đề Và đáp án chuyên lam sơn 2011 2012

1. www.VNMATH.com
Së gi¸o dôc vμ ®μo t¹o Kú thi tuyÓn sinh vμo líp 10 THPT chuyªn Lam S¬n
Thanh Hãa N¨m häc 2011 - 2012
§Ò CHÝNH THøC M«n : To¸n (dïng chung cho tÊt c¶ thÝ sinh)
Thêi gian lμm bμi 120 phót kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò
Ngμy thi: 18 th¸ng 6 n¨m 2011
15 x  11 3 x  2 2 x  3
C©u1 (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc A   
x  2 x  3 1 x x 3
1.Rót gän biÓu thøc A (víi x  0 ,x  1 )
2
2. Chøng minh r»ng A 
3
C©u 2(2 ®iÓm)
1
Cho parabol (P): y  x 2 vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2 (víi m lμ tham sè)
2
1. T×m m ®Ó (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4
2. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
C©u 3 : (2 ®iÓm)
2 3
 x  y  12

1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : 
 5  2  19

x y
3x
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x  2 6 2
x 9
C©u 4: (3 ®iÓm) Gäi C lμ mét ®iÓm n»m trªn ®o¹n th¼ng AB ( C  A, C  B ). Trªn nöa mÆt
ph¼ng cã bê lμ ®−êng th¼ng AB, kÎ tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB. Trªn tia Ax lÊy
®iÓm I (I  A). §−êng th¼ng vu«ng gãc víi CI t¹i C c¾t tia By t¹i K ; ®−êng trßn ®−êng
kÝnh IC c¾t IK t¹i P.
1.Chøng minh r»ng:
a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn. X¸c ®Þnh t©m cña ®−êng trßn ®ã.
b)Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng.
2. Cho A, I, B cè ®Þnh. T×m vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn ®o¹n th¼ng AB sao cho tø gi¸c ABKI cã
diÖn tÝch lín nhÊt.
C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c lμ ba sè thùc d−¬ng tháa m·n a+b+c = 2. TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt
ab bc ca
cña biÓu thøc: P=  
ab  2c bc  2a ca  2b
------------HÕt-------------
(c¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm)
Hä vμ tªn thÝ sinh……………………..Sè b¸o danh…………………………
Ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 1: ……………..ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 2……………
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá

2. www.VNMATH.com
§¸p ¸n
15 x  11 3 x  2 2 x  3
C©u1 : Rút gọn biÓu thøc A   
x  2 x  3 1 x x 3
15 x  11 3 x 2 2 x 3 15 x  11  (3 x  2)( x  3)  (2 x  3)( x  1)
A=   =
( x  1)( x  3) x 1 x 3 ( x  1)( x  3)
15 x  11  3 x  9 x  2 x  6  2 x  2 x  3 x  3 7 x  2  5x ( x  1)(2  5 x )
A= = = 
( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3)
(2  5 x )
A=
( x  3)
2 (2  5 x ) 2 2 (2  5 x ) 2( x  3)  3.(2  5 x )
2- với A  ta có  nên  -  0   0
3 ( x  3) 3 3 ( x  3) 3.( x  3)
2 x  6  6  15 x 17 x
  0   0 là đúng vì x  0 nên 17 x  0 và 3.( x +3) > 0
3.( x  3) 3.( x  3)
2
vậy A  được chứng minh
3
C©u 5-a)V× a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab)

= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b)  2c+ab = (c+a)(c+b)
1 1
vì a ; b ; c > 0 nên  0 và  0 áp dụng cosi ta có
ac bc
1 1 1 1 1
  2. dấu (=) khi   a + c = b + c a = b
ac bc (a  c)(b  c) ac bc
1 1 1 1
hay  (  )
(c  a)(c  b) 2 c  a c  b
ab ab 1  ab ab 
      (1)
2c  abc  a (c  b) 2  c  a c  b 
bc 1  cb bc 
Chøng minh t−¬ng tù ;     (2) dấu = khi b = c
bc  2a 2  a  b a  c 
ac 1  ca ca 
    (3) dấu = khi a = c
2b  ca 2  c  b b  a 
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có
ab bc ca 1 ab ab cb cb ac ac
 : P=    (  +  +  )
ab  2c bc  2a ca  2b 2 c  a c  b b  a c  a b  a c  b
1  ab cb ab ac cb ac  1  (a  c).b a.(b  c) c.(b  a) 
 P  (  )(  )(  =  
2  ca ca bc cb a  b a  b 2  c  a
  bc ab  
1 1
 a  b  c   .2  1
ab bc ca
 P=  
ab  2c bc  2a ca  2b 2 2
2
 min P = 1 khi a = b = c =
3
1
C©u 2:Cho parabol (P): y  x 2 vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2 (víi m lμ tham sè)
2
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá

3. www.VNMATH.com
3. T×m m ®Ó (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4
4. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
Giải :
1
a) toạ độ giao điểm của parabol (P): y  x 2 vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2
2
 1 2
là nghiệm của hệ 

y
2
x
phương trình hoành độ giao điểm là :
 y  m.x  m  2

1 2
x  m.x  m  2 vi (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4 thay vào ta có :
2
8 = 4m - m +2  3m = 6  m = 2 vậy thì (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4

 y  x2
1
b) để (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt khi và chỉ khi hệ  2
 y  m.x  m  2

1
hay x 2  m.x  m  2  x2 -2mx +2m - 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt   > 0
2
mà  = 4m2 -4(2m - 4 ) = 4m2 -8m + 16 = (2m)2 – 2.2m.2+ 4+12 = ( 2m – 2)2 + 12 > 0
với mọi giá trị của m .Vậy víi mäi gi¸ trÞ cña m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
2 3
x   12
C©u 3 : 1- Giải hệ phương trình : 
y

5  2
 19
x
 y
1 1 2b  3a  12 4b  6a  24 2b  3a  12
Đặt a = và b = ta có hệ   
y x 5b  2a  19 15b  6a  57 11b  33
2b  3a  12 a  2 1 1
   =2  y =
b  3 b  3 y 2
 1
x  3
và = 3  x = vậy nghiệm của hệ 
1 1

x 3 y  1

 2
3x
2-Gi¶i ph−¬ng tr×nh x  2  6 2 điều kiện x >3 hoặc x <-3
x 9
ta thấy x = 0 không phải là nghiệm ư
3 6 2 3 6 2 3 72 12 2
nên 1     1  2  2  1
x 9
2 x x 9
2 x x 9 x x
C©u 4: 1.Chøng minh r»ng: x
y
a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn. X¸c ®Þnh
t©m cña ®−êng trßn ®ã.
Xét đường tròn tâm O đường kính IC ta có P  (O) I
Nên IPC = 900 do đó KPC = 900 ( kề bù với
ˆ ˆ P
ˆ 0
KPC = 90 )
K
theo bài ra ta có By  AB mà K  By ; C  AB O
ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ O'
KBC = 90  KPC + KBC = 180 mà KBC và KPC
A C B
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá

4. www.VNMATH.com
là hai góc đối của tứ giác CPKB vậy CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn mà KBC = 900
ˆ
nên KC là đường kính
b)Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng.
IC ˆ
Xét ( O ; ) ta có PAC  CIˆP ( nội tếp cùng chắn cung PC ) (1)
2
’ KC ˆ ˆ
Xét ( O ; ) ta có PKC  PBC ( nội tếp cùng chắn cung PC ) (2)
2
ˆ
Theo bài ra thì IC  KC tại C nên ICK = 1V nên CIˆP  CKI = 1V (3) thay (1) ; (2) vào
ˆ
ˆ ˆ
(3) ta có PAC + PBC = 1V vậy Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng.tại P
2-Cho A, I, B cè ®Þnh. T×m vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn ®o¹n th¼ng AB sao cho tø gi¸c ABKI cã
ˆ
diÖn tÝch lín nhÊt . Ta có tứ giác ABKI có AI//BK ( cùng  AB) và B = 1V nên ABKI
là hình thang vuông nhận AI và BK là hai đáy và AB là đường cao
1
SABKI = (AI+ BK) . AB mà A ; B ; I cố đinh nên AI ; AB không đổi nên để SABKI đạt
2
Max khi BK đạt Max  BK =AI lúc bấy giờ (O) và (O’) bằng nhau nên CI = CK
 CIK cân CP và đường cao nên PI = PK
mà PC // BK ( cùng vuông góc AB) nên PC là đường trung bình của hình thang ABKI
nên C là trung điểm của AB
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá