Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací

Ústav fyzikální elektroniky
Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně

Experimentální ověření vybraných
fyzikálních modelů a aproximací

Brno 2010 Michal Černý

2 MICHAL ČERNÝ

Anotace

Cílem bakalářské práce je experimentálně ověřit některé, běžně uváděné aproximace a
fyzikální modely, které se objevují v učebnicích pro střední a případně i vysoké školy.
Úkolem je nejen v rámci přesnosti experimentálně potvrdit či vyvrátit uváděné modely, ale
také (alespoň v některých příkladech) uvést možnosti realizace v běžném gymnaziálním
praktiku. Experimenty budou doplněny matematickým modelem a stručným pedagogicko-
fyzikálním komentářem, který bude v případě potřeby obsahovat také návrhy na možné
změny modelu či aproximace.

Klíčová slova: experiment, Newtonův vztah, balistické kyvadlo, fyzikální model, střelba.

Annotation

This thesis realizes collection of experiments which concern mechanics of liquids and gases.
Each chapter of mechanics of fluid is presented by experiment. Each experiment is
represented by list of aids, description of realization a explanation. Some of them are going to
choose. These experiments are going to realize during the sixty minutes in the block which
represent secondary school mechanics. // Bude doplněno dle mé práce.

Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací 3

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně pouze s použitím uvedené
literatury.

V Brně dne 16. 4. 2010 Michal Černý

Rád bych poděkoval vedoucímu bakalářské práce doc. RNDr. Zdeňkovi Bochníčkovi, Dr. za
dobré připomínky a nápady, trpělivé vedení i pomoc při realizaci celé řady nebezpečných
experimentů. Rád bych poděkoval Monice Vaňkové za tvorbu celé řady původních ilustrací a
schémat. Taktéž bych si dovolil poděkovat RNDr. Pavlovi Konečnému, Csc. za pomoc,
konzultace a návrhy.

4 MICHAL ČERNÝ

Obsah:
1 ÚVOD..................................................................................................................................................................1
2 BALISTICKÉ KYVADLO.............................................................................................................................................2
2.1 Úvod..........................................................................................................................................................2
2.2 Matematické řešení...................................................................................................................................2
2.2.1 Matematické kyvadlo........................................................................................................................................3
2.2.2 Fyzické kyvadlo................................................................................................................................................4
2.3 Uspořádání experimentu...........................................................................................................................6
2.3.1 Užité aproximace...............................................................................................................................................7
.2.3.1.1 Zanedbání kinetické energie rotace kyvadla.............................................................................................7
.2.3.1.2 Harmonická aproximace...........................................................................................................................8
.2.3.1.3 Rotace odrazného zrcadla.........................................................................................................................8
2.4 Naměřené hodnoty.....................................................................................................................................9
2.4.1 Měření č.1 - ilustrace.......................................................................................................................................12
2.4.2 Měření č.4 – užití kamery jako detektoru velikosti výchylky..........................................................................12
2.4.3 Zhodnocení měření..........................................................................................................................................12
2.5 Stručný pedagogický komentář...............................................................................................................13
2.6 Balistické kyvadlo v gymnaziální učebnici..............................................................................................14
3 ROTUJÍCÍ KOTOUČE...............................................................................................................................................16
3.1 Matematický popis...................................................................................................................................16
3.2 Uspořádání experimentu.........................................................................................................................17
3.3 Naměřené hodnoty...................................................................................................................................17
3.4 Stručný pedagogický komentář...............................................................................................................19
3.5 Rotující kotouče v gymnaziální učebnici.................................................................................................19
4 RYCHLOST PADAJÍCÍ KAPKY...................................................................................................................................21
4.1 Úvod........................................................................................................................................................21
4.2.1 Volný pád bez odporu prostředí.......................................................................................................................22
4.2.2 Volný pád v odporovém prostředí při užití Stokesova vztahu pro kouly.........................................................22
4.2.3 Volný pád v odporovém prostředí při užití Newtonova vztahu........................................................................23
4.4.1 Padající kapka z menší kapiláry osvětlovaná frekvencí 286,7 Hz....................................................................26
4.4.2 Další naměřené hodnoty..................................................................................................................................29
4.5 Interpretace výsledků a stručný pedagogický komentář.........................................................................29
4.6 Výpočet maximální rychlosti padající kapky v učebnicích......................................................................30
5 URČOVÁNÍ KOEFICIENTU ODPORU CX.......................................................................................................................32
5.3.1 Ilustrativní příklad soft tenisový míček ozařovaný frekvencí 155,57 Hz.........................................................34
5.3.2 Souhrnná tabulka s odhady chyb.....................................................................................................................35
5.4 Stručný pedagogický komentář a interpretace výsledků.........................................................................36
6 ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Z FOTOGRAFIÍ A VIDEA.............................................................................................38
6.1 Zpracování výsledků měření z fotografie................................................................................................38
6.1.1 Optická chyba objektivu..................................................................................................................................39
6.2 Zpracování video měření.........................................................................................................................40
LITERATURA..........................................................................................................................................................41
PŘÍLOHY...............................................................................................................................................................42
6.1 Balistické kyvadlo....................................................................................................................................42
6.1.1 Druhé měření ..................................................................................................................................................42
6.1.2 Třetí měření.....................................................................................................................................................43
6.1.3 Čtvrté měření – video......................................................................................................................................43
6.1.4 Ilustrační fotografie.........................................................................................................................................44
6.2 Rotující kotouče.......................................................................................................................................46


6.3 Rychlost padající kapky...........................................................................................................................49
6.3.1 Ilustrativní fotografie.......................................................................................................................................51
6.4 Měření koeficientu cx .............................................................................................................................54
6.4.1 Růžová koule...................................................................................................................................................54
.6.4.1.1 Měření č.1 při 151 Hz.............................................................................................................................54
.6.4.1.2 Měření č.2 při 75 Hz..............................................................................................................................54
6.4.2 Vypuklá polokoule..........................................................................................................................................55
6.4.3 Badmintonový míček......................................................................................................................................56
.6.4.3.1 Měření č.1 při 62,1 Hz............................................................................................................................56
.6.4.3.2 Měření č.2 při 30,0 Hz............................................................................................................................57
6.4.4 Soft tenisový míček.........................................................................................................................................58
.6.4.4.1 Měření č.1 při 155,6 Hz..........................................................................................................................58
.6.4.4.2 Měření č.2 při 80,24 Hz..........................................................................................................................59
.6.4.4.3 Měření č.3 při 31,74 Hz..........................................................................................................................60
6.4.5 Badmintonový míček - oblepený.....................................................................................................................61
6.4.6 Ilustrativní obrázek..........................................................................................................................................62


1 Úvod
Bakalářská práce se zaměřuje na studium některých vybraných fyzikální modelů a aproximací
z oblasti rychlých mechanických dějů, pro jejíž měření bylo často laseru. Práce je rozdělena
na dva hlavní bloky – první se věnuje vybraným možnostem určení rychlosti střely a druhý
popisuje vybrané partie z oblasti volné pádu v odporovém prostředí v tíhovém poli Země.
Závěrečná část pak jen shrnuje uvedené postupy zpracování měření.
První kapitola studuje problematiku balistického kyvadla v podobě, jak je běžně uváděno
v učebnicích mechaniky. Cílem bylo prozkoumat, zda je možné balistické kyvadlo v uvedené
podobě využít k zjištění rychlosti střely. V této kapitole byla prováděna měření za pomocí
fotoaparátu a videokamery a na základě získaných výsledků byla navržena drobná modifikace
obvyklého učebnicového zadání tak, aby odpovídala více experimentální realitě.
Druhá, nejkratší kapitola tématicky navazuje na předchozí a klade si otázku, zda je možné
s přiměřenou přesností, s využitím běžně dostupných materiálů, určit rychlost kulky z
průstřelu dvou rotujících kotoučů. Zde se ukázalo, že pro běžné materiály, ze kterých mohou
být kotouče vyrobeny, se tento experiment lze realizovat jen s velmi omezenou přesností.
Třetí kapitola se snaží odpovědět na dvě otázky – jaký tvar má kapka a jak lze popsat její
pohyb v homogenním tíhovém poli země. Porovnávány byly tři možné modely – volný pád
bez odporu prostředí, pohyb ovlivněn odporovou silou lineárně závisející na rychlosti
(Stokesův vztah) či na druhé mocnině rychlosti (Newtonův vztah). Právě poslední varianta se
ukázala býti nejpřesnější i pro poměrně malé kapky při malých rychlostech.
Čtvrtá kapitola se pak zabývala možnostmi určení koeficientu odporu cx různých těles. V
tomto integrálně navazovala na předchozí úvahy a již vybudovaný matematický aparát.
Poslední pátá kapitola se zabývá problematikou zpracování fotografií a videa. Kromě
samotného popisu se snaží upozornit na některé možné problémy a nabídnout užitečné
informace k této problematice. Kromě samotného postupu, poskytuje informace o vhodném
softwarovém vybavení.
Celá práce se snažila klást maximální důraz na pedagogické využití získaných poznatků,
navrhnout možnost případného realizovaní některých experimentů ve výuce – ať již jako
demonstračních nebo v rámci fyzikálního praktika. Také proto se v práci objevuje celá řada
poznámek o softwaru, který poslouží pro efektivnější zpracování dat nebo připomínky týkající
se některých praktických úskalí realizace jednotlivých pokusů.

2 MICHAL ČERNÝ

2 Balistické kyvadlo
Zjišťování rychlosti střely z výchylky balistického kyvadla patří k základním příkladům
řešeným v rámci mechaniky na gymnasiu. V tradičním provedení je úloha demonstrací
postupného užití dvou významných zákonů zachování – hybnosti a mechanické energie.
Obvyklým přístupem je aproximace úlohy matematickým kyvadlem.

2.1 Úvod
My se pokusíme o prozkoumání dvou základních modelů, které je možné v této úloze použít –
jednak je to aproximace kyvadla na matematické kyvadlo, druhou aproximací bude fyzické
kyvadlo předpokládající skutečnost, že kyvadlo jest dokonale homogenním kvádrem. Kromě
výchylky budeme též měřit i rychlost střely. Kulka bude po část své trajektorie ozařovaná
vysokofrekvenčním pulsním laserem a tuto část trajektorie je pak zaznamenána na digitální
fotografii. Odečteme pozici jednotlivých záblesků v Px a pomocí převodního vztahu
(získaného s fotografie na níž je vyfocené délkové měřidlo) je převedeme na jednotky délky
(mm). Každé pozici, přepočtené pomocí kalibrační fotografie na polohu v milimetrech, náleží
též relativní čas t a tyto hodnoty vyneseme do grafu. Body proložíme přímku a z její směrnice
zjistíme rychlost kulky v okamžiku blízkém zásahu kyvadla.
V našem experimentálním uspořádání jsme nemohli přesně určit těžiště kyvadla, potažmo
délku závěsu. Proto byla změřena perioda kmitů, objekt zvážen a změřen a následně pomocí
vztahů pro výpočet periody kmitů matematického a fyzického kyvadla zpětně dopočítaná
délka závěsu.

2.2 Matematické řešení
Klasické školské úvahy předpokládají následující postup:
Závaží má počáteční hmotnost M a nulovou rychlost, jeho hybnost je tedy nulová. Kulka

má hmotnost m a rychlost v 0 . Po dokonale nepružné srážce, v pohybu pokračuje pouze jeden

objekt o hmotnosti M+m a rychlosti v1 , tedy tento objekt má určitou hybnost. Pro tento ráz
platí zákon zachování hybnosti a tedy získáváme následující rovnici:
mv0 + M 0 = ( m + M ) v1 . (2.1)
Jelikož vše probíhá pouze v jednom směru, což je zajištěno tím, že závaží je upevněné na
závěsu a srážka přímá, můžeme uvažovat jen velikosti vektorů rychlosti. Po jednoduché
úpravě tak získáme vztah pro v0:
M +m
v0 = ⋅ v1 . (2.2)
m
Nyní uvažujme že se závaží dostane do maximální výšky h v první periodě svého pohybu.
V tuto chvíli musí již platit zákon zachování mechanické energie v následujícím tvaru:

( M + m ) gh = 1 ( m + M ) v12 , (2.3)
2
kde g jest tíhové zrychlení.


Nyní již jen vyjádříme v1 a dosadíme do předchozí rovnice:
M +m
v0 = ⋅ 2gh , (2.4)
m
což představuje náš požadovaný výsledek.
My budeme postupovat nepatrně odlišně a to z toho důvodu, že dokážeme změřit v0, avšak
h s dostatečnou přesností nikoli. Lépe měřitelnou veličinou je výchylka ve vodorovném směru
x, která typicky nabývá mnohem větších hodnot než zdvih h.
Nyní se situace rozdělí na dva uvažované modely. Prvním je matematické a druhým
fyzické kyvadlo.

2.2.1Matematické kyvadlo
Z předchozích úvah je také zřejmé, že výšku h, vypočítáme pomocí vztahu:
2 m2
h= v . (2.5)
2( M + m ) g
0 2

Jelikož neměříme výšku výstupu h, ale výchylku ve směru osy x, musíme použít ještě
geometrickou úvahou. Měříme hodnotu výchylky x, kterou získáme jako x složku bodu, který
bude představovat průsečík kružnice o poloměru l a se středem v bodě [0, l] a přímkou y = h,
kde za h dosadíme požadovanou hodnotu (viz. obrázek). Po těchto úvahách Získáme dvě
rovnice pro dvě neznámé1:
x2 + ( y − l ) = l 2 ,
2
(2.6)
y= h. (2.7)
Nyní dosadíme do druhé rovnice za h, do první rovnice za y a vypočítáme hodnotu x:

 2 m2 
2


x =  v0 − l  − l 2. (2.8)
 
 2( M + m ) g
2
  
Jelikož neznáme délku závěsu l, musíme jí určit nepřímo z naměřené periody kyvu. Délka
se l se nazývá efektivní délkou. Určíme ji ze známého vztahu:
l
T = 2π , (2.9)
g
odsud po úpravě:
T2
l= 2 ⋅g . (2.10)
4π
Tuto hodnotu je pak již možné dosadit za l.

1
K výpočtu je možné užít také jednodušší úvahu založenou na užití Pythagorovy věty:
x2 + ( h − l ) = l 2 ,
2

Z ní pak snadno určíme že
x = l 2 − (l − h) 2 .

4 MICHAL ČERNÝ

Obr. 2.1: Matematické kyvadlo.

2.2.2Fyzické kyvadlo2
Zákon zachování mechanické energie musíme zapsat ve tvaru:

( M + m ) gH = 1 ( m + M ) v12 + 1 J Z ω2 , (2.11)
2 2
kde Jz je moment setrvačnosti vzhledem k těžišti kyvadla, H výška výstupu těžiště a ω úhlová
rychlost.
Jelikož je ale příspěvek rotační složky kinetické energie zanedbatelně malý oproti složce
translační (podrobnější analýza problému je v odstavci 2.3.1), můžeme po dosazení za v1 ze
zákona zachování hybnosti rovnici přespat do tvaru:
2

( M + m ) gH = 1 ( m + M )  m ⋅ v0  + 0 .
  (2.12)
2  M +m 
Z ní můžeme snadno určit výšku výstupu H:
m2 2
H = v0 , (2.13)
2( M + m ) g
2

který je identický s modelem matematického kyvadla, stejný je i vztah pro výpočet
výchylky ve směru osy x:

 2
 m2 
2


x =  v0
 − L  − L2
 (2.14).
 2( M + m ) g
2
  

2
Někdy též nepřesně označované jako fyzikální kyvadlo.


Jelikož neznáme délku závěsu L, musíme jí určit nepřímo z naměřené periody pro kyvu.
Délka se L se nazývá redukovanou délkou. Určíme ji ze známého vztahu:
JT
T = 2π , (2.15)
mgL
který upravíme na tvar
4π 2 J T
L= , (2.16)
T 2 g ( M + m)
kde JT je moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení kyvadla. Moment setrvačnosti
vypočítáme díky aproximaci rotující desku obdélníkového tvaru, rotujícího kolem svého
středu, pro níž platí vztah:
JT 0 = ( M + m) ( a 2 + c 2 ) .
1
(2.17)
2
a a c jsou délky stran obdélníka. Nyní užijeme předpokladu, že, se těžiště nachází přibližně ve
středu obdélníku, tedy ve vzdálenosti
a
r = r1 + (2.18)
2
od osy otáčení, kde r1 je vzdálenost horní hrany obdélníka od osy otáčení (viz obrázek). Po
užití Steinerovy věty získáme výsledný vztah pro výpočet momentu setrvačnosti vzhledem
k ose otáčení
J T = ( M + m ) ( a 2 + c 2 ) +( M + m)(r1 + ) 2 .
1 a
(2.19)
12 2
Po dosazení již můžeme určit redukovanou délku kyvadla pro model fyzického kyvadla.

Obr. 2.2:Fyzické kyvadlo.

6 MICHAL ČERNÝ

2.3 Uspořádání experimentu
Uspořádání experimentu je zachycené na přiložených fotografiích a lze jej rozlišit na tři,
relativně izolované celky. Jednak je to vzduchová puška Slavia 630, která je dle manuálu
produkuje střely rychlostí přibližně 150 ms-1. Ta je upnuta ve svěráku tak, aby bylo možné ji
nabíjet, aniž by byla změna poloha hlavně při střelbě. Na pušce je umístěn optický
zaměřovač, který slouží k usnadnění nastavení laseru. Zelený laser je umístěn za puškou tak,
aby značná část svazku paprsků podélně protínala trajektorii vystřelené kulky (viz. obrázek).
Laser je připojen na generátor pulsů. Pro realizaci pokusu je nutné mít k dispozici generátor s
frekvencí alespoň 5 kHz. My jsme pro měření používali hodnoty mezi 10 – 19 kHz.
Druhým celkem je kyvadlo, tvořené papírovou krabicí kvádrového tvaru, s papírovou
výplní pro zachycení kulky. Aby bylo závaží těžší a výchylky menší, kvůli možné aproximaci
sinφ = φ , (2.20)
je v krabici umístěn olovněný plát. Ten zasahuje také do prostoru za krabicí a je
natvarován tak, aby s vodorovnou rovinou svíral úhel 45°. Na něm pak je přilepen vyleštěný
křemík, sloužící jako zrcadlo pro odraz modrého laseru (viz. níže). Toto závaží je zavěšené na
dřevěném závěsu pomocí obyčejných provázků, tak aby byl umožněn téměř výhradně pohyb
pouze ve dvou směrech, tedy nikoli do stran. Zvláštní pozornost je nutné věnovat samotné
konstrukci, která kyvadlo drží. Ta musí být dostatečně pevná, aby byly eliminovány vibrace.
V našem případě to bylo zajištěno pomocí několika závaží a pomocí provazů. Ve výšce asi
jeden centimetr pod závažím se nachází luminiscenční fólie, která je citlivá na modré
laserové světlo, které je na ni odráženo ze zrcátka umístěného na kyvadle. Stopa zůstává na
fólii několik sekund, takže je relativně snadné provést odečet. Délka stopy odpovídá pro malé
výchylky a malé vzdálenosti velikosti výchylky ve směru osy x kyvadla.
Třetím prvkem je modrý laser. Modrý laser má, na rozdíl od zeleného, dostatečnou energii
na to, aby vytvořil stopu na fosforescencenční fólii. Je potřeba tento nastavit laser tak, aby
paprsek po celou trajektorii kyvadla zasahoval zrcátko. Z maximální výchylky ve směru
pohybu kulky (krajního bodu vzniklé úsečky) a polohy, kterou určíme jako klidovou (což je
jeden bod), získáme velikost výchylky ve směru osy x.

Obr. 2.3: Schéma uspořádání experimentu. Pohled od fotoaparátu. Nalevo je modrý
laser sloužící k tvorbě stopy na fólii, napravo pulsní laser a zbraň.


Mezi závažím a hlavní je umístěn fotoaparát nastavený na delší expozici. Ideální se
ukázala doba mezi 1,5 – 2 s. Po výstřelu je kulka osvětlena pulzujícím laserem podél své
dráhy letu. Po vytvoření kalibrační fotografie, pořízené ze stejného místa jen za světla a se
svinovacím metrem místo kulky získáme snadným přepočtem závislost polohy na relativním
čase. Lineárním proložením křivky získáme rychlost, kterou představuje člen úměrnosti.
Během střelby je nutné mít maximální možné zatemnění. I tak tvoří odrazy laseru od
předmětů i od částeček prachu nepříjemný „světelný smog,“ který má ale částečně estetické
následky na snímek a nepatrně omezuje možnosti analýzy získaných dat.
Jako optimální střelivo se ukázaly kulaté střely (broky), které prokázaly nejlepší
odrazivost. Zvláštní pozornost je nutné věnovat papírové výztuze uvnitř závaží, aby kulka
neprolétla po několika výstřelech skrze závaží.

Potřebné vybavení:
• Vzduchová puška;
• luminiscenční fólie;
• modrý laser;
• další laser, laser s možností pulsního výstupu;
• papírová krabice s výztuží;
• zrcátko;
• dostatek munice;
• svěrák;
• nastavitelné stolky a stojany na lasery;
• váhy;
• fotoaparát;
• svinovací metr;
• trojúhelník s ryskou pro namodelování úhlu 45°;
• plát olova;
• provázek;
• stojany a desky na závěsnou na konstrukci;
• počítač se software na analýzu a zpracování dat a grafickým editorem.
• tlusté skleněné desky na ochranu laseru či fólie.

2.3.1Užité aproximace
Během odvozování matematického popisu pohybu bylo provedeno několik aproximací, které
nejsou vždy samozřejmě splněny. V následující kapitole se pokusíme odhadnout chyby
způsobené těmito aproximacemi.

.2.3.1.1 Zanedbání kinetické energie rotace kyvadla.
Pro posouzení oprávněnosti této aproximace porovnáme čistě rotační část kinetické energie
(rotace kolem těžiště) s částí translační. Kinetická energie rotačního pohybu je dána vztahem
1
Ekrot = Jω 2 ,
z (2.21)
2
kde ω je úhlová rychlost a určíme ji snadno s obvodové rychlosti poloměru otáčení, tedy

8 MICHAL ČERNÝ

v1
ω= , (2.22)
L
kde rychlost v1 určíme ze zákona zachování hybnosti:
m
v1 =⋅ v0 . (2.2)
M +m
Jelikož se jedná o řádový odhad, můžeme užít jednoduché aproximace na rotující obdélník
kolem svého těžiště umístěného ve středu osy otáčení Moment setrvačnosti válce je tedy:

JT 0 =
1
( M + m) ( a 2 + c 2 ) , (2.17)
12
kde a a c jsou příslušné rozměry kyvadla (viz obrázek). Vypočítanou hodnotu pak můžete
dosadit do vztahu pro výpočet rotační složku kinetické energie a získáme přibližně3
1
Ekrot = J z ω 2 = 6,0 ⋅ 10 −6 J .
2
Takto nízkou hodnotu energie, lze vzhledem k energii translační v rámci přesnosti měření
zanedbat, neboť kinetická energie translační má přibližnou velikost:
1
E = (m + M ) gH = (m + M )v12 + Ekrot = 6,5 ⋅ 10 −3 J ≈ Ektrans ; (2.23)
2
člen rotační energie ní nutné ve výpočtu zvažovat, vzhledem k tomu, že je tisíckrát menší než
translační část.

.2.3.1.2 Harmonická aproximace
Další důležitou aproximací je sinφ = φ , která vede na harmonické řešení pohybové rovnice,
které bylo použito pro výpočet délky závěsu délky závěsu z doby kmitu. Námi požadovaná
přesnost je v řádu desetiny procenta. Námi měřené úhly mají velikost (za využití délky závěsu
a velikosti výchylky) menší než 1,65°. Zde je důležité porovnání periody T naměřené a Tneaprox,
která nebere v potaz aproximaci sinφ = φ . Pro toto porovnání můžeme užít vztahu:
 1 ℘ 
Tneaprox = T0 1 + sin 2 + ...  . (2.24)
 4 2 
Je tedy důležité, aby byl první člen rozvoje zanedbatelný oproti 1. Snadným dosazení
získáme
1 2℘
sin = 6,3 ⋅10 −5 , (2.25)
4 2
což představuje výsledek podstatně menší než 1. Proto i tuto aproximaci můžeme zvolit.

.2.3.1.3 Rotace odrazného zrcadla
Vodorovné vychýlení kyvadla je experimentálně měřené pomocí stopy světelného svazku,
který se odráží na zrcátku (viz. obrázek). S vychýlením kyvadla se zrcátko současně natáčí,
což vede k systematické chybě prodlužující světelnou stopu na luminiscenční fólii. Při
uvážení geometrického uspořádání, je velikost úhlu ξ, který značí pootočení kyvadla:
3
Odhad proveden na základě naměřených hodnot.


x
tgζ = =
|h 2 − 2hL| . (2.26)
L L
Paprsek se odráží pod úhlem 2ξ. Pro malé úhly platí známá aproximace
tgζ ≈ sin ζ ≈ ζ , (2.27)
můžeme proto psát:
x
ζ==
|h 2 − 2hL| , (2.28)
L L
Po dosazení naměřených hodnot získáme výsledek:
ζ = 0,032° .
Vzhledem k velikosti úhlu je také patrné, že ani úhel 2ξ není na fotoluminiscenční fólii
měřitelný, neboť výška paprsku nad fólií byl přibližně 5 cm. Přibližná chyba průmětu je tedy
asi 6·10-5 m. Je tedy zřejmé, že prodloužení průmětu stopy do vodorovného směru nepůsobí
žádnou měřitelnou chybu. Naše měřící schopnosti na fotoluminiscenční fosforescenční fólii je
±1 mm.

Obr. 2.3: Ilustrace prodloužení stopy laseru.

2.4 Naměřené hodnoty
Podrobný popis analýzy snímků je uveden v kapitole 6. Jelikož jsme pohyb považovali za
rovnoměrný (což se ukázalo, že na daném úseku není nikterak chybný či nepřesný přístup),
data jsme prokládali lineárně. Získaná přímka byla ve tvaru
y = a ⋅t + b , (2.29)
kde t představuje čas a y prostorovou (odpovídající v dalších úvahách souřadnici x). Člen a
byl roven velikosti rychlosti v0. Parametr b byl volen roven nule4, což je ale pouze otázkou
volby počátku souřadnic.

4
Jelikož se jedná a o proložení dat, není parametr b roven nule zcela přesně. Chyba je ale v řádu nejvýše
10-2 mm, což chyba pro naše měření zcela zanedbatelná.

10 MICHAL ČERNÝ

Měření rychlosti se ukázalo jako velice přesné. Relativní chyba proložení přímky byla v
řádu 0,2%. Vzhledem k nepřesnosti měření výchylky na luminiscenční fólii, kde je absolutní
chyba asi ±1 mm a naměřené hodnoty okolo 50 mm (relativní chyba je tedy přibližně 2%),
můžeme v dalším hodnotu velikosti rychlosti považovat za naprosto přesnou. Podobně i
určení hmotnosti závaží M, bylo určeno s chybou do 0,2%, také tuto hodnotu je možné
uvažovat jako přesnou. Podobně při měření hmotnosti m tedy také menší 0,2%.
Pro všechna měření jsou společné tyto hodnoty, udávající rozměry závaží:
číslo měření a [cm] b [cm] c [cm]
1 11,8 12,0 17,5
2 11,8 12,0 17,4
3 11,7 11,8 17,5
4 11,9 12,3 17,5
5 11,8 12,0 17,4
průměr 11,8 12,0 17,5
Tab. 2.1: Tabulka rozměrů balistického kyvadla.

Obr. 2.4: Rozměry kvádru.

Odsud tedy jednotlivé parametry a = (11,8±0,1) cm; b = (12,0±0,1) cm; c = (17,5±0,1)
cm. Parametr a udává výšku, b šířku a c délku závaží. Dalším neměnným parametrem je délka
závěsu pro matematické kyvadlo l, která byla určena s periody kmitů a tíhového zrychlení, tak
jak je uvedeno výše.
počet průchodů čas [s] 1 průchod [s] perioda [s]
62 77,60 1,252 2,503
60 75,09 1,252 2,503
60 75,15 1,253 2,505
62 77,67 1,253 2,505
60 75,06 1,251 2,502
průměr 2,504
Tab. 2.2: Tabulka doby kyvu balistického kyvadla pro měření č. 1-3.
Z naměřených hodnot je tedy zřejmé určení periody T = (2,50±0,01) s. Odsud pak délka
závěsu matematického kyvadla jest l =(1,56±0,02) m.
Pro každou kulku zvlášť byla vážena hmotnost m. Hmotnost M také není pevným
parametrem úlohy, neboť kulky se zachytávají v krabici a její hmotnost nepatrně roste.
Pevnými parametry pro fyzické kyvadlo avšak jest r1 = (168,9±0,1) cm.


Pro čtvrté měření muselo být určení periody opakováno, neboť došlo ke změně uspořádání
vnitřní výplně kyvadla. Naměřené hodnoty pro T' (užito pro čtvrté měření):
počet průchodů čas [s] 1 průchod [s] perioda [s]
61,25 78,02 1,274 2,548
59,25 76,18 1,286 2,571
59,25 76,49 1,291 2,582
59,25 76,41 1,290 2,579
59,25 76,46 1,290 2,581
Průměr 2,572
Tab.: 2.3: Tabulka doby kyvu balistického kyvadla pro měření č. 4.

T'=(2,57±0,01) s. Výpočet všech hodnot probíhá stejně jako v předchozích případech. Jen
místo T dosadíme T'.
Přehledně můžeme všechny hodnoty zanést do tabulky:
Matematické kyavdlo Fyzické kyvadlo
-1 -3 -3 -2
číslo měření f [kHz] m [g] M [g] v 0 [ms ] l [m] h [m] 10 L [m] H [m] 10 JT [kg m ]
1 18,58 (0,5782±0,0001) (414,4±0,5) (76,7±0,2) 1,558 0,583 1,906 0,583 1,26
2 10,19 (0,5669±0,001) (427,0±0,5) (132,2±0,9) 1,558 1,563 1,961 1,563 1,31
3 10,19 (0,5656±0,001) (428,1±,5) (112,5±0,5) 1,558 1,120 1,966 1,126 1,31
4 12,80 (0,5644±0,0001) (419,1±0,1) (49,9±1,3) 1,644 0,229 1,827 0,230 1,28

Fyzické kyv. Matemat. kyv. Naměřené hodn.
č. m. Δx [cm] Δx [cm] Δχ [cm]
1 (4,7±0,3) (4,3±0,3) (4,5±0,1)
2 (7,8±0,5) (7,0±0,4) (6,4±0,1)
3 (6,7±0,5) (5,9±0,4) (5,7±0,1)
4 (2,9±0,2) (2,8±0,2) (2,7±0,1)
Tab.: 2.4, 2.5: Souhrnné tabulky s výsledky. Měření číslo 4 bylo provedené pomocí
digitální kamery.

V tabulce jsou zachyceny jednotlivé parametry k prováděnému měření. Porovnávány jsou
parametry Δχ (naměřená hodnota) a Δx (spočítaná hodnota), což jsou výchylky ve
vodorovném směru. Hodnoty l respektive L značí vypočítanou délku závěsu, h respektive H
výšku, do které vystoupalo těžiště kvádru, m je hmotnost kulky, M hmotnost kyvadla před
srážkou, v0 označuje rychlost zjištěnou z analýzy grafu. Hodnota f udává frekvenci pulsního
laseru. Čtvrté měření Δχ bylo provedeno pomocí kamery, první tři pomocí fotoluminiscenční
fólie.

12 MICHAL ČERNÝ

2.4.1Měření č.1 - ilustrace

Obr. 2.5: Závislost polohy na čase – určení v0.

Naměřená data byla proložena přímkou s rovnicí x = 0 + (-7671 ± 155) t. Po provedení
derivace podle t, získáme hodnotu pro rychlost v0 = (767,1±0,2) cm s-1, což je po převodu do
základních jednotek SI (76,7±0,2) ms-1. Nyní již jen dosazujeme do vztahů uvedených výše.

2.4.2Měření č.4 – užití kamery jako detektoru velikosti výchylky
Čtvrté měření bylo poněkud odlišné od předchozích tří. Pro měření délky výchylky nebyla
užita fotoluminiscenční fólie, ale videokamera. Stopa laseru se odrážela od dřevěné desky a
byla viditelná v kameře, která celý pohyb snímala. Převod byl zajištěn na základě kalibrační
fotografie poměrem 1 Px = 0,179 mm. Výchylka v Px byla tedy 152 Px s chybou při každém
odečtu maximálně 3 Px díky šíři stopy, což znamená relativní chybu 2,4%. Pro výpočet délky
závěsu byl použit nový výsledek měření T', neboť bylo nutné vyměnit část papírové výstelky
závaží.
Chyba měření při použití kamery byla přibližně 3,8 %. Největším zdrojem chyby bylo
určení rychlosti5, na druhém místě pak hmotnosti M. Obě hodnoty navíc ve výpočtech
vystupují v druhých mocninách.

2.4.3Zhodnocení měření
1. Balistické kyvadlo představuje standardní gymnasiální úlohu, jejíž realizace se zdá být
na první pohled poměrně jednoduchá. Avšak ukázalo, že provést tato měření ani
s chybou řádu jednotek procent není snadné. Je nutné zajistit, aby se kyvadlo mohlo
pohybovat pouze v jednom směru (vhodným bifokálním závěsem), minimalizovat
5
Což jest zapříčiněno nepříliš kvalitním snímkem v tomto konkrétním případě.


vibrace závěsné soustavy i kyvadla samotného. Střelbu je nutné provádět přibližně do
středu závaží, aby se omezily nežádoucí vibrace.
2. Dle naměřených výsledků je optické měření rychlosti kulky velmi přesné a to i s velmi
průměrným fotoaparátem. U optického měření je potřeba se vypořádat se dvěma
problémy. Předně je to otázka poměrně přesného nastavení plsního laseru, aby ozařoval
kulku po co nejdelší trajektorii. Snadnému nastavení přitopím brání hlaveň zbraně.
Druhým faktorem, je pak oblak plynu, který učiní kulku v oblasti v těsné blízkosti
hlavně fotoaparátem nezachytitelnou (nebo alespoň ne dost přesně).
3. Výchylka byla měřena dvěma způsoby; pomocí fólie, ze které byla odečítána vzdálenost
a pak pomocí kamery. U fólie je právě tento odečet výchylky zdrojem největší chyby,
výhodnější se ukázalo měření pomocí kamery, i když jeho zpracování je časově
mnohem náročnější a méně visuálně zajímavý, než postup s kamerou.
4. Pro dané uspořádání experimentu (délka závěsu přibližně 1,5-2 metry a velikost závaží
0,4 kg) je aproximace matematickým kyvadlem zcela vyhovující s tím, že obtížně
proveditelné měření polohy těžiště závěsu lze obejít určením jeho efektivní délky z doby
kmitu.
5. Vzduchovka nestřílí stále stejně rychle, proto měření rychlosti střely a výchylky kyvadla
je nutné dělat současně pro každý individuální výstřel. To může být zapříčiněno tím, že
pro střelby byly užity kulaté broky6, místo obvyklých diabolek.

2.5 Stručný pedagogický komentář
Celý experiment lze provést i poněkud méně náročně na vybavení. Pro měření rychlosti
kulky, lze užít dvou papírových (či z tenké lepenky vytvořených) kotoučů, otáčejících se
konstantní rychlostí (viz. kapitola 3.). Z rozdílu poloh průstřelů na kotoučích, lze pak snadno
určit rychlost kulky. Také luminiscenční fólii lze užít jiné metody; můžeme měřit výšku
výstupu kyvadla pomocí digitální kamery. Jelikož výška nebude příliš velká lze pomocí
kamery snadno zachytit pohyb závažíčka a výšku určit pomocí vedle stojícího délkového
měřidla. Běžné dnešní kamery generují 30 snímků za sekundu což je pro určení výšky
dostatečně přesné měření.
Experiment demonstruje úlohu, která je svým způsobem vrcholem středoškolského
snažení se v mechanice, neboť propojuje dva nejvýznamnější zákony zachování (v
gymnaziálním přiblížení) do jednoho příkladu a je škoda z něj učinit pouze objekt
matematického zájmu. Navíc umožňuje rozšíření celé problematiky o další mechanické úvahy
související s momenty setrvačnosti, kinetické energie rotačního pohybu a připravuje prostor
pro obecnější úvahy o opodstatněnosti různých aproximací a modelů ve školním kurzu fyziky.
Pokus je také mimořádně zajímavý pro studenty i po vizuální stránce – předně může být
estetický a pak určitou přitažlivost bude hrát jistě i přítomnost střelné zbraně a manipulace s
ní. Zde je zřejmě největší problém v realizaci tohoto experimentu, tedy v otázce bezpečnosti.
Je potřeba uvážit skutečnost, že se kulka může nejrůzněji odrážet či neukázněného žáka
během svého letu přímo zasáhnout. Pokud však bude celý experiment v místě realizace
předem řádně vyzkoušen, vyladěn a žáci vykazují obvyklou míru kázně, je zřejmě možné jej
provádět. Pro větší bezpečnost doporučuji jako ochranu před kulkou tlustší sklo umístěné v

6
Z důvodu lepší odrazivosti laseru.

14 MICHAL ČERNÝ

přiměřeném úhlu (nejlépe 45°) umístěnou za balistickým kyvadlem. Podle předpisů
bezpečnosti práce jej ale lze realizovat, při zajištění odpovídající bezpečnosti.7
Alternativou pro školské experimenty jsou jiné možnosti střelných „zbraní“, které nejsou
tak nebezpečné jako vzduchovka. Tím že má střelivo nižší rychlost, je ale potřeba uzpůsobit i
tvar a hmotnost balistického kyvadla. Nabízí se možnost střelby z kuličkové pistole poháněné
vzduchem či pružinou, která je běžnou dětskou hračkou. Další možností jsou kuličkové
pistole poháněné CO2, ty již ale produkují střely rychlosti kolem 120 ms-1 8, což již opět není
zcela bezpečné., K dispozici jsou i slabší kuličkové zbraně s přijatelnou rychlostí okolo 67
ms-1 9, které se pro případ školních potřeb jeví jako poměrně vhodné s poměrem rizika a
efektivnosti . Dále jsou k dispozici i pistole elektrické a další. Možností je samozřejmě i
výroba vlastní zbraně poháněné nejrůznějším způsobem stlačeným vzduchem – ať již
mechanicky nebo pomocí sifonové bombičky. Spíše žertovné využití může mít balistické
kyvadlo i pro měření rychlosti střelby lukem. Zde je ale vyžadována určitá netriviální
dovednost lukostřelců. Možné je měřit i rychlost hodu nějakým předmětem (pomocí
dostatečně dlouhého závěsu a velkého závaží). Dále je možné například měřit rychlost hodu
studenta, což může být zajímavá disciplína například na nějakém sportovním dni. Variant
využití se nabízí velké množství.
Pokud jde o jeho reálný průběh (tak jak byl v rámci práce měřen) pak je potřeba upozornit
především na následující úskalí. Je nutné dobře zajistit závěs kyvadla – to musí být nuceno
pouze k pohybu jedním směrem(viz. fotografie v příloze), čehož je možné dosáhnout dobrou
kombinací bifokálního závěsu, který musí být vhodně upevněn tak, aby vykazoval jen
minimální míru vibrací pomocí ukotvení provazy a jeho zatížení pomocí závaží (viz.
fotografie v příloze). Kulku je vhodné volit kulatou (tedy brok), neboť vykazuje lepší
odrazivost světelného paprsku. Nutné je velmi přesné nastavení laseru ozařujícího kulku –
nepřesnost v řádu milimetrů znemožní přesné měření. Dále je pak nutné dbát na dobré
zatemnění místnosti (v rámci možnosti užívání dvou výkonných laserů) a optimální polohu
fotoaparátu. Jeho pozice bude záviset na jeho parametrech (především množství MPx a
citlivosti snímače) a na zvolené frekvenci.

2.6 Balistické kyvadlo v gymnaziální učebnici
Příklad je přejat z učebnice Mechanika pro gymnázia. Jedná se o 7. příklad ze strany 235 [1] a
je doplněn obdobným obrázkem jako v našem matematickém řešení. Jediný rozdíl je v
označení hmotností. Hmotnost střely je zde označena m1 a závaží jako m2.
Zadání: Na provaze je zavěšena dřevěná kostka o hmotnosti 3,6 kg. Těžiště kostky je ve
vzdálenosti 2,5 m od místa závěsu. Na kostku je vodorovným směrem vystřelena střela o
hmotnosti 0,020 kg a je zachycena v kostce. Vektorová přímka rychlosti střely prochází
těžištěm kostky. Provaz s kostkou se odchýlí o 35° od svislého směru. Určete rychlost střely v
okamžiku nárazu na kostku. Odpor vzduchu zanedbejte.
Řešení:

7
Zajímavý a přínosný může být experiment zvláště tam, kde při školním zařízení existují střelecké
volnočasové kroužky realizované školou.
8
Jen pro ilustraci uvádíme příklad: CZ 75D Compact <http://www.kentaurzbrane.cz/zbrane-volne-prodejne/
pistole-cz-75d-compact-co2-blowback-dual-tone> .
9
Jen pro ilustraci uvádíme příklad: STI M1911 Clasic <http://www.kentaurzbrane.cz/zbrane-volne-
prodejne/sti-m1911-clasic> .


m1 + m2
v= ⋅ 2gl(1 − cos℘) (2.30)
m1
Postup: Stejně jako v našem modelu se zde uvažuje zákon zachování hybnosti těsně před
srážkou a zákon zachování mechanické energie v čase po ní. Zajímavé je, že právě měření
výchylky ve stupních se užívá pro dnešní balistická kyvadla, která jsou ale řešena poněkud
technicky důmyslněji10.
Ze zákona zachování hybnosti, který užijeme před srážkou plyne:
m1 v + m2 0 = ( m1 + m2 ) v1 , (2.1)
kde v je rychlost kulky a v1 je následná výsledná rychlost soustavy závaží a kulka. Po srážce je
možné užít zákon zachování mechanické energie ve tvaru:
( m1 + m2 ) gh = 1 ( m1 + m2 ) v12 , (2.3)
2
nyní vyjádříme výšku výstupu závaží jako funkci délky závěsu a úhlu φ:
h = l (1 − cos℘) . (2.31)
Tento výraz dosadíme do zákona zachování mechanické energie a z něj vyjádříme v1. Ten
pak dosadíme do zákona zachování hybnosti a získáme požadovaný výsledek:
( m1 + m2 ) gl (1 − cos℘) = 1 ( m1 + m2 ) v12 , (2.32)
2
po úpravě a zkrácení
v1 = 2gl (1 − cos℘) , (2.33)
po dosazení do zákona zachování hybnosti
v= 1
( m + m2 ) 2 gl (1 − cos℘)
,
m1
(2.34)
což plně souhlasí s předem avizovaným, autory uváděným výsledkem. Dle zadání se tedy
předpokládá řešení matematického kyvadla a střelby přímo do těžiště. Dle uvedeného
nákresu, je ale realizace takovéhoto počinu dosti obtížná a lze předpokládat, že vzhledem k
vibracím, které by získalo závaží po zásahu by naměřený úhel mohl být značně jiný a nešlo
by o pohyb v rovině.
Gymnasiální úloha také obvykle neuvažuje o rotační složce kinetické energie. Její
příspěvek je sice zanedbatelně velký, ale součástí diskuse problému by měl být alespoň
jednoduchý odhad toho, že zvolená aproximace matematického kyvadla je vhodná a dobře
použitelná.

10
Například <http://en.wikipedia.org/wiki/Ballistic_pendulum> , nebo ilustrace na
<http://sakshat.amrita.ac.in/VirtualLab/vlab/PHY/CLA/Ballistic%20Pendulum/balastic.jpg> .

16 MICHAL ČERNÝ

3 Rotující kotouče
Jak jsme již uvedli v předchozí kapitole, dalším způsobem jak změřit rychlost kulky je užití
dvou rotujících kotoučů. Toto měření mělo spíše informativní charakter a jeho cílem bylo
provést další nezávislé měření rychlosti kulky.
Velmi často se vyskytujícím příkladem v gymnasiálních sbírkách příkladů z mechaniky
jsou uváděny dva rotující kotouče, které slouží k určení rychlosti střely. Následující krátká
kapitola se pokusí stručně vyložit experimentální zkušenost s tímto měřením a okomentovat
běžně zadávané hodnoty v početních příkladech.
Co se týče realizace představuje dvojce rovnoměrně rotujících kotoučů známou rychlostí,
jenž jsou od sebe vzdáleny známou délku jeden z nejsnazších způsobů, jak určit rychlost
střely.

Obr. 3.1: Obrázek ilustrující uspořádání experimentu a zadání úlohy.

3.1 Matematický popis
Předpokládejme, že je pohyb mezi dvěma kotouči přibližně rovnoměrný. Pak můžeme použít
známý vztah z kinematiky
l
t= , (3.1)
v
kde v je rychlost kulky mezi kotouči, t je čas průletu a l je vzdálenost mezi nimi.
Pokud je rovnoměrné i otáčení kotoučů (což jsme ověřili) lze pro úhlový posun užít vztahu
Δ℘= ωt = 2πft , (3.2)
pokud není rychlost kulky natolik velká, aby způsobila posun o více než 2π. Po dosazení
získáme vztah
2lππ
v= . (3.3)
Δ℘


Experiment je poměrně nenáročný, pokud máme experimentální možnost, jak určit rychlost
rotace kotoučů. Mezi nejznámější způsoby měření, patří optická závora propojená se systém
ISES,11 který je na školách hojně rozšířen. Je možné užít ale i jiné možnosti, například
motorek s připojeným měřičem otáček.

• vrtačka;
• kartónové kotouče (3 kusy – dva na střelbu a jeden s výřezem pro určený na stanovení
rychlosti rotace vrtačky);
• ISES;
• Optická závora;
• počítač s potřebným software;
• puška s municí;
• duralová tyč (či jiný vhodný nosič kotoučů – ideální je lehká a pevná tyč);
• stojan pro zapření konce rotující tyče.

Prvním krokem je stanovení rychlosti otáček vrtačky. Jelikož měření otáček ISESem
neprobíhá současně s měřením rychlosti střely, je nutné zajistit, aby v obou případech byly
otáčky pokud možno shodné. Z našich experimentů se ukázalo, že maximální otáčky jsou
v mezích požadované přesnosti reprodukovatelné.
Jeden s kotoučů upevníme na tyč, která je napojena na vrtačku či jiný vhodný motor.
Vyrobíme do něj štěrbinu přiměřené velikosti a laserem osvětlujeme kotouč. Měření je
založené na tom, že do čidel přichází světelný signál z laseru jen ve chvíli, kdy je kotouč díky
štěrbině pro svazek světla průchozí. Naměřená data se projeví jako píky v hodnotách
naměřených ISES. Ze vzdáleností píků je možné určit v rychlost otáčení kotouče.
Druhým krokem je připevnění dvou kotoučů do přiměřené vzdálenosti od sebe na
duralovou tyč. V závislosti na druhu střelné zbraně a otáčkách vrtačky, je vhodné zvolit
přiměřenou vzdálenost těchto kotoučů. Pomocí olovnice na kotoučích vyznačíme preferovaný
svislý směr, který bude sloužit k odečítání úhlů. Na kotouče dále vyznačíme směr jejich
otáčení, a zda je ten který kotouč přední či zadní.
Jako vhodný způsob připevnění kartónových kotoučů se ukázala být tavná lepící pistole.
Po upevnění kotoučů na tyč, jejíž jeden konec je napojen na vrtačku a druhý volně položen do
stojanu je možné provádět samotnou střelbu. Po každém výstřelu je navíc nutné na kotoučích
vyznačit číslo výstřelu, aby bylo možné výsledky vyhodnotit (spárovat jednotlivé zásahy).
Jednu sadu kotoučů z kartonu je možné použít přibližně pro 5–8 výstřelů.

Vzdálenost l = 1 m, hodnoty pro změnu úhlu a frekvenci otáčení uvádíme ve dvou tabulkách:

11
Alternativou může být například systém Verinier < http://www.vernier.com/soft/lpl/> .

18 MICHAL ČERNÝ

průstřel č. Δ [rad]
1 3,4
2 3,52
3 4,32
4 4,03
5 4,22
Tab. 3.1: Velikost úhlu pootočení kotoučů vůči sobě při jednotlivých výstřelech.

V tabulce je uvedeno odečítání úhlů na jednom a na druhém kotouči (kotouč č. 1 byl
umístěn blíže k hlavni pušky) a jejich rozdíl v radiánech.
Tab. 3.2: Tabulka s kalibračními měřeními rychlosti otáčení kotoučů.
rychlost odeč ítání po čet píků vzdálenost [s] frekvence [Hz]
20000 11 0,2513 39,79
10000 11 0,2525 39,60
5000 11 0,2625 38,10
1000 18 0,4708 36,11

Rychlost odečítání udává vzorkovací frekvenci sbírání dat použitou v systému ISES. Data
byla vynesena do grafu a ze vzdálenosti píků, které udávají informaci o tom, že v daném čase
prochází čidlem část kotouče s přerušením. Ukazuje se, že je nutná vyšší odečítací frekvence
k určení přesného výsledku. Pro naše výpočty užijeme výsledky dvou nejpřesnějších měření Z
doby jednoho průchodu zle snadno určit frekvenci f = (39,7 ±0,2) Hz.
Nyní již můžeme snadno určit rychlost kulky, ze vztahů které jsme uvedli výše.
-1
průstřel č. Δ [rad] v [ms ]
1 3,40 73,36
2 3,53 70,66
3 4,33 57,61
4 4,03 61,89
5 4,22 59,11
Tab. 3.3: Stanovení rychlosti kulky mezi dvěma kotouči.

V tabulce můžeme snadno vidět, že rychlost vystřelené kulky není možné považovat za
konstantu. Toto zjištění nás utvrzuje v tom, že je nutné měřit současně výchylku závaží i
rychlost kulky, a to i přes všechny obtíže, které to může přinášet.
Vzhledem k materiálu, který byl na kotouče použit (karton) má také poměrně velký vliv
to, jakým místem kulka prošla. Ukázalo se, že kantor má zásadní vliv na zpomalení kulky.
Mimo to, z předchozích optických měření víme, že někdy je výstřel silnější někdy slabší,
rychlost kulky se dosti zásadním způsobem mění. Do analýzy důvodů není potřeba nějak
zásadně vstupovat. Vliv bude mít zřejmě nejen puška, ale také tvar a hmotnost broků.
Vzduchová puška je přece jen primárně vyrobena na střelbu s diabolkami nikoli s kulovými
broky. Přesto během tohoto měření byla rychlost kulky poměrně stabilní. Hodnota její
rychlosti je na základě měření (64±6) ms-1.
K uvedeným hodnotám je potřeba uvážit, jakou mají míru přesnosti. Chyby mohou
pramenit s toho, že se nepodařilo střílet přesně rovně a jisté nejistotě, kde byl přesný střed
otáčení a nemalé velikosti dírek po výstřelu. Asi největší míru chyby, ale může mít na
svědomí samotná vzduchová puška, která (dle výsledků předchozích měření) nestřílí stále
stejně rychle. Proto je i míra chyby asi okolo deseti procent. Toto měření je tedy ve stávající


konfiguraci spíše vhodné k tomu, aby byl učiněn přibližný odhad o tom, jakou rychlostí se
kulka pohybuje.
Vše by šlo zřejmě zpřesnit užitím homogenějších kotoučů menší mocnosti (respektive
odporem při průchodu), které by neměli takový vliv na průchod kulky. Již z čistě optického
zkoumání kotoučů je patrné, že rychlost na prvním a druhém kotouči byla značně odlišná
(například podle míry poškození kotouče střelou), což mění měření spíše na problém, určení
rychlosti střeli mezi kotouči a nikoli při výstřelu.
Přibližně pět až šest těchto kotoučů, umístěných těsně za sebe, je schopné kulku zcela
zastavit. U lehčích materiálů je ale problém s příliš širokou stopou a přílišnými vibracemi.
Přesto je toto měření poměrně nenáročné, snadno a rychle realizovatelné a zajímavé. Pokud se
přeneseme přes riziko spojené obecně se střelbou ve školním prostředí12, pak můžeme být
tento pokus zařazen i jako frontální úloha v praktiku s tím, že vyučující sám realizuje střelbu,
neboť její realizace ani analýza nevyžaduje žádné pokročilé znalosti či dovednosti.
Pro tento experiment byly užity místo kulatých broků diabolky. Výsledky měření tak nelze
přímo srovnávat se závěry předchozích měření. Pro získání přesnějších a representativnějších
výsledků by bylo nutné provést větší množství měření a dokonaleji zvolit materiál kotoučů i
realizaci a spojit ji třeba s nějakou další metodou – ať již pomocí optického měření nebo
balistického kyvadla.

3.4 Stručný pedagogický komentář
Téměř vše podstatné bylo zmíněno již výše. Tento pokus je poměrně snadný na realizaci a
představuje hezké orientační měření kulky. Jistě je možné dopředu proměřit rychlost otáčení a
studentům ji zadat jako známý parametr úlohy.
Opět je nutné zachovat všechna nutná bezpečnostní opatření, která souvisejí s užíváním
vzduchové pušky ve třídě, jak jsme je zmiňovali v kapitole 2.5.

3.5 Rotující kotouče v gymnaziální učebnici
Tento příklad nalezneme dokonce jako řešený v základní učebnici Mechanika pro gymnázia
na straně 215 jako příklad 1. [1]:
Zadání: na nepružné ose motoru jsou upevněny ve vzdálenosti 0,80 m od sebe dva
papírové kotouče, které se rovnoměrně otáčejí s frekvencí 80 Hz. Kotouče jsou proraženy
střelou letící rovnoběžně s osou otáčení. Podle otvorů způsobených střelou v kotouči bylo
zjištěno, že se kotouče otočily o úhel 30°. Vypočítejte rychlost střely.
Postup: Zcela analogický s tím, který jsme uvedli v naší úvodní diskusi problému.
Uvažujme přímočarý pohyb, pak dráha uražená za čas t
s = vt , (3.4)
za tutéž dobu se kotouče otočí o úhel
℘ = ωt = 2πft . (3.2).
Dosadíme za čas t z prvního vztahu do druhého a vyjádříme v
2πfs
v= . (3.3)
℘

12
Střelba vzduchovkou je zřejmě z bezpečnostních důvodů nerealizovatelná, ale jisté možnosti jsou ve
vyzkoušení tenčích kotoučů a méně nebezpečných střelných zbraní (viz. kapitola 2.5).

20 MICHAL ČERNÝ

Po dosazení získáme rychlost v = 480 ms-1. Řešení příkladu je zcela jednoznačné a
nekomplikované. Snad jen chybí úvaha o možnosti, že by se kotouče mohli během průchodu
kulky otočit o více než 2π. V příkladu by měla být zmínka o tom, že měříme rychlost nikoli
střely před střetem s prvním kotoučem, ale rychlost mezi kotouči. Vzhledem k uvedené
rychlosti by bylo nutné užít jiných kotoučů, než jaké sloužily v našem experimentálním
uspořádání.

4 Rychlost padající kapky
Experiment si kladl za cíl, zkoumat vlastnosti odporových sil působící na padající kapky
různých rozměrů. Cílem bylo zhodnotit, zdali je pro padající objekt dostatečným způsobem
přijatelná aproximace pro odporové síly pomocí Newtonova vztahu, či zdali lepší popis
poskytne Stokesův vztah nebo prostý volný pád bez odporu.

4.1 Úvod
Jednou s poměrně obvyklých gymnasiálních úloh je výpočet rychlosti padajícího předmětu.
Mějme těleso určitého tvaru, pro které uvádějí tabulky odporový koeficient cy o příčném
obsahu S a hmotnosti m. Těleso se pohybuje ve vzduchu, jehož hustota je ρ. Na těleso působí
síla tíhová
Fg = gm , (4.1)
která ho urychluje směrem dolů a proti ní síla odporová, která závisí, podle Newtonova
vztahu, na druhé mocnině rychlosti:
1 1
Fodp = c y Sv 2 = c y Sρy 2 .
 (4.2)
2 2
Pro ilustraci uvádíme několik konkrétních příkladů hodnot koeficientu cy: [2] [3] [4]
Tvar C [2] C [3] C [4]
kruhová deska 1,11 1,12 1,22
čtvercová deska 1,05-1,27 1,12 1,22
dutá pokoule (pohyb dutou částí vpřed) 1,35-1,40 1,33 1,3
dutá polokoule (vypuklou částí vpřed) 0,30-0,40 0,34
kruhový válec 1,2
koule 0,4-0,5 0,48 0,5

Tab. 4.1: Tabulka s tabulkovými koeficienty cy. Literatura často nerozlišuje mezi
tvarem různých rovných tenkých desek.

Koeficient C závisí na tvaru tělesa, jeho poloze vůči proudící tekutině a na charakteru
proudění, které popisuje vyjadřuje Reynoldsovo číslo. [2] Jak je vidět hodnoty je možné brát
spíše jako orientační.
Námi realizovaný experiment se zaměřil na posouzení, zda odpor prostředí letící kapky na
dráze jednotek metrů je možné popsat jako pád v neodporujícím prostředí a pokud ne, je li pro
tento popis odporové síly výhodnější Newtonův a nebo Stokesův vztah.

4.2 Matematický popis
Na padající kapku působí tíhová síla a síla odporová, která závisí na rychlosti. V běžné praxi
se používají dva aproximativní vztahy vyjadřující tuto závislost. Stokesův, kde odporová síla
roste lineárně a Newtonův, kde je růst odporové síly v závislosti na rychlosti kvadratický.
Jako první případ, ale vyřešíme příklad volného pádu.

22 MICHAL ČERNÝ

Budeme předpokládat, že výpar kapalin je dostatečně malý na to, aby neměl na výsledek
měření podstatný vliv. Dále uvažujeme pouze pohyb podél osy y, proto nemusíme psát
rovnice ve vektorovém tvaru.

4.2.1Volný pád bez odporu prostředí
Z druhého Newtonova zákona získáme rovnici:
F = m ,
y (4.3)
odtud pro tíhovou sílu Země, působící na padající kapku platí:
Fg = gm = Fv = m ,
y (4.4)
kde g je tíhové zrychlení Země. Na těleso nepůsobí, kromě tíhové, žádné síly, takže se jedná o
pohyb rovnoměrně zrychlený, ve směru tíhového zrychlení – kolmo dolů. Po dvojnásobné
integraci rovnice 4.4 po dráze y, získáme známý vztah:
1
y = ho + v0 t + gt 2 , (4.5)
2
kde h0 je počáteční dráha, před započetím studia pádu, v0 je rychlost v tomto okamžiku, t jest
čas a g tíhové zrychlení.

4.2.2Volný pád v odporovém prostředí při užití Stokesova vztahu pro kouly
Popis pohybu tělesa v prostředí s odporem, závisejícím na první mocnině rychlosti nalezneme
v literatuře [5] [6], ze které byl postup převzat. Stokesův vztah [7] patří k nejčastějším
aproximacím odporových sil, zvláště když předpokládáme, že se těleso pohybuje v kapalině,
případně je pokud předpokládáme, že proudění je laminární, tedy rychlosti jsou nízké a
rozměry obtékaného tělesa malé.
Pohybová rovnice má tvar:
mv = F − kv ,
 (4.6)
po úpravě a substituci:
v = λ( v1 − v ) ,
 (4.7)
kde
k
λ= , (4.8)
m
se nazývá útlumový parametr a k vyjadřuje konstantu definující míru závislosti odporu na
první mocnině rychlosti. Pro Stokesův vztah [5] získáme
6ηπR
λ= , (4.9)
m
kde η je dynamická viskozita a R poloměr tělesa.
Dále pak
F mg
v1 = = , (4.10)
k k
což jest konstanta, která má fyzikální význam mezní rychlosti tělesa pohybujícího se viskózní
kapalinou. Pokud zvážíme ještě podmínku, zcela přirozenou podmínku
vt=0 = v0 , (4.11)
získáme pomocí substituční metody při integraci pohybové rovnice (4.7) vztah:
( )
v = v0 + ( v1 − v 0 ) 1 − e − λt . (4.12)

Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací
23

Stejně jako u volného pádu předpokládejme, že dříve než těleso začneme pozorovat
urazilo dráhu y0. Odsud získáme druhou integrační podmínku:
y t=0 = y 0 , (4.13)
takže druhou integrací přes dráhu získáme:
 t − e − λt 
y = y 0 + v0 t + ( v1 − v 0 ) 
 λ ,  (4.14)
 
což je výsledná rovnice, popisující závislost polohy na čase. Do rovnice je možné ještě
dosadit, čímž jest dán konečný vztah:
 6ηηπ 
t
 −

 mg  tm − me m 
y = y 0 + v0 t + 
 6ηπR − v 0 
 . (4.15)
  6ηπR 
 
 
Nyní již máme jen měřitelné veličiny a počáteční podmínky. Ke způsobu zjištění
počátečních podmínek se vrátíme až v kapitole Uspořádání experimentu.

4.2.3Volný pád v odporovém prostředí při užití Newtonova vztahu
Jak jsme již uvedli výše popis odporových sil v závislosti na rychlosti je spíše empirický. V
učebnicích se nejčastěji setkáme s modelem, který předpokládá závislost odporové síly
rychlosti kvadratickým způsobem který je popsán Newtonovým vztahem:
1 1
Fodp = c y Sρv 2 = c y Sρy 2 ,
 (4.16)
2 2
kde S je příčný průřez obtékaného tělesa, C je konstanta související s tvarem tohoto tělesa, v
je rychlost a ρ je hustota obtékající kapaliny. Pro popis pohybu jako funkce y (t) použijeme
postup, který opět nalezneme v literatuře [5] [6].
Pro tento případ je možné uvažovat pohybovou rovnici ve tvaru:
mv = F − kv 2 .
 (4.17)
Zavedeme substituci:
F g
A= = m = g (4.18)
m m
a
1
cx Sρ
k 2 . (4.19)
B= =
m m
Pohybovou rovnici je pak možné přepsat do tvaru:
v = A2 − B 2v 2 ,
 (4.20)
rozkladem na parciální zlomky získáme rovnici:
v
 v

2A = + , (4.21)
A + Bv A − Bv
jenž lze již přímo integrovat za získání vztahu
A + Bv
2( ABt + C ) = ln , (4.22)
A − Bv

24 MICHAL ČERNÝ

kde C je integrační konstanta, a ze které lze již přímo vyjádřit rychlost, odlogaritmováním a
několika dílčími úpravami získáme
A
v = tanh ( ABt + C ) , (4.23)
B
z čehož již za užití obvyklých počátečních podmínek (viz. vztah 4.11) získáme
A
v0 = tanhC , (4.24)
B
odtud koeficient C
1 A + Bv0
C = ln . (4.25)
2 A − Bv0
Rovnici 4.23 je možné přímo integrovat a získáme (po zvážení podmínky stejné jako v
rovnici 4.13) rovnici:
1 cosh ( ABt + C )
y = y 0 + 2 ln , (4.26)
B coshC
což jest hledaná rovnice. Dosazení za koeficienty A, B, C by již vztah zbytečně příliš
znepřehlednilo.

Experiment byl uspořádán podle následujícího schématu [8]:

Obr. 4.1: Pohled ze strany („záběr fotoaparátu“).

Kde G označuje generátor periodických obdélníkových pulsů. Na obrázku je dále vidět
kapilára, zdroj vody (láhev případně přímo vodovod). Voda byla použita běžná, z
vodovodního potrubí. Pomocí tlačky byl v hadičce regulován průtok, a tak byla ovlivněna
rychlost generování kapek tak, aby fotografické snímání bylo co nejsnazší. Jako optimální se
jevila perioda mezi 2 až 5 sekundami. Na generátor byl připojen laser, který osvěcoval
padající kapku ve snímané části trajektorie, tak že se světelný paprsek odrážel od zrcadla
umístěného v těsné blízkosti kapiláry. Fotoaparát byl umístěn ve stativu, aby byla omezena
jeho pohyblivost.

25

Generátor pulsů napojený na laser zajišťoval osvit kapky s pravidelnou frekvencí, s
obdélníkovou modulací signálu, kterou bylo možné odečíst na nezávislém měřiči frekvence,
který je součástí generátoru. Bylo potřeba volit takové frekvence aby bylo na snímku co
nejvíce záblesků (tedy zobrazených stop padající kapky) a současně byly tyto světelné stopy
dobře identifikovatelné a rozlišitelné. Na volbu frekvence má vliv také vzdálenost fotoaparátu
od kapkostroje. Jako minimální možná se jevila frekvence okolo 100 Hz, ale i s frekvencí o
něco nižší lze získat alespoň ilustrativní (i když ne tak přesná) data. Volba frekvence je
pochopitelně úzce spojena s výkonem laseru i kvalitou fotoaparátu.
Lepších výsledků by bylo možné dosáhnout například kvalitnějším fotoaparátem s větším
rozlišením a ukládáním snímků nikoli do kompresního formátu JPG či JEPG, ale do
bezztrátového RAW. V některých místech fotografie jsou lokálně přeexponovaná místa, což
by bylo možné odstranit například překrytím odrazových ploch černou clonou. Pro dobré
výsledky experimentu je důležité co možná nejlepší zatemnění místnosti.
Pro měření byla použita „běžná“ voda z vodovodního řádu. Větší roli by tak nemělo hrát,
zdali je umístěná v láhvi, nebo přímo dodávaná z vodovodu. Měření probíhala při teplotě (20
±2) °C. Tento rozptyl teploty by neměl mít na výsledky měření žádný zásadní vliv.
Kapky se utrhávaly z kapiláry, což zajišťovalo jejich značnou homogenitu. Přesto je
potřeba u každého uspořádání provést alespoň dvě měření, aby bylo zabráněno zanesení
náhodné chyby do měření.
Kapkostroj byl sestaven z běžně dostupných chemických stojanů a svorek, což mělo za
následek mírnou nestabilitu konstrukce, která se stala poměrně náchylnou na otřesy. Při
konstrukci systému je důležité zajistit dostatečný spád vody, na což je potřeba myslet
především tehdy, když nám jako zdroj slouží láhev. U připojení přímo na vodovod sice není
regulace průtoku tak jemná, ale odpadá případný problém s nedostatečným tlakem.
Hmotnost kapek byla určena na základě vážení na laboratorních vahách. Pokud budeme
chtít získat maximálně přesné výsledky je potřeba pracovat poměrně rychle, abychom snížili
vliv výparu vážených kapek.

• laboratorní váhy;
• generátor pulsů;
• laser;
• chemické stojany a spojky;
• kádinka či jiná nádoba na zachycení odkapávající vody;
• kapilára;
• stativ;
• fotoaparát;
• svinovací metr či jiné měřidlo délky s nejmenším dílkem alespoň 1 mm;
• zrcadlo;
• počítač a příslušné programové vybavení.

Experiment lze provádět také se stroboskopem, což je sice náročnější na zatemnění, ale
není potřeba laser a generátor pulsů. Slabší laser, je možné do značné míry kompenzovat
kvalitnějším fotoaparátem atp.

26 MICHAL ČERNÝ

Výšku y0 určíme odečtením z kalibrační fotografie. Obvykle porovnáme pozici nějakého jasně
identifikovatelného bodu na kalibrační fotografii a na snímku s padající kapkou a ze znalosti
toho, jaký je vztah mezi délkou v mm a pozicí v Px určíme požadovanou výšku y0. Jedná se
ale pouze o aditivní konstantu, kterou přičítáme ke všem modelům i k odečteným hodnotám.
Přesnost jejího určení tedy nemusí být příliš velká, neboť nemá žádný vliv na výsledek ani na
sledované jevy.
Další potřebnou počáteční podmínkou je hodnota v0. Pro každé měření vytvoříme graf
závislosti absolutní pozice na relativním čase. Jako první bod volíme první rozlišitelný bod v
nepřerušené řadě kapek a relativní čas v něm klademe rovný nule. Grafem závislosti
proložíme polynom druhého stupně a rovnici, která jej popisuje zderivujeme a dosadíme za
čas definičně nulu. Získaná hodnota odpovídá rychlosti v0.

4.4.1Padající kapka z menší kapiláry osvětlovaná frekvencí 286,7 Hz
Pro tuto fotografii platí, že poloha kapiláry, ze které jsou utrhávány kapky je y0 = 290 mm nad
snímkem. Fotografii bylo nutné nepatrně otočit, aby kapka padala opravdu svisle. Použitá
fotografie je vyobrazena v příloze.
Grafy analyzují přesnost aproximaci modelují pohyb pomocí počátečních podmínek.
Předchozí pohyb kapky (až na informaci y0 a v0) nebereme v potaz. Pokud bychom tedy
sledovali pohyb od počátku, byly by grafy v daném okamžiku začátku našeho měření
vzájemně posunuty. Hmotnost kapky byla určená vážením většího množství kapek kapající z
téže kapiláry a stanovena na (0,086±0,004) g. Pro matematické modely předpokládáme, že
kapka má tvar koule, což dokumentuje řada literatury. [9]
Zde jsou pro přehlednost uvedeny pouze grafy, které ilustrují chování kapky. V grafu je
vynesena závislost polohy na čase. Ta je pak proložena polynomem druhého stupně, který
když zderivujeme a dosadíme za t = 0 s, získáme počáteční rychlost v0. Tímto parametrem
jsou určeny všechny potřebné počáteční podmínky a pohyb kapky můžeme popsat také na
třech dalších modelech – volném pádu, pohybu při působení odporové síly dle Stokesova
vztahu a dle Newtonova vztahu. Již zběžným pohledem na grafy je zřejmé, že se kapka
pohybuje přibližně dle modelu, který je určen nárůstem odporových sil podle Newtonova
vztahu.

27

Obr. 4.2: Závislost polohy na čase.

Obr. 4.3: Studium pohybu a různé teoretické aproximace. Newtonův vztah pro hodnotu

C = 0,5.

28 MICHAL ČERNÝ

Mohla by vzniknout námitka, že jelikož Stokesův vztah nemá žádný volný parametr a
Newtonův vztah ano, je Newtonův vztah pro pohyb v odporovém prostředí oproti vztahu
Stokesově v jisté principiální vývoje. Jak však ukazují následující grafy, jistá variabilita

koeficientu cy nezpůsobí zásadní nefunkčnost modelu a ten je pro vyšší rychlosti stále věrnější
naměřené skutečnosti, než Stokesův vztah.

Obr. 4.4: Detail grafu pro teoretické modely pro různá C u Newtonova odporového
vztahu. Vzhledem k rozměrům kapky je Newtonova aproximace stále lepší pro vyšší
rychlosti.

29

Obr. 4.5: Graf vývoje relativní chyby v čase.

4.4.2Další naměřené hodnoty
Měření bylo více a všechny odpovídají závěrům uvedených v předchozím odstavci. Měření
bylo prováděno pro dvě velikosti kapek generovaných dvěma různými kapilárami větší o
hmotnosti (0,104±0,003) g a menší o hmotnosti (0,086±0,004) g. Pro obě velikosti a různé
frekvence osvitu se podařilo ukázat, že náš předpoklad o kulatosti kapky nebyl v rozporu s
experimentem, a že se kapka pohybuje dle Newtonova vztahu pro pohyb těles v odporovém
prostředí. Na základě analýzy pohybu je možné určit hodnotu cy=(0,5±0,1). Ukazuje se, že pro
vyšší rychlosti je Newtonův model stále lepší aproximací, což je ve shodě s teorií. Jednotlivé
grafy jsou uvedeny v příloze.

4.5 Interpretace výsledků a stručný pedagogický komentář
Měření ukázalo, že se kapky v odporovém prostředí vzduchu při přibližné teplotě 20°C
pohybují dle modelu, vycházejícího s Newtonova vztahu pro odporovou sílu. Největším
zdrojem nepřesností může být jednak optické zkreslení způsobené vadami čočky
fotoaparátu13, dále chyby související s tím, že fotoaparát užívá ukládání snímků do JPG a
nikoli do RAW. Jako problematické se jevilo užití nepatrně prasklé kapiláry, která pak
negeneruje stejně velké kapky. Při měření naopak není důležitým parametrem absolutní
poloha, protože se jedná o čistě aditivní parametr.
Využití v běžném školním praktiku je problematické vzhledem k užití výkonného laseru.
Pro gymnasiální vybavení učeben bude asi největším problémem laser s generátorem pulsů.
Málo výkonný laser je možné nahradit stroboskopem, jehož nevýhoda spočívá především v
tom, že osvětluje vše okolo. Výsledkem tedy nebudou tak pěkné snímky. Nižší frekvenci je

13
Tento problém je diskutován v poslední kapitole této práce.

30 MICHAL ČERNÝ

pak možné snadno kompenzovat kvalitnějším fotoaparátem (s větším množstvím MPx), který
je dnes již téměř běžným „občanským“ standardem a snímám většího úseku trajektorie.
Pokud je k dispozici laser dostatečně výkonný14, avšak bez modulátoru pulsů je možné
užít generátor mechanický. Může se jednat o kotouč s vhodně umístěnými otvory, který je
nasazený na vrtačce a jehož frekvenci otáčení proměříme například pomocí ISES.
Při všech měřeních je nutné dostatečné zatemnění a je vhodné užít také užití černých
zástěn v ose měření, umístěných za padající kapkou. Černým materiálem je dobré také
odstínit všechny kovové části stojanu, aby nezpůsobili odlesky lokální přeexponovaní snímku.
Během celého měření je nutné chránit oči před zásahem laserového paprsku.
Zajímavé je určení relativní chyby aproximace, při užití Newtonova vztahu. Jednak se
ukazuje, že nejlepších výsledků nedosahujeme s koeficientem cy=0,5, ale s nepatrně vyšším
cy=0,6. Dále možné vidět přechod z kladných výchylek chyby do záporných. To lze možná
zdůvodnit tím, že se podařilo zachytit fázi letu kapky, kdy je přechod aproximativních vztahů
od Stoksova k Newtonovu. Tuto skutečnost také dokumentují další grafy. Porovnáme li
naměřená data pro kapku vody s vyšší hmotností (viz. příloha) s těmi pro kapku s hmotností
menší, je zřejmé, že čím větší je kapka, tím menší jsou rozdíly mezi jednotlivými modely. To
je opět očekávaný výsledek.

4.6 Výpočet maximální rychlosti padající kapky v učebnicích
V gymnaziálních učebnicích i základních vysokoškolských kurzech se vyskytuje téměř vždy
velice podobné zadání. Po studentech je žádáno, aby vypočítali mezní rychlost kapky v
odporovém prostředí při zadaných parametrech. My se přidržíme zadání, které nalezneme v
učebnici Fyzika [10], kde je uveden jako řešený příklad číslo 6.6 na straně 125.
Zadání: Dešťová kapka o poloměru R = 1,5 mm padá z mraku, který je ve výšce h = 1200
m nad zemským povrchem. Odporový koeficient kapky je 0,60. Předpokládejme, že kapka má
celou dobu pádu kulový tvar. Hustota vody ρv = 1000 kg m-3 a hustota vzduchu ρvz = 1,2 kg
m- 3. Vypočítejte mezní rychlost kapky a rychlost kapky pokud by se pohybovala bez vlivu
odporových sil.
Řešení: Předně je potřeba si povšimnout, že je zde předpoklad na stálý kulovitý tvar. Ten
zajišťuje povrchové napětí, které by jakýkoli jiný tvar okamžitě vrátilo zpět do koule. Tento
předpoklad je možné hodnotit jako poměrně rozumnou míru aproximace. Samotné
matematické řešení je pak poměrně přímočaré:
Objem koule je
4
V = πR 3 , (4.27)
3
hmotnost pak
4
m = πR 3 ρv , (4.29)
3
a účinný průřez odpovídá kruhu o poloměru R:
S = πR 2 . (4.30)
Z Newtonova vztahu pak dostáváme:

14
Čím méně výkonný laser, tím náročnější je kalibrace. Pro lasery s výkonem použitelný v gymnasiálním
prostředí nebylo měření prováděno, ale zřejmě není vyloučena jeho úspěšná realizace

31

2mg 8πR 3 ρv g 8 Rρv g
vm = = 2
= , (4.31)
c x ρvz S 3c x ρvz πR 3c x ρvz
po dosazení získáme hodnotu 7,4 ms-1. Použití Newtonova vztahu se jeví jako dobrá
aproximace v kontextu našich experimentálních poznatků. Pro volný pád se úloha redukuje
pouze na dosazení do vztahu:
v = 2hg , (4.32)
čímž získáme hodnotu v = 150 ms-1. Je tedy zřejmé, že pro případ padající kapky nelze
aproximovat na bezodporové prostředí.

Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací

Similar a Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací (20)

Más de Michal Černý

Más de Michal Černý (20)

Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací