6. Основные методы решения
логарифмических уравнений
1)по определению логарифма;
например, уравнение loga х = b (а > 0,
а≠ 1, b>0 ) имеет решение х = аb
.
2) функционально-графический метод;
7. 3) метод потенцирования;
Под потенцированием понимается
переход от равенства,
содержащего логарифмы, к
равенству, не содержащему их:
если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) =
g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.
8. 4. Метод введение новой переменной.
5. Метод логарифмирования обеих
частей уравнения.
6. Метод приведения логарифмов к
одному и тому же основанию.
9. Этапы решения уравнения
•Найти область допустимых
значений (ОДЗ) переменной
•Решить уравнение, выбрав метод
решения
•Проверить найденные корни
непосредственной
подстановкой в исходное уравнение
или выяснить, удовлетворяют
ли они условиям ОДЗ
10. Виды простейших логарифмических
уравнений и методы их решения
Уравнение Решение
1и0,logа) ≠>= aabxa
.1и0,)(logб) ≠>= aabxfa
.1и0
,)(log)(logв)
≠>
=
aa
xgxf aa
bxfxg =)(logг) )(
b
ax =
b
axf =)(
=
>
>
).()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
=
≠
>
b
xgxf
xg
xg
)()(
,1)(
,0)(
11. Уравнения вида
loga
f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.
Уравнения данного вида решаются
по определению логарифма с
учётом области определения
функции f(x). Уравнение
равносильно следующей системе
=
>
.)(
,0)(
b
axf
xf
12. Уравнения вида logf(x)
b = с, b > 0.
Данное уравнение равносильно
следующей системе
( )
=
≠>
>
.)(
,1)(,0)(
,0
bxf
xfxf
b
c
14. Метод потенцирования
применяется в том случае, если все
логарифмы, входящие в уравнение,
имеют одинаковое основание. Для
приведения логарифмов к общему
основанию используются формулы:
a
x
x
a
log
1
log =
15. log2
х – 2 logх
2 = –1
Решение: ОДЗ: x > 0, х ≠ 1
Используя формулу перехода к
новому основанию, получим
18. Введение новой переменной
,0)(log)(log2
=++ CxfBxfA aa
где a > 0, a ≠ 1, A, В, С – действительные
числа.
Пусть t = loga
f(x), t∈R. Уравнение
примет вид t2
+ Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga
f(x). Учитывая область определения, выберем
только те значения x, которые
удовлетворяют неравенству f(x) > 0.
19. Пример 1.
Решить уравнение lg 2
x – lgx – 6 = 0.
Решение. Область определения
уравнения – интервал (0; ∞).
Введём новую переменную t = lg x, t∈R.
Уравнение примет вид t2
– t – 6 =
0.
Его корни t1
= –2, t2
= 3.
20. Вернёмся к первоначальной
переменной lg x = –2 или lg x = 3,
х = 10 –2 или х = 10 3.
Оба значения x удовлетворяют
области определения данного
уравнения (х > 0).
Ответ. х = 0,01; х = 1000.
21. Пример 2. Решить уравнение
4)(loglog2 2
3
2
3 =−− xx
Решение. Найдём область определения
уравнения
.0
;0
,0
;0
,0
2
<
≠
<
>
>−
x
x
x
x
x
Применив формулу логарифма степени,
получим уравнение
.4)(log||log4 2
33 =−− xx
22. Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно
.4)(log)(log4 2
33 =−−− xx