matematika,polinomioak

2. MONOMIOAK Kopiatu koadernoan Zenbakiari koefiziente esaten zaio, eta letra bakoitzari, indeterminatu . Letraren zati osoari letrazko atal esaten zaio. Letren berretzaileen arteko baturari monomioaren maila esaten diogu. 7 x 4 y 2 Letrazko atala Koefizientea Indeterminatuak: x eta y Maila: 4 + 2 = 6 Zenbaki bat eta letra batzuk biderkatzen ditugunean, monomioa lortzen dugu. Esate baterako: 4xy; 3x 2 y; 2x 3 … BURDINIBARRA BHI

3. ARIKETAK Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira Honako monomio hauetan adierazi zein diren koefizientea, letrazko atala, indeterminatuak eta monomioaren maila: 1) 5 x 2 7) 2) 0,6 xy 8) 3) –5 x 2 y 3 z 9) 4) 3 z 4 10) 5)  x 2 z 11) 3 · 10 12 x 2 y 3 z 4 6) –1/3 ab 2 12) abc BURDINIBARRA BHI

4. MONOMIO ANTZEKOAK Kopiatu koadernoan Bi monomio, letrazko atala berdina dutenean, antzekoak direla esaten dugu. Batuketak eta kenketak monomio antzekoen artean baino ezin ditugu egin. Adibideak: 4 x 2 y 3 + 3 x 2 y 3 = Biderketak eta zatiketak, berriz, monomio antzekoen eta ez antzekoen artean egin ditzakegu. Adibideak: 4 x 2 y 3 · 5 x y 2 z = (4 + 3) x 2 y 3 = 7 x 2 y 3 (5 – 12) xz 2 = – 7 xz 2 x 3–1 y 5–4 z 2–2 = 5 x 2 y 5 xz 2 – 12 xz 2 = 4 ·5 x 2+1 y 3+2 z = 20 x 3 y 5 z 15 x 3 y 5 z 2 : 3 x y 4 z 2 = BURDINIBARRA BHI

5. ARIKETAK Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira Honako eragiketa hauek egin: 13) 3 xy + 5 xy – 2 xy + xy 19) 14) 0,6 x 2 – 3,5 x 2 + 2 x 2 – 5,1 x 2 20) 15) 21) 16) 22) 17) 3 ·10 –5 xy 2 + 7 ·10 –5 xy 2 23) 18) 3 x – 5 y – 2 x + 4 y 24) BURDINIBARRA BHI

6. MONOMIOEN BERREKETA Kopiatu koadernoan Monomio baten berreketa egiteko, monomioaren biderkagai bakoitza berretuko dugu zenbakiekin egin genuen bezala, baina, orain, zenbakiekin eta letrekin. Adibidea: (3 x 2 y 5 ) 4 = 3 4 ( x 2 ) 4 ( y 5 ) 4 = 81 x 8 y 20 Ariketak : 25) (4 xy 2 ) 3 26) (6 x 5 z 2 ) 2 27) (2 y 3 x 6 ) 5 28) (0,2 x 3 y 4 ) 2 BURDINIBARRA BHI

7. POLINOMIOAK Kopiatu koadernoan Monomioak batzen ditugunean, beste adierazpen mota batzuk sortzen dira: polinomioak . Polinomioaren batugai bakoitzari gai esaten diogu. Adibideak: P( x , y ) = 2 x 2 y + 3 xy 2 – xy + 2 x – 5 y + 1 Q( y , z ) = 3 y 3 z + 2 y 2 z 2 – 3 yz + 2 x –7 Polinomioek hainbat indeterminatu izan ditzakete. Guk indeterminatu bakarreko polinomioak aztertuko ditugu. Adibideak: P( x ) = 2 x 2 + 3 x – 1 Q( y ) = 3 y 3 + 2 y 2 – 3 y + 7 Indeterminaturik ez duen gaiari gai aske esaten diogu. BURDINIBARRA BHI

8. POLINOMIOAK Kopiatu koadernoan Polinomioen gaiak monomioen mailaren arabera ordenatuko ditugu, eta monomioen arteko mailarik handiena izango da polinomioaren maila . Adibideak: P( x ) = 5 x 4 + x 3 – 7 x 2 + 2 x – 5. Maila: 4 Q( y ) = y 3 + 7 y 2 + 2. Maila: 3 Indeterminatuaren ordez zenbaki bat jartzen badugu, eta, polinomioak adierazten dituen eragiketa guztiak egiten baditugu, polinomioaren zenbaki-balioa lortuko dugu. Adibideak: P( x ) = 5 x 4 + x 3 – 7 x 2 + 2 x – 5 P( 2 ) = 5 · 2 4 + 2 3 – 7 · 2 2 + 2 · 2 – 5 = = 5 ·16 + 8 – 7 ·4 + 2 ·2 – 5 = 59 x indeterminatua 2 denean, polinomioaren zenbaki balioa 59 da. BURDINIBARRA BHI

9. ARIKETAK Esan zein diren indeterminatua, polinomioaren maila eta gai askea honako polinomio hauetan: 34) P( x ) = 8 x 6 + 5 x 4 – 6 x 2 + 12 x + 9 35) Q( y ) = 3 y 4 + 5 y 3 + y 2 + 9 y – 16 36) R( z ) = 7 z 5 – 16 z 2 + 5 z – 1 37) S ( x ) = x 7 – 8 x 4 + 14 x 2 – 0,7 x Sortu ondoren eskatzen diren polinomioak: 38) 4. maila duen x indeterminatuko p olinomio bat 39) 5. maila duen y indeterminatuko p olinomio bat 40) 3. maila duen x indeterminatuko p olinomio bat Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira BURDINIBARRA BHI

10. ARIKETAK Bilatu honako polinomio hauen zenbaki balioa, indeterminatuak adierazten den balioa hartzen duenean: 41) P( x ) = 8 x 6 + 5 x 4 – 6 x 2 + 12 x + 9 ( x = 2) 42) Q( y ) = 3 y 4 + 5 y 3 + y 2 + 9 y – 16 ( y = –2) 43) R( z ) = 7 z 5 – 16 z 2 + 5 z – 1 ( z = –3) 44) S ( x ) = x 7 – 8 x 4 + 14 x 2 – 3 x ( x = 1/2) 45) T( x ) = 3 x 4 – 2 x 3 – 5 x 2 + 4 x – 1 ( x = 1/3) 46) U( x ) = k 3 + 6 x 2 + 9 x ( x = –1/3) 47) V( x ) = 2 x 4 – 5 x 2 + 5 ( x = ) 48) W( x ) = 4 x 3 – x 2 + 3 x – 7 ( x = –1) Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira BURDINIBARRA BHI

11. BATUKETAK Kopiatu koadernoan Polinomioak batzeko eta kentzeko, gai antzekoak batu edo kenduko ditugu, monomioekin egin genuen bezala. P( x ) = 2 x 3 – 5 x 2 + 3 x – 7 Q( x ) = 6 x 3 + 8 x 2 – 4 x + 9 Batuketa : P( x ) + Q( x ) = 2 x 3 – 5 x 2 + 3 x – 7 + 6 x 3 + 8 x 2 – 4 x + 9 = = ( 2 + 6 ) x 3 + ( –5 + 8 ) x 2 + ( 3 – 4 ) x + ( –7 + 9 ) = = 8 x 3 + 3 x 2 + (–1) x + 2 = 8 x 3 + 3 x 2 – x + 2 Kenketa : P( x ) – Q( x ) = 2 x 3 – 5 x 2 + 3 x – 7 – ( 6 x 3 + 8 x 2 – 4 x + 9 ) = = 2 x 3 – 5 x 2 + 3 x – 7 – 6 x 3 – 8 x 2 + 4 x – 9 = = ( 2 – 6 ) x 3 + ( –5 – 8 ) x 2 + ( 3 + 4 ) x + ( –7 – 9 ) = = –4 x 3 – 13 x 2 + 7 x – 16 BURDINIBARRA BHI

12. ARIKETAK 49) R( x ) = –4 x 3 – 13 x 2 + 7 x – 16 eta Q( x ) = 8 x 3 + 3 x 2 – x + 2 polinomioekin honako eragiketa hauek egin: R( x ) + Q( x ), R( x ) – Q( x ) eta Q( x ) – R( x ). EMA.: 4 x 3 – 10 x 2 + 6 x – 14; –12 x 3 – 16 x 2 + 8 x – 18; 12 x 3 + 16 x 2 – 8 x + 18. 50) P( x ) = – x 4 + 3 x 2 – 12 x – 7 eta S( x ) = –5 x 3 – 9 x 2 – 8k – 12 polinomioekin honako eragiketa hauek egin: P( x ) + S( x ), P( x ) – S( x ) eta S( x ) – P( x ). EMA.: – x 4 – 5 x 3 – 6 x 2 – 20 x – 19; – x 4 + 5 x 3 + 12 x 2 – 4 x + 5; x 4 – 5 x 3 – 12 x 2 + 4 x – 5 51) polinomioekin honako eragiketa hauek egin: P( x ) + Q( x ), P( x ) – Q( x ) eta Q( x ) – P( x ). Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira BURDINIBARRA BHI

13. ZENBAKI BATEKIN BIDERKATZEA Kopiatu koadernoan Polinomioak zenbaki batekin biderkatzeko, polinomioaren gai guztiak biderkatuko ditugu zenbaki horrekin. P( x ) = 2 x 3 – 5 x 2 + 3 x – 7 Q( x ) = 6 x 3 + 8 x 2 – 4 x + 9 Zenbakia positiboa bada (4) : 4 · P( x ) = 4 ·( 2 x 3 – 5 x 2 + 3 x – 7 ) = 4 · 2 x 3 – 4 · 5 x 2 + 4 · 3 x – 4 · 7 = 8 x 3 – 20 x 2 + 12 x – 28 Zenbaki negatiboa bada (–3) : (–3) · Q( x ) = (–3) ·( 6 x 3 + 8 x 2 – 4 x + 9 ) = = (–3) · 6 x 3 + (–3) · 8 x 2 – (–3) · 4 x + (–3) · 9 = = –18 x 3 – 24 x 2 + 12 x – 27 BURDINIBARRA BHI

14. ARIKETAK 52) P( x ) = 4 x 4 – 5 x 3 + 7 x 2 – 8 x – 1 eta Q( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 – 6 x – 7 badira, kalkulatu honako eragiketa hauen emaitzak: 2 ·P( x ); (–4) ·Q( x ) ; 5 ·[ P( x ) + Q( x ) ] eta (–3) ·[ P( x ) – Q( x ) ] 53) P( x ) = –2 x 3 – 5 x 2 – 4 x – 9 eta S( x ) = –6 x 3 – 3 x 2 – 8 x – 7 polinomioekin honako eragiketa hauek egin: 3 ·P( x ) – 2 ·S( x ); (–5) ·P( x ) – 4 ·S( x ) eta 3 ·[ S( x ) – 2 ·P( x ) ]. 54) polinomioekin honako eragiketa hauek egin: 2 ·P( x ) + 3 ·Q( x ), 2 ·[ P( x ) – 5 ·Q( x ) ] eta (1/2) ·Q( x ) – P( x ) Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira BURDINIBARRA BHI

15. BIDERKETAK Kopiatu koadernoan Polinomioen arteko biderketak egiteko, lehenengo polinomioaren gai guztiekin biderkatuko dugu bigarren polinomioaren gai bakoitza. Ordena oso ondo errespetatuko dugu hori egiteko. P( x ) = 2 x 2 + 3 x – 4 Q( x ) = 5 x 2 – 4 x + 1 BURDINIBARRA BHI

16. BIDERKETAK Kopiatu koadernoan Baina, bada beste modu bat. Hemendik aurrera, honela egiten saiatuko gara: P( x ) = 2 x 2 + 3 x – 4 Q( x ) = 5 x 2 – 4 x + 1 P( x ) · Q( x ) = (2 x 2 + 3 x – 4) · (5 x 2 – 4 x + 1) = 2 x 2 · (5 x 2 – 4 x + 1) + + 3 x · (5 x 2 – 4 x + 1) + (– 4) · (5 x 2 – 4 x + 1) = = 10 x 4 – 8 x 3 + 15 x 3 + 2 x 2 – 12 x 2 – 20 x 2 + 3 x + 16 x – 4 = = 10 x 4 + 7 x 3 – 30 x 2 + 19 x – 4 10 x 4 – 8 x 3 + 2 x 2 + + 15 x 3 – 12 x 2 + 3 x – 20 x 2 + 16 x – 4 = BURDINIBARRA BHI

17. ARIKETAK 55) P( x ) = – 2 x 2 – x + 3 eta Q( x ) = x 2 – 3 x – 2 badira, kalkulatu honako eragiketa hauen emaitzak: P( x ) ·Q( x ); [ P( x ) + Q( x ) ] ·[ P( x ) – Q( x ) ] 56) P( x ) = –2 x 3 – 5 x 2 + 9 eta Q( x ) = –3 x 2 – 8 x polinomioekin honako eragiketa hauek egin: P( x ) ·Q( x ); [ P( x ) + Q( x ) ] ·[ P( x ) – Q( x ) ] 57) polinomioekin egin honako eragiketa hauek egin: P( x ) ·Q( x ); [ P( x ) + Q( x ) ] ·[ P( x ) – Q( x ) ] Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira BURDINIBARRA BHI

18. ARIKETAK Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira Demagun hiru polinomio hauek ditugula: P( x ) = – x ³ + x ² – x + 1 Q( x ) = 2 x ³ – 6 x + 5 R( x ) = –4 x ³ + x ² Polinomio horiekin. Honako eragiketa hauek egin: 58) P( x ) – Q( x ) – R( x ) 62) P( x ) – Q( x ) + R( x ) 59) Q( x ) ·R( x ) 63) P( x ) – [ Q( x ) + R( x ) ] 60) P( x ) ·[2Q( x ) + R( x )] 64) P( x ) ·R( x )] 61) –P( x ) ·Q( x ) 65) (–1/2) ·P( x ) + (1/3) ·R( x ) BURDINIBARRA BHI

19. ZATIKETAK Kopiatu koadernoan Zatiketak egiteko, zatikizuna idatziko dugu lehenik, eta, gero, lerro berean, bi zuzenkiz bereizita, zatitzailea , zenbakietan bezala. Ondoren, zatikizuna ren mailarik handiena duen gaia (4 x 3 ) zati zatitzailea ren mailarik handiena duen gaia (2 x ) egingo dugu, eta zatidura (2 x 2 ) lehengo zuzenkietako baten azpian jarriko dugu. Orain, biderketa hau egingo dugu: zatidura bider zatitzailea; eta emaitza (biderkadura) zatikizunaren azpian idatziko dugu, gaien maila errespetatuz. Horren ondoren, kenketa egingo dugu, zenbakiekin egiten dugun bezala; baina, errazago egitearren, zeinu guztiak aldatuko ditugu, eta, gero, batu egingo ditugu. Gauza bera da eta. Erabili gabe geratu den zatikizun zatia berridatzi, eta prozesua osorik errepikatuko dugu. Zatikizuna Zatitzailea Zatidura Hondarra BURDINIBARRA BHI

20. ZATIKETAK Kopiatu koadernoan Hondarra ren maila beti da zatitzailea rena baino txikiagoa. Hondarra zero denean, zatiketa zehatza izango dugu, eta “zatikizuna zatitzaileaz zatigarria dela” esango dugu. Hondarra zero ez bada, zatiketa osoa izango dugu. Adibidea: Hona hemen zatiketa zehatz bat. P( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 + x - 2 polinomioa Q( x ) = x + 2 polinomioaz zatigarria da. BURDINIBARRA BHI

21. ARIKETAK Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira Edozein zatiketatan honako hau egiaztatzen da beti: Egin honako zatiketa hauek, eta egiaztatu goiko formula. Esan zein diren zehatzak eta zein ez: 66) (3 x 3 + 5 x 2 – 4 x – 1)  (3 x + 2). 67) ( x 3 + x 2 – x – 1)  ( x – 1). 68) ( x 3 – 1)  ( x – 1). Gairen bat falta denean lekua utzi behar zaio ordena mantentzeko. 69) ( x 4 – 2 x 2 + 3 x + 5)  ( x 2 + 2x). 70) (2 x 5 + 4 x 4 – x 3 – 2 x 2 + x – 3)  (2 x 2 – 3). Zatikizuna = zatitzailea  z atidura + hondarra BURDINIBARRA BHI

22. BERREKETA Kopiatu koadernoan Polinomio baten berretura egiteko, berretzaileak adierazten duen bezain bestetan biderkatuko dugu polinomioa. Hau da, berreketaren definizioa erabilita, honela egingo dugu: ( x + 2) 2 = ( x + 2) ·( x + 2) = x 2 + 2 x + 2 x + 4 = x 2 + 4 x + 4 (2 x – 5) 2 = (2 x – 5) ·(2 x – 5) = 4 x 2 – 10 x – 10 x + 25 = = 4 x 2 – 20 x + 25 ( x – 1) 3 = ( x – 1) ·( x – 1) ·( x – 1) = ( x 2 – x – x + 1) ·( x – 1) = = ( x 2 – 2 x + 1) ·( x – 1) = x 3 – x 2 – 2 x 2 + 2 x + x – 1 = = x 3 – 3 x 2 + 3 x – 1 Hala ere, badaude formula batzuk, askotan azaltzen direnez buruz ikasiko ditugunak, oso erabilgarriak dira eta. BURDINIBARRA BHI

23. BIDERKETA BEREZIAK Kopiatu koadernoan Hona hemen formulok: ( a + b ) 2 = ( a + b ) ·( a + b ) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 Hau da, honako hau da binomio baten berbidura, gaiak batzen daudenean: binomioaren lehengo gaia ber bi, gehi lehenengo gaiaren eta bigarrenaren arteko biderkadura bi aldiz, gehi bigarren gaia ber bi. ( a – b ) 2 = ( a – b ) ·( a – b ) = a 2 – ab – ba + b 2 = a 2 – 2 ab + b 2 Gaiak kentzen daudenean, ostera, honako hau izango da binomio baten berbidura: binomioaren lehengo gaia ber bi, ken lehenengo gaiaren eta bigarrenaren arteko biderkadura bi aldiz, gehi bigarren gaia ber bi. BURDINIBARRA BHI

24. BIDERKETA BEREZIAK Kopiatu koadernoan ( a + b ) ·( a – b ) = a 2 – ab + ba – b 2 = a 2 – b 2 Horra hor, bi binomioren arteko biderkadura; bi binomioen gaiak berdinak dira, baina batean batzen daude, eta, bestean, kentzen. Hona hemen emaitza: lehenengo gaiaren berbidura ken bigarren gaiaren berbidura. Hemendik aurrera, buruz jakingo ditugu formula hauek: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2 ( a + b ) ·( a – b ) = a 2 – b 2 BURDINIBARRA BHI

25. ARIKETAK Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira Egin honako eragiketa hauek, behar den formula erabilita: 71) ( x + 5) 2 80) ( x – ) ·( x + ) 72) (4 x + 3) 2 81) ( x + 1/2) 2 73) ( x – 2) 2 82) [ (1/3) x – 5 ] 2 74) (3 x – 2) 2 83) (5 x + 3 a ) · (5 x – 3 a ) 75) (5 x + y ) 2 84) (6 x 4 + 2) 2 76) ( x 2 – 1) 2 85) (4 x – ) 2 77) ( x + 3) ( x – 3) 86) ( – ) · ( + ) 78) (2 x – 6) ·(2 x + 6) 87) (8 x – 3/4) 2 79) (7 x 3 + 2 y ) ·(7 x 3 – 2 y ) 88) [ (5/3) x + 9 ] 2 BURDINIBARRA BHI

26. ARIKETAK Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira Idatzi honako polinomio hauek, biderketa edo berreketa eran: 89) x 2 + 10 x + 25 94) x 2 + 4 x + 4 90) x 2 – 6 x + 9 95) 9 x 2 – 64 91) 4 x 2 – 16 96) 16 – 8 x 2 + x 4 92) x 6 + 4 x 3 + 4 97) 93) x 2 – 2 x + 1 98) Nola bihurtuko genuke polinomio bat berreketa edo biderketa? x 2 + 14 x + 49 = 9 x 2 – 12 x + 4 = a 2 – 36 = (a + 6) ·(a – 6) BURDINIBARRA BHI