Seminário sobre Otimização Convexa e implementações utilizando CVX.

1. Seminário Introdução à Otimização Convexa Resolução de problemas utilizando CVX Guilherme Varela Barbosa Rodrigo Carneiro Brandão Rodrigo de Oliveira Matos

3. Breve Histórico de Otimização 1939-1945: A otimização teve início durante a 2 a Guerra Mundial. 1947: Início do interesse das indústrias na utilização das técnicas desenvolvidas na área militar, para auxiliar no planejamento e controle da produção. 1949: George B. Dantzig apresenta o Método Simplex para resolver problemas de otimização linear (equações e (ou) inequações lineares).

5. Otimização Harrel et al. (2000) define otimização como o processo de tentar diferentes combinações de valores para variáveis que podem ser controladas (variáveis independentes), buscando a combinação de valores que leva à saída mais desejada. De acordo com Torga (2007), a procura pela solução ótima pode ser conduzida manualmente ou automatizada com algoritmos especialmente designados para procurar a solução ótima sem executar a avaliação de todas as soluções possíveis.

8. Programação Linear 20 15 10 5 5 10 x y Figura 1: Gráfico da função y = 2x Exemplo: Função y = 2x , y = f(x) , x = Valores de 0 a 10 2 * X = Y 2 * 0 = 0 2 * 1 = 2 2 * 2 = 4 2 * 3 = 6 2 * 4 = 8 2 * 5 = 10 2 * 6 = 12 2 * 7 = 14 2 * 8 = 16 2 * 9 = 18 2 * 10 = 20

10. Programação Não-Linear Figura 2: Gráfico da função y = X 2 Exemplo: Função y = x 2 , y = f(x) , x = Valores de 0 a 10 X 2 = Y 0 2 = 0 1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

11. De acordo com Winston (2001), para determinar se o problema de PNL possui solução ótima ou não, é necessário definir a função de concavidade e convexidade . Programação Não-Linear

14. São exemplos de funções convexas: Figura 5: Função convexa Figura 6: Função convexa

16. São exemplos de funções côncavas: Figura 9: Função côncava Figura 10: Função côncava

18. Conjunto Convexo Um conjunto é convexo se, dados dois pontos X 1 e X 2 do conjunto, o segmento que os une também pertence ao conjunto. S = { x | x =  x 1 + ( 1 –  ) x 2 , 0  1 } Figura 11: Conjunto Convexo Figura 12: Conjunto Não Convexo Fonte: H. Hindi – A Tutorial on Convex Optimization

20. Otimização Convexa - Formulação geral

23. Segundo D.P. Bertrekas (1999) Se : Sujeito a fi (x) (convexas) hi (x) (afins) Os três primeiros problemas são eliminados Mesmo assim : A baixa taxa de convergência permanece como problema.

24. De acordo com A. Nemirovskii (1994) , até o final dos anos 80 e 90, foi descoberto na antiga União Soviética e Estados Unidos que: Se: fi (x) (além de convexas) fosse baseada no método de pontos interiores , o problema de baixa taxa de convergência seria evitado .

25. Otimização convexa Base matemática:

26. Otimização Quase Convexa

27. Otimização Quase Convexa Figura 13: Função quase convexa Fonte: H. Hindi – A Tutorial on Convex Optimization

28. Figura 14: Função quase-convexa entre x e y Fonte: H. Hindi – A Tutorial on Convex Optimization . Otimização Quase Convexa

31. Problemas de Otimização Convexa (Forma Padrão) O problema encontra-se na forma padrão A inequação de restrição não é convexa Não. A equação de restrição não é afim

32. Problemas de Otimização Convexa (Forma Padrão)

33. A interpretação geométrica para esse fato é apresentado na figura abaixo: Figura 15: Interpretação geométrica para problema convexo Fonte: S.P. Boyd Convex Optimization A região realizável é mostrada na parte escura. Algumas curvas de nível da função objetivo são mostradas nas linhas pontilhadas. O ponto mostrado é ótimo. Figura 16: Poliedro – Região Realizável Fonte: S.P. Boyd Convex Optimization

38. Método de Newton para Problemas de Minimização com Restrições de Igualdade.

43. Método da barreira

60. Arranjo de Antenas

61. Arranjo de Antenas

62. Ilustração do problema Figura 18 – A figura apresenta um arranjo linear de N antenas isotrópicas e uma onda harmônica plana incidindo de uma direção Fonte: S.P. Boyd Convex Optimization

63. Ilustração do problema Figura 19 – A figura A apresenta o diagrama de irradiação para um arranjo de antenas cuja diretividade não é particularizada. Fonte: S. Boyd, H. Lebret , Antenna Array Pattern Synthesis via Convex Optimization

65. Ilustração do problema Figura 21: Diagrama de Irradiação para arranjo otimizado Fonte: S. Boyd, H. Lebret , Antenna Array Pattern Synthesis via Convex Optimization A figura 21 apresenta o diagrama de irradiação do arranjo após o processo de otimização e o vetor peso w.

68. Agradecimentos Agradecemos ao Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães (Inatel) pelo apoio e material disponibilizado; Ao Prof. Dr. Takaaki Ohishi (Unicamp) pela valiosa orientação e atenção; Ao Prof. Dr. Paulo Augusto Valente Ferreira (Unicamp) pela valiosa orientação e atenção.

70. Referências Bibliográficas D.P. Bertrekas. Nolinear Programming . Athena Scientific,1999 HARREL, Charles R.; GHOSH, Biman K.; BOWDEN, Royce. Simulation Using ProModel . New York, McGraw-Hill, 2000. O.M Bucci, D. D’Elia, G. Mazzarella, and G. Panatiello, “Antenna pattern synthesis: A new approach,”Proc.IEEE, vol.82,pp.358-357, Mar. 1996. S.P. Boyd and L. Vandenberghe. Convex Optimization, Cambridge University Press, 2003. In press. Material avaible at www.stanford.edu/~boyd

71. TORGA, Bruno Lopes Mendes. Modelagem, Simulação e Otimização em Sistemas Puxados de Manufatura . Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção). UNIFEI. Itajubá-MG. 2007. WINSTON, Wayne; ALBRIGHT, S. Christian. Practical Management Science . 2nd, Duxbury Thomson Learning, 2001. Y. Nesterov and A. Nemirovskii. Interior-Point Polynomial Methods in Convex Programming . Society for Industrial and Applied Mathematics, 1994.