Este documento fornece uma introdução à computação quântica. Resume que a computação quântica une duas das áreas mais importantes da ciência do século 20: mecânica quântica e informática. Apresenta alguns conceitos básicos da mecânica quântica e como eles se relacionam com a computação quântica.

1. Introdução à
Computação Quântica
(para computatas)
Wilson Rosa de Oliveira Jr.
20 e 27/11/2012
Seminários do
Quantum Computing Group DEInfo-UFRPE
http:www.ppgia.ufrpe.br/quantum

2. Prolegomena
• Em Computação Quântica (CQ) testemunhamos a junção de
duas das áreas mais importantes na ciência do sec. XX:
– Mecânica Quântica e Informática
• Esta junção traz novos objetivos, desafios e
potencialidades para a Informática bem como novas
abordagens para a Física explorar o mundo quântico.
• Mesmo que seja no momento difícil prever impactos
particulares da CQ sobre a computação em geral,
esperamos que esta junção leve a resultados importantes

3. Mecânica Quântica é ...
• Uma teoria excelente para prever probabilidades de
eventos quânticos.
• Uma teoria elegante e conceitualmente simples que
descreve com precisão assustadora um amplo espectro de
fenômenos naturais:
– Experimentalmente verificadas a 14 ordens de precisão;
– Até o momento não há conflito entre o teoricamente previsto e o
verificado experimentalmente
• Sem MQ não podemos explicar propriedades dos
superfluidos, funcionamento dos lasers, a substância da
química, a estrutura e função do DNA, a existência e
comportamento de corpos sólidos, cor das estrelas,
semicondutores, etc

4. Mecânica Quântica trata ...
• Das entidades fundamentais da Física – partículas tais
como:
– Prótons, elétrons e nêutrons (que constituem a matéria);
– Fótons (que carregam radiação eletromagnética) – são as únicas partículas
que podemos observar diretamente;
– Várias outras “partículas elementares” que mediam outras interações da
Física.
• Partículas? Algumas de suas propriedades são totalmente
discordantes das propriedades do que chamamos de
partículas no nosso mundo usual!
• Propriedades? Não é claro em que sentido estas
“partículas” podem ser ditas possuir propriedades!

5. Mecânica Quântica
• Independente de sua qualidade, do ponto de
vista de explicar fenômenos quânticos, é
uma teoria muito insatisfatória!
• É uma teoria que tem princípios difíceis de
aceitar e leva a mistérios e paradoxos.

6. Algumas frases famosas
• Roger Penrose:
“Quantum theory seems to lead to philosophical standpoints
that many find deeply unsatisfying.
At best, and taking its descriptions at their most literal, it
provides us with a very strange view of the world indeed.
At worst, and taking literally the proclamations of some of
its most famous protagonists, it provides us with no view
of the world at all”

7. Algumas frases famosas
• Richard Feynman:
– “I think it is safe to say that no one understands
Quantum Mechanics”.
– “Nobody knows how it can be like that”.
• Bernard Shaw:
– “You have nothing to do but mention the quantum
theory, and people will take your voice for the voice of
science, and believe anything”.

8. Mas afinal o que MQ nos diz?
• Nos diz o que acontece
• Mas não diz porque acontece.
• E não nos diz como acontece.
• Nem quanto custa

9. Compreensão da FQ
Vou lhe dizer o que acontece na Natureza,
entretanto jamais pergunte a si mesmo:
“Mas como ela pode ser assim?”
Porque senão você será sugado para uma escuridão
da qual ninguém conseguiu até hoje escapar!
“Nobody knows how it can be like that”.
Feynman

10. Exemplo de estranheza:
Interferômetro de Mach-Zehnder

11. Uma outra visão da Mecânica
Quântica
• MQ não é Física no sentido usual – não é sobre
matéria ou energia ou onda ou partículas – é
sobre informação, probabilidades, amplitudes de
probabilidades e observáveis; e como eles se
relacionam entre si.
• MQ é o que se obtém quando se generaliza teoria
da probabilidade a permitir números negativos.
Poderia até ter sido descoberta pelos
matemáticos sem qualquer motivação dos
experimentos (Aaronson, 1997).

12. Por que Informação e Computação
Quântica é tão importante?
• ICP pode levar a novas tecnologias que terão impactos
amplos e profundos.
• Muitas das ciências e tecnologias já estão se aproximando
do ponto em que precisam isolar, manipular e transmitir
partículas.
• Novos conhecimentos sobre os fenômenos e sistemas
quânticos complexos podem ser gerados.
• Criptografia quântica nos leva a um novo patamar de
segurança.
• ICP tem se mostrado ser mais eficiente em situações
importante;interessantes.

13. Por que devemos tentar construir
computadores quânticos?
When you try to reach for stars you may not
quite get one, but you won’t come with a
handful of mud either.
Leo Burnett

14. Informação X Física
• Norbert Wiener:
– Informação é informação, nem matéria nem energia.
• Ralf Landauer:
– Informação é física.
• Deve então fazer parte da Física a Teoria da Informação e a Teoria da
Computação?
• Visão corrente:
– Física é informacional.
• Deve a mecânica quântica (espaços de Hilbert) fazer parte da
Informática?

15. Curiosidade
• Física Quântica é uma teoria extremamente
elaborada, cheia de paradoxos e mistérios. Leva-se
anos para um físico desenvolver um sentimento.
• Alguns teóricos da computação e matemáticos, sem
qualquer base em FQ têm realizado contri-buições
fundamentais a teoria da informação e computação
quântica!

16. Outra motivação
• Lei de Moore que prevê que em 2020
precisaremos de um elétron apenas para
amarzenar um bit!

17. Histórico (um pouco)
• Richard Feynman
– 1959: Nanotecnologia
• (“Há muito mais espaço lá embaixo”)
– 1982:
• Sistemas clássicos não modelam
eficientemente sistemas quânticos
• Sugere construção de computadores
baseados nas leis da mecânica quântica

18. Histórico
• David Deutsch
– 1985: MTQ (Máquina de Turing Quântica)
– 1989: publicou primeiro algoritmo quântico
• Problema de determinar se uma função de
um bit é cte ou balanceada.

19. Histórico
• Peter Shor
– 1993: Algoritmo de Shor
• Fatoração de números grandes
Tempo de Fatoração
pelo Algoritmo de Shor
Comprimento do número a
ser fatorado (bits)
Tempo de Fatoração
pelo Algoritmo de clássico
34s 512 4 dias
4.5m 1024 105
anos
36m 2048 1017
anos
4,8h 4096 1035
anos

20. Computação Clássica
• Mais precisamente: Modelos de Circuitos.
• Outros modelos não considerados aqui:
Máquinas de Turing, λ-Cálculo, Funções
Recursivas, etc.
• Mais próximo do computador digital

21. Computação Clássica
ou

22. Computação Clássica

23. Computação Clássica

24. Computação Clássica

25. Computação Clássica
NAND é universal (crossover, fanout)

26. Computação Clássica - exemplos
Meio Somador (half adder)

27. Computação Clássica - exemplos
Somador Completo (full adder)

28. Família consistentes de circuitos

29. Computação Clássica Reversível
• CNot

30. Computação Clássica Reversível
• Toffoli
Qualquer função f pode ser computada usando apenas Toffoli e crossover!

31. Computação Clássica Reversível

32. Computação Clássica Reversível

33. Computação Clássica Reversível

34. Quantização Matemática
• NiK Weaver (Washington University):
“Substituir conjuntos por um espaço de Hilbert
apropriado” e “funções por mapas lineares"
• O conjunto em consideração passa a ser visto
(representado) como uma base (ortonormal).
• As funções consideradas são as lineares (ou
subclasse destas).
• Finitamente dimensional = espaço vetorial

35. Classical Bits: Cbits
• bit abstrato: e
• Representação como cbit: e
– par de vetores ortonormais, e.g:
• Em R2
ou C2
•Um estado arbitrário:

36. Classical Bits: Cbits

37. Classical Bits: Cbits
• quando precisarmos de mais de um Cbit:
produto tensorial

38. Notação

39. Operações

40. Portas Lógicas Quânticas Single-qbit
Hadamard gate
Phase gate
Pauli gates
=

41. Controlled-not gate
Control
Target U
Controlled-phase gate
Z
Exercício: Mostre que HZH = X.
Z
Z
=
Simetria faz
controlled-phase gate
mais natural para
implementação X
=
ZH H
CNOT é
o caso quando
U=X

42. Toffoli gate
Control qubit 1
Target qubit
Control qubit 2

43. quantum NAND
Computando funções clássicas
quantum fanout
Circuito Classico Circuito Quântico
Text
|f(x) 〉
|x 〉

44. Medição: obtendo resultados

45. Conjugada Hermitiana; tomando a adjunta
Matrizes Unitárias
A é dita ser unitária se
Usualmente escrevemos unitárias como U.
Exemplo:

46. Emaranhamento (entanglement) Quântico
Alice Bob
Schroedinger (1935): “I would not call [entanglement] one but
rather the characteristic trait of quantum mechanics, the one that
enforces its entire departure from classical lines of thought.”

47. Estados Emaranhados
Considere os estados de 2-qubits:
|ψ 〉 = 1/√2(|00 〉 + |11 〉 ) e |ϕ 〉 = 1/√2(|00 〉 +
|01 〉 )
|ϕ 〉 é composto do produto tensorial |0 〉 ⊗ 1/√2(|0 〉 +|1 〉 )
Medição do segundo qubit resultará em |0 〉 ou |1 〉 com uma probabilidade ½
para cada resultado, independente de o primeiro qubit ser medido ou não. Medição
do primeiro dará sempre |0 〉
|ψ 〉 não pode ser decomposto em um produto de dois outros qubits
É um estado emaranhado!!.
A medição do primeiro determina completamente o resultado do
segundo.

48. C-NOT em ação - Bell states
H H

49. Emaranhamento("entanglement")
• Um experimento usa luz para provocar um
emaranhamento entre dois átomos.
• Dois átomos de itérbio para funcionar como
qubits.
• Excitaram os dois átomos induzindo elétrons
a passar para um estado mais baixo de
energia e emitir um fóton.
• Os átomos de itérbio são capazes de emitir
dois tipos de fótons, cada um com um
comprimento de onda diferente.
• Cada fóton está entrelaçado com seu átomo.
• Manipulando os fótons emitidos por cada um
dos átomos e guiando-os para interagir no
interior de uma fibra óptica, os pesquisadores
conseguiram detectar o choque dos dois e
entrelaçar os dois átomos.
Entanglement of single-atom quantum bits at a distance
D. L. Moehring, P. Maunz, S. Olmschenk, K. C. Younge, D. N. Matsukevich, L.-M.
Duan, C. Monroe
Nature
6 September 2007
Vol.: 449, 68-71
DOI: 10.1038/nature06118

50. Cópia (Cloning)
Estados quânticos não podem ser copiados ou clonados!
Prova: Assuma uma transformação unitária U tal que U a 〉 0 〉
= a 〉 a .〉
Sejam a 〉 e b 〉 estados ortogonais e
U a 〉 0 〉 = a 〉 a 〉 e U b 〉 0 〉 = b 〉 b 〉
Considere agora c 〉 = 1/√2( a 〉 + b 〉 )
Por linearidade,
U c 〉 0 〉 = 1/√2(U a 〉 0 〉 + U b 〉 0 〉 ) = 1/√2( a 〉 a 〉 + b 〉
b 〉 )
Mas se U é uma transformação de cópia
U c 〉 0 〉 = c 〉 c 〉 = 1/√2( a 〉 + b 〉 ) ⊗ 1/√2( a 〉 +
b 〉 )
= ½ ( a 〉 a 〉 + a 〉 b 〉 + a 〉 b 〉 + b 〉 b 〉 )
Contradição!!
alalalalalalalalalal

51. Probabilidade?
P01=P10=0, P00=P11=1 computa identidade
P01=P10=1, P00=P11=0 computa um NOT
P01=P10=P00=P11=0.5 resulta 0 e 1 aleatoriamente
a=0 ou 1
ƒ:{0,1}→{0,1}
b=0 ou 1

52. Probabilidade?
Suponha que ao compor duas destas máquina obtemos
uma máquina inversora de 0s e 1s
Como pode? Não me pergunto como, mas posso mostrar que ...

53. Probabilidade?

54. Probabilidade?

55. Probabilidade Quântica

56. Curiosidade

57. Curiosidade

58. Exemplo: Problema de Deutsch’s
Caixa preta Reversível
Caixa preta Quântica
Determinar se uma função f dada é constante ou balanceada.
Dada uma caixa preta computando f :{0,1} {0,1}→
Classicamente precisamos avaliar ambos f(0) e f(1)
Quanticamente precisamos apenas avaliar f uma única vez!

59. Esquematicamente ...
C1
C2
soma

60. Pondo informação na fase

61. Algoritmo Quântico para o problema de Deutsch
H H
Paralelismo quântico
Problema de Pesquisa:
O que faz computadores
quânticos serem tão poderosos?
f constante ⇒todas as amplitudes em |0 〉
f balanceada ⇒todas as amplitudes em |1 〉
→(−1) f (0)
(|0 −|〉 1 〉 ) + (−1) f (1)
(|0 −|1〉 〉 )

62. Beam us up Scotty!
…
How do I do that?
Here´s is the code

63. Circuito Teleportação
H
H x
y
circuito de criação
do Bell State
s
Inverso do circuito
de criação do Bell
State

64. Os detalhes ... (1)
Alice que enviar a Bob o estado:
Para tal, qdo estão juntos criam o estado
emaranhado:
Bob vai para o lugar dele ...

65. Os detalhes ... (2)

66. Os detalhes ... (3)
Aplicando Hadamard ao primeiro qubit de Alice:
resulta em:
Nao esqueça que Bob está com o terceiro qubit!

67. Os detalhes ... (4)
Alice mede seu par de qubits, onde o sistema
reescrito está em:
e Bob pode aplicar (resp.) I, X, Z e ZX ao resultado
para obetr o estado original.
Como saber o que aplicar?

68. Os detalhes ... (5)
Alice telefone, etc por um cana clássico a Bob
informando o resultado de sua medição!

69. Busca Desestruturada de Grover
Dada uma lista desetruturada de tamanho N e uma proposição
P, encontre um x tal que P(x) seja verdadeiro
Seja UP a porta quântica que implementa a função booleana
P(x) e n tal que 2n
≥ N.
UP : |x,0>  |x,P(x)>
UP operando na superposição de todos os estados da base
dá:
1/√2n
∑|x,P(x)>
N-1
i=0
Se existe único estado tal que P(x)=1, a probailidade de obter
este estado após medição é apenas 1/√2n
Precisamos aumentar isto!!!
(verdadeiro)

71. Algoritmo de Shor
• Para fatorar N encontre x coprimo com N.
• Usa computador quântico encontrar r tal que xr
= 1 mod N.
• Se r é par, então mcd(xr/2
+1, xr/2
-1, N) é um fator de N que
podemos encontrar com o algoritmo de Euclides.

72. • Para fatorar N = 1295 seja x coprimo com N, e.g.,
x = 6.
• Use um computador quântico para encontrar r tal
que 6r
= 1 mod 1295. r = 4.
• Se r é par, então mcd(64/2
-1, 64/2
+1, 1295) = mcd(35,
37, 1295) é um fator de N que podemos encontrar
com o algoritmo Euclides. 1295 = 5 ⋅ 7 ⋅ 37.
Algoritmo de Shor (exemplo)

76. Conclusões
• QC possui grande potencial
– Capacidade de um paralelismo exponencial
– Capacidade exponencial de armazenamento de
dados um espaço extremamente pequeno
• É possível utilizar:
– portas lógicas (quânticas)
– circuitos lógicos (quânticos)

77. Conclusões
• Não existe:
– PC
– Instruções
– Barramento
• Possui uma arquitetura completamente nova!!

78. Conclusões
• São necessários aperfeiçoamentos
– Nos instrumentos de indução das transformações
(RMN, laser)
– Necessidade de controle dos erros (melhorar as
formas de isolamento e interação com o sistema
quântico)

79. Conclusões
• Talvez a criação de um PC Quântico seja
muito complexa
• Solução: utilizar a computação quântica em
componentes de um PC

80. Meu interesse atual
• RAMs quânticas
• Programmable gates arrays
• Redes Neurais Quânticas (sem pesos)
• Quantum Computing + Chaos ==> resolvendo problemas
NP-completos em tempo polinomial.
• Modelos discretos da geometria differencial
(gravidade quântica) ==> Hypercomputação(?)
• Computação Relativística ==> Hypercomputação!

81. Referência
(por ordem de relevância)
1. Noson S. Yanofsky; Mirco A. Mannucci: Quantum Computing
for Computer Scientists. Cambridge University Press, 2008,
ISBN 978-0-521-87996-5
2. David McMahon: Quantum Computing Explained. Wiley-
Interscience, Hoboken, New Jersey, USA, 2008, ISBN 978-0-
470-09699-4
3. N. David Mermin: Quantum Computer Science - An Introduc-
tion. Cambridge University Press, New York, USA, 2007, ISBN
978-0-521-87658-2
4. Alexei Yu. Kitaev, Alexander H. Shen e Mikhail N. Vyalyi:
Classical and Quantum Computation. Graduate Studies in
Mathematics, vol 47, AMS, 2002. ISBN 0-8218-3229-8