Agda による型推論器の定式化

http://github.com/KDXU/InferAgda
Agdaによる型推論器の定式化
お茶の水女子大学大学院門脇香子，浅井健一
kado@pllab.is.ocha.ac.jp
asai@pllab.is.ocha.ac.jp
1

研究概要
• Agda を用いて停止性と正当性がそれぞれ保証され
た型推論器を pure functional に実装した
• uniﬁcation の実装部分は McBride の手法を採用
した
• 主に uniﬁcation の部分と application の実装に
フォーカスを当てながら解説します
• コード : http://github.com/KDXU/InferAgda
2

Agdaについて
• 依存型を用いた，Haskell に似た構文をもつ定理
証明支援系言語
• プログラミング言語と定理証明支援系言語の両面
を持っている 
→ 何かを実装しつつ証明をするのに適している
• マルティンレフの型理論に基づいている
3

発表の流れ
1. 研究概要
2. 研究背景
3. シンタックスと型定義
4. uniﬁcation の実装
5. well-scoped term における実装
6. well-typed term における実装
7. まとめ
4

研究背景
• 依存型を使うと対象言語の型を項の定義に埋め込むこ
とができる
• しかし，これまでの依存型による型チェックは，束縛
変数の型があらかじめユーザによって入力されている 
→ 型推論は行わない！
• 型の uniﬁcation を Agda で表現するのは難しかった
• McBride は停止性が明らかな形で型の uniﬁcation
が表現できることを示した 
→ Agda で型推論器を実装する土台が整った
5

シンタックスと型定義
• シンタックス 
自由変数の数がn個のwell-scoped term
• 依存型を用いた de Bruijn index
6

依存型
• 値に依存する型のこと 
 
• 「Int 型を持つ項」なども表現できるようになる
• さまざまな面白い応用が知られている
7
List n 型 … 「長さ n のリスト」という意味を持つ型

シンタックスと型定義
• 型定義 
 
 
 
8

uniﬁcation
• McBride の手法を Agda で実装したもの
• uniﬁcation は書き換え可能なセルを使うと実装で
きる 
→ Agda だと書き換えは許されない & 停止性が保
証されている必要がある 
9

uniﬁcation
• McBride の手法を Agda で実装したもの
• uniﬁcation は書き換え可能なセルを使うと実装で
きる 
→ Agda だと書き換えは許されない & 停止性が保
証されている必要がある 
10
そこでMcBrideは「型変数が具体化されるたびに，
型変数の数が一つ減る」という点に注目

uniﬁcation
• n 個の「具体化されていない型変数」を 0 から  
n-1までの数字からなる集合の型を表す Fin n 型で
表す
• その n を減らすことで停止性が明らかな形の
uniﬁcation を実現 
11

uniﬁcation
12
Fin 2Fin 3
=

uniﬁcation の実装の流れ
1. 変数を濃縮する関数 thick を実装
2. 変数の出現を確認する check を実装
3. 代入を表すデータ構造 AList を定義
4. mgu を定義
13

thick 関数
• 変数 y を x の位置で「濃縮」する関数
• 例 : x = 1 で濃縮 y = 1 だと濃縮できない
14
Fin 2 Fin 1

thick 関数
15

check 関数
check x t : x 番の型変数が型 t の中に現れるかを thick を用い
てチェックする
16

AList 型
• AList m n :「m 個の型変数を持つ型」を「n 個の
型変数を持つ型」に変換するような代入の型 
(m, n は m ≥ n であるような自然数)
17

flexFlex，flexRigid
• flexFlex x y : 型変数 x と y を単一化する代入
18

flexFlex，flexRigid
• flexRigid : 型変数 x と型 t を単一化する代入
19

mgu 関数
• 型 s と型 t を同じにするような代入を返す
• mgu は結果として (n, 代入) を返す
• 代入は m 個の型変数を n 個まで減らす
• amgu : accumulator を使って実装
20

• 型 s と t の構造に従って素直に unification を行う
• m についての構造的帰納法を用いている
• 片方,または両方が型変数だった場合は flexRigid, flexFlex を使って
unification を行っている
• (r for z) ◁ s は型 s の中の型変数全てについて (r for z) を施した型
21

uniﬁcation
22
• 以上で unify t1 t2 は型変数が m 個であるような型 t1
と t2 を unify する代入を返す関数として実装ができた

well-scoped な型推論
. infer Γ s : 型環境 Γ と well-scoped な項 s をもらってき
たら, s の型と必要な代入を Maybe モナドに包んで返す 
23
σ Γ ⊢ s : τ
入力
出力

well-scoped な型推論
24
count : Lam と App のノード数を数える関数

variable
• 変数の場合は単に型環境の型を返す
25

lambda
• まず body 部分の型推論を行い,body 部分に型が付いた場合
のみ型付けされ,「引数の型 body の型」が全体の型となる
26

application
27
1. App s1 s2 において,s1 の型推論によって返された代入 σ1 を  
Γ に加え，
2. 環境 σ1 Γ の元での s2 の型推論が成功した場合にのみ,
3. (s2 の型 β)が s1 と等しくなっているかどうかを  
unify 関数によって判定する

application
28

application
29
1. はじめに再帰呼び出しから infer {m} Γ s1 を行うと  
σ1 Γ ⊢ s1 : t1  
なる σ1, t1 が得られる．
2. 次に s2 についての再帰で,環境 σ1 Γ の元で s1 の型は infer
{m1} Γ s2 となるので,  
σ2(σ1Γ) ⊢ s2 : t2  
なる σ2, t2 が得られる．

application
30
4. 次に,σ2(t1) = t2 → β (ここで β は新しい型変数)となる
unify σ3 を求めると,
σ3(σ2(t1)) = σ3(t2 → β)
となり,σ3 を 2. で得られているふたつの型判定に適用する
と,
σ3 (σ2 (σ1 Γ)) ⊢ s1 : σ3 (σ2(t1)) σ3 (σ2(σ1 Γ)) ⊢ s2 : σ3 (t2)
が得られる.

application
31
５．ここから関数適用の型規則を使うと,
σ3(σ2(σ1Γ)) ⊢ App s1 s2 : σ3(β)
が得られる. 
６．よって，App s1 s2 が返すものは
just (m2,σ3+(σ2+σ1), σ3(β))
となる.

application
32
型変数の数を巧妙にとらえることがキーとなる

application
33
❉ 型変数の数は,型推論が始まる時点では m である
❉ s1 を型推論する時点でそれは m+count s1 まで増えるが型  
推論中に型変数の具体化が起こり m1 となる
❉ 次に,s2 を型推論する時点で m1+count s2 まで増えるがや  
はり型推論中に型変数の具体化が起こり m2 となる
❉ さらに,β を割り当てるので m2 + 1 個に増え,
❉ 最後の uniﬁcation で m3 個に減ることになる

well-typed な型推論
• これまでの型推論器は停止性のみ保証している
• 正当性が保証された型推論をしたい
• well-typed な型を定義する
• 型規則を構文の定義に埋め込んでいる
34

well-typed な型推論
• infer2 :型環境と well-scoped な項 s が入力となり，型
変数の数 m と s の型 τ と必要な代入 σ と型付けされ
た well-typed な項を Maybe モナドに包んで返す関数
35

variable
• 変数の場合は単に型環境の型を返す
• Var x の型が微妙に違うので補助関数を用いて結ん
でいる
36

lambda
• まず body 部分の型推論を行い,body 部分に型が付いた場合のみ
型付けされ,「引数の型 body の型」が全体の型となる
37

lambda
• well-scoped の場合と同様，まず body 部分の型推論を行い,body
部分に型が付いた場合のみ型付けされ,「引数の型 body の型」
が全体の型となる
38

lambda
39
• このコードは well-scoped な場合と比べて,再帰呼び出しの
結果として well-typed な項を受け取っていることと，最後に
well-typed な LamW を返している点のみが異なっている
• body 部分を型推論しwell-typed な w が得られた場合は最終
的に返したい well-typed な項はほぼ Lam tx w となる
• しかし，実際に再帰呼び出しで得られた w の型が異なる

lambda
40
wの型は展開すると
WellTypedTerm (tx :: substCxt σ (liftCxt (count s) (liftCxt 1 Γ))) t
であるが，実際に必要な型は
 
WellTypedTerm (tx :: substCxt σ (liftCxt (count (Lam s)) Γ)) t

lambda
41
wの型は展開すると
WellTypedTerm (tx :: substCxt σ (liftCxt (count s) (liftCxt 1 Γ))) t
であるが，実際に必要な型は
 
WellTypedTerm (tx :: substCxt σ (liftCxt (count (Lam s)) Γ)) t 
「環境部分」が異なっている

lambda
42
この2つを eq という証明を用いて結んでいる

application
43
well-scoped の時と同様，
1. App s1 s2 において,s1 の型推論によって返された代入 σ1 を  
Γ に加え，
2. 環境 σ1 Γ の元での s2 の型推論が成功した場合にのみ,
3. (s2 の型 β)が s1 と等しくなっているかどうかを  
unify 関数によって判定する

application
44

http://github.com/KDXU/InferAgda45
• 再帰呼び出しの結果を w1, w2 に受け取っていることと最後に well-
typed な AppW1W2 を返している点のみが異なっている
•AppW1W2 はほぼ App w1 w2 となる
•しかし lambda と同様に型の調整を行う必要がある

application
46
WellTypedTerm (substCxt σ 3 (liftCxt 1 (substCxt σ 2 (liftCxt
(count s2) (substCxt σ 1 (liftCxt (count s1) Γ)))))) (substType
σ 3 (liftType 1 t2))
substWTerm σ 3 (liftWTerm 1 w2) の型は
となる．

application
47
substWTerm σ 3 (liftWTerm 1 w2) の型は
となる．これと w2 を見比べると
w2 : WellTypedTerm (substCxt (σ 3 +!+ (σ 2 +!+ σ 1 )) (liftCxt
(count (App s1 s2)) Γ)) (substType σ 3 (liftType 1 t2))

application
48
得られた w2 の型は
欲しい w2 の型は
w2 : WellTypedTerm (substCxt (σ 3 +!+ (σ 2 +!+ σ 1 )) (liftCxt
(count (App s1 s2)) Γ)) (substType σ 3 (liftType 1 t2))

すなわち
1. (count s1) だけ型変数を増やし，σ１を施す
2. (count s2) だけ型変数を増やし，σ２を施す
3. 1 だけ型変数を増やし，σ３を施す
49
1. 一度に (count (App s1 s2)) だけ型変数を増やし， 
(σ１ + (σ２ + σ３ )) を施す
を示す必要がある．

すなわち
1. (count s1) だけ型変数を増やし，σ１を施す
2. (count s2) だけ型変数を増やし，σ２を施す
3. 1 だけ型変数を増やし，σ３を施す
50
1. 一度に (count (App s1 s2)) だけ型変数を増やし， 
(σ１ + (σ２ + σ３ )) を施す
この証明はかなり長くなるが示すことができる

application
51
w1 : WellTypedTerm (substCxt (σ 3 +!+ (σ 2 +!+ σ 1 ))
(liftCxt (count (App s1 s2)) Γ)) (substType σ 3 (liftType 1
t2 TVar (fromN m2)))
w1 : WellTypedTerm (substCxt σ 1 (liftCxt (count s1) Γ)) t1
w1に関して，型は
w1 の型は

http://github.com/KDXU/InferAgda52
w1 : WellTypedTerm (substCxt (σ 3 +!+ (σ 2 +!+ σ 1 ))
(liftCxt (count (App s1 s2)) Γ)) (substType σ 3 (liftType 1
t2 TVar (fromN m2)))
WellTypedTerm (substCxt σ 3 (liftCxt 1 (substCxt σ 2
(liftCxt (count s2) (substCxt σ 1 (liftCxt (count s1)
Γ)))))) (substType σ 3 (liftType 1 (substType σ 2
(liftType (count s2) t1)))
w1 に対して一連の操作を行って得られた
substWTerm σ 3 (liftWTerm 1 (substWTerm σ 2 (liftWTerm (count s2) w1)))
の型は  
対して，欲しい型は

application
• w2 の場合と異なり，環境も型も異なる 
→ 環境に関しては w2 と同じ方法で示せる
• 型に関して
53
substType σ 3 (liftType 1 (substType σ 2 (liftType (count s2) t1)))
substType σ 3 (liftType 1 t2 TVar (fromN m2))
と
が同じであることを示す必要がある

application
• 両者は unify 関数によって同じ型になっているはず
• これまでの unify 関数はそれを保証していない
• 2つの型が同値であることの証明がついた unify 関
数が必要
54
substType σ3 (liftType 1 (substType σ2 (liftType (count s2) t1)))
substType σ3 (liftType 1 t2 TVar (fromN m2))

application
• 両者は unify 関数によって同じ型になっているはず
• これまでの unify 関数はそれを保証していない
• 2つの型が同値であることの証明がついた unify 関
数が必要
55
σ3 (σ2 (t1))
σ3 (t2 β)

application
• 証明付きの unify を実装する必要がある 
→ unify2 関数とする
• その証明を用いて w2 と w2 を結ぶ
• unify2 関数に関しては次に説明
56

証明付きの unify
• well-scoped な項の場合だと unify は「何か代入を返すも
の」と定義されているのみで「返って来た代入が確かにふたつ
の型を単一化するか」は保証されていない
• well-typed な型推論器を実装するにおいて，ふたつの型が確
かに等しいことを保証するような unification の関数が必要
• それにあたり，flexFlex，flexRigid なども変換前後における
型の代入が等しいことの証明を添えて返すように変更する必要
がある
• 新しい flexFlex2，flexRigid2 を定義する
57

58
ﬂexFlex2, ﬂexRigid2 : σ が確かに与えられた 2 つの型変数，もしく
は型を単一化するという証明を加えて返す

59
これを利用して，amgu2 も
「substType したものが等しい」 
という証明に加えて, さらに amgu2 を定義する際の帰納法の仮定に
必要となる
「返って来た σ が acc の拡張になっている」
という証明を加える

60
unify2 t1 t2 :
型変数が m 個であるような型 t1 と t2 を単一化する代入と，その
二つの substitution した型が等しい証明を返す

61
well-typed な型推論器の実装においては well-scoped の場合と
同じく型変数を巧妙に操作することに加えて， 
「 unify の拡張， ﬂexFlex や ﬂexRigid といった機構の定式化」
も必要となった

まとめ
• Agda で simply-typed lambda calculus の uniﬁcation
の機構を McBride の手法を用い型推論器の実装を行った
• さらに型推論器が正しいことを示すために正当性の証明
がついた型推論器を作成した
• 今後は syntax の拡張として多相の Let 文を含めた形に
ついても実装と証明を行っていきたい
• 現在の実装だと where 節が冗長なため実行時間が比較的
長くなってしまっており，かつ証明が煩雑なので実装の簡
略化を試みていきたい
62

Agda による型推論器の定式化

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (14)

Similar a Agda による型推論器の定式化

Similar a Agda による型推論器の定式化 (20)

Agda による型推論器の定式化