3. 2
Το παρόν τεύχος με τίτλο: «Θέματα κατανόησης και εμβάθυνσης Άλγεβρας Β΄ Γυμνασίου»
έχει ως σκοπό, να αποτελέσει ένα σημαντικό συμπλήρωμα στο διδακτικό εγχειρίδιο και να
διευκολύνει τους/ις μαθητές/ριες να κατανοήσουν σε βάθος τις βασικές έννοιες της
άλγεβρας της Β΄ Γυμνασίου. Τα θέματα απευθύνονται σε όλους τους/ις μαθητές/ριες,
ωστόσο υπάρχουν και θέματα που απευθύνονται σε όσους/ες έχουν μεγαλύτερο
ενδιαφέρον για τα μαθηματικά. Ο εκπαιδευτικός θα χρησιμοποιήσει το παρόν υλικό με
κατάλληλο τρόπο ώστε να αποτελέσει ένα ουσιαστικό βοήθημα για κάθε μαθητή/ια της Β΄
Γυμνασίου.
Εκτός από το σκοπό των προτεινομένων θεμάτων θεωρούμε χρήσιμο να πούμε
γενικότερα δύο λόγια για τους στόχους της διδασκαλίας των μαθηματικών στο γυμνάσιο και
ειδικότερα στην Β΄ Γυμνασίου και με ποιο τρόπο οι εκπαιδευτικοί των Εκπαιδευτηρίων Γ.
Ζώη, μέσω της διδασκαλίας, προσπαθούν να τους προσεγγίσουν.
Τα Μαθηματικά που διδάσκονται στο Γυμνάσιο αποτελούν συνέχεια των μαθηματικών
του δημοτικού, ωστόσο εκείνο που αποτελεί μια σημαντική διαφορά είναι η μετάβαση από
την αριθμητική στην άλγεβρα, που αποτελεί για τους μαθητές/ριες ένα κομβικό σημείο στην
διδασκαλία των μαθηματικών κυρίως της Β΄ Γυμνασίου. Αυτή η μετάβαση είναι κρίσιμη διότι
οι μαθητές/ριες εισάγονται σε ένα πιο μαθηματικό και αφηρημένο τρόπο σκέψης. Οι
εκπαιδευτικοί του σχολείου μας, ενημερωμένοι πλήρως γι’ αυτή την κρίσιμη μετάβαση,
αντιμετωπίζουν το θέμα με ιδιαίτερη ευαισθησία και γνώση.
Βασικά στοιχεία της αλγεβρικής και γενικότερα της μαθηματικής σκέψης είναι η χρήση
ορολογίας και συμβολισμού, οι ορισμοί των εννοιών και η δικαιολόγηση των ισχυρισμών.
Στην προσέγγιση αυτών των στόχων, μέσω της διδασκαλίας, συμβάλλουν:
Η ένταξη των προϋπαρχουσών μαθηματικών γνώσεων των μαθητών σ’ ένα πιο θεωρητικό
πλαίσιο σε σχέση με αυτό του δημοτικού, που τις επεκτείνει και τις εμβαθύνει.
Η ενεργητική εμπλοκή των μαθητών στη διερεύνηση προβλημάτων, στη δημιουργία και
τον έλεγχο εικασιών, στην μετάφραση από τη φυσική στη μαθηματική γλώσσα και στην
ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσης προβλήματος.
Οι συνδέσεις μεταξύ των μαθηματικών εννοιών, αλλά και μεταξύ των Μαθηματικών και
άλλων επιστημονικών τομέων.
Η ανάπτυξη της ικανότητας να χρησιμοποιούν οι μαθητές/τριες τα Μαθηματικά ως
εργαλείο κατανόησης και ερμηνείας του κόσμου.
Η θεώρηση των Μαθηματικών ως πολιτισμικό, ιστορικά εξελισσόμενο ανθρώπινο
δημιούργημα.
Αν η διδασκαλία των Μαθηματικών εξαντλείται μόνο σε απλή εκμάθηση διαδικασιών και
τεχνικών επίλυσης ασκήσεων, τότε δεν επιτυγχάνονται οι παραπάνω στόχοι και οι
μαθητές/ες χάνουν πολύτιμα στοιχεία από το ουσιαστικό περιεχόμενο των μαθηματικών και
του μαθηματικού τρόπου σκέψης. Αναγκαία προϋπόθεση για την προσέγγιση αυτών των
στόχων είναι η προσπάθεια για εννοιολογική κατανόηση των Μαθηματικών. Για αυτό
επιβάλλεται να αφιερωθεί περισσότερος χρόνος στην κατανόηση και εμπέδωση των
μαθηματικών εννοιών καθώς και τη χρήση τους στην επίλυση προβλημάτων.
Με τις παραπάνω σκέψεις θεωρούμε ότι το παρόν τεύχος θα αποτελέσει ένα απαραίτητο
συμπλήρωμα του διδακτικού εγχειριδίου στην προσπάθεια του εκπαιδευτικού να
διευκολύνει τους/ις μαθητές/ιες να αποκτήσουν ισχυρές βάσεις στα μαθηματικά του
γυμνασίου και στον μαθηματικό τρόπο σκέψης γενικότερα.
14. 13
5. Να λυθούν οι εξισώσεις :
i. -2(x – 3) +4 = -3(x + 2) – 3x – 26
ii. 1 –
3x − 5
3
=
2x
5
+
1
2
iii.
2x − 3
4
−
1 −4x
2
=
3x− 1
3
iv.
5x−1
2
+
−x−3
5
= -20 +
6x −5
10
6. Στο παρακάτω σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Να βρείτε: α) Το x. β) Την περίμετρο του ορθογωνίου.
15. 14
7. Το παρακάτω τρίγωνο έχει
περίμετρο 160.
α) Να βρείτε τον αριθμό x.
β) Να αποδείξετε ότι το
τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
16. 15
8. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΗ
I. Ένας δρόμος έχει μήκος 500 m. Θέλουμε να τοποθετήσουμε στο δρόμο 6
κολώνες φωτισμού ως εξής: Η πρώτη κολώνα θα τοποθετηθεί στα 100 m από
την μια άκρη του δρόμου και η τελευταία στα 50 m από την άλλη άκρη του.
Μεταξύ τους η κολώνες θα απέχουν ίσες αποστάσεις έστω x m. Να βρείτε την
εξίσωση η οποία θα μας βοηθήσει να υπολογίσουμε τον άγνωστο x.
II. Δύο βρύσες γεμίζουν μια δεξαμενή χωρητικότητας 2 m
3
. Η πρώτη με ταχύτητα x
λίτρα την ώρα και η δεύτερη με ταχύτητα δύο λίτρων την ώρα λιγότερο από την
πρώτη. Η δεξαμενή γεμίζει σε 6 ώρες. Να βρείτε την εξίσωση με την βοήθεια της
οποίας θα υπολογίσουμε την ταχύτητα με την οποία οι δύο βρύσες γεμίζουν την
δεξαμενή.
III. Το
1
3
του αθροίσματος δύο διαδοχικών περιττών ακεραίων είναι ίσο με τα
2
3
άρτιου ακεραίου x που βρίσκεται μεταξύ τους. Να γράψετε την εξίσωση που
περιγράφεται από την παραπάνω πρόταση.
IV. Τρεις διαδοχικοί περιττοί αριθμοί έχουν άθροισμα 33. Να βρεθούν οιαριθμοί.
V. Η γιαγιά μου στο χωριό έχει κότες και κουνέλια. Αν τα ζώα έχουν όλαμαζί 50
κεφάλια και 160 πόδια, να βρεθούν πόσες είναι οι κότες καιπόσα τα κουνέλια.
VI. Δυο αριθμοί διαφέρουν κατά 7 και ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου.Ποιοι είναι
αυτοί οι αριθμοί ;
18. 17
3. Ποιοι από τους επόμενους αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι ;
3,1211211
3,121121121...
3,1211211222122221...
7,07007000700007...
4. Στο πιο κάτω σχήμα τα ΑΒΓΔ και ΒΓΕΖ είναι τετράγωνα και η διαγώνιος
ΔΒ = √2 . Να υπολογίσετε τη διαγώνιο ΔΖ .
Α Β Ζ
Δ Γ Ε
5. Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι 4 cm , να υπολογίσετε το εμβαδόν
του.
6. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις :
√32 - √18 + √8 - √50 =
√27
3
+
√75
5
+
√12
2
=
20. 19
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
Συναρτήσεις
1. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με Σ αν είναι σωστές και με Λ αν
είναι λανθασμένες
α) Η ευθεία y = x + 1 διέρχεται από το σημείο (1, 2)
β) Η ευθεία y = 3x + 1 έχει κλίση 3
γ) Η ευθεία y = x + 2 τέμνει τον άξονα των x στο σημείο (1 , 2)
δ) Η εξίσωση x = 4 δεν είναι εξίσωση ευθείας
ε) H εξίσωση y = 3 παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα των x
2. Από τις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση
Η ευθεία y =
1
3
x - 2
α) έχει κλίση Α. 2 Β. 3 Γ. 1 Δ.
1
3
β) διέρχεται από το σημείο Α. (0 , 0) Β. (1, 1) Γ. (1, 3) Δ. (3 , 1)
γ) Είναι παράλληλη στην ευθεία
Α. y = 3x Β. y = 3x + 11 Γ. y =
1
3
x + 2 Δ. y =
1
3
x
3. α) Να βρείτε ποια από τα σημεία Α( 1, 1), Β(2, 3), Γ( 2 , 1),
Δ(0, 1) βρίσκονται στην ευθεία y = 2x 1
β) Να βρείτε τρία άλλα σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία
21. 20
4. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με Σ αν είναι σωστές και με Λ αν
είναι λανθασμένες
α) Η ευθεία y = x + 1 διέρχεται από το σημείο (1, 2)
β) Η ευθεία y = 2x +4 τέμνει τον άξονα των y στο σημείο (0, 4)
γ) Η ευθεία y = 3x + 1 έχει κλίση 3
δ) Η ευθεία y = x – 2 τέμνει τον άξονα των x στο σημείο (1 , 2)
ε) Η εξίσωση x = 4 δεν είναι εξίσωση ευθείας
στ) H εξίσωση y = 3 παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα των x
5. Από τις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση
Η ευθεία y = x – 6
α) έχει κλίση Α. - 6 Β. 6 Γ. 1 Δ. – 1
β) διέρχεται από το σημείο Α. (0 , 0) Β. (1, 3) Γ. (1, 5) Δ. (3 , 1)
γ) Είναι παράλληλη στην ευθεία
Α. y = 6x Β. y = x + 11 Γ. y = - x + 2 Δ. y = 6 x + 2
6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία
Α(0, 2) και Β(1 , 4)
7. Μία δεξαμενή με νερό άρχισε να αδειάζει από μία βρύση που είναι στην
βάση της.
Ο όγκος του νερού μέσα στη δεξαμενή μετά χρόνο t ώρες είναι
V = 400,4t
Να βρείτε
22. 21
α) Πόσος ήταν ο όγκος του νερού πριν το άνοιγμα της βρύσης
β) Σε πόσες ώρες θα αδειάσει η δεξαμενή
γ) Να κάνετε την γραφική παράσταση της παραπάνω σχέσης
8. Ένα ξενοδοχείο έχει ημερήσια έξοδα 1200 €. Το κόστος διανυκτέρευσης
είναι 40 € και τα κρεβάτια του ξενοδοχείου είναι 200.
α) Να βρείτε πόσους τουλάχιστον πελάτες πρέπει να έχει το ξενοδοχείο
ώστε να μην έχει ζημιά.
β) Να εκφράσετε το κέρδος y του ξενοδοχείου συναρτήσει των πελατών
του x.
γ) Ποιο είναι το μέγιστο ημερήσιο κέρδος του ξενοδοχείου;
9. Να βρείτε την τιμή του κ ώστε οι ευθείες y = (2κ +1)x +3 και
y = ( 4κ + 5)x 6 να είναι παράλληλες.
Στη συνέχεια να κάνετε την γραφική τους παράσταση
10. Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 4x + 3 αν x ≥ 0 και
της συνάρτησης y = 3x + 1 αν 0 x 2
11.Έστω η εξίσωση y = αx 1. Να βρείτε το α αν γνωρίζεται ότι η γραφική
παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ( 2 , 7) και να κάνετε γραφική
παράσταση
12. Έστω η ευθεία y = 2x + 1 .
α) Να βρείτε τα σημεία Α και Β στα οποία αυτή τέμνει τους άξονες x΄x
και y΄y αντίστοιχα.
β) Να κάνετε γραφική παράσταση
γ) Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ (Ο = η αρχή των αξόνων )
23. 22
13. Να βρείτε τα κ και λ ώστε η ευθεία y = κx + λ να τέμνει τους άξονες
στα σημεία Α(0, 4) και Β(3, 0).
14. Ο λογαριασμός του Ο. Τ. Ε έχει πάγιο τέλος 10 € και κάθε μονάδα
κλήσης κοστίζει 0,30 €. Να βρείτε τη συνάρτηση που μας δίνει το
κόστος του λογαριασμού συναρτήσει των μονάδων κλήσης και να
κάνετε την γραφική παράσταση αυτής για 0 έως 10 κλήσεις.
15. Αν η ευθεία y = (λ 5)x + 2κ 3 είναι παράλληλη στην y = 6x + 3 και
διέρχεται από το σημείο Α(0, 3), να βρείτε της τιμές των κ και λ.
16.Ένας εμπορικός αντιπρόσωπος έχει μηνιαίο μισθό 850 € και προσαύξηση
10% επί των πωλήσεων.
α) Να βρείτε το μηνιαίο μισθό y συναρτήσει των πωλήσεων x.
β) Πόσες πρέπει να είναι οι πωλήσεις ώστε ο μηνιαίος μισθός να είναι
1200 €
17. Αν οι ευθείες x + 2y = 2 και μx + (μ 5)y = 6 τέμνουν τον άξονα των y
στο ίδιο σημείο, να βρείτε το μ.
18. Να γράψετε δύο εξισώσεις ευθειών, οι οποίες
α) Διέρχονται από το σημείο Α(1, 2)
β) Έχουν κλίση 3
24. 23
19. Να κατασκευάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις
των συναρτήσεων:
α) y=5x, y=5x-2, y=5x+1
β) y=-2x, y=-2x+1, y=-2x+4
γ) y= x, y= x-4, y=x+1
20.Να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
α) y=2x, αν 0 <x <5
β) y= x, αν x>4
γ) y= -5x, αν x > -1
δ) y= 6x-5, αν 1 <x <2
ε) y=2x+3, αν -1 < x < 1
21. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση είναι
ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο
Α(-1, 2).
22. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση είναι
ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και
σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία 450.
23. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση είναι
ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι
παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y=4x-5.
24. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση είναι
ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0, 3) και Β(1, 4).
25. 24
25. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση είναι
ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από το σημείο Α(2, 5) και είναι
παράλληλη στην ευθεία y= x+11.
26. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση είναι
ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από το σημείο Α(3, 6) και σχηματίζει με
τον οριζόντιο άξονα γωνία 450.
27. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1, 1), Β(0,-1) και Γ(2, -1) σχηματίζουν
ισοσκελές τρίγωνο.
28. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(2, 2), Β(0,-1) και Γ(3, -3) σχηματίζουν
ορθογώνιο τρίγωνο.
29. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες, των παρακάτω ευθειών:
α) y=4x-2
β) y=-x+3
γ) y= x+2
δ) y=3x-6
ε) y=-7x+10
29. 28
2. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του παρακάτω τριγώνου
ΑΒΓ που έχει ΑΒ = 13cm, ΑΓ = 15cm και ΑΔ = 12cm.
3. Στο ορθογώνιο τραπέζιο είναι ΑΒ= 19cm , ΒΓ = 10cm και ΓΔ =25cm .
Να υπολογίσετε την περίμετρό του και το εμβαδόν του.
30. 29
4. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΔ = 15cm , ΓΔ = 20cm και ΒΓ = 30cm Να
υπολογίσετε το εμβαδόν του σχήματος.
5. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 48cm, να δείξετε : Α) ότι είναι
ορθογώνιο, Β) να βρείτε το εμβαδόν του και Γ) να υπολογίσετε το
ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.
6.
31. 30
6. Η υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ είναι ΒΓ = 20 cm και
η μία κάθετη πλευρά του είναι ΑΒ = 16 cm . Να υπολογίσετε την
πλευρά ΑΓ .
7. Να εξετάσετε αν είναι ορθογώνιο το τρίγωνο με πλευρές 10 cm , 12 cm
και 14 cm .
8. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει διαστάσεις 36 cm και 27 cm .
Να υπολογίσετε τη διαγώνιό του .
9. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = ΑΓ =10 cm και ΒΓ =16 cm .
Να υπολογίσετε το ύψος του τριγώνου που φέρνουμε από την κορυφή
Α .
32. 31
1. Να εξετάσετε αν είναι σωστές ή λανθασμένες οι παρακάτω προτάσεις:
(α) Υπάρχει εγγεγραμμένη γωνία που δεν ισούται με το μισό της
αντίστοιχης επίκεντρης
(β) Υπάρχουν εγγεγραμμένες γωνίες μεγαλύτερες των
o
180
(γ) Αν σε ένα κύκλο φέρουμε δύο κάθετες χορδές τότε καθένα από τα
τέσσερα τόξα είναι ίσα με
o
90
(δ) Αν σε ένα κύκλο φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους τότε κάθε
εγγεγραμμένη που βαίνει σε καθένα από τα τέσσερα ίσα τόξα είναι ίση
με
o
45
(ε) Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνει σε τόξο
o
45 είναι
o
90
.
2. Να εξετάσετε αν είναι σωστές ή λανθασμένες οι παρακάτω προτάσεις:
(α) Οι πλευρές μιας εγγεγραμμένης γωνίας είναι ακτίνες του
κύκλου
(β) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ενός κύκλου είναι ίση με το μισό
κάθε επίκεντρης γωνίας του ίδιου κύκλου
(γ) Η εγγεγραμμένη γωνία ενός κύκλου που βαίνει σε
ημικύκλιο είναι ορθή
(δ) Οι εγγεγραμμένες γωνίες του ίδιου κύκλου που βαίνουν σε
ίσα τόξα είναι ίσες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Κύκλος
33. 32
(ε) Η επίκεντρη γωνία είναι ίση σε μοίρες με το μισό της
εγγεγραμμένης που βαίνει στο ίδιο τόξο με αυτήν
4. Σε κύκλο διαμέτρου ΑΒ φέρουμε τις χορδές ΚΑ και
ΚΒ, ώστε KA 3 cm
και KB 4 cm
. Να βρείτε το
μήκος του κύκλου.
3. Θεωρούμε τον κύκλο
O,ρ
και την
διάμετρο ΒΓ αυτού. Το σημείο Α είναι στον
κύκλο. Αν το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισόπλευρο,
να βρεθούν οι γωνίες φ, θ, ω και κ.
