programacion lineal

1. Programaci
ón
lineal
Introducción
a la
Por Luis Lara.
Profesor de
Matemáticas de la IEP
20523 “C.J”-Supe

2. Problema 1
Un artesano teje mantas de alpaca y algodón,
mensualmente puede tejer desde 10 hasta 60 mantas
de alpaca y a lo más un número de 120 mantas de
algodón. Si la ganancia por cada manta de alpaca es
de S/. 35 y por cada manta de algodón S/. 20,
¿cuántas mantas de cada tipo debe tejer al menos
para que maximice su ganancia?
Se sabe por experiencia propia que el artesano puede
tejer mensualmente a lo mas 160 mantas combinadas.

3. Resolución del ejercicio 1
Método gráfico

4. Debemos maximizar esta función ( función objetivo) sujeta a
las restricciones anteriores.
Primero dibujamos la región formada por el conjunto de
restricciones
Para encontrar la cantidad de mantas que debe tejer el artesano
para que su ganancia sea máxima usaremos una propiedad de
la programación lineal, que plantea: Que los valores que hacen
que nuestra función objetivo alcance su valor optimo se obtiene
evaluando la función en los vértices o aristas de la región
formada por el conjunto de restricciones llamada (Región
factible o Admisible)

5. Resolución del ejercicio 1
Restricciones

6. Evaluando:
Máxima Ganancia del
Artesano

7. Resolución del ejercicio 1
Debemos maximizar esta función sujeta a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones.
Dibujamos la recta
Que nos da la dirección de las rectas de nivel:
La máxima ganancia se obtiene en el punto de intersección de las rectas:
Es decir en el punto
Por lo tanto, debe tejer 60 mantas de alpaca y 100 de algodón.
La ganancia máxima será:

8. Resolución del ejercicio 1
Rectas de nivel
Restricciones

9. Problema
Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las
sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del
primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un
kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo
del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos
16 gramos del primer elemento y las cantidades del
segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20
gramos respectivamente; y la cantidad de A es como
mucho el doble que la de B.
Calcula los kilos de A y los de B que han de tomarse
para que el costo sea mínimo si un kilo de A vale 2
nuevos soles y uno de B 10 nuevos soles.

10. Resolución del ejercicio
4.1 Método gráfico

11. Resolución

12. Resolución

13. Animales
costo costo
s/ 5 s/ 3
ganancia
s/ 10
ganancia
s/ 7
Cuántos conejos y
cuyes sería
conveniente criar,
para obtener la
máxima ganancia
Problema

14. X conejos Y cuyes
costo
s/ 5 X
costo
s/ 3 Y
Modelación
s/ 210
cantidad cantidad
50
ganancia
s/ 10X
ganancia
s/ 7Y s/ 10X+7Y
maximizar

15. Modelo matemático
Función objetivo (maximizar)
( ; ) 10 7x yz f x y  
Sujeta a las restricciones
(Dominio)
50
5 3 210
x y
x y
 
 
0 0;x y 
Condiciones de
no negatividad
X
Y
Z
50
50
42
70
(30;20)
420
350
440
Solución que optimiza es y30 20
El valor optimo es 440

16. Orígenes de la PL
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton,
Leibnitz, Bernoulli y, sobre todo, Lagrange, se ocuparon de
obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas
funciones.
Posteriormente el matemático
francés Fourier (1768-1830) fue
el primero en intuir, aunque de
forma imprecisa, los métodos de
lo que actualmente llamamos
programación lineal.

17. Orígenes de la PL
El matemático Gaspar Monge (1746-
1818), también se interesó por
problemas de este género.
En el año 1939, el matemático ruso
Kantarovitch publica una extensa
monografía titulada Métodos matemáticos de
organización y planificación de la producción
en la que por primera vez se hace
corresponder a una extensa gama de
problemas; una teoría matemática precisa y
bien definida llamada, hoy en día,
programación lineal.

18. Orígenes de la PL
En 1941-1942 se formula por primera
vez el problema de transporte,
estudiado independientemente por
Koopmans y Kantarovitch, razón por
la cual se suele conocer con el
nombre de problema de Koopmans-
Kantarovitch.
Tres años más tarde, G. Stigler
plantea otro problema particular
conocido con el nombre de régimen
alimenticio optimal.

19. Orígenes de la PL
En 1947 Dantzig formula en
términos matemáticos, el
enunciado estándar al que
cabe reducir todo problema
de programación lineal.
Una de las primeras
aplicaciones de los estudios
del grupo SCOOP fue el
puente aéreo de Berlín.
Dantzig, junto con una serie
de investigadores del United
States Departament of Air
Force, formarían el grupo que
dio en denominarse SCOOP
(Scientific Computation of
Optimum Programs).

20. Puente aéreo de Berlín

21. La IO hoy en día
Actualmente la Investigación Operativa incluye gran cantidad de
ramas como:
La Programación Lineal y No Lineal, Programación Dinámica,
Simulación, Teoría de Colas, Teoría de Inventarios, Teoría de
Grafos, etc.
Se encuentra muy difundida, con aplicaciones en campos muy
variados y en particular muy unida a la Economía y a la Informática
y por supuesto a la Estadística y Teoría de Probabilidad,
constituyendo una materia con entidad propia.

22. Programación lineal

23. Utilidad de la PL
1
• Estudio de mercados.
2
• Planificación de la producción.
3
• Planificación de horarios.
4
• El problema de transporte.
5
• El problema de la dieta, etc.

24. Método de la PL
Abstracción
Realidad
Modelomatemático
Decisiones
Resultados
Análisis
Intuición
Interpretación

25. Inecuaciones en el plano
Una inecuación lineal en dos variables en el plano viene dada por
una desigualdad de la forma:
y la solución corresponde a un semiplano cuya frontera es una
línea recta.
Semiplano inferior
Semiplano superior

26. Inecuaciones en el plano
Para graficar una inecuación lineal de dos variables se siguen los
siguientes pasos:
1
Se elige un punto de prueba (un punto cualquiera que no este
sobre la recta).2
Se sombrea la región apropiada.3
Por ser una línea recta,
bastará buscar dos puntos
de paso. Se recomienda:
Se recomienda el punto (0;0).
La región que incluya al punto de prueba si este la satisface.
?
?
0
0

27. Inecuaciones en el plano
Se traza la gráfica de la recta
Elegimos como punto de
prueba al origen: (0;0).
Luego, el conjunto solución
incluye todos los puntos al
otro lado de la recta.
0
0 1
1
Falso

28. Condiciones de no negatividad
Inecuaciones en el plano

29. Conjunto convexo
Conjunto convexo Conjunto no convexo

30. Sistemas de
inecuaciones lineales
Un sistema de inecuaciones lineales en el plano viene dado por
varias desigualdades del tipo:
Y la solución, si existe, corresponde a una región convexa (polígono
convexo) del plano, que llamaremos región factible.

31. Aplicación
Halle la región factible generada por el siguiente sistema de
inecuaciones.
Ejemplo 2.
0
0 3
4
0
0 2
1

32. Aplicaciones
Los vértices son los puntos:

33. Aplicaciones
Existen 26 pares ordenados de componentes enteros.

34. Función afín lineal
de dos variables
Son de la forma:
Ejemplo 1.
Ejemplo 2.

35. Aplicación
Vemos que:
Máxi
mo
Míni
mo

36. En un problema de programación lineal bidimensional intervienen:
Formulación general
del problema
2. Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales.

37. Puntos de una
región factible
Punto extremo
Punto frontera
Punto interior
Formulación general
del problema

38. Teorema fundamental
Dado el problema de optimización con restricciones lineales

39. Aplicación
Solución.
Graficamos las rectas y hallamos la región factible.
El proceso para encontrar la solución óptima es el siguiente:
Se plantea el problema, se traduce a un modo algebraico, se
analizan las restricciones y se busca el óptimo dependiendo del
criterio que se quiera aplicar.

40. Aplicación
0
0 3
4
0
0 2
1
Evaluamos en los vértices:

41. Modelización de un
problema de PL
Introduciremos las líneas generales del modelo de Programación
Lineal (PL) ilustrándolo con el siguiente ejemplo:
Nos proponemos alimentar el ganado de una granja de la forma que
sea la más económica posible. La alimentación debe contener
cuatro tipos de nutrientes que llamamos A, B, C y D. Estos
componentes se encuentran en dos tipos de forrajes M y N. La
cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos forrajes
viene dada en la siguiente tabla:
A B C D
M 100 100 200
N 100 200 100
Un animal debe consumir diariamente al menos 0,4 Kg del
componente A, 0,6 Kg del componente B, 2 Kg del componente C y
1,7 Kg del componente D. El compuesto M cuesta 20 soles/kg y el N
8 soles/kg ¿Qué cantidades de forrajes M y N deben adquirirse para
que el gasto de comida sea el menor posible?

42. Modelización de un
problema de PL
Para resolver el problema construimos un modelo matemático del
mismo. La construcción de este modelo puede hacerse siguiendo el
proceso que se describe a continuación:
Paso 1: Determinar las variables de decisión o de entrada y
representarlas algebraicamente. Tomamos en este caso las
variables:
Paso 2: Determinar las restricciones expresándolas como
ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión.
Las restricciones se deducen de la composición requerida para la
dieta (en Kg):

43. Modelización de un
problema de PL
Paso 3: Expresar todas las condiciones implícitamente establecidas
por la naturaleza de las variables (que no puedan ser negativas, que
sean enteras, que sólo pueden tomar determinados valores, etc.)
Paso 4: Determinar la función objetivo.
El objetivo de este problema es:
El modelo por tanto es el siguiente:

44. Gracias por su
atención
Wily_eduardo21@hotmail.com