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IJPC-2 D問題解説
- 2. 問題概要 𝑁頂点からなる重み付き木AとBが与えられる どちらも、1～𝑁の頂点がある 異なる二頂点の組であって、どちらの木においてもpath 上の最大重みが等しくなるような組の数を求めよ。
- 3. 解法 path上の最大重みを求めるときにO(loglog)にする一般 的なテクを思い出す Union Find に小さい辺から入れていってつないでいけ ばよさそう?
- 4. 解法-part 1 与えられた木を短い順に辺を加えていって、UFでrootど うしをつなげて得られる木に組み替える （同じ長さの辺は適当な順番で加えていく） そうするとどのような性質が見られるだろうか
- 9. 例を見る このUFで組み替えた木の性質を見る 一つ、pathの最大重みはLCAの右側の長さなり 二つ、辺はそれを斬って分割される木の内、根を含まな い方の木に含まれるいかなる辺以上の長さをもつ 三つ、どの頂点においても、その頂点から子に向かって 出る辺は右に行くほど長くなる（長さが同じことも） 四つ、この木の高さはO(logN)である
- 10. 証明っぽいコメント 一つ、二つはUnion Find でつなげる過程を見れば示せ る 三つ、はこうなるようにソートしたからそうでなきゃだめ 四つ、はUnion Find で rank や node 数を見て親を決め る際に高さが低くなるように組むからこれも成立 以下、辺が小さい方から大きい方に行くのを右に行く、と 呼ぶことにして、左に行く、も同様にその逆の意味で使う
- 11. これらの性質を使って これらの性質を使って、実際に何組あるか数えていきた い（だから、AとBにこの変換を施しておく） やっぱり木の高さがlogオーダーであることは強いので、 これを利用することを考える そうすると、頂点の組に対して、一方の頂点を固定して 被らないようにうまく何通りあるかが分かれば、数え上げ られると分かる 諸事情により、あらかじめ左から右に向かっての順番で 根から行きがけ順の値を計算しておきます
- 12. 一方を固定して 一方を固定してどうすれば、重複がないようにできるか を考える このとき、以下の制限上で数え上げればよい まず、固定する頂点をAの木においてはaであり、Bの木 においてbであると表す（実際は同じ頂点ではあるが） このとき、aから考える経路としては、aから少なくとも1回 以上親に向かってのぼっていき、そこからそこに登って 行った辺よりも左側の辺に向かって降りていくものだけを 考えればよい
- 13. 一方を固定して 次に、bの動きとしては、aですでに重複が消されている ので重複は考えなくていいが、以下の二つの場合分けを する 一つ、bから少なくとも1回以上登って行って、そこから左 へ0回以上曲がる 二つ、bから少なくとも0回以上登って行って、そこから右 へ1回以上曲がる
- 16. 場合分け(1) つまり、曲がる位置を決めたら、そこから左にどこまで曲 がろうと、関係ない しかも、この木の性質、三つ、から曲がる位置はa,bとも に、根までのpathにおいて連続的に存在するので、曲が る先の頂点の集合の行きがけ順の値は連続している よって、それぞれの行きがけ順の区間を[x,y],[z,w]とした とき、[x,y]にAでの行きがけ順が、[z,w]にBでの行きがけ 順が入っている頂点の個数を数えればよい
- 19. 場合分け(2) つまり、曲がる位置を決めたら、そこから左にどこまで曲 がろうと、関係ないが、bが右に曲がる位置は全部試す と間に合わない そこで、この木の性質、二つ、三つ、を利用すると、曲が るべき位置は行きがけ順で連続する よって、それぞれの行きがけ順の区間を[x,y],[z,w]とした とき、[x,y]にAでの行きがけ順が、[z,w]にBでの行きがけ 順が入っている頂点の個数を数えればよい
- 21. まとめ これは、O((長方形と点）*logN)でできるので、つまり、全 体としての計算量はO(Nlog^2N)で解くことができる めでたしめでたし （部分点については省略します）