funções vetoriais

1. Funções vetoriais
I) Funções vetoriais a valores reais:
I = intervalo da reta real denominada domínio da função
vetorial f = {conjunto de todos os valores possíveis de t,
para os quais todas as componentes estão definidas}.
(t))f(t),....,f(t),(f(t)ft n21=
→⊂
r
a
r n
RRI:f
para os quais todas as componentes estão definidas}.
Imagem f : conjunto de vetores
Cassi particular:
Exemplo 1: defina o domínio e a imagem da função vetorial a seguir:
(t))f(t),f(t),(f(t)ft 321
3
=
→⊂
r
a
r
RRI:f
)()()()( 321 fDomfDomfDomfDom II=
)1-tt),-ln(41),(sin(t(t)ft
3
++=
→⊂
r
a
r
RRI:f

2. )sin(t),-
t-4
1
1,((t)ft 2
3
+=
→⊂
t
RRI:f
r
a
r
Exemplo 2.- Defina o domínio e a imagem da função vetorial a
Seguir
Resposta: Dom(f)={...,[-4pi,-3pi],[-2pi,-pi],[0,pi]}.
Curva espacial: dada uma função vetorial
Tal que f1(t), f2(t),...fn(t) são funções reais continuas no domínio da
função vetorial f. Então o conjunto V de pontos do espaço R3
tais que
x1 = f1(t), x2 = f2(t),x3 = f3(t),......xn = fn(t)...............(*) ;
e t variando no domínio de f é chamado de curva espacial. As
equações (*) são denominadas equações paramétricas de V
(t))f(t),....,f(t),(f(t)ft n21=
→⊂
r
a
r n
RRI:f

3. Curvas no espaço tri-dimensional R3
Quando uma partícula se movimenta no espaço R3, ela descreve
uma curva r(t) denominada trajetória.
))(),(),(((t))r(t),r(t),(r(t)rt
],[
321
3
tztytx
RbaI:r
==
→=
a
Exemplo: seja a função vetorial definida no espaço R3
Esta função define uma curva no espaço R3, denominada
de helicóide.
)),sin(),cos(()( vttatatf =
r

4. usando Maple
> restart; #helicoide
> with(plots):
> a:=3: v:=2: # dados para ajustar a curva
> spacecurve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t=0..5*Pi, axes=box,
labels=[x,y,z], thickness=2);

5. Uma curva plana é um conjunto r de pares ordenados
de reais ( f(t), g(t) ), em que f(t) e g(t) são funções
reais contínuas em um intervalo I.
Y
r =(x,y) curva no plano R2
x = f(t) equação
y = g(t) paramétrica
I
t
f
g
P
y
0 x X
y = g(t) paramétrica
Exemplo: a função vetorial
define uma curva plana denominada de ciclóide, v,r, w
são constantes.
))cos(),sin(()( wtrrwtrvttf −−=
r

6. > restart; #cicloide
> with(plots):
> v:=2:w:=1:R:=2:
> plot( [v*t-R*sin(w*t), R-R*cos(w*t), t=0..5*Pi],
scaling=constrained, thickness=2, color=blue,labels=[x,y]);
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/ci
cloide.htm

7. Funções vetoriais: representação gráfica
Importante: A parametrização define uma orientação na curva

8. Limite de funções vetoriais
Definição: Sejam uma função vetorial que define
uma curva no espaço R3, tal que
r(t)=(x(t),y(t),z(t)) = x(t) i+ y(t) j + z(t) k,
Logo, dizemos que r tem limite L a medida que t se
aproxima a to e escrevemos assim:
)(tr
r
Desde que os limites das funções componentes existam.
302010
3210
lz(t)lim,ly(t)lim,lx(t)lim
),l,l,(lLr(t)lim
===
==
→→→
→
tttttt
tt
εδ
δε
<−⇒<−<
∀>∃>∀
=→
|)(|||0
t0,0
,)(limO 0tt
Ltrtt
tal que
sesomenteexiste seLtr
o
rr
r
Definição formal :

9. Exemplo 1, Seja a função , demonstrar
que :
Exemplo 2 Seja a função ,
demonstra que :
Continuidade de funções vetoriais
),1()( 2
tttr +=
r
)0,1()(lim 0 ==→ Ltrt
rr
)1,,()( 2
+= tettr tr
)1,1,0()(lim 0 ==→ Ltrt
rr
Continuidade de funções vetoriais
Uma função vetorial r(t) será contínua em um ponto t=t0, do seu
domínio se
L,))(z),(y),((x)(rc)
existe)()
existeL(t)rlim)
0000
0
0
==
=→
tttt
trb
a tt
r
r
r

10. Exemplo 2. Verifique se a função vetorial abaixo é contínua
para .t= 0
Exemplo 1. Verifique se é contínua em
ktjtittr
rrrr
)cos()sin()( ++=
)(tr
r
4/π=t
Continuidade de funções vetoriais.
para .t= 0

11. Derivada de uma função vetorial
Definição: Seja uma função vetorial, ela é derivável ou
tem derivada, se as derivadas das componentes x(t),y(t),z(t)
estão bem definidas para todo t do domínio de
Interpretação geométrica da derivada de uma
),
dt
dz
,
dt
dy
,
dt
dx
(
(t)r-)(tr
lim)(')( 0
=
+
=== →∆
h
h
dt
rd
trtr t
rrr
r&r
)(tr
v
)(tr
v
Interpretação geométrica da derivada de uma
função vetorial.
Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em
movimento no espaço R3 . A função é a
velocidade da partícula e é um vetor tangente à
trajetória espacial descrita pela partícula (para cada
instante do tempo t).
)(tr&r

12. L
P0
Z
P
V
Seja P=(x,y,z) ϵ L,
P0=(x0,y0,z0) ϵ L,
V é um vetor paralelo a L.
Exemplo 1: Determine a derivada da função vetorial
a) f(t) = (t2, cos(t),4 t)
b) f(t) = (2t-3sin(2t), 3-3cos(2t)) usando a definição
Equação vetorial de uma reta L
0 Y
X
V
ϵ
V é um vetor paralelo a L.
Logo:
Forma paramétrica da equação da reta L.
x= x0 + vx t
Y= yo + vy t
z= z0 + vz t , sendo v = (vx,vy,vz)
t}{: 0 VPPL +==

13. Regras de derivação
Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são
números reais, e f(t),g(t) são funções reais de variável real t.
,
)(
)()(
)()]()([
.3
,
)()]([
.2
,
)()()]()([
.1
tvd
tftv
tdftvtfd
dt
tud
a
dt
tuad
dt
tvd
dt
tud
dt
tvtud
+=
=
+=
+
r
r
r
rr
rrrr
vetorial
,
)()())](([
.6
,
)(
)()(
)()]()([
.5
,
)(
)()(
)()]()([
.4
,
)(
)()(
)()]()([
.3
produto
escalarproduto
dt
tdf
df
fud
dt
tfud
dt
tvd
tutv
dt
tud
dt
tvtud
dt
tvd
tutv
dt
tud
dt
tvtud
dt
tvd
tftv
dt
tdf
dt
tvtfd
→×
→
=
×+×=
×
+=
+=
o
rr
r
rr
rrr
r
o
rr
o
rr
o
r
r

14. Exercícios
Exercício 1.- Determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t)
de uma partícula que descreva a seguinte curva (trajetória)
r(t)=(2t, 8-3t2,3t+4)m.
Exercício 2.- Seja uma partícula pontual que segue uma
trajetória dada pela curva, definida assim:
R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2.
2: RI→α
Rcos(wt)),-RRsin(wt),-(vtα(t)t:α =→
R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2.
a) Determine a posição, velocidade e aceleração no instante
t=0s, e t=3π/2.
b) Determine a equação da reta tangente a curva α no
instante t=3π/2.
Exercício 3.-Demonstre a propriedade 4 e 6 da regra de
derivação.

15. Integral de uma função vetorial
Seja f(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, definição:
se as componentes de f são integráveis sobre I=[a,b],então
ktzjtyitxdttf
b
a
b
a
b
a
b
a
))(())(())(()( ∫∫∫ ∫ ++=
Ipartiçãodet
n
ab
tttrdttr i
ni
i
in
b
a
,,)(lim)(
1
∈
−
=∆∆= ∗
=
=
∗
∞→ ∑∫
rr
Exemplo: Calcular a integral da função
f(t)= ((cos(w t))2, t3+2t+1),
Comprimento de arco para curvas lisas
Quando uma partícula percorre uma determinada
Trajetória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimento
desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se denomina
comprimento de arco
aaa a

16. Comprimento de arco 22
dydxdl +=
Definição: O comprimento “L” de uma curva lisa
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t ϵ [a,b] é
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
L
b
a
)()()( 222
∫ ++=

17. Comprimento de arco
Se
então a formula do comprimento de arco fica
),,()(')( zyx vvvtrtr
dt
rd
v ====
r&r
r
dttrdtvL
b
a
b
a
|)('||| ∫∫ ==
Exemplo: Determine o comprimento de arco
da ciclóide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0 e t= 2pi
0 2π t
aa

18. FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO
∫∫ ==
t
t
t
t
vdt
dt
rd
ts
00
dt||)(
s(t) é o comprimento da curva r(t) desde o instante t0 ate o
instante t. Sendo v o módulo da velocidade, ou chamada
também como velocidade escalar.
)(tv
dt
ds
=
também como velocidade escalar.
Usando um pouco de cálculo
Importante:
Como s=s(t) então
Logo : O comprimento de arco de uma curva arbitrária não
depende da parametrização.
dt
dt
ds
ds =

19. ds|||
)(
|
1
0
1
0
∫∫ ==
st
t
ds
rd
dt
dt
trd
L
“O comprimento de arco de uma curva entre dois pontos
é invariante pela re-parametrização”
Exercícios
1.- estude a continuidade da função vetorial
f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π.f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π.
2.- Determine o limite da função vetorial
f(t)=(2t3,4t2,3t+4) quando t se aproxima a t0=1.
3.-Do exercício anterior determine f´(t) para todo t ϵ R.
qual é o ângulo que forma o vetor f´(t) como o vetor f(t) no
instante t.
4.-Determine a função comprimento de arco s(t) para a
ciclóide do exercício 2.

20. TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOS
ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53

21. Movimento de uma partícula no espaço R3
Sabemos que 1T.T,
||
===
v
V
V
V
T
0. =T
dt
Td Analisemos a velocidade de uma partícula
dt
vTtV .)( = Derivando esta equação temos
ds
Td2
vTaa t += Definamos :
||
ds
Td
K =

22. Curvatura K
N
ds
Td
ds
Td
ds
Td
K
r
rr
|||,| ==
Sendo vetor unitárioN
r
0.temos0,T.T == T
ds
Td
de
rr
k
1
=ρ, considerando o radio de curvatura
Finalmente N
2
ρ
v
Taa t +=
ds
Logo deve ser ortogonal a , seu vetor unitário também
ds
Td
r
T
r
0. =NT
rr

23. Aceleração instantâneaa
dt
dv
aT = Aceleração tangencial
2
v Aceleração centrípeta ou radial
ρ
2
v
acpta =
Aceleração centrípeta ou radial
Sempre orientada á parte côncava
Da trajetória.
Suponhamos que : )(srr
r
= , definamos
ds
rd
r
=τ
),,(
ds
dz
ds
dy
ds
dx
=τ

24. 1)()()(|| 222
=++=
ds
dz
ds
dy
ds
dx
τ
Logo τ
rr
≡T
rd 2 rr
rddTd
|
ds
rd
||)(||| 2
2
===
ds
rd
ds
d
ds
Td
K
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)()()(
ds
zd
ds
yd
ds
xd
K ++=
Logo, em forma explicita

25. Triedro de Frenet-Serret
TNB ×= Vetor binormal
Exercícios
1.- Provar que
2.- Provar que
3.- Provar que
1|| =B
v
Va
V
Va
a T
.
||
.
==
3
||
v
aV
k
×
=

26. Exercícios.. Continua
4.- Em relação á ciclóide estudada no começo
a) Determine o vetor T, N,B para a ciclóide no instante
t=3pi/2.
b) Determine a aceleração tangencial e a aceleração
centrípeta para todo instante t. Particularize paracentrípeta para todo instante t. Particularize para
t=3pi/2
c) Determine a curvatura k(t) para todo instante de
Tempo.
c) Interprete seus resultados.
5.- demonstre que no casso de uma circunferência
de radio a, a curvatura K em qualquer ponto da
circunferência é sempre a mesma e é 1/a.

27. Exercícios.. Continua
6.- Seja uma partícula descrevendo uma helicóide
r(t)=(2cos(t), 2sen(t),2t) no espaço R3
a) Determine a velocidade e a aceleração instantânea
para todo instante t.
b) Determine o vetor unitário tangente T, para todo
instante t.instante t.
c) Determine a equação da reta tangente a helicóide no
Instante t=pi/4.
d) Determine a função comprimento de arco s(t) em
função do tempo t.
e) Determine a aceleração tangencial e a aceleração
centrípeta para todo instante t. Particularize para
t=pi/4.

28. Exercícios.. Continua
f).- Determine os vetores N e B para todo instante t.
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_2.htm
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_1.htm
http://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/

29. Equação de um plano.
Seja um plano M imerso no espaço euclidiano R3 onde
n é um vetor perpendicular ao plano M, então
conhecendo um ponto Po=(xo,yo,zo) que pertence ao
plano P, podemos determinar a equação algébrica que
obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.
Basicamente, ela disse que toda reta contida no plano
(ou todo vetor contido no plano), é perpendicular ao
vetor normal n.
dado n=(a,b,c)
0. =PPn o
(O produto escalar entre n e P0P é nulo)
Seja P=(x,y,z) um ponto arbitrario do plano M

30. Equação de um plano.
0=+++ dczbyax
Onde a constante d pode se achar avaliando a
equação em qualquer ponto que pertence ao plano.

32. r
n
C ΒΒΒΒ
Paralelismo entre rectas e planos
o vector director (da recta r) é perpendicular
ao vector (n) normal ao plano
n
A
José Maria
Plano_08

33. s
D
Perpendicularidade entre rectas e planos
o vector director da recta (s) é colinear
com o vector (n) normal ao plano
αααα
n
s
A
C
José Maria
Plano_09

34. αααα
n
Paralelismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p )
são colineares
ββββ
αααα
p
José Maria
Plano_10

35. αααα
n
Paralelismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p )
são colineares
ββββ
αααα
p
José Maria
Plano_10

36. Interseção de dois planos
n =(a ,b ,c )n1=(a1,b1,c1)
n2=(a2,b2,c2)
||||
.
)cos(
21
21
nn
nn
=θ
21211121. ccbbaann ++=

37. Exercícios.
Exercício 1.- Seja M um plano paralelo ao plano xy
localizada a uma distancia c da origem de coordenadas.
Determine a equação deste plano.
Exercício 2.-Encontre a distancia do ponto Q=(1,2,1)
ao plano M com equação x+y+z=6
Exercício 3.- Seja os planosExercício 3.- Seja os planos
M1 : 3x+2y+z+4=0, M2: z=0,
a) Determine o ângulo entre estes planos
b) Determine a equação da reta proveniente da
interseção dos dois planos.
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/geometriaeuclid
eana.htm
Site recomendado para entender melhor a geometria euclidiana