1. È
Númçrascernplws
sdescoberta.s
matemâ.tícas muítasve- tudo dessefenômeno orígem uma ova
deu a
zesparecemser,a pri1Lípío,total- concepçãode movimelTto, desordenadoe
me te d.íssocíáves qualquercorres-
de aleatófio, d,enomínado BenoítMakdel-
por
pondentefia Natureza,fazentlo-nos pensar brot (tncttemático polo ês, ascidoem 1924)
que fiã.o possueh,Ìhplica.çâo pftitíca. Por de ftactal A Ceonetria eüc[idianajá nòo
eremplo, o Ìnovímentoapare temefite de- ?rasufciente para explicà-lo cadavez
e mais
sordenado partículasflo a cotl1o quese
de o sefazía presentee necessá.río oatrc típo de
vêquandoa luz íncicle lugarestnuito se-
eu Geomehía, não- lídíqna,
a euc
cos rcvelandomíÜop.nÍículasqueÍutuam O primeíro destes íractais é chamado
em movimealos alealònos.parecendo poei- conjuntode Mândelbroteasoutrassãoré-
16,constituì objetoda Teofia do Caos,que plícas dele contid,asnele. Por defniçã.o,o
etplica o funcíoname to de sístemas com- conjunto de Mandelbrot é o conjúnto dos
.pleros e dí âmicos.O primeíro a obsewar polltos c do pla o complelo que satisfazem
essefenômenofoibiólogo
o efísicoescocês Ro- uma seqüêÌtcía iteratfua, ísto é, que seíor-
bert Brown (1773-1858), quemé atribu[d,a
a ma por repctiçào uma ou mai' açoes.
de
a.teoríado movíme to brow11irlfio. futr-
Maís Osnutuerosomplexor
I apaíe(ewnose
de, em 1905,Albeft Eihsteinpropôs que a culoXVI motivados pelasresoluções equa-
de
matéríafosse constítuíc1a moléculas. es'
de O ções de terceiroe quarto graus.Em 1545,o
matemátícoitu íano Gírolamo Catuano
(1501-1576) pablka seufamosolívro Ars
MagÍâ, no qual trata da resolução equa-
da
çâode terceíro gfttu do típo f + ax + b : 0.
Oproblema: "Quale a medidâx, comumà
2. I . Em Mdgnd, rdanoapresenta das
Ar Ca da de
unìa Íaíz€s eqLração
,rq., a.-b 0dd.po
Essa ollrofêmolo m.te
fónÌì! a ío sugêfda â € e porTartaqla,
rnãÌicotallanode5sa época.
a) Moír€ comocardanôseaeparou com o nLlmeronf tzl ao f
lentèÍefcontrar.s raizet da ÊqLração Íelolvjao problemi
qLre
d".,-
u.".tu de um pa- do.ubo e do paral e pedo
epi rnenci onado
com "Jhúú
"ubo 15 de
ralelepípedo base unidades b)V erl Íque que4 é raÌzda equaçao.
área,sabendo que â diíerença entre 2. E m 1545, ardano
C propôsem !nì cl eseus vrosos€gunÌÊ
seusvolurnesé de 4 unidades?" corres- paftes modoqu€ seuproou
probemâ D i vda l 0 eÌn dLrds de
ponderia ax3 - lsx - q e,aplícando-
a) Reqstreunìãequâção que Íâduza esseprcblema.
seumafórmula deduzída ele,apa-
por
b)R €sol va equação i da,manÌ€ndo propri edades
a obi as q!e
receriaa soluçã.o obtidada eipressão
4, paraos núnìeÍos
sãoválldâs reaiç.
42- 'l- r21 + :12+ -.1-127 !caftla' ' perêo o - .b^,p,oD o.oor.€
nosepefgu tava corlo um númeroreal 3. Eìì 197s,lúand€brot e5tudo! a equ.ção X, . : (X,.): Z, nà
+
quâ Z= a+ b,l :: l en= 1,2,1, . A l favés Lrm
de pÍogr.m a
poderia se orígínar de uma expressão
rec!rsjvode côÌÌpltadof (Lrnì progrâm, Ênì ioop), zvârlo! Ê o
quecontínharaízes números
de negati-
corìputadoÍ imprjm u na t," a os ponlôs X, r. aônsÌaÌouq!e,
vosseestas ã,oeristíam.O maíscurio- para cadi vaordeZ,Lrmêfìqura€ra
r mpÍessa nat€a.A mp i rndo
so é que era possível operarcom esses ã5fl g!rasdescobrl que conti nh.mcopêsaproxrrnâdâ! 5
u oe
úmeros "esquisitosimesmo que ão tí' rnesmas liruto{ef.e nançal.
ErcmP erÌÍaidone
o
vessem pois matematicamente
sentido, hftp//blqeô.1Ì.5.om/s!aidabÍ/.ompE!o.hrm
osproblemas davamcerto. .
A.e*. tsn13/5/2007
Mak tarde,o matemáticoítaliano
RaíaelBombe í (1526-1572) estudou o Você pode, ,:om os rec!Ísos maternáicos qu€ conhe.e ató
nabalha de Cardano e veri,ficou que aqora,deeenvo pe o meno5Lr pou.o e5sâ
ver nì seqúènciaao
rea[úenteessesúmercsfuncionavam'l nìe.e consdeÍdndoXN= 0, depo s,façâX = (Xr)r+ Z e ii5slÍì
Sua representaÇão soíreuraríaçoes11o poo" .o." oo" o,--i ,o Ldo
'f " *
deconerdo tempo, até queforamesctí- S rnp e5menteânote os resuÌados Ê observeâ seqúén.a en
tos díoma deprodutopor fi , como, conÍãda. Ela dá origern ao conjunlo de 4and€brot e ês5e
:
poretemplo,.Frzr ttJ-r.lro sa- sobrea quã essê
seráse! pr me ro contirtocoÍì a maternálica
culo XVIII, Euler inttoduz o símboloi teoÍla fo .onírLrída.
paw represefitar raízquadrada
a de I
Assim,.F11í passaa sererpresso por
11í. Finalmerlte,a represefitaçãogeo-
métrícados úmeros compleros elabo'
Mda pelo matemátíco, astrônomo efí-
alemãoGauss
siêo (1777-1855),nofnal
dos^ulo XVIII, tomoumaissígnirtcaü'
fi seuestado ílplícabilídade.
e
NestecapítuloestudítreTos cô11s-
a
truçãodo conjül1to t4úmeros
dos com'
pletos, defnindo suasoperações re'e
prese tações,
3. Entreos conjuntosnuméricosjá
conhecidos
tínhamos
iniciâlmente conjuntodosnúmeros
o naturais:
= {0,r,2,3,...,n,_..}
Paraque â subtraçãofosse
semprêpossíver,
erefoiestendido obtivemos
e oconjunto dosnúmerosinteiros:
Z : Í..., -n,..., 2, -1,0, 1,2,...,n,...t
Paraquetambéma divisãoÍos5e
possiver,
estendemos úrtio'oe obtivemosoconjuntodosnúmeros
este racio-
que podemserescritos formadefração,
nais, na com numeradoredênominâdor
inteiros: t
Ìã
Q: Jx= :,c o ma e Z , b € Z e b -O l
Lol
EmQ,aúnicâ
divisão
por0.
=
EmQ,a equaçãox, 2 nãopode resolvida, seja, soluções= 1â e x = _1ã nãopodem repre-
ser ou as x ser
sentadasporumafraçáoa,comb+oeaebpenencentesaz.nãe-rãsãoexemplosdosnúmeroschamad
b
de iÍâcionais(íI4.
Da uniãodosracionaiscom irracjonais
os surgemos númerosrêais(R):
IR:QUIIÍ
podemos
Portanto, identificarN comouma partedeZ,Z <omo umapaftede e, e e comouma pârtede lR e
INCZCQCIR
que,
Sabemos sex € R,então > 0.Assim, equâçãox, j :0 náotemsolução R,pois:
x, a + em
x':+1=03xr=-t+x::tafì
e náo exìsteum númerorearx que elevadoao quadradoÍesulte-r. por isso,temosde estender conjuntodos
o
números reaisparàobter um novoconjuntochamado conjuntodos,1úm complexos,
de eros
o conjuntoc é um conjuntocujoseremêntos os númeroscomprexos devemsertaisque
- - oossam ser
somados multiplicados, tambémpossibilitem éxtraçâo raizquadrada um númeroneqatrvo.
e e â da de Looicàmên
te, os númêrosreaisprecisam erementos
ser desseconjuntoo, e as operaçôes adìçãoe riurtipticaçioíeitas
de
sobreos números reaisnô conjuntoo devemserâsmesmasjá conhecidas.
Noteque,se issonãofosseobseívâdo,
o (onjunto náoseria sub(onjunto O.
lR um de
Ao longo do tempo,os erementos conjuntoo, os númêroscomprexos,
do foram deíinidos várias
dê formas.
por
cau5s, exemplo, defìniuos complexoscomoÉàres oÍdenados números
de redis.
Hojeem dja,a notâçãopreferida paradefìn os elementoa conjuntocomplêxo a formaalgébrÌcâ.
ir do é
A formaalgébrica
Todonúmerocomplexozpode serescrito maneìra
de únicanaformâ:
:Ìz!ãg'bi (ae lR,b e tRe i, : -t)
4. atgébrica foma binomial escíever númêro
Essa a farma
é ou de um complexo. que
Obseruemos um número ,
complexoescrito formatêm dua5Pârtes:
nêssa
z= o +8J
padê rcãl Como -1,é comum
l'z:
dê, encontÍarq{Ìemdefina
I i : J r. u"!t"riu.
Re(z): a pÌEFrinrgs
continunr
i é â unidadeimâginária, | que i'z: -1
tâ
Aexìstênciâ iéque permitequeno conjunto lDexistâ
do raizdeíndicepardê númerosnegãtivos, defìnida
não
noconjuntolR.
Í
Porexemplo, È O e x1: -25, entãox: a5i,pois:
5ex
- 2s : ú1)' 25 : i?s'1 (si)'1
:
5e o númerocomplexo a (ou
possui unidãdeimagináíia sejâ, b + 0) eleé chamâdo imaginário'
se de
Devemosobservârtambémque,seb:0,temosz=a(númeroreal);esea:Oeb+0,temosz=bi,queéum
númeroimâginário Puro.
Ëxemplos:
1'1Emz : 2 + 3ì.temosRe(, = 2 e ìm(z): 3.
2e)Emz - 3.temosRe(z) 3 ê lm(z' - 0 Ponanto, íeal
ze
3e)Emz = -2i, temosRe(z) 0 e lm(z): -2 Ponanto, é um númeÍoimaginário
- z puÍo
lJsando forma algébíca,as operaçóes adição,
a de subtração multiplicaçáo ìntuitivasNá multìplicaçào,
e sáo
porêxemplo, mesma
bastaaplicara propriedade usada multiplicaçáode
distributivâ na porémobserva
binômios, n
do queilé um número reale vãle-1, Nãohá necessidâdealguma decorarfórmulâs
de
ÊxêmDlol:
' r'
r9 ( 2 + 3 0 + ( - 3 +4 0 :(2 -3 )t(3 +4 )i :-1 + 7Ì
6i2:2+ i- 61 l) = 2+ i+ 6- 8+ i
2e()1+ 2 i ) ( 2 3 i )=1 .2 +1 (-3 D +(2 i )2 +( 2D( - 30:2- 3i+ 4i
3 e ) (+ D
r ( 3+ 2 D : (1- 3 )+ (l 2 )i = 2 1i: 2- i
Ì''l. rados númeÍos
os z, :
complexos l + 3le 2. Calc!e zr - z! dâdos números
os exos = 2 + 3l
comp zr
- zz= -2+ i, calct-)
e',
a)zt + 22 Resoluçãor
z-1:Q+3) ( I + 4I = t2 + 3D+ tl - 4i]=
b)zh =(2+r)+i3 4Jì=3-
Resoluçqo:
a) z+2 ,:11,+30+ l-2+ )= 3. Determlne of rcâlde paÍâ o númerc
o va x que complexo:
= ( 1 - 2 1+(3+rli= 1+41 al z = [] - 2x) + 3 s€ja núrnero
urn pufo
magináÍio
= : o)z [8- 2-3ìi 5êd.n ,reo nao
b) zrz, [] + 3i)t-2 + l)
náro pufo
=l( - 2 ) +l i+3i[ 2]+3j = z = 6 - [3x 5) sejaurnnúrnerc fea].
cl
= - 2 + i- 6i+ 3i':= 2 - si+ 3(-1)= = tl - xl + tx - 1l seja númerorc410.
dlz o
Resolução:
c) 21- | + 3t)'2= 2. 1 .3i + t3D'?
1'1+ =
= I + 6l+91'z=+6i+S (-ll = 8+ 6 i
I a)z=(1 2x)+3
pêra z selâ nú
que !m mercmâglnáno ê neces
puro
üzt+ .tr = l +30+[ 2+D'?= sáfoqle Re[z] =
= 0, polslÍn[zJ 3 + 0
= ( l +3 D+{4-4 +'?1 =' Então:
= 0+3 1 +14-4i+t r)l = =
Re[z] I 2x=0=x=-
I
= 0 + 3) + (3- 4D= I + 3i+ 3 4=4 r
5. 6-Éi,=tr-tl-_l
t=43=tt_l= i
z=[] 2 x)+3=Ír-z.l l +3i=
2) i3=lara=l'l l
=[] tl+3=0+3=3i[nú rneÍofnag
naft0 obsetue aspotências começarn rcp€trÍ
que dei a se
PUÍoJ depois ia.Demodo
de geml,
temos:
É"=tl"=l
=
Looo., -1.
-2
blz = i8 xl + i2x 3) I .t-ll = -l
.i,.i= r.t_ll .i=_
Re[z]-0-8-.-0-À-8
0u seja:
Pۃx=8,temos:
rn[z)=[2.8-3)=1310
el t3-D3=i3 l(3-D=
VefÍcando,pamx=8:
- ! 2.3 ,atl-,-fg 6, , j. J
z=[8 8]+[2.8-3) =0+]3 = t3i[núme =i8 6)t3 )=2a 8Ì-t8+6'=
fo maginádo purol =24 26i-6=18 26
Logo, = 8
x Íl (2 - 31, (3 l2i=
c)z=6 i3x-5)i =2' _ 2.2.3i+ (3D' 16 _2i1=
-
Para z seja é necessário rn(zl= !.
que rcal que =4-12 +9, 6Ì+2,=4-t8i |:
=
lm(z) [3x- 5) =0+-3x+5 =0=x= I
3 5.Cac!eovaorde:
VerÍicando. x = 1:
oara
'3 al ia'g bl rm
í.ì Resolução:
z=6 1 3.; 5 l =6 ts-str= €l N = r43. útr:. =
i=
.J
=6 O!, de out|arnaneiÍa:
0 =6[númercrea) =t ry4i= ri= i
.5
-3 =
blrú=(1,150=( rlso l
d)z=(l xl+ix rl OLr outmrnanerÍa:
de
tuÍèoLezser e .pcpsd,
0 oquFR"r,,r- 0et"1vl- 0 i ,!i = (r4)4.0= 0= r
Então: .l
Re[z]=0+l-x=0ìx=l cl 3 r5 i r6
rn[z]-0=x-t=0+x=l = i lli : I : -i
Veriícando, x = l:
para
l.i n-í' ri-' , r -1. 0 0-0 Entã0,ternosl
Logo, = L
x 3r5_i ,6= 3(-l t: 3i l
3Ìr5 16 _t
P orranto, = 3.
4. Eíelue opefaçôes
as indicadas:
alt6+5D+t3-40
blo-l t 3 -2 D J4= jL:i 49 4
cl tr + ltr tl noo
dl Ìì. i,, i3,i!, i5,16. 3 -t '
'
e)t3-D3
Í) (2 3)' - 13 i)2ì iroo:iô= t Ì00 4
[o 20 25
Resolu.ção:
aJ t6+sil+(3 4ll=6+5 +3-4 = is:F= i rS l4
=(6+31 +[5 4]Ì=9+i _3 ï
blir I t3-2D=1 i 3+2-
=[] r?í:ir= t 74 [
3l+(2 l)= 2+i 134 18
cJ ||Ì!||_ U='|-l + |1- . = 2
=t i,=1-[ ])=t+t=2 6.Resolvaâ
eqlaçãox, 4x+ b = O.
+
o Resolução:
r= I
'= i'i= t-tli= 4+./5;r -4 ! 'i
t , = t É 1 , = t_ rl ,=j 2
i5= 4 = I =
[nìpossíve iR]
ern
I
6. b) z-i 36 = i a3 z- a3+ ì36ì
Em podernos
0 ternos:
resolvé Assm,
l€, -zez+
ti
-4!F.4 - + 1,+ z=
22
--
2 -22=
L000.2:---
ri
=-2+ e '22
2
cllz=z-l+51
'= :-2 Comoz:a+b,temos:
-2 [a+bi]=a+bi l+5ì=
Vedfcando, vemi [ -n = a t
S=x'+x'=(-2+D+t 2-l= a = b+a=te ll + [ b + 5 ] i= l Í
tê= o+ !
P=x'x'-l2+i)(-2 )-4+2i 21 (=
= 4 - t-tl:5
Satisfazendoenuiox'z-Sx+ P = 0,oLt
s€ja, b=b+5 t=-2b=4=b=-2
x2+4x+5=0 a= 2+5=3
Logo,z=3 21.
7. EncontÍe número
o complexotâlque
z
al42=z (-9+60; 8- caclle o vaor de:
= -
blz i33 i13 z a)(l + )'; b)0 +Dn; cltl + 1".
cliz=z 1+5 Resolução:
Resolução: â) (l + il'z- l'?+ 2i+i'z= 1+2i+l-1)=2i
al 42=z ( -9+6Dã b) 0 +tt,o= t0+ ïÌ' = t2il' -
=42 z=-[-9+6D+32=9 6â =210. tD:1024.i'= 1024
cl 0 + Ì'=tl +L]a.tr +D=
Logo,z:3-2i. = 1024 (l+D= 1a24 1024
propostos
ExeÍdcios
'I tDados númeDs
os comp"*o" : t + zi t, = -l + :l
r, 6. Deteminevalofdex, para o núm€ro
o rcâ, que complexo
e/ - / 2,cac-e at(J -, - t sejaLì llrìeo nag à,ooJo.
a) 21+ z 2 s)z:+ z, bl [x'z 1] + seja número
- um puro;
magináfo
. Ô ) z t- 22 cl x + (x'z 4)iseja núÍn€ro
- urn Íea;
c),zt z, )a+11+z ) dlx + xìsela númeÍo
o reâL0l
.'d) (z + z)23 ))2 , zr ' ql" 4, .r - í - ^r 5pjo 1u'ìero
Jr inàgrnà-
e ) l+ z) + 1
n )1 +zâ -z: í) x + lx'z 7x + ]2liselâumnúmeÍo reali
g) (l xD[x+ ]) seja número
um rcal.
2. Determinenúmero emcada
o z casol
a)32+4 -z 6'z1 7, VefÍìque segu
as igualdades:
ntes
b)32:z+ a)(2 3i)( 2+)= r+8i
(3. Efetuel íl I Ì
b li3 + li3 - )l- + -. l= 2 + l
a)P It 1 ," Ò tu )
bl ,. o(ú ,) ( r - i' ã ) =
+
h)165 5i,o t3lr
- d )0 D" = 4
o i"' i) tl 2D' que cornpexos = I + e 2, = I
8. Ivlostrc osnúÍneros zr i
D i6m r,ú sãoassouçÕes equsção 2z+ 2 = o.
da I
=
4.Sendoz 2 - 2i,calcue:
9. Encontre expfessão
a geralda adção e mut plicâção
a) z' supondo
€xosna foma aìgébÍìca,
de númeÍos coÍìrp
quezÌ= ar + bì ez2= a2+ h,.
5. Res olvo s s t e rn a
a ]:-' :' - .
= t+ 3 1^ .
1 5 4 -tz que.
l0- PÍove sezé unìnúmeÍo então
comp€xo,
de varláveLs e 22.
z, (1 + z)'= 1+ 2z+ z'
7. @ Conjugado um númerocomplexo
de
A propÍiedadedo
inveÍso pode
mukiplicativo serescrita seguinte
da maneira: 10, existe único
sez um núme-
ro compiexo taique z, : 1,
Comopodemosdeterminaro 1
número nalormâalgébrica?
Pàra precisàmos
isso, detiniÍ
oque vema seroconjugàdode número
um complexo.
O conjugadode número
um complexoz (a, = a + bié o númerocomplexo (a,_b) _ a
- b) Z= bi.
Exemplo5: i
1q) z:2 + 3i,entâoZ:2 3ì.
Se 5e)Sez: i,entãoZ- -i.
2e)5e z = -3 4i, entáoZ : -3 + 4i. 6-') z: (2,3),
5e entãoZ= (2, 3).
3e)Sez = 2,entãoZ= 2. 7e) z = (-1, -1) então : (-1, 1).
5e Z
=
4e)Sez 5i,entãoZ- 5i. 8e)Se = 0,entãoZ: 0.
z
9. Deteminenúrnero e,o talque2z- I =Z+ .
o cornp z r+[2a - ]) + 2bi= a + [-b + ]l
Resolução: lgualando panesrcas irnagJìáfas,
as e temos:
Considercmosz=a+b. 2a 1=a=>a=1
2b:-b+l+3b-l3b=
ErtÁa - 1= 7+ië2la +bil - I =[a bD+r.+
2z
è2a+2h 1=a b+ <r
Propriedades conjugado
do
le)Sez=â+bi,então:
72 - à) b: (que Íeal,
e posirivo nulo)
ou
l?= ã+ hi
_ -
Dados hipoteses
ou ]:
lz:a_ol
Tese{zz-az+b,
Demonstração:
Efetuando produto zZ,temos:
o
zz = (â + bi)(a bi):a:- (bD,-a,
- (-1)b,:a,+ b,
2!)Para número
o complexo z,temosque:
z - ZÕz é númeroíeal
Demonstrâção:
Sez:a+bi,temos:
z=Zêâ + bi = a - bi(>bi = -bi<.]b = 0<ìzéreal
(om plexos,
39iSezr e 22sãonumeros entào:
4i1 + Zr(o cortjugado somaé iguâlàsomadosconjugados)
dâ
-Zj
Demonstração: ,
sezr = a + biez2- c + dì,lêmos:
z, + z,: (a + br)+ (c + di): (a + c)+ (b+ d)i = (a+ c) (b+d)i= a +c _ bi di= (a bi)+ (c _ di)_
4e)Sez1e z, sãonúmeroscomplexos,
então:
Zi1 =Z 1.Zr(o .onjugadode um produtoindicado igualao produtodosconjugados)
é
8. .
Gpítulo4 Númsor
úmdexos 107
Demonstrãção:
Sez,: u 16' e22=c+d,temos'
zr4: (ac bd) +(bc+ ad)iàzã:G. bd)-(bc+ad)i o
Sabemos tambémque:
21- a-bi eZ2=. di
z,z: = (a bi)(c- di) : (ac bd) - (bc + ad)i O
Comparando e O, concluímos
O quel
lO. Dado + 0.delemìne nâfoÍma + bidek modo ll.Dadoz
z a
- I + 2i,encontreo
nv€rso
mutp calvode
qle z. página
- I (questão
pfopostana €nterioD. íl
zt-0uz L
Resolução:
B"st"n. prcaÍ ur"raoor oeno'ì
e po'
inddor tor Resoluçãol
)ea peo conj gaoooe z qJe è dlíeenLe 0. oois
de
ta + blta br) â: + b:
tâb z
z à- +b , a,+b: è,+b,
G} Divisão números
de complexos
A
o quociente entre números
dois co
compìexos, o,ea^a"o", jt, =
-.r+ lfi
Resoluçãol
I 2. EscÍ€va forÍna + b' o not"ro
nâ a
"oto ",,o ;|
z, 1+ 2t (1+ 2i)(2 5)
Resolução: z, 2+5 [2+5i][2 5L]
l í3Ìrì il 3 '
3 i (3- i)[3+j] 9+r l0 l0 12i 12 1
2'+5' 29 29 29
13.Fl"lLe qle
,obenoo / 2te7 -? | xi.
z12 l
--'- 29 29
4
9. /-:__ --;--- -- _--
I lxeÍcrdos propostos
J
t;---__-- z paÍa
I r r. ueÌenn
ne 15, Deteffnineinverco
o muttiptcatÌvoz, sabendo
de que
< ajz = l+ s ii e)z = 5: a)z=2+4Ì c)z= 1 3)
b)z = 2l llz=3+3i b)z= 1-2 Ê)z= 2+3
c)z: A: gjz= I {l
d)z = -4 + 2il fiz - lt 2i. 16" Eíetue dÌvÌsões
ês ndimclas
'í?. Calcule noscasos: t+3i
z ^ -. I i
t
--a)z=3 4i cl z: -l 1+2i " r i rr
D)z=7
bl_
] 3s- ^zr
=2 3i e z, = 315,6"t"rrn" 3+2 i
,F'-i-t-ft_È:. '! 7, Escrcva lo[ì]az = a + bios núrnercs
na cornpexos:
b)zt + zz
c) z,z,
tt)zÌt + z,
3-2
e)7ì,e 11
2+l
í) 7,zt
2+i i
g)a + 12,
! 4. EncontfetalqueZ+ 2zi- I = 2.
z
",=(+)"
Representaão geométricados númeroscomplexos
Conforme dito anteriormente, númeroscomplexos
foi os po-
dem ser representados váriasformâs,
de Até agoravimosa forma
algébrica + bi, Outra maneira repÍesentar complexoz é
ã de um
âtÍàvés um parordenado números
de de reais,
Assih,sez: a + bi,
podemos escrever quez = (a,b).(Gauss usava
só essanotação.)
Poroutrolâdo,sabemos a cadaparde números
quê reais(a,b)
estáassociado únicoponto do plano.Logo,podemos
um associar â
cada número complexoz: a + bio pontoP do plânode coordena
dasa e b, istoé,P(a,b).
O plâno cartesiano qual estáo representados números
no os
complexos denominado
é planocomplexo planodeArgand-Gauss.
ou
Dizemos o ponto P(a,
que b)é o dÍlxodo númerocomplexo + bi.
a
ExêmploiVamos geometrica
íepresentàr menteos números
complexos
21=3 2|2,= 5,4= -2i,za-2 +i e zs: 2 +i.
21= 3 2i)(3,2)
zr:5=(5,0)
4= 2i.3lo,2)
za:2+ i,- (2,1)
z5: -2+ i.+(-2,1)
Observâçóes:
1?)os números
complexos peitencem eixox,mantendocorrespondência
reais ao ô quarpara nú-
segundoa cada
meroreàlexiste pontoda Íeta,
um
2t) Osnumerosimaginários
purospertencem eixoy.
ao
10. Gpítulo4 Numèú q6
. onp 109
3a) Osdemâisnumeroscomplexosla+bi,comâ+0eb+0)perterìaemâosváfiosquadíantes,dea(ordocomos
sinâisdeaeb,
4q) PaÍacâdanúmerocomplexo existeum únicoponto do planoe vÌce-veísa,
5?) Podemos associãr cadacomplexoz : a + bi um únicovetor com
â
extremÌdades ponto o, origemdo sistema coordenâdâs
no de carte
sianâs, no
e ponto P(a,
b),
Nesse plânocomplexo, alémdo númerocomplexo = a + bi, estão
z
representadosoutrosdois números complexos, e 22'e a somade-
z1
les, + z, (diagonaldoparalelograÍno
zr formâdoporzl ezz).
i
69) Aassociaçãodos númeíoscomplexosz:a + bi aosvetorespermite o usodosnúmeros complexos d iversos
em
camposnos quaisa5grandezâs vetoriais, exemplo
são Um dìsso o estudoda eletricidade nívelsupeÍìor;
é em o
alunoque optãrpor um cuÍsosuperior áreadeexatâs
na que
descobrirá corrente eléÍica,voltãgem,
impedân-
cia,etc.sãotodosnúmeros complexos,
14. Dados númercs
os cornpexas= 4+2,2,= -3i
a I6. Dados pontos
os coÍespondentes númercs
aos corn
e4 = 4, ocalze, planocornpexo,pontos
no os coÍes plexos ez. desculrÍa poftoscorÍespond€nÌes
zr os âos
poncenÌescaoa
a nurì€ro. nLrmercs e -22,
-z!
Resolução:
zr= 4 + 21,è(-4.2)
z, = 3i= (0, 3l
23=43i4,01
Resolução:
P[],llìzr = I +i+-zr : -l -i+
.ì P',[-r,
-])
Qt 2.-l)=z?= 2 = z,=2+1)Q'12 1)
15. Detefm os números
ne corìrpexoscoffespondentes
aospontosA. C, D € E naÍìguÍa
B, abaxo
I 7. I o' d I e os porÌosoo pê o col espo' ìde do. -L
.pc
rnercs cornpexos z = a + b, nosseg!1ntescasos
âJa=s cla<0eb=0
bla>0eb<0
Resolução:
aJ a=3
Resolução:
A[3 0)=z=3
8 r c , 2 ) ' ) z =2
C12,1)=z=2+1
Dl 2, 1)=z=-2-i
E[], ll=z=l- Pontosz a + b, coma= 3 eb qualquef.
=
11. . contexto o(ões
l,talemátka &Apt
bla>oeb<o 18. Efetue
algébrica georneÍicamente
e a adçãodosnú-
meros z, =
complexos I +2ie22= 4+i.
Resoluçào:
A gebricamente,
ternos:
z1+2,=11 +2i)+ (4+ l:5 +3:23
Geornetr
câmenle,
veTn:
qLr€
ObseÍve 23coffesponde ponto[5, 3], ou seja
ao
=5
ao númerocomplexoz3 + 3i.
Pontosz=a+b,comâ>0€
Í.
c) a<0eb=0
Pontosz a + bi,corn < 0 e b = 0.
= a
ì 8. Nummesmo planocornpexo,ocalize pontos
os cor 21, Loca os pontos plano
ize do coÍespondentes núme-
aos
respondenies segu
aos nlesnúÍneroscomplexosl =
rcscornpexosz a + bi,nossegutntes
casos:
z1= -3+3i 22=1+ 4it4=2itzÃ= -4 a)b=-2 ela>0
=
zi= 2 - 3lt1= 3:27 4. bla= I eb>0 f)a>2eh>3
'15-
Escreva númercs
os complexoscoffespondentes
aos cJa=0eb>0
ooltosA. C.D.E e F do os o
B.
dla<3eb>-3
?2- DeteÍnine possíve oÍesreaisde e b para os
os s va a que
pomoscoÍrespondentes números = a + tì estejaÍÌì
aos z
naregãocolo da.
20- Dados pontos
os correspondentes númeÍos
aos corn
pexos 22e 23,oescub|a pontos
zj, 0s coÍespond€ntes
ã0snuÍnercs
coÍIpexos-zr -z"e .
InterpÍetaçãogeométÌicado conjugado
Geometricamente, conjugadot de z é representado
o pelo
simétricodezem relacão eixox.
âo
12. (.pí!ulo4 Númeroi
. omdsos fll
proútoì
íÏ,,eÍcíc''os
E a"-t" t-." *,t os coÍnp€xos
exo números da :tri. Dadaa foLrfa, ize nelâ os números
oca complexos
"" €
dosabaixo seusíespectivos
conjugados -z,Z e -2.
I
ì alz=l+3i
b)z=-l-i
c)z=3i
dlz=3
e)z= 3 - 2l
l)z=-5+4i
Oz= -2 f
lìlz= -5
lã Módulode um número.complexo
Geometricamente,módulo de um númerocomplexoé â distância
o da
origemdo sìstema coordenadas ao afixo
de O de z,
Aplicandooteorema Pitágoras
de notriânguloOAP,temos:
lzl2 :d2 +b '1+A = tE **
Observemos essa ldade também ospontos
quê igua vale paÍa situados eixos nosdemais
nos e quadrantês.
podemos
Então que,
dizeÍ dadoum número z = a + bi,chama'se
complexo módulo
de por
z e indica-se lzlo
número
realDositivonulodado
ou oor:
FI
ObseÌvação: LJmaconexáo com a Geometria
interes5ãnte ânâlíticâ que, pensando
é nos complexos e w como
z
é entreosdois pontos: - wL= d(4 w).
pontosno plano,o móduloda diferença ô distância lz
o módulo seguntes
19. Determlne dos númeÍos
compexos: ,tl
'22
a ) z=2 +3
el Sez = -3, então:
z = 3 =3
c) z= - 1 2i Íl Sez = 0, então:
Resolução: zl= 0 =0
alSez=2+3i,então:
20. Descubfa dstância ponto40, 2l ao ponlo
a do
z - 2 + s i l : ú +, = {'i ã Bt5,-rl.
b)Sêz= 3i,então: Resolução:
z l : l 3 i l : i s =3
dtA, = J0 5)' + (2+ D'
B)
c) Sez = -1 - 2i,então:
l z= l - t - 21 =rÇ 1 Y 1 1 4 =!'i + 4 =!6
z= I +2i ew=5-i
z w=-4+3
dìSez=l.então:
-2 d[A,B]= z-w = 1-,, + :i| =.úo+s =s
13. 112 . ComexÌ0
ruaÌemátka &AplÌc!ôes
Propriedades
envolvendomódulo
1a)Sezé umriúmero
complexo,
então:
à: lzl'
Demonstraçãol
Sdbemos que:
zZ: (a+ bixâ bi) : a, + b,
H: . , 6'+b'
Logo:
l,l' : (J^, + b, ), : a2 b2= Ìz
+
Porranro,- zl,.
zz i
2:) Sezé um númerocomplêxo,
então:
4 =l 2 l
Demonstração:
Dadoz-a-bi,temos:
2=a-bi
="6'+d
'1
la=16'+(br:!ã'+bt
=
Portanto,lzlzl.
3c) Se21e22sãonúmeros
complêxos,
êntáo:
z,z.l= )z,llz,l
Demonstração:
Usandoa primeira
propriedade,temos:
lzé,|'z= (2.2,)(aÒ A
Mas sabêmos que:
zi1 : z 1z)w
Então, substituindo emO vem:
O
lzhl' : ztz,z = {zFt)(z)2,): lzl, z,l,: lzllz,lf
F,
Comoo móduloumnúmero
é positivoou podemosextraira
nulo, raizquadrada
emambosos
membros
eche-
gamosao quê queríamos
demonstràrl
:
z,zJ lz,llz,l
propostos
Exercícios
25. D€t€mne módulo cada dossegu
o de uÍn ntesnúrne * ,,1 ôlz, + z,
a)z=t+l b) zÍ,
,)+
e)z=3+4i
b)z= -3 - 2 flz=3
d z=3 +a J, D z,l,
dlz=í3 -J2i Dz= .1,- "1, gÍaÍcamente núrnercs
28. Localize os cornpexostalquei
z
a)lz = 4
26. DeteÍmine Ínódu de cadâurndosnúÍnercs
o o com b l lz > a
plexos:
cJz é um maginário e zi > 4
puro
al (3 ,3+4i dlzl<2
lt2 + 2il ' 2 +i eJz é uÍn maginário e zl < 3
puro
bl '- "' ,. tr + r)(2 3D
+ que,
29. Prove sezl e 22sãodos números qua
complexos s
- ii t, b
qLr€Í
comz, + 0,enÌào
l:! = !1.
2 7 , s e ,= t
z lzz lz'
14. (apitulo4 NúmeÍoromdercj
. 11 3
LL Forma
tÍisonollglflgggggl!Ínglgr colplglg!
Sabemos um númerocomplexoz= a + bié representado um ponto do plano,de coordenãdâs b),
que por (â,
Essas ascoordenadas
são cartesianâ ponto z, Veremos
sdo agoraqueessemesmoponto podeserrepresentadopor
polarcs,que sã)o:
suascoordenodas
por
1?)o módulodovetord,indicado z ou p,representandoa distância pontoP à origem plâno
do do (supondo
lzl+ 0)i
2e) oângulo0,emqueO<0<2r!,queovetordformacomoeixox.Esseângulo0échâmãdoo/gumentodez
principal z)e indicado arg(z).
íou arqumento de por
t
z:a +b i,z+ o
4 : p : . ,f,' + *
:0
aryQ)
que:
Jávimos Trigonometria
em
cos0= sen0: {como<0<zn)
t4 fr
Essas
igualdades
levama:
.o 1 6 =- a 1z1,cos0
lz -6=
se n e : ] = u:lzl.senrl
tzl
Substituindo valoÍes z - a + bi,temos:
esses em
z : a + bi = lzl.cos0+ lzl.sen :lzl(cos0+ i. s e n 0 )
0i
PortaÍìto:
z=l:l(c o s 0 + ì . s e n 0 i
que é chamada
formdtf&onométrìco formapolot dez.
ou
?1, Determin€ geornétÍicaforma
â representação ea tdgo
- nornétÍim núrnero
do complexo
dado:
a)z=1+l
b)z=r+16
clz- I +i
d)z = 2ì
Resolução:
a)z=l+l
0<0<2'l
15. !14_ , (omeno
Màtêmáti(a &Aptkô6et
zi=1 r + i;= .,(- r1r r' =
+
"ã
a r. l5 _
c o s u = -= . . Ê =
)z .12 2
t;
2,122
Assim, loma trigonornétrica é dada
a dez por:
0 < 0 < 2 r!
z= z[c060+r.sen0] cosl + . senaI
= Jtl t
4 4)
VeriÍcaçãoi
L0Tn0 " r E
^, r"cos =
E esen_=- Ìemos
42 42
,( ..rE vãì
12 2)
.,tÇ .lE . '15 'tE
22 Logo,forma gonométré dada
a tr ca pof:
22 z = lz (c o s 0 + i. s e n 0 l=
22 t-l
=vltms 3,I 3,! ì
+.sen-l
4 4)
b)z=r+iÌã
d)z = 2i
b=v6
b=2
Enião:
Entãol
l^'
z = l r + , J 3 :!r,+(J3 ) =,l t =z 2l= 2i = v0'+2' =la =2
ç656= - a= 9= 6
z2 lz1 2
-b2
senb= =7=t
-- _ 3 E
2
0<e<2,!
0<0<2ri
Podanto,íoma t gonométrica
â é dadapof: Logo,forrna
a tÍgonométdca por:
é dada
z- ,/[cos o .* nor -rfc os ï
ri .* . * j z = lz í c o0 + i. s e n ì = z í " o " 4 + i. . " n a ì
s 6
ó 2 2)
e lz = 3
a=-l a= 3
b=0
I
16. (apÍlulo4 Númss.omplexor
. 5
Então: Rêso||'|ção:
z= -3 =3
. I 1l 1tì
aJz=rlcos-+r'sen-l=
4 4)
cos0=-:=_:=-l
lz3
=0-âÍg(zl=n ^(J, lí zlì 26
^b0_
zl 3 f 2 2 ) 2 2
0<0<2n = + t"lz
"E
to1o. ",E+ t"lí.
z:
Í
o;z: Jãl cos] + r . sen]l = ' 610* . U =
z 2)
= n 6 . 0 + ' 6 . r = iJ ã
Logo, fomatgonométfca dada
a é por:
z=3[cosrÌ+i.senÍ] Logoz : ir6.
22. tscrevana íomìa algébdca seguintes
os núÍneros . í 7Í 7Í
cJz = dlcos-:- + .s€n-- l=
o o)
- -( n rì
,r r
4
o l , = '6 Íco a +, .s ena
s 2
I
4)
2)
= e l- " o " 4 + i
L 6 " - * 6ì/l= BIl
I l 9,(';)]
: -IJí +
- t 7Í lÍ)
ocjz=31 ms ^ +l sen I
^ Logo,z= +16 zr.
o a/
íd;ú,ir;pnprõ;ì
E;. ;;;"';;;;Ínérrica earonnâ
trsonomeÍ .-Í ,I
êl zl cos + | .sen:- |
1tì
I cados seguintes complexosi
números o a)
t-
a l t3 + bls[cos0+ì.sen0]
I
t-
I bl -i3 +i -3nYr
c.J -
cos + 1. sen-
t-
ut-
| "' dl4[cosr!+.sen,r]
dr-n3-i
I e; zlç65I1; ss.II
| 3 l. LcÍea rè 'oÍnar'qo oneÌ caos seguites ìJ ne os 4 4)
compexos:
I 33, Determin€valor aÍg[z]dosnúmeros
o do cornplexos:
I al6
I atz*zi t+iJ3
t-
cl 8.J3+8
i
o' o "r. - ---;---;
.l
I e)2 2i J4.lJadoò os'ì-Ììeosco-npeos 1- V3iez -l:
z
I I
i J o.'
êl coloqle-os foÍma
na trigonornéÍicã;
bJefelue produto e cooqueo na forrna
o zrz, trlgono-
ls
] 32- ta"ru," na formaaloeorica )ea- nleò nune os
os c) constare lzjz,l= lzj z,l e que
qle
comole"os arcQÍ,) = arclzì + atglz,).
I
17. 116 o .
Maremát cônrexro&Apuodes
Multiplicaçãode númeroscomplexosna forma trigonométrica
Consideíemos núm€ros
os complexosz,ez? dadosnaíormatÍ9onométrica:
zÌ = lzÌ (cos0r + i . sen0r)
z, = lz, (cos0, + i sên0r)
=
zrz? Ìzr(cosgr i.sen 0r)Ì2,
+ (cos0, i.sen 0,) : lzr z,ì(cos0r i.sen (]rxcos0, í. sen0,)
+ + + -
= lz,llz?ll(cos cos0, - sen0, . sen0,)+ i(5en .cos0, + 5en
0, . 0] 0r.cos0,)l= lzjllzzllcos + 0,)+ i.sen ((]j+ 0z)l
(01
Portànto:
zrz, : lzj zrllcos(0r+ er) + i . sen(0r + 0r)l
Í
Assim, produto de dois númeroscomplexos
o escritos íorma trigonométricâ o númerocomplexocujo
na é
módulo igualao
é produto módulos
dos dosfatores cujoargumento ìgualà
e é soma argumentos
dos dosfatores,
Íeduzida le voka (0 < aryQÍ,) < 21Í).
à
-Í n ,rì
Resolução:
osdados probema
Substt!ndo do naíórmua
temos:
Emzrz, houv€Lrma
rotsçãopostivaa zr d€ um âÍìgulo
z z ^ z z l c o sl igualaoânguo de 22.Or.rseja nessecaso,holrveLrma
' ^ " ì,." " " Í" 'ìl-
4 2) 14 2ll _
| Íoré(;ode j : èz,.C oroodrg-ìenrooer,ed e
:bl-l cos3Í +r.sen 3r! ì| '
z. re.ebêu J n" oloÇ;ode :, o o od 10 z. e z- oêssà
'2
4 4)
a e a o, n-r.o oLo a l" ' "" Jd o rnool-lo
a geoméidca
Fazendo nteÍpretâÇão desseproberna. 424
zrz,ó 6 quecoÍrcspofdea 3aú 4122.
2
ObsêÍv.ção:AÍórmulãda multiplicação dois números
de complexos, segundoaqualbostomulíiplicar módulos
os
e somarseus éválidaparaum númeroqualguer
orgumentos, finito d€ vãloÍes, noslevará potenciação nú
lsso à de
meÍoscomplexos.
Divisão números
de complexos Íormatrigonométrica
na
óadosos comp** u * r.j,Tü]ii.,
núme,os o"
ilï,ì:";* r,,
2, - lz,l(cos + i' sen
o, o,)
z1
podemos obter o quociente , para z) 0, àsqim:
z- -
z , : l z ,)
tcos - o,t+ i' sen - 0,)l
10, {0r
4 llJ
pode
ÂdemonstÍâção relação serfeita
de5sa queoproduto
mostrando defl lcos(er er)+ i. sen(0i 0r)l
porz, é iguôlâ
21.
18. Assim,oquocientè doisnúmeros
de complexos formatrigonométrica, o segundo
na com de
nÚmerodiferênte
O,éo númeÍocomplexocujo móduloé o quocientedosmódulos cujo arïmento é â diferen(a
e dosargumentos
dos númeíosordem reduzidà volta argl-
doir na dàda, à ìÉ riÌJ
l0' .J
24. Calcu o quocente
e
j| oara = 2lcosl: + L, sen:: le
7 - -
z, 4 4l
, - = g Í "o r l +.r" n Iì
' 2 2)
Resolução:
Substt!ndozr e z2nafómlla dada,
ternos:
; - i l . " . ({;) ; ll
-(ï
4 é o ârguto de
côngruo
! at cue < fL
a < 2,1t.
pÍopostos
Exercídos
cornpexos
i:;. Dados núrnefos
os 36. DprFrr o rur pro oTDÊ.oz,.rabe'dooLp
ine
/ 5,r
7=6t .ns-+.s€n
5,! ì
te z- = l0lcosr: + . s€nrl l e
6 6) ' 9 s.l
í Llr 1lrì
,.- = 2oJtÍ"o, + .s"n18./
w = 3l cos:- + . s€n1 L cacule w2,
- zw, ' 18
4 4)
zw
wz Osnúm€ros
obtidos àrgumentosque
devem seus
ter tal
Potenciação números
de complexos Íormatrigonométrica
na -
a primeira
fórmulade De Moivre*
2", é poÍ1"- z z -'z.
A poténcia n F 'N_, dada
Assim, umnúmero
se complexozestá escrito foÍma
na trigonométrica ]zl(cos + i sen0),temos:
z: 0
z ' 2.2.....2- z|.|z|.... |zI.lcos(eF0-... 0 i i. s e n { 0 ru -. 1 . 0 )l-
!o1.de
dên íàroè. ^,^- ;i" "
;;;;,*
(n0)+ i . sen(no)l (fórmulã De Ìúoivre)
+ z" = lzl"Ìcos de
Para 0,temos:
n
zo= lz,olcos e) - i sen{0.0r1 l{cotO I i senO)- l{1 -Oì-
(0. - I
Assìm,podemos de è
dizerque a potência ordemn de um númerocomplexoescrito formatrigonométrica
na
o número complexo módulo igualâo
cujo é módulodo númeroelevado e cujoârgumento i9uâlao
an é argumen-
to do númeromuhiplicadopoí n, reduzido primeira
à volta(0 < arg(2") 2t[)
<
-' (tooz francês.
ebçta. aeuorvre I rs4),
úãtêmárco
19. 1 18 . (onr..xto kãçõs
t,taremár.a &Ap
25. Dado n-rreo u -z(crls"
o ,.'".Iì,a"."-'
z= 1 = Jtí"o. Zt + ..unZtì
4 4)
Resolução:
Logo:
NafoÍmâ
tÍigonoÍnétrca,
temosi
zrc=0 ltu=
, = frÍ*..l r *n lìl' =
L 4 '. 4.)l :(4'["*[,' +)]
?).'*"(,'
/-
= Z'lcosZ.ll+ .senz.1l= lvlasi
4 Í
4)
("ã1"-
(,+)'
70rl 35ír
í1- 442
Logo. = l28lcos-:
27 + .s€n 1|
4 4) 35Ì
colleòpordFo .ovolal Ías. :::
a Eroe
NafoÍma gébrca,
a 2
;em
- ,trì r !1- :31 tn -
n
, - z l ' . o , r t .5 6 n l - 2 l !l a . v2 l- /
on Jl - a. zo r 3n
r'" '''
I ' 4) ? ) 2 2 ) 2
12
= ntí+ 0u sea.i:1 é cónonro ::
dê
',1í 2'2
7Ì tÍ Portânto:
z- = --( cos
2õl +r.sen l=
4 4) z" = tr jl*
il,, = 2'Ícos . *" !lì
2 2)
Nafoma a gébfca,te{ìosi,
- - ) z'! = (l ),0= 32to ti-tll =
+
=32,0 32i= 32i
Laso.zl = 6a1, 64^lt .
Logo, = -32i.
zro
26. Calcu a potênca
e [] )ro. 27.Detemhe,a rnenof vaof de n Ê lN., pam o qual
Rêsoluçáo:
l2í3i+ 2J éreaepositivo.
Uma maneirâsÍnultiplicâr D pofee mesmo,
das é []
u$ndo dezíatores. Resolüção:
Outmé des€nvolvera expressão
[1 ]r0 usando b nônì de Newton.
o o UmaterceiÍâ Passandoo núrnero = 2 + Z16i pama forma
z trigo
rnan€im escrevef núrnero
é o comp/exo - l) nâfoÍ-
[] nornétric€:
rnatfgonométricausâfa fórmu de DeÍVlowe.
e a As- . f ,- .,,
lz= íz+ l2v3] = J4+ 12= 4
z=1-l
^a211 I
b = -1 z42l
EnÌão: 3
-|+0=1T60"ì
L = !!1- = !1 1
l z = J t r l ' + t D '=J2 ""n o =zl 4 2 )
lls€ndo íórmula DeN,4oivÍe,
€ de ternosl
= 1
.1, z" = lzn[cos + i . senn0) =
n0
cosu : F.
E
= cÍ"0"l1l+ ,.""ntlì
s e nb ) a E
- 3 3)
o:
z
queznseja e pos
Parâ feal tvo,devernostef
^ = g=
0<0<2n
sen- =0 ç65!a ;' 6
3
20. Como e N',Íaz€rnosl
n
- 67t
r r6^ 3 -5 g n z i= 6 " " o " ! a =
=cos2Í=l>0
' t: Logo, menof den e N*é6.
o valor
- lir lj^ Nessecaso,Ìemos:
(:n6i+ z)" = +,f"o" z" + .sen 2írl = 4 0e6[fea
q = = !a posrtvol
n = 3 =se n s€nn o ecos
33
-t <0 @---___.,
Verifique n = 4e n : s.,
para
I
pÌopostos
Ixercídos
3?. DeteÍm
ne 3r puru, os das que
39" Calcule valores potôncias f e f sabendo
z'?,
"np
a ) 2 ,= r [ 2= 21ç6s3a1,ssnal
3 3)
40. Usando cacule potêncas:
a Íóffnula DeMovre,
de as
.,= 3[
a l0 -D3
bt t3 - 305
t,, = .( cl +
ii2 ií2l
d lll
t"='l í31
e) (r + J3iJ
JB De.e rr'reo p-od /,4 e dèa s! r êrpreBção
ilo apo'
Ínetr noscasos:
ca,
0 lv3 + J
| . .
alz, = 2l cos++ 'sen;le -( 2 2 )
J
h)( 3l''
z,=sl co "1+'.s en* ì
- z z) l Ï Sabendo
- qlreI = 2(cos + . serì
30' 30'l e
z, = 3(cos150'+ sen150"J, ne
delefiì]
b)3frl3Í os - +
- z =c 'sen- e
2n 2n
zr =co s e +L sen
Radiciação Íaízes
- de complexos
enésimas números
Dadoum númeÍocomplexo e um númeÍonaturaln, n > 1,defìnimos C:
z em
de rotal:Qrlè = z. l
Raizênesima zé ú'rnnúinerocomptexo ón
Exêmplos:
1e) 2, 2,2ie -2i sáoasraízes quartas númerocomplexo16
do
2, Pois = 16
2a
2,Pois (-2)a=,16
2i,pois(2ì)a: 16
-2i, poisl-2i)a : 16
Há,portanto, O,quatroraízes
em quartasde16
29) i e -i sãoasraizes quôdrâdas númêrocomplexo-1.
do
i, poisi']: -1
-1, pois =
(-Ì)'? 1
Há,portânto,em duâsËízesquadrâdas
O, de ì.
21. 39) 3 e -3 sãoasraízesquadradas númerocomplexo
do 9,
3, pois3'z 9:
-3, pois( 3), = 9
Há,portanto, O, duasraízes
em quadradas 9.
de
4e) 1, 1,i e -i sãoas raízesquartas númeÍocomplexol.
do
1,pois1": 1
-1, pois ì)4: 1
(
i, poisia: 1
-i, pois( i)a: 1
Há,portanto, O,quatroraízes
em quârtas 1.
de
5e) A única raizquintâ Oé 0,poh Oéo único
de númeÍocomplexotalque 0.
05: f
A pergunta entáoé:Quàntas as raízes
são enésimas um númerocomplexoz+ 0 e comopodemos
de determi_
ná-las?Veremos com a segundo
i5so fórmula Delúoivre,
de
A segunda
fórmula De Moivre
de
consideremosonúmerocomplexoz+otalquez=lzl(cose+i.sen0).Encontrarâsraízesenésimasdez
significa
determinãÍtodos números
os complexos
distintos tipol
do
lol(cos + i. sen(r)
o: d
de modo que o" = z paran > 1,ou seja,
procurarnúmeros tàl que:
o
lo (coso+ i. senc)1" lzl(cos0 i. sen0)
= +
AplicandopíimeÍraíórmulâ DeMoivre,temosl
a de
o n(cosna ì. senno.) ]zl(cos0 i. sen0)
+ : +
Daigualdade:
on : Io[(cosnd + i. sennd) = z : lzl(cos(] i. sene)
+
n:
vem o lzl, nd = cos0 e senn&: sen0.
cos
Dêiof = z,temosl(ül=!4tl
(sempre posirivo).
reâte
=
DecosnC[ cosB e senna = sen0,temosl
o +?kr
e=o+zkr+a= (comk e z)
Mas,paraque 0 < a < 27r, necessário O< k < n - 1.
é que
Assim,
concluímos que:
0+2k,r
or = Vlzll cos.:::-:- + i.sen e+2kn (s e g u n d a f ó rmu la d e De Mo iv re )p a ra k = 0 , 1 , 2 , . . . , ( n _ t )
- - 'l
'r( )
- nn
Apósk:n-l,osvalorescomeçamàserêpetir,Então,de0an-l,temosnraízesdistintas.
Obseruemosqueessafórmulatambémpode serescírâasstml
-ï',l l .o,Í-9 k . 2 * . ì , i. * " 1 - 0 , k . - 2 Íì ì
- | n rn n ))
qualquernúmerocomplexoz, não-nulo,
Assim, âdmiten raLesenésimas
dis_
tintas.Todasêlastêm módulo iguai a ifif e seusargumentos
formamuma pro-
aritméticâ primeiroter.o 9 e razão4.
gressão de
Geometrica
mente, n Íaízes
as sãovértices um polígonoregulârden lados.
de
Logo,sâbendouma delase sabendoquantassãono total,é Éossível
obter às
n I raÍzes
desconl_ìecidas.
