B) = 7
S B C
 Ali
 rifqi
 Modin
 Beni
 Adi
 Doni
 Anang
 Markis
 anwar
 desta
 kamil
 Maki
 Ari
 ken
 Aam
 Azis
AS
 1 B
 3
 5  2
 4
 6
9
16
1 2
3
4 5

Banyaknya Anggota Himpunan
Rumus banyaknya irisan, gabungan, dan komplemen dua himpunan adalah:
 )()()()( BAnBnAnBAn 
 )()()()( BAnBnAnBAn 
 )()()'( BAnSnBAn 
Contoh Soal :
1. Diketahui n(A) = 27, n(B) = 43, dan n(A B) = 60. hitunglah nilai dari n(A B)!
Jawab:
A B = A + B - A B sehingga:
n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)
n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)
= 27 + 43 – 60
= 70 – 60
n(A B) = 10
2. Dua himpunan sebagaimana dalam gambar, diberikan n(P) = 7, n(Q) = 11, dan n(P  Q) = 5.
Carilah n(P  Q)!
Jawab:
n(P  Q) = n(P) + n(Q) - n(P Q)
= 7 + 11 – 5
= 18 – 5
n(P  Q) = 13
3. Dua himpunan dan banyaknya anggota dari himpunan itu ditunjukkan pada diagram Venn
berikut ini! jika n(A) = n(B),
hitunglah:
a. nilai x
b. n(A B)
Jawab:
a. n(A) = n(B)
(14 + x) + x = (x + 3x)
14 + 2x = 4x
S P Q
14 + x x 3x
S A B

14 = 2x
x = 7
b. n(A) = 14 + x = 14 + 7 = 21
n(B) = 3x = 3(7) = 21
n(A B) = x = 7 maka
n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)
= 21 + 21 – 7
= 42 – 7
n(A B) = 35
3. Tugas Kegiatan Belajar 5
1. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan), A = {1, 2, 3, 4,
5}, dan B = {bilangan genap kurang dari 12}. Gambarlah dalam diagram Venn ketiga himpunan
tersebut.
2. Berdasarkan diagram Venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar
anggota-anggotanya.
a. Himpunan S.
b. Himpunan P.
c. Himpunan Q.
d. Anggota himpunan P � Q.
e. Anggota himpunan P � Q.
f. Anggota himpunan PQ.
g. Anggota himpunan PC.
3. Diketahui S = {0, 1, 2, ...,15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10,
12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan
arsiran daerah-daerah himpunan berikut.
a. P  Q  R
b. P  Q
c. Q  R
d. P  (Q  R)
e. Qc
f. P – R

F. Kegiatan Belajar 6 : Menggunakan Konsep Himpunan dalam Pemecahan Masalah
1. Tujuan Kegiatan Belajar 6
Setelah mengikuti kegiatan belajar 3 ini, dirapkan siswa dapat menggunakan konsep himpunan
dalam memecahkan masalah sehari-hari
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 6
Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari maka banyak di antaranya dapat
diselesaikan dengan konsep himpunan. Agar dapat menyelesaikannya, kalian harus memahami
kembali mengenai konsep diagram Venn. Kalian harus dapat menyatakan permasalahan tersebut
dalam suatu diagram Venn. Pelajari contoh berikut ini.
Contoh soal:
Perhatikan diagram Venn dibawah ini!
S = himpunan siswa kelas VII A
K = himpunan siswa yang suka minum es teh
T = himpunan siswa yang suka minum jus
Setiap angka menunjukkan banyaknya siswa
dalam masing-masing kesukaannya.
Tentukanlah:
a. Berapa banyak siswa yang suka minum keduanya?
b. Berapa banyak siswa yang suka minum es teh?
c. Berapa banyak siswa yang tidak suka minum keduanya?
d. Berapa banyak siswa kelas VII A tersebut?
Jawab:
a. n(K  T) = 2
b. n(K) = 6
c. n(K  T)c
= 8
d. n(S) = n(K – T) + n(T – K) + n(K  T) + n(K  T)c
= 4 + 7 + 2 + 8 = 21
3. Tugas Kegiatan Belajar 6
1. Dalam suatu kelas yang terdiri atas 40 siswa, diketahui 24 siswa gemar bermain tenis, 23 siswa
gemar sepak bola, dan 11 siswa gemar keduaduanya. Gambarlah diagram Venn dari
keterangan tersebut, kemudian tentukan banyaknya siswa
a. yang hanya gemar bermain tenis;
b. yang hanya gemar bermain sepak bola;
c. yang tidak gemar kedua-duanya.
2. Dari sekelompok anak, diperoleh data 23 orang suka makan bakso dan mi ayam, 45 orang suka
makan bakso, 34 orang suka makan mi ayam, dan 6 orang tidak suka kedua-duanya.
6 2 9
S K T
8

a. Gambarlah diagram Venn yang menyatakan keadaan tersebut.
b. Tentukan banyak anak dalam kelompok tersebut.
G. Rangkuman Materi Himpunan
1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat
diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
2. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z.
Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan
pasangan kurung kurawal {...}.
3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk
himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
4. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang
memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.
5. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau
objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.
6. a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan
dinotasikan A  B atau B  A.
b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B
dan dinotasikan A  B.
c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis A  A.
d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dengan n banyaknya anggota
himpunan tersebut.
7. a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan
tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.
b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).
8. Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota
persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan A  B = {x | x
 A dan x  B}.
9. Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-
anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan A  B = {x | x 
A atau x  B}. Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan n(A  B) = n(A)
+ n(B) – n(A  B).
10. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

S
A B
a
b
BAB III EVALUASI
a. Evalusi Tes Tulis
Uraikan soal berikut sehingga diperoleh jawaban yang benar
1. Tuliskan himpunan berikut dengan menggunakan notasi himpunan!
a. P adalah himpunan titik pojok kubus ABCD. EFGH
b. K adalah huruf konsonan
c. L adalah himpunan gambar pada sila-sila Pancasila
2. Berikan nama himpunan dari kumpulan obyek dibawah ini berdasarkan sifat-sifat anggotanya agar
disebut dengan himpunan.
a. Tas, penggaris, buku tulis, penghapus, busur, LKS
b. Surabaya, Malang, Jember, Ngawi
c. Maret, Mei
3. Sebutkan dua buah himpunan semesta untuk himpunan-himpunan berikut:
a. {1, 3, 5, 7, 9}
b. {pesawat, kereta api, kapal, mobil}
c. S = {bilangan prima}
4. Jika S = {bilangan bulat}, A = {bilangan asli}, C = {bilangan cacah}, G = {bilangan ganjil}, H = {bilangan
genap}, dan P = {bilangan Prima}. Lukislah diagram Venn dari pasangan himpunan berikut ini dengan
himpunan semesta adalah S
a. A dan P
b. A, P, dan H
c. C, G, H, dan P
5. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari K = {a, b, c, d, e} yang mempunyai:
a. dua anggota d. anggota lebih dari dua
b. tiga anggota e. anggota paling sedikit tiga
c. empat anggota
S = {penghuni Pondok Indah}
A = {penghuni yang menyukai teh}
B = {penghuni yang menyukai kopi}
Tentukan:
a. berapa banyak penghuni pondok yang menyukai teh?
b. berapa banyak penghuni yang tidak menyukai kopi tetapi menyukai teh?
c
d
e g
f h

A B
C
S
S A C
B
c. berapa banyak penghuni yang menyukai teh dan kopi?
d. berapa banyak penghuni yang tidak menyukai keduanya?
7. Diberikan diagram Venn yang menyatakan himpunan A, B, dan C. Tentukanlah:
a. banyaknya himpunan bagian dari B
b. banyaknya himpunan bagian dari
perpotongan himpunan A dan C
c. banyaknya himpunan bagian dari
perpotongan ketiga himpunan tersebut
8. Dari 53 bayi di PUSKESMAS, 30 bayi minum susu kaleng, 13 bayi minum susu ASI, dan 10 bayi minum
keduanya. Berapa jumlah bayi yang hanya minum ASI?
9. Dari 46 siswa yang gemar bahasa inggris ada 26 siswa, gemar bahasa arab ada 32 siswa dan 14 siswa
gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar keduanya!
10. Dari sekelompok siswa yang suka tennis meja ada 26 siswa, yang gemar bulu tangkis ada 27 siswa,
yang gemar keduanya ada 9 siswa dan yang tidak gemar keduanya ada 4 siswa. Tentukan
banyaknya siswa dalam kelompok tersebut!
11. Perhatikan himpunan A, B, dan C dalam diagram Venn berikut!
Diberikan S = A B C, dan n(S) = 34, hitunglah:
a. nilai x
b. n(A B C)
7 9-x 8
x
8-x 7-x
9
3 13
14
15
12
10
11
9
1
2 4
5 6
8 7
77

Himpunan Bagian

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Himpunan Bagian

Similar a Himpunan Bagian (20)

Más de umar fauzi

Más de umar fauzi (20)

Último

Último (20)

Himpunan Bagian