Analisis de edificios altos

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Analisis de edificios altos

  1. 1. Cap´ ıtulo 4Estructura de edificios en altura4.1 Introducci´n oLa caracter´ ıstica distintiva de edificios en altura es, desde el punto de vista estructural, lanecesidad de resistir cargas horizontales. As´ es que entre los estados de carga postulados para ıel dise˜o de la estuctura, tendr´n especial importancia aquellos debidos a cargas variables o n aaccidentales. Las cargas horizontales pueden ser debidas al viento o a sismos. Excepcionalmentepuede reconocer otras causas, como podr´ ser el caso de explosiones. ıa Las presiones del viento que inciden lateralmente en el edificio son, en el litoral argentino, laprincipal fuente de fuerzas horizontales para el c´lculo estructural de edificios. La determinaci´n a ode estas presiones est´ normalizada en el Reglamento CIRSOC 102. a En general en edificios que no sean demasiado esbeltos o demasiado flexibles (m´s precisa- amente, cuyo per´ ıodo natural de vibraci´n se sit´a por debajo de 1 segundo), la acci´n del viento o u ose traduce en una presi´n lateral que puede aceptarse actuando est´ticamente. Las presiones o adel viento var´ con la altura pero, conservativamente, pueden tomarse con valor constante ıanresultando as´ para edificios prism´ticos, en un conjunto de fuerzas laterales uniformemente ı, adistribuidas con la altura. Esta aproximaci´n es frecuentemente utilizada para describir la ac- oci´n del viento (figura 4.1.a). o La actividad s´ ısmica en nuestro pa´ var´ seg´n la regi´n y en las zonas de mediano o alto ıs ıa u oriesgo este estado de solicitaci´n pasa a ser determinante para el proyecto de la estructura. La oacci´n del sismo es sustancialmente distinta de la anterior y se manifiesta como un movimiento ode la base de la construcci´n. Sin embargo, para el c´lculo antis´ o a ısmico de edificios corrientes, unprocedimiento reglamentario simplificado se basa en reemplazar la acci´n s´o ısmica por un conjuntode fuerzas est´ticas horizontales equivalentes. De modo que puede pensarse en la acci´n s´ a o ısmicacomo la de un conjunto de cargas horizontales, al igual que en el caso del viento. La variaci´n ode esas fuerzas con la altura es diferente a la del viento y una aproximaci´n usual consiste en osuponer una distribuci´n variable linealmente con la altura (figura 4.1.b). En algunos casos a oeste diagrama triangular de cargas suele agregarse una carga concentrada en el extremo superiora fin de mejorar la representaci´n de las fuerzas equivalentes. El Reglamento INPRES-CIRSOC o103 contiene directivas para el c´lculo antis´ a ısmico de edificios. La estructura de un edificio debe poseer resistencia y rigidez. Resistencia para poder garanti-zar la seguridad m´ ınima requerida frente a las posibilidades de colapso de la construci´n. Rigidez opara evitar desplazamientos o deformaciones excesivas, controlar las vibraciones y contribuir ala estabilidad del edificio. Las deformaciones excesivas, adem´s de los problemas que podr´ a ıanocasionar por el uso habitual de la construcci´n, conducen generalmente a fallas en materiales oo elementos no estructurales (vidrios, revoques, revestimientos, etc.). Las vibraciones excesivas 57
  2. 2. 58 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURAFigura 4.1: Cargas de viento y sismo sobre un edificio: (a) Cargas de viento; (b) Fuerzas s´ ısmicasequivalentestienen incidencia en el confort de las personas o en la utilizaci´n de m´quinas o equipos sensi- o ables. En niveles excesivos pueden hacer intolerable la presencia de las personas y a´n producir uproblemas en elementos o maquinarias all´ dispuestos. La estabilidad del edificio, en su conjunto, ıexige una determinada rigidez m´ ınima del mismo. En vista de lo indicado puede inferirse que laestructura debe ser suficientemente resistente y suficientemente r´ ıgida. A estas dos condicionesse agrega, en el caso particular de estructuras antis´ ısmicas, el requerimiento de ductilidad. Estoes, la estructura debe en este caso ser capaz de sufrir suficientes deformaciones pl´sticas antes ade alcanzar alguna forma de colapso. Existen diversos sistemas estructurales con los que puede construirse el esqueleto de un ed-ificio y en las secciones siguientes se mencionan aquellos m´s utilizados. Un sistema resultar´ a aeficiente si las condiciones de rigidez no hacen aumentar las secciones de los elementos estruc-turales m´s all´ de los valores que poseen para cumplir las condiciones de resistencia. Existen a arangos de altura para los cuales cada uno de los sistemas resulta adecuado. Finalmente puede observarse que un edificio es, globalmente, un voladizo sujeto en su basey solicitado por cargas (axiales, laterales y momentos) a lo largo de toda su altura. Este simpleesquema es fundamental para entender su funcionamiento.4.2 Tipolog´ estructural ıa4.2.1 Elementos constituyentes de la estructuraLos elementos que conforman la estructura de un edificio en altura pueden agruparse en elemen-tos principales y elementos de distribuci´n. oElementos principales:Son cada uno de los “voladizos” que forman la estructura principal del edificio. Se considerar´aaqu´ tres elementos b´sicos: p´rtico, tabique y tubo. Los dos primeros son elementos planos y ı a oel tercero, espacial. a) P´rtico: o Tambi´n se lo llama marco (figura 4.2). Es un p´rtico plano formado por vigas y columnas e ounidas r´ıgidamente. Es un elemento estructural flexible. La deformaci´n, para el caso de cargas o
  3. 3. 4.2. TIPOLOG´ ESTRUCTURAL IA 59 Figura 4.2: P´rtico. (a) Deformada; (b) Modo de deformaci´n de corte o olaterales, est´ dada principalmente por la flexi´n de columnas y vigas y, globalmente, se deforma a oen un modo de corte (figura 4.2.b). Las distorsiones de piso dependen del esfuerzo de corte globalen cada piso: son mayores en los pisos inferiores. b) Tabique: Tambi´n denominado pared, muro de corte o pantalla (figura 4.3). Es un voladizo de alma ellena. Su deformaci´n, frente a cargas horizontales, se produce en un modo de flexi´n (figu- o ora 4.3.b). La curvatura en cada secci´n depende del valor del momento flector y es m´xima en o ala base. c) Tubo: Esta estructura consiste en un conjunto de vigas y columnas dispuestas sobre la periferiaformando una especie de tubo perforado (figura 4.4). La distribuci´n de tensiones entre sus oelementos se aparta de la correspondiente a una viga de alma llena (figura 4.4.b). La defor-maci´n de este elemento es intermedia a las deformaciones de flexi´n y de corte mencionadas o oanteriormente.Elementos de distribuci´n: oSon elementos que vinculan a los elementos principales. El caso t´ ıpico es el de las losas de unedificio. Estas trabajan solicitadas por fuerzas en su plano y establecen una vinculaci´n entre olos desplazamientos de los diferentes elementos principales. Deben poseer adecuada resistenciay rigidez. La rigidez de estos elementos es fundamental para efectuar la distribuci´n de fuerzas oen la estructura principal. Si la losa es infinitamente r´ ıgida en su plano, con tres grados de libertad puede describirse elmovimiento del piso correspondiente en ese plano. Esto simplifica el planteo de las ecuaciones decompatibilidad de deformaciones entre los distintos elementos estructurales. Una losa maciza dehormig´n armado puede considerarse como suficientemente r´ o ıgida en su plano. Tambi´n puede eserlo una losa alivianada siempre que la capa de compresi´n sea no inferior a un valor l´ o ımite(generalmente 5 cm) y posea adecuada armadura de repartici´n. En general en lo que sigue se o
  4. 4. 60 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA Figura 4.3: Tabique. (a) Deformada; (b) Modo de deformaci´n de flexi´n o osupondr´ que las losas son suficientemente r´ a ıgidas para caer dentro de este caso descripto. El caso de losas o diafragmas flexibles en su plano requiere que se considere su flexibilidady el n´mero de grados de libertad se incrementa. En el caso l´ u ımite, en que la r´ ıgidez deldiafragma sea despreciable, cada elemento estructural se comportar´ independientemente del aresto y carg´ndolo con las fuerzas que act´an en su zona tributaria puede estudiarse por separado. a uEl problema as´ se simplifica. Un m´todo simplificado de c´lculo para tratar el caso de diafragmas ı e aflexibles consiste en interpretarlo como un caso intermedio al de los diafragmas infinitamenter´ ıgidos y aquellos de rigidez nula. La soluci´n de cada uno de ´stos, como se ha indicado, es f´cil o e ade hallar y combin´ndolos puede estimarse la soluci´n para el caso de diafragmas flexibles. Un a ocriterio para tener en cuenta esta flexibilidad indica, para losas de hormig´n armado, combinar oun 90% de las solicitaciones para losa infinitamente con un 10% de las solicitaciones para la losacon rigidez nula. Para entrepisos pretensados esos coeficientes son 60% y 40% respectivamente,y para entrepisos de madera, 10% y 90% (Polyakov, 1974).4.2.2 Sistemas estructurales:Los elementos estructurales descriptos en el punto anterior se agrupan dando lugar a distintossistemas estructurales. Cada uno de estos sistemas puede resultar adecuado para determinadosrangos de alturas del edificio. Como se indic´ anteriormente, al aumentar la altura del edificio ose llega a un punto en el cual la rigidez (esto es la limitaci´n de deformaciones) y no la resisten- ocia pasa a ser limitante. Para alturas mayores las secciones estar´ trabajando a tensiones ıaninferiores a las admisibles, es decir se encontrar´ sobredimensionados para poder cumplir los ıanrequerimientos de deformaciones m´ximas. Ese punto establece el l´ a ımite econ´mico de ese sis- otema estructural. Un edificio puede tener distintos sistemas estructurales seg´n las distintas udirecciones de an´lisis. Debe recordarse que en general basta con estudiar el comportamiento adel edificio para acciones que lo solicitan seg´n dos direcciones principales de su planta. A ucontinuaci´n se describen las principales sistemas estructurales. o
  5. 5. 4.2. TIPOLOG´ ESTRUCTURAL IA 61 Distribución de fuerzas axiales en el tubo perforado Repartición de fuerzas axiales en la ménsula Lado a barlovento VientoFigura 4.4: Tubo estructural. (a) Estructura del edificio; (b) Distribuci´n de fuerzas normales oen columnas
  6. 6. 62 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA Figura 4.5: Sistema de p´rticos o Figura 4.6: Sistemas de tabiques y tabiques acopladosSistemas de p´rticos: oEste sistema est´ estructurado exclusivamente con p´rticos (figura 4.5). Es un sistema flexible. a oSi se desa incrementar la rigidez debe incrementarse la secci´n (el momento de inercia a flexi´n) o ode las vigas o columnas, o disminuir la longitud de las vigas (por interposici´n de m´s columnas). o aEste sistema es eficiente para alturas no mayores de 15-20 pisos.Sistema de tabiques y de tabiques acoplados:En este sistema la resistencia a cargas horizontales est´ confiada exclusivamente a tabiques a(figura 4.6). El caso de tabiques acoplados se da cuando dos (o m´s) tabiques coplanares son aconectados entre s´ por medio de vigas (dinteles) a nivel de cada losa. Esto se presenta, por ıejemplo, cuando un tabique debe ser perforado en cada piso para permitir el paso de una puerta.El acoplamiento de los tabiques confiere a ´stos una mayor rigidez y mejora su comportamiento. e En la figura 4.7.a se ha representado el caso de dos tabiques coplanares unidos solamente porlas losas. Como ´stas poseen poca rigidez a flexi´n (fuera de su plano) se las ha representado e ocon bielas, despreciando el momento que puedan transmitir. En ese caso, siendo dos tabiques
  7. 7. 4.2. TIPOLOG´ ESTRUCTURAL IA 63 f1 f f 1 f2 f 2 f3 3q(x) M1 M1 M2 = M0 N 3l M1 M1 M2 2M3 M3 l M3 M0 M0 N3 s s N3 M s 1 2 3 s N 3 s 3 (a) (b) (c) Figura 4.7: Tabiques acopladosiguales, cada uno por flexi´n resiste la mitad del momento flector que act´a sobre el conjunto. o uEl diagrama de momentos flectores debido a cargas externas se representa con l´ınea llena. Enesa figura corresponde al caso de un estado de cargas variables linealmente con la altura y suvalor en la base es M0 . Cada tabique toma un momento M1 = M0 y las tensiones m´ximas son 2 aσ1 . En la figura 4.7.b se ha representado el caso l´ ımite opuesto: las vigas de conexi´n se suponen oinfinitamente r´ ıgidas. En este caso el conjunto se comporta como un solo voladizo y el momentoflector en la base del mismo es M2 = M0 . Las tensiones σ2 son ahora menores que en el casoanterior. La situaci´n real de los tabiques acoplados es intermedia entre ambos. Los dinteles tienen ouna rigidez finita y la deformaci´n correspondiente ser´ como se muestra en la figura 4.7.c. o aLos dinteles trabajan al corte y sus reacciones producen esfuerzos normales en los tabiques. Elmomento total es absorbido en parte por flexi´n en cada uno y en parte por la cupla resultante ode fuerzas axiales: M0 = 2M3 + N3 (4.1)En general el segundo t´rmino es mayor que el primero y las tensiones m´ximas σ3 , de flexo- e acompresi´n (o flexotracci´n), son menores que las que se tendr´ en el caso de la figura 4.7.a, o o ıanaunque mayores que las del caso 4.7.b. Un punto crucial en esta estructura lo constituyen sus dinteles. Est´n solicitados a grandes aesfuerzos de corte y en estructuras antis´ ısmicas se requiere de ellos una gran ductilidad. Los sistemas en base a tabiques y tabiques acoplados son eficientes para alturas de edificiosda hasta 20-30 pisos.
  8. 8. 64 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURASistema de p´rticos y tabiques: oEs un sistema de buen comportamiento. En ´l coexisten p´rticos y tabiques actuando en la e omisma direcci´n. Cada uno de ellos contribuye a suplir las falencias del otro. La deformaci´n o odel p´rtico es del tipo de corte y la del tabique, de flexi´n (figura 4.8). Bajo la suposici´n de o o odiafragmas r´ıgidos en cada piso, las deformaciones de ambos tipos de estructuras est´n obligados aa igualarse y as´ la deformada ser´ en un modo intermedio (figura 4.8). En los pisos inferiores ı ael p´rtico se deforma mucho y el tabique muy poco. Este ultimo absorber´ la mayor parte del o ´ aesfuerzo cortante de las cargas externas en esos pisos y el p´rtico se “apoya” en el tabique. oEn los pisos superiores, por el contrario, la deformaci´n relativa del p´rtico es peque˜a y la o o ndel tabique, grande. En este caso el esfuerzo cortante externo es soportado por el p´rtico y el otabique se “cuelga” de ´l. En la figura 4.8.a se indican las fuerzas de interacci´n entre ambos y e oen la figura 4.8.b los diagramas de esfuerzos de corte total sobre el conjunto y la parte que tomacada uno de estos elementos. Como se indic´, este sistema es bastante eficiente y se ha llegado oa construir edificios de hasta 40 pisos.Sistema de viga-pared escalonada:Este es un sistema relativamente nuevo, de utilizaci´n en caso de construcciones prism´ticas o aalargadas como pueden ser edificios p´blicos, monoblocks, etc. La estructura transversal est´ u aesquematizada en la figura 4.9. En cada piso hay tabiques que se van alternando tanto en plantacomo en altura. En la figura 4.9.b se muestra un esquema en alzada de dos planos resistentessucesivos. En la misma figura se ha indicado la deformada que adoptar´ cada uno de esos ıaplanos resistentes individualmente. Nuevamente la deformaci´n de ellos est´ limitada por su o aconexi´n a trav´s de diafragmas r´ o e ıgidos. Por ejemplo en la planta baja el plano resistente k esmuy flexible al tener solamente dos columnas trabajando a flexi´n, pero el plano k + 1 es muy or´ ıgido pues est´ lleno con un tabique. Como resultado ese piso se deformar´ muy poco. Para a ael resto de los pisos vale un an´lisis similar. El edificio finalmente tendr´ deformaciones como a alas mostradas en la figura 4.9.c. Debe destacarse que este sistema precisa diafragmas r´ ıgidos yque el trabajo de ´stos en la transmisi´n de esfuerzos entre los diferentes planos resistentes es e ocrucial para el funcionamiento del sistema. Los diafragmas horizontales deben por lo tanto seradecuadamente dimensionados para trabajar bajo cargas en su plano. La ventaja de este sistemaes la posibilidad de obtener grandes luces libres (del orden de 7 a 20 m). Se han construidoedificios de hasta 40 pisos con este tipo de estructuras.Sistemas de tubos estructurales:Este sistema, que utiliza el elemento de la figura 4.4 tiene la ventaja de poder disponer decolumnas m´s pr´ximas entre s´ y tener mayor secci´n en vigas y columnas que en el caso de a o ı op´rticos. La separaci´n entre columnas es del orden de 1,5 a 3 m y la altura de vigas puede ser o ode 0,60 a 1,50 m. Entre las ventajas de este sistema puede mencionarse: • Presenta mejor distribuci´n de la estructura, al ubicarla en el per´ o ımetro (mayor momento de inercia de la secci´n global); a la vez que confiere una buena resistencia y rigidez a la o torsi´n del edificio. o • Las columnas y vigas interiores son solamente para resistir las cargas gravitacionales. Esto posibilita una tipificaci´n de la construcci´n. o o
  9. 9. 4.2. TIPOLOG´ ESTRUCTURAL IA 65 (a) (b) Figura 4.8: Sistema p´rtico-tabique o
  10. 10. 66 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA (a) Plano resistente k Plano resistente k+1 (b) Figura 4.9: Sistema de viga-pared escalonada
  11. 11. 4.3. SOLICITACIONES EN LA ESTRUCTURA 67 Figura 4.10: Sistemas de tubos incluidos y tubos combinados • Puede darse mejor aprovechamiento al espacio interior.Con este sistema, y sus variantes: tubos incluidos (tube-in-tube), tubos combinados o tubos condiagonales en fachada (figura 4.10), se han construido los edificios m´s altos en las d´cadas de a e1970-1980: con alturas entre 50 y 100 pisos.Sistemas de tabiques centrales con vigas de transferencia a columnas:Los edificios m´s altos que se han proyectado, poseen una estructura que consiste en un gran atabique (usualmente un tubo estructural) ubicado en el centro de la planta del edificio, y unacantidad de megacolumnas ubicadas en la periferia. Hay una cantidad peque˜a de grandes vigas nde transferencia (usualmente 3 o 4 para un edificio de m´s de 100 pisos) que conectan el tabique acon las columnas. De esta forma ´stas ultimas colaboran con el tabique en la absorci´n del e ´ omomento flector global, y el tabique se encarga de resistir el esfuerzo de corte global. Con estesistema se han proyectado edificios del orden de 125 pisos.4.3 Solicitaciones en la estructura4.3.1 Solicitaciones globalesSe ha indicado que un edificio bajo fuerzas de viento o sismo puede mirarse globalmente comoun voladizo con cargas transversales. De las definiciones introducidas en la secci´n 4.2 puede odesprenderse que la estructura principal del edificio ser´ interpretada como un conjunto de planos aresistentes, o elementos estructurales, cada uno de ellos trabajando como voladizos y conectadosentre s´ por losas o diafragmas en cada piso. Puede haber elementos estructurales coplanares, ıcomo en el caso de los p´rticos P7 y P8 de la figura 4.5, o cada elemento pertenecer a un plano odistinto. Por facilidad del dibujo, esta ultima situaci´n se ha representado en la figura 4.12. All´ ´ o ıse indica tambi´n la nomenclatura a seguir. Los pisos se numeran desde abajo hacia arriba, N es ela cantidad de pisos y n un piso gen´rico. La altura total desde la base ser´ Hn para el piso n y e ase designar´ con hn a la altura relativa de ese piso. En la planta hay K elementos estructurales, asiendo k un elemento gen´rico. Cada uno de estos elementos estructurales puede ser un p´rtico, e oun tabique, porticos y tabiques, tabiques acoplados, etc.
  12. 12. 68 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA Tabique Vigas de transferencia Columnas exteriores Tracción Compresión Figura 4.11: Sistemas de tabiques con vigas de transferencia Un voladizo con carga distribuida uniformemente posee un diagrama de esfuerzos de cortelineal y uno de momentos flectores parab´lico, ya que resultan de integrar una y dos veces, orespectivamente, el diagrama de cargas. Si la carga var´ linealmente con la altura, el diagrama ıade corte es ahora de segundo grado mientras que el del momento flector es de tercer grado. A los efectos del an´lisis estructural las acciones sobre el edificio se considerar´n concentradas a aa nivel de cada piso. En el caso de la acci´n del viento las presiones laterales multiplicadas por el oancho del edificio B dan un diagrama de cargas distribuidas q variables, en general, con la alturaz. Las fuerzas concentradas en cada piso se obtienen multiplicando q por el area tributaria de ´cada losa. Suponiendo que la carga es constante, la fuerza concentrada en el piso n ser´: a hn + hn+1 Fn = q (4.2) 2En el caso de acciones s´ısmicas, los reglamentos proporcionan un estado de fuerzas est´ticas aequivalentes Fn en cada piso. En posesi´n de este conjunto de fuerzas pueden calcularse f´cilmente para cada piso los o avalores de esfuerzo cortante y momento flector globales sobre el edificio. Este c´lculo no ofrece adificultad ya que el esquema es isost´tico: una viga en voladizo. As´ puede escribirse: a ı N Qn = Fi (4.3) i=ny N Mn = Fi (Hi − Hn−i ) (4.4) i=no bien N N Mn = ∆Mi = Qi hi (4.5) i=n i=n
  13. 13. 4.3. SOLICITACIONES EN LA ESTRUCTURA 69 Figura 4.12: Estructura del edificio
  14. 14. 70 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA Figura 4.13: Diagramas de solicitaciones para fuerzas de viento Figura 4.14: Diagramas de solicitaciones para fuerzas de sismosiendo Fi , Qi y Mi los valores de fuerza concentrada, esfuerzo cortante y momento flector en elpiso i. Si se considera la presi´n del viento constante con la altura, por el hecho de trabajar con ofuerzas concentradas en cada piso los diagramas de esfuerzo de corte y momento flector son losindicados en la figura 4.13. Las fuerzas s´ ısmicas, concentradas en cada piso, variables linealmente con la altura, conducena diagramas como el de la figura 4.14.4.3.2 Solicitaciones en los elementos estructurales:Para dimensionar la estructura se precisa calcular las solicitaciones en cada uno de los elementosestructurales. En la secci´n anterior se deline´ la determinaci´n de solicitaciones para el edificio o o ocompleto, visto como un voladizo y por tanto isost´tico. El c´lculo de las solicitaciones en cada a aelemento estructural enfrenta al ingeniero con un problema hiperest´tico, generalmente con un an´mero grande de inc´gnitas hiperest´ticas. u o a Cabe aqu´ recordar lo que se entiende por solicitaciones. Se trata de fuerzas internas o ıesfuerzos internos y como tales deben diferenciarse de las fuerzas externas o cargas, dado que
  15. 15. 4.3. SOLICITACIONES EN LA ESTRUCTURA 71 Figura 4.15: Fuerzas sobre los planos resistentesson de naturaleza diferente. Las cargas externas que act´an sobre una estructura pueden ser ufuerzas concentradas, distribuidas (sobre l´ ıneas o sobre superficies), momentos concentradoso distribuidos, etc. Las solicitaciones o esfuerzos internos son ejercidos por una parte de laestructura sobre otra y as´ pueden ser representados por tensiones normales o tangenciales, o ıresultantes de dichas tensiones: esfuerzos normales, esfuerzos cortantes, momentos flectores omomentos torsores. No debe pues confundirse solicitaciones con cargas. Imaginando que las cargas exteriores se transmiten a los diafragmas o losas, y de ´stas a cada eelemento estructural, se puede identificar la fuerza que a nivel de cada piso ejerce la losa sobrecada elemento. Estas fuerzas externas a los elementos principales surjen ahora de las fuerzasde interacci´n que las losa ejercen sobre ellos y est´n indicadas en la figura 4.15, design´ndose o a acomo Fkn , haciendo referencia con el primer ´ındice k al elemento estructural y con el segundo nal nivel. Puede verse en esa figura que para llegar a determinar las fuerzas sobre cada elementoes necesario calcular N xK fuerzas ing´gnitas. Como es habitual en estructuras hiperest´ticas o apara resolver el sistema de ecuaciones debe plantearse, adem´s de las ecuaciones de equilibrio, acantidad suficiente de ecuaciones de compatibilidad de deformaciones. La fuerza externa total sobre el nivel n se obtiene sumando las fuerzas de cada elementoestructural en ese nivel: K Fn = Fkn (4.6) k=1Esa ecuaci´n representa las ecuaciones de equilibrio. Las relaciones fuerza-desplazamiento opueden escribirse de la siguiente forma. El desplazamiento del elemento k en el piso n es: N k δkn = fnj Fkj n = 1, 2...N (4.7) j=1 kdonde los fnj son coeficientes de flexibilidad que representan para el elemento k el desplazamientoen el nivel n cuando actua solamente una fuerza unitaria en el nivel j. Una relaci´n inversa a oesta puede escribirse: N k Fkn = Knj δkj (4.8) j=1
  16. 16. 72 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA kLos coeficientes Knj se denominan coeficientes de rigidez. Estos pueden agruparse en una matrizde N filas por N columnas Kk . Los coeficientes de flexibilidad tambi´n pueden agruparse en euna matriz f k de N xN . Estas dos matrices son cada una inversa de la otra Kk = (f k )−1 (4.9)Como el sistema es hiperest´tico es necesario escribir las condiciones de compatibilidad de de- aformaciones. Si las losas pueden ser consideradas diafragmas r´ ıgidos en su plano, los desplaza-mientos horizontales de todos los elementos estructurales , en un nivel dado n, est´n vinculados aentre s´ por la condici´n de movimiento r´ ı o ıgido del piso en su plano. Ese desplazamiento tienea lo sumo 3 grados de libertad: dos componentes de traslaci´n horizontal y una rotaci´n en su o oplano. El caso m´s simple se da cuando no hay rotaci´n de la planta (torsi´n del edificio). Si los a o oelementos est´n dispuestos seg´n la direcci´n en que se produce el movimiento, la condici´n de a u o ocompatibilidad a cumplir por el piso n ser´: a δkn = δn para k = 1, 2, ...K (4.10)donde δn es el corrimiento horizontal del piso n, com´n a todos los elementos k. u El sistema de ecuaciones a resolver est´ formado por las ecuaciones de equilibrio 4.6, de arelaci´n fuerza-desplazamiento 4.8 y de compatibilidad 4.10. Reemplazando 4.10 en 4.8 y a su ovez ´sta en 4.6 se obtiene: e N k Fkn = Knj δj (4.11) j=1 K N N K N k k Fn = Knj δj = Knj δj = Knj δj (4.12) k=1 j=1 j=1 k=1 j=1Knj son los t´rminos de la matriz de rigidez de la estructura y se obtienen por suma de las ematrices respectivas de cada uno de los planos resistentes k: K k Knj = Knj (4.13) k=1o bien en notaci´n matricial o K K = Kk (4.14) k=1Entre las fuerzas totales del edificio Fn y los desplazamientos de cada losa δn puede escribirsela relaci´n inversa a 4.12: o N δn = fnj Fj (4.15) j=1haciendo uso de la matriz de flexibilidad f de la estructura completa. Reemplazando 4.10 y 4.15 en 4.8 N N k Fkn = Knr fnj Fj (4.16) r=1 j=1Esta f´rmula nos permite, una vez calculados los coeficientes de flexibilidad global y los coefi- ocientes de rigidez de cada elemento estructural, evaluar las fuerzas Fkn en cada elemento y en
  17. 17. 4.3. SOLICITACIONES EN LA ESTRUCTURA 73 Figura 4.16: Solicitaciones en los planos resistentescada piso, a partir de las fuerzas globales de piso Fn . Vale decir, con 4.16 puede distribuirse lasfuerzas de un piso entre sus elementos estructurales. En notaci´n matricial las ecuaciones 4.8, 4.12 y 4.15 se escriben: o F k = K kδ k (4.17) F = Kδ (4.18) δ = fF (4.19) siendo Fk y δ k vectores que contienen fuerzas y desplazamientos, respectivamente, del planok, y F y δ aquellos para la estructura global. La ecuaci´n 4.16 de distribuciones de fuerzas se oescribe: F k = K kf F (4.20)4.3.3 Distribuci´n del corte en cada piso oEn lugar de intentar resolver directamente el sistema hiperest´tico, se seguir´ a continuaci´n un a a oprocedimiento que permite reducir la complejidad de los c´lculos. Este procedimiento se basa aen evaluar las solicitaciones globales en cada piso de edificio: Qn , Mn y Nn debido a cargashorizontales. Se supondr´ que las losas del edificio son infinitamente r´ a ıgidas en su plano y derigidez despreciable para acciones perpendiculares a ellas. Bajo estas hip´tesis, el momento oflector Mn produce solicitaciones normales y momentos flectores en cada uno de los elementosestructurales que se transmiten de los pisos superiores hacia los pisos inferiores en ese mismoelemento estructural. Algo similar sucede con los esfuerzos normales en los elementos, debidosa Nn . Pero el esfuerzo cortante Qn , sujeto a la limitaci´n de deformaci´n del diafragma en su o oplano, se transmite a cada elemento estructural en funci´n de la rigidez del mismo. Es decir oel esfuerzo de corte en una columna, por ejemplo, no se transmite de un piso a otro sino queen cada piso los esfuerzos de corte entran en una “bolsa com´n” que ser´ distribuido entre los u adiferentes planos estructurales de modo de mantener la compatibilidad de deformaciones (figura4.16.
  18. 18. 74 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA Figura 4.17: Definiciones de rigidezConcepto de rigidezExisten diversas definiciones de rigidez para un elemento estructural. En general tiene la formade una acci´n (fuerza) que produce una desplazamiento unitario. A continuaci´n se introducir´n o o ados definiciones para un elemento en voladizo. Una de ellas est´ dada por la expresi´n a o P R = (4.21) δsiendo P la fuerza transversal que act´a en el extremo del voladizo y δ el desplazamiento pro- uducido en la direcci´n de la fuerza (figura 4.17.a). o Otra es la rigidez de piso dada por: Q Rp = (4.22) ∆con el mismo sentido que la definici´n anterior, siendo ahora Q la fuerza de corte en un piso y o∆ el desplazamiento relativo del mismo (figura 4.17.b). En ambos casos la rigidez es un escalar con unidades de fuerza dividida por longitud (kgf/cm,N/m, t/cm, etc.). En la secci´n anterior se introdujo el concepto de matriz de rigidez, donde ocada t´rmino de la matriz representa una fuerza seg´n un grado de libertad determinado que e ucorresponde a un desplazamiento unitario en otro grado de libertad. En la figura 4.18 se dan dos ejemplos de rigideces para: una columna en voladizo y un p´rtico osimple con viga infinitamente r´ ıgida, ambos ejemplos con columnas que se deforman solamentepor flexi´n. o Como se ver´ m´s adelante, para distribuir las solicitaciones entre los elementos resistentes a ase precisan valores relativos de rigidez. Por tanto es habitual calcular rigideces relativas y enese caso alg´n factor com´n, tal como 12EIr /h3 , puede omitirse. Ir en esta expresi´n es un u u omomento de inercia de referencia. Ejemplos: 1) Para una columna simple (figura 4.19.a) de hormig´n armado (E = 210000 kg/cm2 ) de o altura h = 4, 00 m, y secci´n cuadrada de 50 cm de lado, la rigidez vale o 3EI R= = 5128, 59 Kg/cm h3
  19. 19. 4.3. SOLICITACIONES EN LA ESTRUCTURA 75 Figura 4.18: Rigidez de una columna deformada por flexi´n y de un p´rtico simple o o
  20. 20. 76 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA Figura 4.19: Ejemplos de rigidez de columnas de hormig´n armado y muros de mamposter´ o ıa
  21. 21. 4.3. SOLICITACIONES EN LA ESTRUCTURA 77 2) Un p´rtico simple (figura 4.19.b) de hormig´n armado, con los mismos valores de E y h o o que el ejemplo anterior, con luz entre columnas l = 6, 00 m, y con secciones de 50x50 cm para las columnas y de 30x60 cm para las vigas, tiene una rigidez que puede evaluarse con la expresi´n: o 0, 5 + 3r 12EI1 R= 2 + 3r h3 Esta expresi´n se discutir´ m´s adelante al tratar las rigideces de p´rticos,pero aqu´ significan: o a a o ı kc r= = 1, 03 kv Ic kc = h Iv kv = l de donde R = 14.200 kg/cm 3) Si el mismo p´rtico anterior se rellena con un muro de mamposter´ de 15 cm de espesor, o ıa considerando las deformaciones por flexi´n y corte, resulta (figura 4.19.c) o R = 1.340.000 kg/cm .Planta con elementos resistentes seg´ n dos planos ortogonales uSe considera aqu´ el caso de una planta de un edificio para la cual los elementos resistentes est´n ı aorientados seg´n dos direcciones principales de inercia (direcciones ortogonales) (figura 4.20). El uan´lisis es v´lido para otras situaciones m´s generales, pero con este caso se podr´ ejemplificar a a a am´s sencillamente los conceptos. aa) Centro de rigidez Se denomina con Rxi la rigidez de piso de un elemento i, seg´n la direcci´n x, y con Ryj u ola rigidez de un elemento j seg´n la direcci´n y. Un elemento puede tener rigideces en ambas u odirecciones, como un tabique o caja de circulaciones verticales, o bien una columna, pero tambi´n epuede ser que alguna de las rigideces Rx o Ry sea despreciable, como es el caso de la rigidez detabiques o p´rticos planos, en direcci´n perpendicular a su plano. Consid´rese un sistema de o o ereferencias (x , y ), la ubicaci´n del elemento i puede expresarse por sus coordenadas (xi , yi ). o La rigidez total de la planta en direcci´n x puede obtenerse sumando las contribuciones ode cada elemento (esto puede corroborarse por lo indicado en la subsecci´n siguiente, o en la ofigura 4.24-a) : RxT = Rxi (4.23)y an´logamente para la direcci´n y: a o Ry T = Ryj (4.24)calculando los momentos est´ticos, de primer orden, de las rigideces pueden determinarse las acoordenadas de Centro de Rigidez (CR) de la planta: Ryj xj xR = (4.25) Ry T
  22. 22. 78 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA Figura 4.20: Planta con elementos resistentes seg´n dos direcciones ortogonales u Rxi yi yR = (4.26) Rx TY en ese punto ubicar un sistema de ejes (x, y) paralelos a x e y . An´logamente a lo que sucede aen la est´tica de superficies, puede calcularse “momento de inercia” de rigideces: a 2 Jx = Rxi yi = Rxi yi2 − Rx T yR 2 (4.27) Jy = Ryj x2 = j Ryj xj2 − Ry T xR 2 (4.28)y una suerte de “momento polar” JR = Jx + Jy (4.29)El c´lculo manual de estas cantidades puede organizarse en una tabla como la siguiente: a i Rxi yi Rxi yi yi2 Rxi yi2 1 2 ... Rx T Rxi yi Rxi yi2 y otra an´loga para las rigideces Ryj . ab) Movimiento plano: Si el edificio est´ sometido a la acci´n del viento la resultante de fuerzas externas estar´ a o acentrada en la pared exterior del mismo. Si est´ sometido a la acci´n del sismo, la resultante a oestar´ en el centro de masas. En ambos casos si la resultante de cargas externas pasa por el acentro de rigidez de la planta se producir´ una traslaci´n de la misma seg´n la direcci´n de las a o u ofuerzas externas. Si la resultante de cargas no pasa por el centro de rigidez se producir´ una atraslaci´n y una rotaci´n de la planta. o o
  23. 23. 4.3. SOLICITACIONES EN LA ESTRUCTURA 79 Figura 4.21: Ubicaci´n de los elementos estructurales en relaci´n al centro de rigidez o o En el caso m´s general las fuerzas horizontales provocan en esa planta dos componentes de aesfuerzo de corte y un momento torsor (figura 4.22). Sean δx y δy los corrimientos de la plantaseg´n x e y, respectivamente, y θ la rotaci´n de la misma. Analizando el movimiento de la u oplanta por separado para cada una de esas componentes, se puede escribir: 1o ) Corrimiento δy: En un elemento orientado seg´n la direcci´n y ( el elemento i de la figura 4.21) se produce u o δyun esfuerzo de corte Qi proporcional a la rigidez de ese elemento Ryi δ Qi y = δy Ryi (4.30)mientras que en un elemento seg´n x no se producen esfuerzos: u δ Qjy = 0 (4.31)La ecuaci´n de equilibrio de fuerzas seg´n y establece que el corte total debe es igual a la suma o ude los cortes en cada elemento, y de acuerdo a las expresiones arriba: Qy = Qi = δy Ryi (4.32)de donde Qy δy = (4.33) Ryi δy reemplazando en la expresi´n para Qi y : o δ Qy Qi y = Ryi (4.34) Ryi 2o ) Corrimiento δx:
  24. 24. 80 CAP´ ITULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA Figura 4.22: Movimiento plano de la planta En un elemento orientado seg´n la direcci´n x ( el elemento j de la figura 4.21) se produce u o δxun esfuerzo de corte Qj proporcional a la rigidez de ese elemento Rxj Qδx = δx Rxj j (4.35)mientras que en un elemento seg´n y no se producen esfuerzos: u Qδx = 0 i (4.36)El corte total seg´n x ser´: u a Qx = Qj = δx Rxj (4.37)de donde Qx δx = (4.38) Rxjy reemplazando en la expresi´n para Qδx : o j Qx Qδx = j Rxj (4.39) Rxj 3o ) Rotaci´n θ: o En el elemento j se tiene: Qθ = θ yj Rxj j (4.40)y en el elemento i Qθ = θ xi Ryi i (4.41)El momento torsor en la planta es: MT = Qθ xi + i Qθ yj j (4.42)
  25. 25. ´ ´4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ 81   MT = θ  Ryi x2 i + 2 Rxj yj  = θJR (4.43) i jA esta expresi´n habr´ que sumar los momentos torsores sobre cada elemento, o sea los mo- o ıamentos torsores en cada columna o tabique, pero estos pueden despreciarse frente a los t´rminos ede rigidez por la distancia al centro de rigidez, que figuran en la expresi´n. De all´ : o ı MT θ = (4.44) JRy reemplazando este valor en las f´rmulas de Qi y Qj : o MT Qθ = i xi Ryi (4.45) JR MT Qθ = j yj Rxj (4.46) JR Resumiendo, si act´a una fuerza seg´n el eje y que produce un esfuerzo de corte Qy con una u uexcentricidad e con respecto al centro de rigidez, se tendr´ como acciones globales en el piso: a   Qy M = Qy e  T Qx = 0as´ siendo, δx = 0 y de las f´rmulas arriba: ı o δ Qi = Qi y + Qθ i (4.47) δ Qj = Qjy + Qθ j (4.48)o bien reemplazando sus valores: Qy MT Qi = Ryi + Ryi xi (4.49) RT JR MT Qj = Rxj yj (4.50) JR Estas dos f´rmulas permiten calcular los cortes en cada elemento i o j de la planta, para una ofuerza de corte Qy actuando exc´ntricamente. e4.4 Determinaci´n pr´ctica de la rigidez para los diferentes el- o a ementos estructuralesEn esta secci´n se proporcionan algunas f´rmulas pr´cticas para estimar la rigidez de piso de o o adiferentes elementos estructurales, de modo de poder aplicar las expresiones de la secci´n anterior opara distribuir las fuerzas de corte del piso.4.4.1 P´rticos oPara estimar la rigidez de piso de un p´rtico, se comenzar´ haciendo una estimaci´n de la rigidez o a ode una columna de ese piso.
  26. 26. 82 ´ ´ 4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZRigidez de una columnaAl respecto se recordar´ que la rigidez Rc de una columna empotrada en sus dos extremidades a(enti´ndase con esto: impedimento de rotaci´n en ambos extremos, pero con posibilidad de e odesplazamiento transversal) es: P 12EIc Rc = = (4.51) δ h3y la de una columna empotrada en su base y libre en su extremo superior: 3EIc Rc = (4.52) h3siendo en estas expresiones P y δ respectivamente la fuerza transversal aplicada en su extremosuperior y el desplazamiento producido en el mismo; E el m´dulo de elasticidad; Ic el momento ode inercia de la secci´n transversal y h la altura de la columna. o Ahora bien la situaci´n de una columna del p´rtico (figura 4.23-a) es intermedia a estos o odos casos. Hay un empotramiento el´stico en los extremos que depende de las rigideces de las acolumnas superior e inferior, y de las vigas que concurren a los extremos de la columna consid-erada. Hay diversos m´todos para estimar ese grado de empotramiento y evaluar un coeficiente enum´rico que reemplace a los coeficientes 12 o 3 de las f´rmulas anteriores. A continuaci´n se e o omencionan algunos de estos m´todos. e1) La forma m´s simple es considerar Rc a ∝ Ic y, como en general interesan las rigidecesrelativas, puede escribirse: Rc = Ic (4.53)En efecto, si se considera que todas las columnas de un piso tienen la misma altura, son delmismo material y poseeen el mismo grado de empotramiento, la rigidez depender´ solamente de aIc . Salvo casos muy puntuales, el grado de empotramiento ser´ diferente para cada columna. Un aforma primaria de tener en cuenta esto es disminuir la rigidez de columnas extremas (figura 4.23-b) y para ellas calcular: Rc = 0, 80Ic (4.54) Este procedimiento es admitido por algunos reglamentos siempre que se verifiquen ciertas hip´tesis, como la de igual altura para todas las columnas del piso y la o condici´n para las rigideces relativas de vigas: Iv /l > 1 Ic /h (ref. Fuentes). o 52) Un m´todo muy utilizado es el desarrollado por K. Muto (ref. Muto). e La rigidez de piso de la columna se escribe como la de la columna empotrada en sus extremos,pero afectada por un coeficiente num´rico a < 1: e 12EIc 12E Rc = a 3 = akc 2 (4.55) h hdonde kc es un factor de rigidez de la columna calculado como Ic kc = (4.56) h El coeficiente a depende del grado de empotramiento y se calcula con las siguientes expre-siones en funci´n de la relaci´n de rigideces r: o o
  27. 27. ´ ´4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ 83 Figura 4.23: Coeficientes de rigidez del m´todo de Muto e
  28. 28. 84 ´ ´ 4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ a) caso general (figura 4.23-a o 4.23-b): r a = (4.57) 2+r k1 + k2 + k3 + k4 r = (4.58) 2kc b) columna de base empotrada (figura 4.23-c): 0, 5 + r a = (4.59) 2+r k1 + k2 r = (4.60) kc c) columna de base articulada (figura 4.23-d): 0, 5 r a = (4.61) 1 + 2r k1 + k2 r = (4.62) kc All´ k1 = Ilv1 es el factor de rigidez de la viga 1, y analogamente para las restantes vigas. ı 1 Las f´rmulas de Muto han sido derivadas para p´rticos regulares bajo cargas uniformes, y o odonde los puntos de inflexi´n se sit´an a mitad de la altura de columnas o a mitad de las luces o ude las vigas. En la medida en que la estructura se aproxime a estas hip´tesis ser´n de aplicaci´n o a olas f´rmulas. o Observaci´n o Si el m´dulo E es com´n para todos los elementos resistentes, tanto ´ste como el coeficiente o u e 12 pueden omitirse en la f´rmula ya que, como se ha dicho, interesar´ un valor relativo de o a rigideces. Asimismo puede introducirse alg´n factor num´rico, potencia de 10, que facilite u e los c´lculos, y que depender´ de las unidades que se usen. En ese caso podr´ re-escribirse a a ıa la rigidez de la columna como kc Rc = a 2 fR (4.63) h siendo fR el factor que ser´ com´n a todas las columnas. En ese caso no es preciso cal- a u cular fR para la distribuci´n de esfuerzos. Solamente se precisar´ si se desea calcular el o ıa desplazamiento transversal.3) Heidebrecht propuso calcular las rigideces individuales de columnas con la expresi´n: o 12EIc 1 Rc = 2Ic (4.64) h2 1 + I I h( lv1 + lv2 ) 1 2Esta f´rmula se basa en suponer que los puntos de inflexi´n se sit´an a mitad de cada viga o o o ucolumna (ref. Heidebrecht). As´ como se han mencionado estos tres procedimientos, existen otros, que no se discutir´n ı aaqu´ pero que pueden encontrarse en la literatura. ı
  29. 29. ´ ´4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ 85 Figura 4.24: Rigidez de columnas conectadas en paralelo y en serieRigidez del pisoUna vez calculadas la rigideces de piso de las columnas, la rigidez de piso de toda la planta parael p´rtico puede obtenerse por suma de los valores de cada columna. En efecto, consid´rese o edos o m´s columnas impedidas de girar en las extremidades, que est´n conectadas en paralelo a a(figura 4.24-a). Un corrimiento lateral unitario del conjunto (vigas axialmente r´ ıgidas) produceen cada columna una fuerza de corte igual a su rigidez, y un corte total igual a la suma deellas. Luego la rigidez del conjunto es la suma de la rigideces individuales. Si las columnasest´n conectadas en serie (figura 4.24-b), para una fuerza lateral en el extremo se sumar´n en a aeste caso los desplazamientos de cada columna. Inversamente al caso anterior, para columnasen serie se suman las flexibilidades (flexibilidad = inversa de la rigidez) de cada columna. Por lo dicho anteriormente, la rigidez de piso del p´rtico puede calcularse sumando las origideces de cada columna en ese piso. Esto mismo se realizar´ cuando coexistan p´rticos y a otabiques en la misma planta, o bien tabiques solamente. La suma de flexibilidades, indicada en el caso de columnas en serie, puede utilizarse paraestimar la rigidez del p´rtico completo para una carga concentrada en su extremo superior. o4.4.2 TabiquesDeformaci´n total del tabique cargado en su punta oEl corrimiento lateral de un tabique resultar´ de sus deformaciones por flexi´n y por corte, y a odel corrimiento y rotaci´n de la base (figura 4.25). Los desplazamientos debido a cada una de oestas causas se estudiar´ por separado y luego se sumar´n para obtener el desplazamiento total. a aSe despreciar´ aqu´ la parte del desplazamiento debido al corrimiento horizontal de la base. a ıFLEXION: El corrimiento lateral de una viga cargada en su extremo es: P h3 δF = (4.65) 3Em Im
  30. 30. 86 ´ ´ 4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ Figura 4.25: Componentes del desplazamiento lateral de un tabiquesiendo h la altura del tabique, Im el momento de inercia de la secci´n del tabique y Em su om´dulo de elasticidad. oCORTE: El corrimiento debido al corte es: Ph δQ = κ (4.66) Gm Amdonde Gm es el m´dulo de elasticidad transversal, Am el ´rea de la secci´n del tabique, y κ un o a ocoeficiente de forma de la secci´n. o Para una secci´n rectangular κ = 1, 2. o Para una secci´n doble-T o caj´n, puede tomarse κ = 1 si se considera como Am el ´rea del o o a alma, exclusivamente. Para una secci´n anular, κ = 1, 2. oROTACION DE LA BASE: Una rotaci´n de la base produce un giro como r´ o ıgido de todo el tabique y puede dar lugar adesplazamientos importantes en el mismo. Puede evaluarse como: δ φ = φ(h + hF ) (4.67)siendo φ la rotaci´n de la base, h la altura del tabique y hF la altura de la fundaci´n (figura 4.26). o o La relaci´n entre el momento en la fundaci´n MF y la rotaci´n puede escribirse o o o MF φ = (4.68) cφ IFsiendo IF el momento de inercia de la secci´n de apoyo de la fundaci´n con respecto a su eje o ode rotaci´n y cφ el coeficiente de Winckler, que mide la deformaci´n del suelo. Dado que el o omomento vale MF = P (h + hF ) (4.69)
  31. 31. ´ ´4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ 87 Figura 4.26: Rotaci´n de la base opuede escribirse: P (h + hF )2 δφ = (4.70) cφ IF Los coeficientes cφ pueden tomarse (conservativamente a los efectos de un dise˜o preliminar) n de los siguientes valores (ref. Baikov): 2 suelos cφ [ kg/cm ] cm blandos 1a3 medios 3a7 duros 7 a 15 muy duros 15 a 30 Los valores de la izquierda corresponden al caso de rotaci´n alrededor del eje que corresponde o a la mayor inercia de la secci´n, y los de la derecha a la rotaci´n alrededor del eje de menor o o inercia. El desplazamiento del tabique resulta de la suma de estos tres efectos: δ = δF + δQ + δφ (4.71) h3 κh (h + hF )2 δ = P + + (4.72) 3Em Im Gm Am cφ IFy la rigidez del tabique P 1 R = = (h+hF )2 (4.73) δ h3 κh 3Em Im + Gm Am + cφ IF
  32. 32. 88 ´ ´ 4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZRigidez de piso del tabiquePara evaluar el desplazamiento relativo de piso del tabique deben considerarse los tres efectosya descriptos: flexi´n, corte y rotaci´n de la base. El desplazamiento horizontal de la fundaci´n, o o oque ha sido despreciado en el punto anterior, no tiene efecto en este caso pues es el mismo paratodos los pisos. FLEXION: El desplazamiento relativo debido a flexi´n es ahora m´s dificil de evaluar pues tiene una o agran importancia la rotaci´n acumulada hasta esa planta, que a su vez depende de la flexi´n en o otodos los pisos inferiores (figura 4.27). El desplazamiento relativo por flexi´n es para el piso n: o M ∆F = d1 + d2 = θn hn + n dz (4.74) hn EIEl primer t´rmino (d1 ) se debe a la rotaci´n θn acumulada hasta el piso inferior y es una rotaci´n, e o ocomo r´ıgido, del piso n. El segundo t´rmino (d2 ) es el de deformaci´n por la flexi´n del piso n. e o o Una simplificaci´n, debida a Muto, es reemplazar el diagrama de momentos, lineal por trozos o(figura 4.27-a), por uno escalonado (figura 4.27-b). Con esta hip´tesis de momento flector o ¯constante en cada piso, la curvatura en un piso i ser´ tambi´n constante: Ei Iii . La rotaci´n a e M o ¯relativa de ese piso se obtiene integrando la curvatura, lo que da: θi = Mi Iii . Sumando las E ihrotaciones relativas desde la base hasta el piso n − 1 se tiene la rotaci´n acumulada hasta la base odel piso n: n−1 ¯ Mi hi θn = (4.75) i=1 Ei IiLa deformaci´n propia por flexi´n en el piso n se obtendr´ integrando dos veces la curvatura o o a ¯ Mn(constante) en ese piso En In , es decir: Mn h2 ¯ n d2 = (4.76) 2En InSustituyente 4.75 y 4.76 en 4.74: n−1 ¯ Mi hi Mn h2 ¯ n ∆F = n hn + (4.77) i=1 Ei Ii 2En In CORTE: El corrimiento relativo del piso n debido al corte es: Qn hn ∆Q = κ n (4.78) Gn An ROTACION DE LA BASE: La rotaci´n de la base produce el desplazamiento relativo: o MF hn ∆φ = φ hn = n (4.79) cφ IF Como antes el desplazamiento del tabique resulta de la suma de esos tres efectos: ∆n = ∆F + ∆Q + ∆φ n n n (4.80)
  33. 33. ´ ´4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ 89 Figura 4.27: Corrimiento relativo de piso debido a la flexi´n del tabique o
  34. 34. 90 ´ ´ 4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ n−1 Mi hi Mn h2n κQn hn MF hn ∆n = hn + + + (4.81) i=1 En In 2En In Gn An cφ IFy la rigidez del tabique Qn Rp n = (4.82) ∆n En las expresiones arriba, las variables con sub´ ındice n se refieren a los valores para el pison y el significado de los s´ımbolos es el mismo que en la subsecci´n anterior. o El c´lculo de la rigidez de piso Rp n depende de Qn , Mn , Mi ( para i = 1, n − 1) y MF . aEs decir depende de la parte del corte total que tomar´ el tabique. Ahora bien, esta rigidez se aprecisa para distribuir el corte y por lo tanto esta dependencia es no lineal. Se puede hacer unproceso iterativo: con una estimaci´n inicial de los Rpn , distribuir los cortes, y con ´stos calcular o elos Rpn , para luego recalcular los cortes. Si se realiza un c´lculo manual, ´ste puede organizarse a een una planilla como la mostrada en la figura 4.28.4.4.3 Tabiques con peque˜as aberturas nEn el caso en que los tabiques tengan aberturas (ventanas,etc.), siendo l y hn las dimensionesdel tabique, y Ao el ´rea de la abertura, puede definirse un par´metro a a Ao p = (4.83) l hnsi p < 0, 4 el tabique puede considerarse de abertura peque˜a. En este caso la deformaci´n por n oflexi´n puede calcularse como en el caso de tabiques sin aberturas, pero con un momento de oinercia correspondiente a la secci´n neta del tabique (descontada la abertura). La deformaci´n o opor corte se calcula como la del tabique sin aberturas, pero con un area ´ A = Atotal (1 − 1, 25 p) (4.84)siendo p el par´metro definido m´s arriba. Esta f´rmula tiene sustento emp´ a a o ırico (ref Muto).Finalmente, el desplazamiento por rotaci´n de la base no sufre ninguna modificaci´n respecto al o ocaso del tabique sin aberturas.4.4.4 Tabiques con grandes aberturas. Tabiques acopladosSe considera el tabique como de gran abertura si el par´metro p definido en la secci´n anterior a oes p > 0, 4. Entran aqu´ tambi´n los tabiques acoplados, es decir los tabiques unidos por medio ı ede vigas o dinteles. En este caso la estructura puede tratarse como un p´rtico con columnas o ovigas de gran espesor (figura 4.29). Las columnas y vigas se sit´an en los ejes de los tabiques y uvigas, pero es necesario considerar la rigidez de los nudos, as´ como tambi´n las deformaciones ı epor corte de los elementos. La zona r´ ıgida se considera desde el nodo hasta una distancia x delborde de viga o columna. A partir de estudios con elementos finitos se ha determinado un valorde x = d/4 (figura 4.29) para la viga y an´logamente para la columna. a Para evaluar la rigidez de piso de tabiques acoplados pueden utilizarse las f´rmulas de Muto opara p´rticos, modificando los coeficientes de rigidez kc y kv para tener en cuenta las zonas or´ ıgidas de nudos y la deformaci´n debida al corte de columnas y vigas. Para la columna se ocalcula c+c kce = kc (4.85) 2
  35. 35. ´ ´4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ 91 Observaciones: Col(1) N´mero del piso u Col(2) Corte en este tabique, en cada piso (estimaci´n inicial) o Col(3) Incremento de momento: ∆Mn = Qn hn Col(4) Momento flector en la base del piso: Mn = Mn+1 + ∆Mn (*) Col(5) Doble del momento promedio sobre el piso: 2Mn = 2 (Mn +Mn+1 ) ¯ 2 (*) ¯ 2Mn hn Col(6) Doble de la rotaci´n relativa de piso: 2θn = o En In 4 ¯ n−1 Mi hi ¯ Col(7) F hn ∆ n =4 i=1 Ei Ii + 2 Mn In E n hn (*) hn Col(8) ∆F : multiplica la col. (7) por n 4 Col(9) ∆Q = κ Qn hn n En I n MF Col(10) ∆φ = φhn = n cΦ If hn Col(11) Desplazamiento relativo del piso, total: ∆n = ∆F + ∆Q + ∆φ n n n Qn Col(12) Rigidez de piso del tabique: Rpn = ∆n (*) (Las flechas indican los t´rminos que se suman) e Figura 4.28: Planilla para organizar el c´lculo iterativo de la rigidez de piso del tabique a
  36. 36. 92 ´ ´ 4.4. DETERMINACION PRACTICA DE RIGIDEZ Figura 4.29: Tabiques con grandes aberturas

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