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1.
グレブナー基底 を求める @𝑡𝑎𝑘𝑎𝑦𝑢𝑡𝑎1999
2.
ブッフバーガーのアルゴリズム ・みんな覚えてますよね?
3.
復習 𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡 多項式集合𝐹 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 <𝐹>のグレブナー基底 𝐷
∶= 𝐹 の相異なる元の組 , 𝐺 ∶= 𝐹 とする 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 𝐷 が空でない 𝑑𝑜 𝐷 から一個取り除く 除いた要素間の 𝑆 多項式を計算する その多項式を 𝐺 で簡約して正規形 𝑟 を計算する 𝑖𝑓 𝑟が 0 でない 𝐷 に ( 𝐺 , 𝑟 ) を追加 𝐺 に 𝑟 を追加 𝑒𝑛𝑑 𝑖𝑓 𝑒𝑛𝑑 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑢𝑟𝑛 𝐺
4.
ブッフバーガーのアルゴリズム ・このアルゴリズムは有限回で終了する ・ということは有限回でグレブナー基底が得られる! ・やったぜ! ・….. ・ん?
5.
ブッフバーガーのアルゴリズム “有限回”
6.
復習(2) 𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡 多項式集合𝐹 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 <𝐹>のグレブナー基底 𝐷
∶= 𝐹 の相異なる元の組 , 𝐺 ∶= 𝐹 とする 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 𝐷 が空でない 𝑑𝑜 𝐷 から一個取り除く 除いた要素間の 𝑆 多項式を計算する その多項式を 𝐺 で簡約して正規形 𝑟 を計算する 𝑖𝑓 𝑟が 0 でない 𝐷 に ( 𝐺 , 𝑟 ) を追加 𝐺 に 𝑟 を追加 𝑒𝑛𝑑 𝑖𝑓 𝑒𝑛𝑑 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑢𝑟𝑛 𝐺 実際、何回くら い?
7.
実験 • 試した(順序は全次数逆辞書式順序) • 3変数5式、5変数5式、5変数8式を試した (これはランダム生成)
8.
3変数5式の時 • −30𝑎2 𝑏
− 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐
9.
3変数5式の時 • −30𝑎2 𝑏
− 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐 10秒くらいかかる 𝐷に追加されるのは大体700回ぐらい
10.
5変数5式の時 • 42𝑐2 𝑒2
+ 29𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒 + 19𝑎𝑏2 𝑑2 • 35𝑏2 𝑐 + 52𝑎𝑏2 𝑐𝑑2 𝑒2 + 46𝑐2 𝑑 − 5𝑎𝑑𝑒2 − 3𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒2 • 37𝑎𝑏𝑐𝑑 • −5𝑎𝑏𝑒 + 30𝑎𝑐2 𝑑2 𝑒 • −31𝑎𝑐2 + 51𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑 めっちゃはやい 250回ぐらいしか判定しない
11.
5変数8式の時 たくさん
12.
5変数8式の時 たくさん 終わらない><
13.
高速化 • やっぱりあそこがたくさん回ってる • どうやって速くすればいいのかなあって思う
14.
その前に これから紹介する高速化は枝刈りで実際にオーダーがよ くなっているかは分かりません (そもそもブッフバーガーのオーダー自体 ここでは扱わない)
15.
高速化 • 何を速くしたいか 除いた要素間の 𝑆
多項式を計算する その多項式を 𝐺 で簡約して正規形 𝑟 を計算 する ここ!
16.
高速化 𝐺の元が大きくなりすぎるのは性質上しょうが ない だから、すごいたくさんあるやつの判定を軽く したい!! すなわち、𝐺の最終的な元の数を𝑁とすると、 𝑂 𝑁2 回の𝑆多項式の簡約を軽くしたい
17.
高速化−𝑖𝑑𝑒𝑎 𝑆多項式の性質を考える 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔𝑗
= 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑖 𝑔𝑖 − 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 𝑔𝑗 𝑇𝑖𝑗:𝐻𝑇(𝑔𝑖)と𝐻𝑇(𝑔𝑗)の𝐿𝐶𝑀
18.
高速化−𝑖𝑑𝑒𝑎 じっと眺める 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔𝑗
= 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑖 𝑔𝑖 − 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 𝑔𝑗
19.
高速化−𝑖𝑑𝑒𝑎 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗なら….
20.
高速化−𝑖𝑑𝑒𝑎 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗なら…. 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔𝑗 = 𝑇
𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔 𝑘 − 𝑇 𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑗𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑗, 𝑔 𝑘
21.
高速化-idea 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗なら 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔𝑗 = 𝑇
𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔 𝑘 − 𝑇 𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑗𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑗, 𝑔 𝑘 じゃん!!!!!!!!
22.
少し証明 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗なら𝑇𝑖𝑗𝑘 = 𝑇𝑖𝑗が𝐿𝐶𝑀の性質から成り立つから 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦
𝑔𝑖, 𝑔𝑗 = 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑖 𝑔𝑖 − 𝑇 𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 𝑔𝑗 𝑇𝑖𝑗𝑘 𝑇𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑖, 𝑔 𝑘 − 𝑇 𝑖𝑗𝑘 𝑇 𝑗𝑘 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦 𝑔𝑗, 𝑔 𝑘 = 𝑇𝑖𝑗𝑘( 𝑔𝑖 𝐻𝑀 𝑔𝑖 − 𝑔𝑖 𝐻𝑀(𝑔𝑖) ) − 𝑇𝑖𝑗𝑘( 𝑔𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 − 𝑔𝑖 𝐻𝑀(𝑔𝑖) ) = 𝑇𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑖 𝑔𝑖 − 𝑇𝑖𝑗 𝐻𝑀 𝑔𝑗 𝑔𝑗 やったね!
23.
つまり 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗ならば (𝑖, 𝑗に関する値) =ℎ𝑜𝑔𝑒(𝑖, 𝑘に関する値)+𝑓𝑢𝑔𝑎(𝑗,
𝑘に関する値)
24.
つまり 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗ならば (𝑖, 𝑗の判定) は 𝑖, 𝑘の判定
と (𝑗, 𝑘の判定) から分かる
25.
つまり 𝑇𝑘|𝑇𝑖𝑗ならば (𝑖, 𝑗の判定) は 𝑖, 𝑘の判定
と (𝑗, 𝑘の判定) から分かる これは、簡約の性質から0になるやつに多項式を掛けて 足しても0になるよねっという感じ
26.
つまり サボれるじゃん!! ただし、 𝑘のおかげで𝑖, 𝑗がサボれる 𝑗のおかげで𝑖,
𝑘がサボれる みたいになると結局進捗だめ(サボりすぎ)
27.
対策 適当に(𝑖, 𝑗)を消す順番を作る そうすると、順序が大きいやつは順序が小さ いやつから分かるみたいな状況になって重複 がなくなりハッピー
28.
例 適当に(𝑖, 𝑗)を消す順番を作る 𝑖 <
𝑗なる(𝑖, 𝑗)を𝑆多項式を計算する順番で 順序付けする とか(実際はもっといい順序がある)
29.
結果を見てみよう 実装してみた
30.
3変数3式の時 • −30𝑎2 𝑏
− 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐 めっちゃ速い 75回ぐらい
31.
5変数5式の時 • 42𝑐2 𝑒2
+ 29𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒 + 19𝑎𝑏2 𝑑2 • 35𝑏2 𝑐 + 52𝑎𝑏2 𝑐𝑑2 𝑒2 + 46𝑐2 𝑑 − 5𝑎𝑑𝑒2 − 3𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒2 • 37𝑎𝑏𝑐𝑑 • −5𝑎𝑏𝑒 + 30𝑎𝑐2 𝑑2 𝑒 • −31𝑎𝑐2 + 51𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑 もっとめっちゃはやい 36回ぐらい
32.
5変数8式の時 たくさん 2秒ちょっとで終わる!! 400回ぐらい
33.
つまり 速い!!
34.
ところで 散々グレブナー基底を求めてきたが、結局 方程式の解を求めてない
35.
ところで 散々グレブナー基底を求めてきたが、結局 方程式の解を求めてない 実装もしてない
36.
ところで 散々グレブナー基底を求めてきたが、結局 方程式の解を求めてない 実装もしてない じゃあグレブナー基底を見てみよう
37.
例3-5 • −30𝑎2 𝑏
− 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐 グレブナー基底は ・ 𝑐 ・ 𝑏2 ・ 𝑎2 𝑏
38.
例3-5 • −30𝑎2 𝑏
− 27𝑐 − 9𝑎𝑏2 𝑐2 • 11𝑎2 𝑏𝑐2 − 7𝑎𝑏𝑐2 + 33𝑎2 𝑏𝑐 + 50𝑎𝑏𝑐 • -43𝑎2 𝑏2 𝑐2 − 31𝑎𝑏𝑐 − 41𝑎2 𝑐2 + 9𝑎2 𝑏𝑐 • −2𝑎𝑏𝑐2 − 24𝑏2 • 21𝑐 − 39𝑎2 𝑏𝑐 + 7𝑎2 𝑐 − 51𝑎2 𝑏2 + 30𝑏2 𝑐 ということは 解は(0,0,0) ・ 𝑐 ・ 𝑏2 ・ 𝑎2 𝑏
39.
例5-5 • 42𝑐2 𝑒2
+ 29𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒 + 19𝑎𝑏2 𝑑2 • 35𝑏2 𝑐 + 52𝑎𝑏2 𝑐𝑑2 𝑒2 + 46𝑐2 𝑑 − 5𝑎𝑑𝑒2 − 3𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒2 • 37𝑎𝑏𝑐𝑑 • −5𝑎𝑏𝑒 + 30𝑎𝑐2 𝑑2 𝑒 • −31𝑎𝑐2 + 51𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑 グレブナー基底は 。。。。。。。
40.
例5-5 • 42𝑐2 𝑒2
+ 29𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒 + 19𝑎𝑏2 𝑑2 • 35𝑏2 𝑐 + 52𝑎𝑏2 𝑐𝑑2 𝑒2 + 46𝑐2 𝑑 − 5𝑎𝑑𝑒2 − 3𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑𝑒2 • 37𝑎𝑏𝑐𝑑 • −5𝑎𝑏𝑒 + 30𝑎𝑐2 𝑑2 𝑒 • −31𝑎𝑐2 + 51𝑎𝑏2 𝑐2 𝑑 難しそう…
41.
結果 結構解きやすい形になってくれている ただ変な基底になってつらくなることもある
42.
結果 グレブナー基底はすごい(コナミ) グレブナー基底を求めてから解を求めるのは 実はすごいきれいにできる グレブナー基底♪
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