1. ( )kxtAy −= ωcos1
( )kxtAy += ωcos2
tkxAyyy ωcoscos221 =+= t
x
A ω
λ
π
)cos
2
cos2(=
振幅因子 谐振因子 CAI
驻波波线上的各质元都以同一频率作简谐振动
不同质元的振幅随其位置 x 作周期性变化
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2. txAy ω
λ
π
)cos
2
cos2(=
坐标：
2
λ
nx =波腹
L210 ，，， ±±=n
22
)1(1
λλ
nnxx nn −+=−+相邻波腹间距：
2
λ
= CAI
波节 坐标：
4
)12(
λ
+= nx L210 ，，， ±±=n
2
1
λ
=−+ nn xx相邻波节间距：
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3. txAy ω
λ
π
)cos
2
cos2(=
2
λ
nxn =
相邻波腹：
2
)1(1
λ
+=+ nxn
振幅因子
πncos π)1cos( +n
振动相位相差 π CAI
两相邻波节之间的各质元振动相位相同
在每一波节两侧各质元振动相位相反
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4. 能量
总平均能流密度为
0)( =−〉〈+〉〈 vwvw
平均说来没有能量的传播
驻波中的动能和势能有一定的分布且不断相互转换
弹性势能分布 动能分布 弹性势能分布
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5. 当所有各质元达到最大位移，全部能量为势能
当所有各质元达到平衡位置，全部能量为动能
能量由两端向中间传
势能→动能
瞬时位移为0，
动能最大
势能为0
能量由中间向两端传
动能→势能
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6. kinetic energy displacement potential energy
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7. 两端固定的弦中产生的驻波
L321
2
,,,nnL =⋅=
λ
…= 3,2,1,=
2
n
n
L
nλ
µ
TF
L
n
2
=
L
nuu
f
n
n
2
==
λ
…3,2,1,=n
µ
TF
L
f
2
1
1 = 基频
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8. µ
T
n
F
L
nnff
2
1
1 ⋅== )1( >n
次谐频n
简正频率
一个振动系统的某个固有频率所
对应的一种稳定振动方式或一种
驻波形式
该系统的一种简正模式
或振动模式
多自由度驻波系统中的任一波
扰动，可以看成是一系列简正
模式的线性叠加。
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9. 中点受拨或受击而振动时
中点为波节的那些模式不出现
2次、4次、6次、…谐频
该点为波节的那些模式不出现
n
L
距一端为 的点
受拨或受击而振动时
n次谐频、2n次谐频…
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10. 乐器的机理就是共振
泛音（谐频）基音（基频）
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11. 两个简正模合成一个行波
01 =tω
前二个简正模
4
1
π
ω =t
2
1
π
ω =t
4
3
1
π
ω =t
πω =t1
CAI

12. 三个简正模合成一个行波
01 =tω
4
1
π
ω =t
2
1
π
ω =t
4
3
1
π
ω =t
前三个简正模
πω =t1CAI

13. The Doppler Effect§13.6 多普勒效应
CAI
波源静止
观测者静止
波源或观测者的运动造成观测频率与波源频率不同
的现象
多普勒效应 Doppler effect
In 1842 Johann Christian Doppler
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14. Case A 波源运动 观测者静止
相对于连续介质
Case B 观测者运动波源静止
CAI
Case C 波源运动 观测者运动
弹性波的波速u 由介质的性质决定
波源和观测者的运动都发生在它们之间的连线上
波源相对于介质的速度sv
观测者相对于介质的速度rv
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15. Case A: 观测者运动 A Moving Receiver
rv
观测者的接收频率
单位时间内通过观测者
的完整波长数
rvu +
λ
r
r
vu
f
+
= f
u
vu
f/u
vu rr +
=
+
=
CAI
ffr >0>rv观测者向着波源运动时
ffr <0<rv观测者背离波源运动时
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16. Case B: 波源运动 A Moving Source CAI
TvuT s−=′λ
f
vu
u
s−TvuT
uu
f
s
r
−
=
′
=
λ
=
0>sv ffr >波源向着观测者运动时
0<sv ffr <波源背离观测者运动时
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17. Case C: 观测者、波源都运动
波源以速度 相对于介质运动sv TvuT s−波长变为
观测者以速度 相对于介质运动rv
rvu +波相对于观测者的波速变为
f
vu
vu
s
r
−
+
=
TvuT
vu
f
s
r
r
−
+
= CAI
波源和观测者的运动不是沿着它们的连线方向 ( 纵向 )
f
vu
vu
f
ss
rr
r
θ
θ
cos
cos
−
+
=
sv
r sθ rs
rθ
rv
r
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18. 电磁波的多普勒效应
在r所在的
参考系中v
r
θ
rs
f
c
v
c
v
f r
θcos
1
1 2
2
−
−
=
在 r 所在的参考系中波源 s 的运动速度v
f
vc
vc
fr
−
−
=
22
f
vc
vc
−
+
=纵向多普勒效应
f
c
v
2
2
1 −=f
c
vc
fr
22
−
=横向多普勒效应
电磁波的传播
不需要介质
有意义的只是波源与接收器间的相对运动
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19. f
vc
vc
fr
−
+
=遥远星系发来的光 光谱分析
有一些在实验室中已确认的谱线显著地移向了长波端
谱线红移 red shift of spectral line
钾光谱中易辨认的一对吸收线 K 线和 H 线
在地面实验室中是出现在波长395nm 附近
在来自牧夫星座一个星云的光中，却在波长447nm 处
观测到了这两条谱线
f
vc
vc
fr
−
+
=
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20. f
vc
vc
fr
−
+
=
vc
vc
r −
+
=2
2
λ
λ
λλ
c
vc
vcc
r −
+
=
nm447=rλnm395=λ
cv
r
r
s 22
22
λλ
λλ
+
−
= c22
22
447395
447395
+
−
= c.1230−=
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21. 雷达测速仪在高速公路上 监测车速
f
vc
vc
f
−
+
=′
f
vc
vc
ffffb )1( −
−
+
=−′′== ∆
f
vc
v
)
2
(
−
= f
c
v2
≈f
c
v
c
v
)
1
2
(
−
=
f
vc
vc
f ′
−
+
=′′
f
vc
vc
−
+
=
m/s103 8
×=c30m/s~km/h108=v 雷达波速车速
Hz4≈bfMHz02≈f发射频率
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22. 波源的速度超过波速
sv
u
=θsinMach cone angle
Mach cone马赫锥
shock wave激波 or 冲击波
A bullet passing through the hot gases
above a candle flame produces a shock
wave because its speed is faster than the
speed of sound in air
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CAI
马赫波

23. 波源的速度趋于波速
所有的波面在一点相切
∞→rf
声暴
声障声速区
CAI
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