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Física 2
Equilíbrio e Elasticidade
Prof. Dr. Walmor Cardoso Godoi
Departamento de Física - DAFIS
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR
URL: http://dafis.ct.utfpr.edu.br/~godoi
E-mail: walmorgodoi@utfpr.edu.br
Agenda
• Equilíbrio de corpos rígidos
• Elasticidade dos objetos não rígidos

Dubai - 829,84 m

Ed. Liberdade, Rio de Janeiro
Desabou no Centro da cidade, deixando
22 mortos em 25 de janeiro de 2012
Introdução

“Dê-me um ponto de apoio, e moverei o mundo.”
Arquimedes (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.)
Bloco em um plano inclinado
Condição
N

fa=mgsenθ
µmgcosθ=mgsenθ

fa

µ=tanθ (máximo)
Portanto
P

θ

θ=29,7 , µ=0,57
θ=60,0 , µ=1,73

Correto?
Qual é o ângulo máximo para o bloco não se deslocar?
a) Para µ=0,57 (aço sobre aço sem lubrificação)
b) Para µ=1,73 (silicone sobre plástico)
Bloco em um plano inclinado

N
CM

θ = 60o
Equilíbrio

instável

estável

indiferente
Equilíbrio

Centro de massa
Requisitos para o Equilíbrio
• Um corpo rígido está em equilíbrio se

Equilíbrio estático
Condições de Equilíbrio
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do CM

Equilíbrio das forças

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do CM

Equilíbrio dos torques
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Rotação
do CM

Equilíbrio dos torques
Condições de Equilíbrio
Forças coplanares
Teste 1
• Em que condições a barra está em equilíbrio?

x2
O Centro de Gravidade

Petronas Towers, Malásia, g é 0,014% maior na base que no topo (452 m)
CG está 2 cm abaixo do CM
O Centro de Gravidade
Lembrando...
• Coordenadas do CM
uso de contrapesos de chumbo
Teste 2

a) Não
b) No ponto de aplicação de F1
c) 45 N
Exemplo 1
• Na fig. abaixo uma viga homogênea, de comprimento
L e massa m=1,8 kg, está apoiada sobre duas
balanças. Um bloco homogêneo, de massa M= 2,7
kg, está apoiado na viga, com o centro a uma
distância L/4 da extremidade esquerda da viga. Quais
são as leituras das balanças?
eixo de rotação
Generalizando o problema da barra e
balança ...
x

pivô

d

x
Se d=0

x

L
Equilíbrio (limite normal D =0)
Exemplo 2

Resposta: 30 kg
Exemplo 3
Escada de comprimento L
Qual o ângulo máximo permitido?

n2

pivô

parede
sem atrito
p=mg
n1

y

fa=µ.n1
x

piso com atrito
Exemplo 4

P = 50 N, Ps = 20 N, Fbíceps = ?
a = 5 cm, b = 15 cm, c = 30 cm
#experimente
Estruturas indeterminadas
• 3 equações
• Supomos
corpos
rígidos
• Solução:
Considerar
deformações
- Elasticidade
Propriedades Elásticas
• Propriedades mecânicas
Imperfeições nos sólidos

R
Átomo de uma barra de ouro

Trabalho necessário para arrancar 1 átomo de ouro
W= 3,75 eV -> (1eV = 1,6 x 10-19J)
Nanotecnologia -> Para arrancar um único átomo é
necessário uma distância d= 4x10-10 m = 0,4 nm
1. Qual é a força necessária para arrancar um único
átomo?
Resposta: 1,5 nN
2. Se uma seção transversal da barra de ouro possui 1,6 x
1015 átomos/cm2, qual é a força necessária para
arrancar átomos de uma seção de 2 cm2?
Resposta 4,8 x 106 N
Tração e compressão
• Tensão trativa (tração)
Tensão (stress) e Deformação (strain)
• Máquina de Ensaio

Extensômetro de 9,8 mm x 4,6 mm
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Tração e Compressão
tensão

onde E é o módulo de Young

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onde G é o módulo de cisalhamento
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onde B é o módulo de elasticidade volumétrico
Produção de teias de aranha - Desafio para a nanotecnologia!
Exemplo 6
• Uma mesa tem 3 pernas com 1,0000 m
de comprimento e uma quarta perna
com 1,0005 m (um adicional de d= 0,50
mm). Todas feitas de madeira com área
de seção reta de A=1,0 cm2 (E=1,3
x1010N/m)
• Cilindro de aço M=290 kg (massa da
mesa muito menor)
• Quais são os módulos das forças que o
chão exerce sobre as pernas da mesa?
Referências
• Halliday & Resnick - Fundamentos de Física,
vol. 2, Cap. 12, 9ª edição, editora LTC.
• Sears & Zemanski – Física I, Mecânica, 12ª
edição, Pearson, Cap 11, 2008.

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