Análisis combinatorio: Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, de placas o de loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.
Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio nos va a servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades.
3. Si un evento o suceso “A” puede ocurrir, en forma independiente, de “m”
maneras diferentes y otro suceso “B” de “n” maneras diferentes, entonces el
número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es “m.n”
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Ejemplo: En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos : RACING,
BOCA ,ESTUDIANTES, VELEZ , disputan el primer y segundo lugar (campeón y
subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos
lugares?
1° PUESTO 2° PUESTO
12
El primer lugar puede ser
ocupado por cualquiera de
los cuatro equipos.
El segundo lugar puede ser
ocupado por cualquiera de los
otros tres equipos que restan.
Maneras
diferentes de
ubicación.
Solución:
4. El ejemplo anterior, también, admite solución a través del
“DIAGRAMA DE ÁRBOL”
1° PUESTO
2° PUESTO 1° 2°
Resultados
VELEZ
ESTUDIANTES
BOCA
RACING
Existen 12
maneras
diferentes en
que estos
equipos pueden
ubicarse en el
primer y
segundo lugar.
5. PERMUTACIÓN
IMPORTA EL ORDEN Y SE UTILIZAN TODOS LOS
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Hay dos tipos:
Permutaciones
ordinarias (sin
repetición)
Permutaciones
con repetición
6. Permutaciones ordinarias
Son las distintas formas de ordenar n elementos. Cada forma de
ordenarlos es una permutación.
El número de permutaciones de n elementos se representa por:
Con:
Por convenio se definen 1! = 1 y 0! = 1.
Ejemplo: En el bombo de un juego de lotería, quedan 5 bolas. ¿De cuántas formas
podrán salir las cinco bolas?
55!
1° BOLA 2° BOLA 3° BOLA 5° BOLA4° BOLA
La 1° bola en
salir podrá ser
cualquiera de
las 5.
La 2° bola en
salir podrá ser
cualquiera de
las 4 restantes.
La 3°bola en
salir podrá ser
cualquiera de
las 3 restantes.
La 4° bola en
salir podrá ser
cualquiera de
las 2 restantes.
Y la 5° bola en
salir podrá la
ultima que
queda.
1204 3 2 1
Solución:
7. Permutaciones con repetición
Dados n elementos, de los cuales el primer elemento se repite a veces, el
segundo b veces, ..., el último r veces (a + b + ..... + r = n), llamaremos
“permutaciones con repetición ” de esos n elementos a los distintos grupos
que se pueden formar. La única diferencia entre los grupos está en el orden
de colocación de sus elementos distinguibles.
El número de permutaciones con repetición de n elementos se representa
por:
Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?
P
1,1,2,3
7 =
Con:
a = 3 (círculos)
b = 2 (cuadrados)
c =1 (triángulo)
d =1 (hexágono)
420
2
7654
112!3
7654!3
!1!1!2!3
!7
xxx
xxx
xxxx
xxx
Solución:
9. Combinaciones ordinarias
Combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (n m) son los
distintos grupos que se pueden formar con los m elementos disponibles, de
modo que en cada grupo haya n elementos distintos. En este caso para que
dos grupos sean distintos, han de tener algún elemento diferente; no basta
con que tengan distinto orden de colocación. Se representa por o y
su valor viene dado por:
Ejemplo 5: Una señora tiene 3 frutas: manzana(M), fresa(F) y piña(P).
¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas?
Solución: Se puede escoger 1 fruta de 3 ó 2 frutas de 3 ó las 3 frutas de 3; por lo tanto
usamos el principio de adición aplicado a la combinación:
CCC
3
3
3
2
3
1
7133
123
123
12
23
1
3
xx
xx
x
x
# Maneras diferentes =
# Maneras diferentes=
Total de sabores diferentes: 3 + 3 + 1 = 7
