1. Phổ tần số R x (e jω ) của hàm tự tương
quan rx (m) chính là hàm mật độ phổ năng lượng S x (ω) của tín hiệu số x(n) .
3.1.3k Phổ tần số của hàm tự tương quan rx(m) :
Nếu :
Thì :
FT [ x ( n)] = X (e jω )
R x (e jω ) = FT [ rx ( m) ] = X (e jω ). X (e − jω )
[3.1-42]
Hay :
[3.1-43]
R x (e jω) = FT [rx ( m ) ] = X (e jω)
= S x (ω
)
Đó chính là nội dung của định lý Wiener - Khintchine.
Chứng minh : Trong biểu thức của hàm tương quan, khi thay y (n) = x ( n) nhận được
hàm tự tương quan rx (m) , vì thế theo [3.1-41] có :
2
R x (e jω) = FT [rx ( m) ] = X (e jω). X (e −jω) = X (e jω)
2
= S x (ω
)
jω
Ví dụ 3.12 : Hãy tìm hàm phổ Rx (e ) của tín hiệu số
Giải :
Sử dụng [3.1-6] và [3.1-42] tìm được :
R x (e jω ) =
1
(1 − 0,5e
3.2
− jω
)
.
1
(1 − 0,5e
jω
)
=
x ( n) = 2 −n u ( n) .
1
1,25 − cos ω
Phổ của tín hiệu số
3.2.1 Các đặc trưng phổ của tín hiệu số
Biến đổi Fourier của tín hiệu số x(n) là hàm phổ X(ejω) của nó :
X (e
jω
) =
∞
∑x(n).e
− jω. n
n =−
∞
= X (e jω ) .e jϕ(ω) = X R (ω) + jX I (ω)
Từ đó xác định được :
- Phổ biên độ X(ejω)được tính theo [3.1-15] :
X (e j ω ) =
2
X R (ω ) + X I2 (ω )
- Phổ pha ϕ(ω) = Arg[ X(ejω)] được tính theo [3.1-16] :
[
]
 X (ω ) 
ϕ (ω ) = Arg X (e jω ) = arctg  I

 X R (ω ) 
- Năng lượng E x được tính theo công thức Parseval
Ex =
1
2π
π
∫ X (e
π
jω
2
) dω =
−
1
2π
π
∫S
π
x
[3.1-37] :
(ω) dω
−
- Mật độ phổ năng lượng S x (ω) được tính theo [3.1-39] :
S x (ω = X (e
)
jω
)
2
Hàm phổ X(ejω), phổ biên độ X(ejω), phổ pha ϕ(ω), và hàm mật độ phổ năng lượng
S x (ω) là các đặc trưng phổ của tín hiệu số x(n).
Ví dụ 3.13 : Cho tín hiệu số
x ( n ) = 2 − n u ( n − 2) ,
hãy xác định các đặc trưng phổ
của tín hiệu.
Giải :
X (e jω ) = FT[2 − n u(n − 2)] = FT[2 − 2.2 − (n− 2) u(n − 2)]
Theo [3.1-6] và tính chất trễ của biến đổi Fourier có :
X (e jω ) = FT [2 − n u(n − 2)] = 2 − 2 e − j 2ω
1
(1 − 0,5e − jω )
131

2. Hàm phổ :
e − j 2ω
0,25.e − j 2ω
X (e ) =
=
− jω
4(1 − 0,5e ) (1 − 0,5 cos ω + j0,5 sin ω )
jω
Hàm phổ biên độ :
Hàm phổ pha :
X (e
jω
) =
0,25
(1 − 0,5 cos ω) + (0,5 sin ω)
2
0,25
=
1,25 − cos ω
2

0,5 sin ω

(1 − 0,5 cos ω ) 


ϕ(ω) = − 2ω − arctg 
jω
S x (ω = X (e
)
Hàm mật độ phổ năng lượng :
)
2
=
0,0625
(1,25 −cos ω
)
Về ý nghĩa vật lý, đồ thị của hàm phổ biên độ X(ejω) và hàm mật phổ năng
lượng S x (ω) chính là bức tranh cho biết sự phân bố năng lượng của tín hiệu số
x(n) trên trục tần số. Đồ thị phổ pha ϕ(ω) cho biết quan hệ về pha giữa các thành
phần tần số của phổ tín hiệu.
Phương pháp phân tích tín hiệu số x(n) dựa trên các đặc trưng phổ của nó
được gọi là phương pháp tần số, hay phương pháp phân tích phổ, nó thường được sử
dụng để xử lý số tín hiệu âm thanh.
3.2.2 Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu x(n.T)
3.2.2a Định lý lấy mẫu
Định lý lấy mẫu là cơ sở để rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà không làm mất
thông tin của nó, và vì thế có thể khôi phục tín hiệu liên tục từ tín hiệu lấy
mẫu.
Giáo trình lý thuyết mạch đã trình bầy và chứng minh định lý lẫy mẫu, do đó
ở đây chỉ nhắc lại nội dung của định lý.
Định lý lấy mẫu : Mọi tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f ≤ fc đều
hoàn toàn được xác định bởi các giá trị tức thời rời rạc của nó tại các
thời điểm cách đều nhau một khoảng thời gian T ≤1 2 f c (tương ứng T ≤ π ω c ).
Định lý lấy mẫu nêu lên hai điều kiện bắt buộc phải được đảm bảo để việc lấy
mẫu không làm mất thông tin của tín hiệu liên tục :
1. Tín hiệu liên tục x(t) phải có phổ hữu hạn f ≤ fc
2. Chu kỳ lấy mẫu T phải thỏa mãn điều kiện T ≤1 2 f c
3.2.2b Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T)
Để thấy được bản chất vật lý của định lý lấy mẫu, chúng ta sẽ xác định quan
•
hệ giữa hàm phổ X (ω của tín hiệu liên tục x(t) và hàm phổ X(ejω) của tín hiệu lấy
)
mẫu x(n.T) tương ứng.
Xét tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f < fc (hay ω < ωc ), quan hệ giữa
x(t) và phổ của nó là cặp tích phân Fourier :
•
X (ω =
)
Biến đổi Fourier thuận :
∞
∫x(t ).e
−ω
j .t
dt
[3.2-1]
−
∞
x (t ) =
Biến đổi Fourier ngược :
ωc
1
∫
2π
•
X (ω).e jω.t dω
[3.2-2]
−ωc
Khi rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) với chu kỳ lấy mẫu T, nhận được tín
hiệu lấy mẫu x(n.T). Quan hệ giữa x(n.T) và hàm phổ X(ejω) của nó là cặp biến đổi
Fourier của tín hiệu số [3.1-23] và [3.1-24] , khi thay biến n bằng biến n.T :
X ( e jω ) =
Biến đổi Fourier thuận :
∞
x
∑ (nT ) e
−jω nT
.
[3.2-3]
n= ∞
−
π
x ( nT ) =
Biến đổi Fourier ngược :
T
2π
T
∫ X (e
jω
).e jω.nT dω
[3.2-4]
π
−T
Khi thực hiện rời rạc hóa tín kiệu liên tục x(t) theo định lý lấy mẫu thì
x ( n.T ) = x (t ) t = T , nên có thể viết lại [3.2-2] dưới dạng :
n
x (n.T ) =
132
1
2π
ωc
∫
−ωc
•
X (ω).e jω.nT dω
[3.2-5]

3. Khi đó, giá trị của x(n.T) tại thời điểm n = k được xác định là :
x( n.T ) n = k =
( 2 k +1) π
T
1
2π
•
∫
X (ω).e jω.nT dω =
( 2 k −1) π
T
1
2π
π
T
•
∫ X (ω +
2π
−π
T
T
k ).e jω.nT dω
Biểu thức trên nhận được do tính chất tuần hoàn của hàm mũ ejωnT.
Khi cho k biến thiên từ -∞ đến +∞ nhận được :
x ( n.T ) =
∞
x
∑ (kT )
k= ∞
−
Hay :
x( n.T ) =
π
∞
1
T
•
∑ 2π ∫ X (ω +
k =−∞
2π
π
−T
k ).e jω.nT dω
T
[3.2-6]
Nhân và chia [3.2-6] cho chu kỳ lấy mẫu T, đồng thời đổi thứ tự của dấu tổng
và dấu tích phân, nhận được biểu thức :
x( n.T ) =
T
2π
π
t
1
∞
•
∫ T ∑ X (ω +
−π
T
2π
T
k =−∞
k ).e
jωnT
dω
[3.2-7]
So sánh biểu thức dưới dấu tích phân của [3.2-7] và [3.2-4] nhận được :
X ( e jω ) =
1
T
∞
•
∑ X (ω +
k =−∞
2π
T
k)
[3.2-8]
Biểu thức [3.2-8] cho thấy, hàm phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) là hàm
tuần hoàn của biến tần số góc ω với chu kỳ ωT = 2π/T , và là tổng vô số các hàm
•
phổ X (ω của tín hiệu liên tục x(t).
)
Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn và chu kỳ lấy mẫu T thỏa
mãn điều kiện của định lý lấy mẫu : T ≤ π/ωc , thì phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu
•
x(n.T) có chu kỳ ωT ≥ 2ωc . Khi đó, phổ X(ejω) là tổng của các phổ X (ω hữu hạn
)
tách biệt nhau như trên các đồ thị hình 3.4 và hình 3.5, nên ứng với mỗi giá trị
của k , phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có dạng đúng với phổ của tín hiệu liên
tục x(t) nhưng biên độ bị giảm T lần :
X (e
jω
) =
1
T
•
X (ω .
)
Vì thế, khi cho tín hiệu
lấy mẫu x(n.T) đi qua bộ lọc thông thấp để lấy thành phần phổ của X(ejω) ứng với k
•
= 0, sẽ nhận được đúng phổ X (ω , do đó khôi phục được tín hiệu liên tục x(t).
)
Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn, nhưng chu kỳ lấy mẫu không
thoả mãn điều kiện của định lý lấy mẫu : T > π/ωc , thì phổ X(ejω) của tín hiệu lấy
•
mẫu x(n.T) sẽ có chu kỳ ωT < 2ωc . Khi đó phổ X(ejω) là tổng của các phổ X (ω hữu
)
jω
hạn có các biên tần trùm lên nhau như trên hình 3.5. Sự trùm phổ làm cho X(e ) bị
•
méo dạng so với phổ X (ω của tín hiệu liên tục x(t), vì thế không thể khôi phục
)
được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).
Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ không hữu hạn như trên hình 3.6 ,
thì chắc chắn xẩy ra hiện tượng trùm phổ, nên phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ
không thể có dạng giống với phổ của tín hiệu liên tục x(t), do đó không thể khôi
phục được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).
Như vậy, bản chất vật lý của việc rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) mà
không làm mất thông tin trong nó là ở chỗ, khi đảm bảo các điều kiện của định lý
lấy mẫu thì tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có phổ X(ejω) tuần hoàn, và mỗi chu kỳ của phổ
•
X(ejω) hoàn toàn giống với phổ X (ω của tín hiệu liên tục x(t), do đó thông tin
)
của tín hiệu liên tục x(t) được bảo toàn trong tín hiệu lấy mẫu x(n.T).
Như vậy, khi được rời rạc hóa theo đúng điều kiện của định lý lấy mẫu, thì
độ rộng phổ của một chu kỳ phổ tín hiệu số đúng bằng độ rộng phổ của tín hiệu
liên tục. Do đó, để không gây méo tín hiệu số thì dải thông của hệ xử lý số phải
≥ độ rộng phổ của tín hiệu liên tục tương ứng.
•
X (ω)
-ω
ω
c
c
ω
133

4. Hình 3.2 : Tín hiệu liên tục x(t), có phổ
•
X (ω
)
hữu hạn : |ω | < ωc.
X(ejωω
X(ej
)
)
ω
-ω
ω
c
c
Hình 3.3 : Phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu, khi T = π/ωc thì ωT = 2ωc.
X(ejω
)
ω
-ω
ω
Hình 3.4 : Phổ X(e ) của tín hiệu lấy mẫu, khi T < π/ωc thì ωT > 2ωc.
c
c
jω
X(ejω
)
ω
-ω
ω
Hình 3.5 :c Phổ X(ejω) của tínc hiệu lấy mẫu, khi T > π/ωc thì ωT < 2ωc.
•
X (ω)
ω
Hình 3.6 : Tín hiệu liên tục x(t), có phổ
134
•
X (ω
)
vô hạn.