109 gravitação

vicenteventura2112@yahoo.com.br - Lista 109: Gravitação - vicenteventura.blogspot.com 1

UNESP 1d) Assinale a alternativa que UNESP 37a) Segundo a lei da gravitação
apresenta o que as forças dadas pela Lei da de Newton, o módulo F da força gravitacional
Gravitação Universal de Newton e pela Lei de exercida por uma partícula de massa m1 sobre
Coulomb têm em comum. outra de massa m2, à distância d da primeira, é
(A) Ambas variam com a massa das G M1M2
partículas que interagem. dada por F = , onde G é a constante
d2
(B) Ambas variam com a carga elétrica das da gravitação universal. Em termos exclusivos
partículas que interagem. das unidades de base do Sistema Internacional
(C) Ambas variam com o meio em que as de Unidades (SI), G é expressa em
partículas interagem. a) kg–1. m3. s–2.
(D) Ambas variam com o inverso do b) kg2 . m–2 . s2.
quadrado da distância entre as partículas que c) kg2 . m–2 . s–1.
interagem. d) kg3 . m3 . s–2.
(E) Ambas podem ser tanto de atração e) kg–1 . m2 . S–1.
como de repulsão entre as partículas que
interagem. a) Grande parte dos satélites de
comunicação estão localizados em órbitas
UNESP 43a) A Lei da Gravitação circulares que estão no mesmo plano do equador
Universal foi publicada em 1687 pelo físico e terrestre. Geralmente esses satélites são
matemático inglês Isaac Newton. Através dessa geoestacionários, isto é, possuem período orbital
lei, pode-se determinar as intensidades das igual ao período de rotação da Terra, 24 horas.
forças de interação gravitacional entre a Terra e Considerando-se que a órbita de um
a Lua, FTL, e entre o Sol e a Lua, FSL. satélite geoestacionário possui raio orbital de 42
Considerando a massa do Sol de 3,2 x 105 vezes 000 km, um satélite em órbita circular no plano
a massa da Terra e a distância média do Sol à do equador terrestre, com raio orbital de 10 500
Lua de 400 vezes a distância média da Terra à km, tem período orbital de
Lua, a relação aproximada entre estas duas a) 3 horas.
intensidades de força é b) 4 horas.
a) FTL = 0,5 FSL. c) 5 horas.
b) FTL = FSL. d) 6 horas.
c) FTL = 1,5 FSL. e) 8 horas.
d) FTL = 2 FSL.
e) FTL = 2,5 FSL. UNESP 39a) Ao se colocar um satélite em
órbita circular em torno da Terra, a escolha de
UNESP 11)Um satélite com massa m gira sua velocidade v não pode ser feita
em torno da Terra com velocidade constante, em independentemente do raio R da órbita. Se M é a
uma órbita circular de raio R, em relação ao massa da Terra e G a constante universal de
centro da Terra. Represente a massa da Terra por gravitação, v e R devem satisfazer a condição
M e a constante gravitacional por G. Utilizando a) v2R = GM.
os conceitos de forças centrípeta e gravitacional, b) vR2 = GM.
calcule, em função de m, M, R e G, c) v/R2 = GM.
a) a velocidade do satélite; d) v2/R = GM.
b) a constante K que aparece na terceira lei e) vR = GM.
de Kepler, T2 = KR3, onde T é o período do
movimento. UNESP 13) Uma espaçonave de massa m
a) V =

GM
R
4π2
gira em torno da Terra com velocidade
constante, em uma órbita circular de raio R. A
força centrípeta sobre a nave é 1,5 GmM/R 2,
b) K= onde G é a constante de gravitação universal e
GM
M a massa da Terra.


a) Desenhe a trajetória dessa nave. Em um Considerando os trechos entre os pontos A
ponto de sua trajetória, desenhe e identifique os e B e entre os pontos C e D, pode-se afirmar
v
vetores velocidade  e aceleração centrípeta que,
a
 da nave. (A) entre A e B, a área varrida pela linha
b) Determine, em função de M, G e R, os que liga o planeta ao Sol é maior do que aquela
módulos da aceleração centrípeta e da entre C e D.
velocidade da nave. (B) caso as áreas sombreadas sejam iguais,
a) o planeta move-se com maior velocidade escalar
no trecho entre A e B.
(C) caso as áreas sombreadas sejam iguais,
o planeta move-se com maior velocidade escalar
no trecho entre C e D.
(D) caso as áreas sombreadas sejam iguais,
o planeta move-se com a mesma velocidade nos
dois trechos.
(E) caso as áreas sombreadas sejam iguais,
o tempo levado para o planeta ir de A até B é
GM
b) a cp =1,5 2
maior que entre C e D.
R


V = 1,5
GM
R
UNESP 11) Desde maio de 2008 o
IBAMA recebe imagens do ALOS (satélite de
observação avançada da Terra) para monitorar o
UNESP 41b) Dois satélites giram ao redor desmatamento na floresta Amazônica. O ALOS
da Terra em órbitas circulares de raios R 1 e R2, é um satélite japonês que descreve uma órbita
com velocidades v1 e v2, respectivamente. Se R2 circular a aproximadamente 700 km de altitude.
tiver o dobro do valor de R1, pode-se dizer que São dados o raio e a massa da Terra, r T = 6400
v1 km e M = 6,0·1024kg, respectivamente, e a
a) v 2 = constante gravitacional, G=6,7·10−11N·m2/kg2.
2
2 Determine o módulo da aceleração da gravidade
b) v 2 =v 1   terrestre, em m/s2, na altitude em que esse
2
satélite se encontra.
c) v 2 =  2 v 1
8 m/s²
d) v 2 =2v 1
e) v 2 =4v 1

UNESP 42b) Analise o movimento de um UNESP 41a) Admitindo a Terra como
planeta em diversos pontos de sua trajetória em perfeitamente esférica e desprezando os efeitos
torno do Sol, conforme aparece na figura. do seu movimento de rotação, o módulo da
aceleração da gravidade terrestre g varia com a
distância d em relação ao centro da Terra,
conforme a expressão:

Considerando G a constante de gravitação
universal, MT a massa da Terra e RT o raio da
Terra, o peso de um corpo de massa M,
localizado à altura H da superfície terrestre, é
dado por


atração gravitacional entre dois pares de esferas
de chumbo a partir do ângulo de torção que essa
força causou em um fio. A figura mostra
esquematicamente a idéia básica dessa
experiência.

Ao final de seu experimento, Cavendish
determinou a densidade média da Terra em
relação à densidade da água, a partir da
expressão matemática da Lei da Gravitação
G⋅M⋅m
Universal, F = , mas a experiência
R2
celebrizou-se pela determinação de G, constante
UNIFESP 49a. Antes de Newton expor sua gravitacional universal. Sendo F o módulo da
teoria sobre a força da gravidade, defensores da força medido por meio de sua balança,
teoria de que a Terra se encontrava imóvel no conhecendo M, massa da esfera maior, e m,
centro do Universo alegavam que, se a Terra massa da esfera menor, Cavendish pôde
possuísse movimento de rotação, sua velocidade determinar G pela seguinte expressão:
deveria ser muito alta e, nesse caso, os objetos
sobre ela deveriam ser arremessados para fora F2
r
(A) G= , sendo r a distância entre
de sua superfície, a menos que uma força muito M⋅m
grande os mantivesse ligados à Terra. os centros das esferas maior e menor.
2
Considerando o raio da Terra de 7 × 106m, Fr
(B) G= , sendo r o comprimento
o seu período de rotação de 9×104s e π2=10, a M⋅m
força mínima capaz de manter um corpo de da barra que liga as duas esferas menores.
massa 90 kg em repouso sobre a superfície da F2
Terra, num ponto sobre a linha do Equador, vale, (C) G= r2 , sendo r a distância entre
aproximadamente, M
(A) 3 N. os centros das esferas maiores.
(B) 10 N. F2
(D) G= r , sendo r o comprimento da
(C) 120 N. m2
(D) 450 N. barra que liga as duas esferas menores.
(E) 900 N. M⋅m
(E) G= 2 , sendo r a distância entre
Fr
UNIFESP 49a. Henry Cavendish, físico os centros das esferas maior e menor.
inglês, realizou em 1797 uma das mais
importantes experiências da história da física UNIFESP 48C. A massa da Terra é
com o objetivo, segundo ele, de determinar o aproximadamente oitenta vezes a massa da Lua
peso da Terra. Para isso construiu uma balança e a distância entre os centros de massa desses
de torção, instrumento extraordinariamente astros é aproximadamente sessenta vezes o raio
sensível e com o qual pôde medir a força de da Terra. A respeito do sistema Terra-Lua, pode-


se afirmar que estrelas resulta da força de atração gravitacional
(A) a Lua gira em torno da Terra com que as galáxias exercem sobre elas. A curva no
órbita elíptica e em um dos focos dessa órbita gráfico abaixo mostra como a força
está o centro de massa da Terra. gravitacional Fg =GMm/r2, que uma galáxia de
(B) a Lua gira em torno da Terra com massa M exerce sobre uma estrela externa à
órbita circular e o centro de massa da Terra está galáxia, deve variar em função da distância r da
no centro dessa órbita. estrela em relação ao centro da galáxia,
(C) a Terra e a Lua giram em torno de um considerando-se m=1,0×1030kg para a massa da
ponto comum, o centro de massa do sistema estrela. A constante de gravitação G vale 6,7×10–
Terra-Lua, localizado no interior da Terra. m kg–1s–2.
11 3

(D) a Terra e a Lua giram em torno de um a) Determine a massa M da galáxia.
ponto comum, o centro de massa do sistema b) Calcule a velocidade de uma estrela em
Terra-Lua, localizado no meio da distância entre órbita circular a uma distância r=1,6x1020m do
os centros de massa da Terra e da Lua. centro da galáxia.
(E) a Terra e a Lua giram em torno de um
ponto comum, o centro de massa do sistema
Terra-Lua, localizado no interior da Lua.

Unicamp 6) Em agosto de 2006, Plutão foi
reclassificado pela União Astronômica
Internacional, passando a ser considerado um
planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que
T2=Ka3, onde T é o tempo para um planeta
completar uma volta em torno do Sol, e a é a
média entre a maior e a menor distância do
planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é
aT=1,5 x 1011m, enquanto que para Plutão a) M≅1,5x1040kg
aP=60x1011m. A constante K é a mesma para b) V=8,0x104m/s
todos os objetos em órbita em torno do Sol. A
velocidade da luz no vácuo é igual a 3,0x108m/s.
Dado:  10≃3,2 Unicamp 4) Em 2009 foram comemorados
a) Considerando-se as distâncias médias, os 40 anos da primeira missão tripulada à Lua, a
quanto tempo leva a luz do Sol para atingir a Missão Apollo 11, comandada pelo astronauta
Terra? E para atingir Plutão? norte-americano Neil Armstrong. Além de ser
b) Quantos anos terrestres Plutão leva para considerado um dos feitos mais importantes da
dar uma volta em torno do Sol? Expresse o história recente, esta viagem trouxe grande
resultado de forma aproximada como um desenvolvimento tecnológico.
número inteiro. a) A Lua tem uma face oculta,
a) 5,0x102s e 2,0x104s erroneamente chamada de lado escuro, que
Observação: o período de translação nunca é vista da Terra. O período de rotação da
correto de Plutão é 248 anos. Lua em torno de seu eixo é de cerca de 27 dias.
b) 256 anos Considere que a órbita da Lua em torno da Terra
é circular, com raio igual a r=3,8x108m.
Unicamp 6) Observações astrônomicas Lembrando que a Lua sempre apresenta a
indicam que as velocidades de rotação das mesma face para um observador na Terra,
estrelas em torno de galáxias são incompatíveis calcule a sua velocidade orbital em torno da
com a distribuição de massa visível das galáxias, Terra.
sugerindo que grande parte da matéria do b) Um dos grandes problemas para enviar
Universo é escura, isto é, matéria que não um foguete à Lua é a quantidade de energia
interage com a luz. O movimento de rotação das cinética necessária para transpor o campo


gravitacional da Terra, sendo que essa energia Fuvest 4) Um satélite artificial, em órbita
depende da massa total do foguete. Por este circular em torno da Terra, mantém um período
motivo, somente é enviado no foguete o que é que depende de sua altura em relação à
realmente essencial. Calcule qual é a energia superfície da Terra. Determine
necessária para enviar um tripulante de massa a) o período T0 do satélite, em minutos,
m=70kg à Lua. Considere que a velocidade da quando sua órbita está muito próxima da
massa no lançamento deve ser v v=  2gRT superfície. (Ou seja, está a uma distância do
para que ela chegue até a Lua, sendo g a centro da Terra praticamente igual ao raio da
aceleração da gravidade na superfície na Terra e Terra).
RT=6,4x106m o raio da Terra. b) o período T4 do satélite, em minutos,
a) 0,97km/s quando sua órbita está a uma distância do centro
b) 4,5x109J da Terra aproximadamente igual a quatro vezes
o raio da Terra.
Unicamp 10) O GPS (Global Positioning
System) consiste em um conjunto de satélites
que orbitam a Terra, cada um deles carregando a
bordo um relógio atômico. A Teoria da
Relatividade Geral prevê que, por conta da
gravidade, os relógios atômicos do GPS
adiantam com relação a relógios similares na
Terra. Enquanto na Terra transcorre o tempo de
um dia (tterra=1,0 dia=86400 s), no satélite o
tempo transcorrido é tsatéite=tTerra + ∆t, maior
que um dia, e a diferença de tempo ∆t tem que
ser corrigida. A diferença de tempo causada pela
gravidade é dada por (∆t/tTerra)=(∆U/mc2),
sendo ∆U a diferença de energia potencial
gravitacional de uma massa m entre a altitude
considerada e a superfície da Terra, e
c=3,0x108m/s, a velocidade da luz no vácuo.
a) Para o satélite podemos escrever
∆U=mgRT(1 – RT/r), sendo r~4RT o raio da
órbita, RT=6,4x106m o raio da Terra e g a
aceleração da gravidade na superfície terrestre.
Quanto tempo o relógio do satélite adianta em
tterra=1,0 dia em razão do efeito gravitacional?
b) Relógios atômicos em fase de a) 80 min
desenvolvimento serão capazes de medir o b) 640min
tempo com precisão maior que uma parte em
1016, ou seja, terão erro menor que 10–16s a cada
Fuvest 68d) A Estação Espacial
segundo. Qual é a altura h que produziria uma
Internacional mantém atualmente uma órbita
diferença de tempo ∆t=10–16s a cada t
circular em torno da Terra, de tal forma que
Terra=1,0s? Essa altura é a menor diferença de
permanece sempre em um plano, normal a uma
altitude que poderia ser percebida comparando
direção fixa no espaço. Esse plano contém o
medidas de tempo desses relógios. Use, nesse
centro da Terra e faz um ângulo de 40˚ com o
caso, a energia potencial gravitacional de um
eixo de rotação da Terra. Em um certo momento,
corpo na vizinhança da superfície terrestre.
a Estação passa sobre Macapá, que se encontra
a) 4,6x10–5s na linha do Equador. Depois de uma volta
b) 0,90m completa em sua órbita, a Estação passará


novamente sobre o Equador em um ponto que única força interveniente seja a da atração
está a uma distância de Macapá de, gravitacional mútua, e que seja de 12R a
aproximadamente, distância de separação inicial entre os centros
a) zerokm dos corpos, então, o espaço percorrido pelo
b) 500km corpo menor até a colisão será de
c) 1000km
d) 2500km
e) 5000km

a) 1,5R
b) 2,5 R
c) 4,5R
d) 7,5R
e) 10,0R

Ita 26) Suponha que na Lua, cujo raio é R,
exista uma cratera de profundidade R/100, do
fundo da qual um projétil é lançado
verticalmente para cima com velocidade inicial
v igual à de escape. Determine literalmente a
altura máxima alcançada pelo projétil, caso ele
Fuvest 10) Recentemente Plutão foi fosse lançado da superfície da Lua com aquela
“rebaixado”, perdendo sua classificação como mesma velocidade inicial v.
planeta. Para avaliar os efeitos da gravidade em H = R/98
Plutão, considere suas características físicas,
comparadas com as da Terra, que estão Ita 30) Satélite síncrono é aquele que tem
apresentadas, com valores aproximados, no sua órbita no plano do equador de um planeta,
quadro a seguir. mantendo-se estacionário em relação a este.
a) Determine o peso, na superfície de Considere um satélite síncrono em órbita de
Plutão (PP), de uma massa que na superfície da Júpiter cuja massa é MJ=1,9x1027kg e cujo raio
Terra pesa 40N (PT40N). é RJ=7,0x107m. Sendo a constante da gravitação
b) Estime a altura máxima H, em metros, universal G=6,7x10–11 m3kg–1 s–2 e considerando
que uma bola, lançada verticalmente com que o dia de Júpiter é de aproximadamente 10h,
velocidade V, atingiria em Plutão. Na Terra, essa determine a altitude do satélite em relação à
mesma bola, lançada com a mesma velocidade, superfície desse planeta.
atinge uma altura hT1,5m. h ≅ 9,1x107m
NOTE E ADOTE:
Massa da Terra (MT)500xMassa de Plutão
(MP) Ita 23) Lançado verticalmente da Terra
Raio da Terra (RT)5xRaio de Plutão (RP) com velocidade inicial V0, um parafuso de
massa m chega com velocidade nula na órbita de
a) PP = 2,0N um satélite artificial, geoestacionário em relação
b) H = 30m à Terra, que se situa na mesma vertical.
Desprezando a resistência do ar, determine a
Ita 6d) Dois corpos esféricos de massa M e velocidade V0 em função da aceleração da
5M e raios R e 2R, respectivamente, são gravidade g na superfície da Terra, raio da Terra
liberados no espaço livre. Considerando que a R e altura h do satélite.


ITA 25) Lua e Sol são os principais
responsáveis pelas forças de maré. Estas são
produzidas devido às diferenças na aceleração
gravitacional sofrida por massas distribuídas na
Terra em razão das respectivas diferenças de
suas distâncias em relação a esses astros. A
figura mostra duas massas iguais, m1=m2=m,
dispostas sobre a superfície da Terra em
posições diametralmente opostas e alinhadas em
relação à Lua, bem como uma massa m0=m
situada no centro da Terra. Considere G a
constante de gravitação universal, M a massa da
Lua, r o raio da Terra e R a distância entre os
centros da Terra e da Lua. Considere, também,
f0z, f1z e f2z as forças produzidas pela Lua
respectivamente sobre as massas m0, m1, e m2.
Determine as diferenças (f1z –f0z) e (f2z –f0z)
sabendo que deverá usar a aproximação
1
=1 =1 – αx, quandox<< 1.
1 xα
ITA 6C) Desde os idos de 1930,
observações astronômicas indicam a existência
da chamada matéria escura. Tal matéria não
emite luz, mas a sua presença é inferida pela
influência gravitacional que ela exerce sobre o
movimento de estrelas no interior de galáxias.
Suponha que, numa galáxia, possa ser removida
sua matéria escura de massa específica ρ > 0,
que se encontra uniformemente distribuída.
Suponha também que no centro dessa galáxia
haja um buraco negro de massa M, em volta do
qual uma estrela de massa m descreve uma
órbita circular. Considerando órbitas de mesmo
raio na presença e na ausência de matéria escura,
a respeito da força gravitacional resultante F
exercida sobre a estrela e seu efeito sobre o
movimento desta, pode-se afirmar que ITA 3A) Considere um segmento de reta
que liga o centro de qualquer planeta do sistema

a) F é atrativa e a velocidade orbital de solar ao centro do Sol. De acordo com a 2. a Lei
m não se altera na presença da matéria escura. de Kepler, tal segmento percorre áreas iguais em

b) F é atrativa e a velocidade orbital de tempos iguais. Considere, então, que em dado
m é menor na presença da matéria escura. instante deixasse de existir o efeito da gravitação

c) F é atrativa e a velocidade orbital de entre o Sol e o planeta. Assinale a alternativa
m é maior na presença da matéria escura. correta.

d) F é repulsiva e a velocidade orbital a) O segmento de reta em questão
de m é maior na presença da matéria escura. continuaria a percorrer áreas iguais em tempos

e) F é repulsiva e a velocidade orbital iguais.
de m é menor na presença da matéria escura. b) A órbita do planeta continuaria a ser
elíptica, porém com focos diferentes e a 2. a Lei
de Kepler continuaria válida.


c) A órbita do planeta deixaria de ser fornece uma força de empuxo, que neutraliza a
elíptica e a 2.a Lei de Kepler não seria mais força peso, fazendo o astronauta flutuar.
válida. (E) a nave, junto com o astronauta, está
d) A 2.a Lei de Kepler só é válida quando em constante queda, o que causa a ilusão da falta
se considera uma força que depende do inverso de peso.
do quadrado das distâncias entre os corpos e,
portanto, deixaria de ser válida. UNESP 40C) Depois de anos de
e) O planeta iria se dirigir em direção ao
interrupção, ocorreu neste ano a retomada de
Sol lançamentos do ônibus espacial pela NASA,
desta vez com sucesso. Nas imagens divulgadas
ITA 27) Derive a 3. a Lei de Kepler do do dia-a-dia no ônibus espacial girando ao redor
movimento planetário a partir da Lei da da Terra, pudemos ver os astronautas realizando
Gravitação Universal de Newton considerando suas atividades, tanto fora da nave como no seu
órbitas circulares. interior. Considerando que as órbitas da nave e
dos astronautas sejam circulares, analise as
afirmações seguintes.
I. Não há trabalho realizado pela força
gravitacional para manter um astronauta em
órbita ao redor da Terra.
II. A aceleração de um astronauta
girando ao redor da Terra deve-se
exclusivamente à ação da força gravitacional.
III. A velocidade vetorial do astronauta
ao redor da Terra é constante.

Estão corretas as afirmações:
a) II, somente.
b) III, somente.
c) I e II, somente.
UNESP 40b) Se a massa e o raio da Terra d) II e III, somente.
dobrassem de valor, o peso P de uma pessoa (ou e) I, II e III.
a força com que a Terra a atrai) na superfície do
planeta seria, desconsiderando outros efeitos, UNIFESP 48C. Estima-se que o planeta
(A) quatro vezes menor. Urano possua massa 14,4 vezes maior que a da
(B) duas vezes menor. Terra e que sua aceleração gravitacional na linha
(C) o mesmo. do equador seja 0,9g, em que g é a aceleração
(D) duas vezes maior. gravitacional na linha do equador da Terra.
(E) quatro vezes maior. Sendo RU e RT os raios nas linhas do equador de
UNESP 41e) Considere um astronauta Urano e da Terra, respectivamente, e
dentro de uma nave espacial em órbita da Terra. desprezando os efeitos da rotação dos planetas,
Pode-se afirmar que RU/RT é
(A) a força gravitacional que atua no (A) 1,25.
astronauta é nula, por isso ele flutua. (B) 2,5.
(B) o fato de a nave estar no vácuo faz (C) 4.
com que o astronauta flutue. (D) 9.
(C) o fato de a força gravitacional da (E) 16.
Terra, que atua no astronauta, ser oposta à da
Lua permite a flutuação do astronauta.
(D) o ar contido no interior da nave

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