Mecánica de Fluidos 04. Flujo no viscoso.

1. 4. Flujo no viscoso

2. Criterio del flujo no viscoso Re>>1
ρvL vL
Re ≡ = Número de Reynolds
µ ν
Aceleración de una partícula de fluido
D v ∂v
aceleració n = = + (v·∇ )v
Dt ∂t
R + dR
R
Trayectoria de
corriente
Partícula de fluido

3. Ecuación de Euler
Fuerza gravitacional
por unidad de masa
∂v
+ (v·∇ )v = − ∇p + g
1
∂t ρ
Aceleración de una Fuerza de presión
partícula de fluido por unidad
de masa
Coordenadas cartesianas:
∂v x ∂v x ∂v x ∂v x 1 ∂p
+ vx + vy + vz =− + gx
∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x
∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p
+ vx + vy + vz =− + gy
∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y
∂v z ∂v z ∂v z ∂v z 1 ∂p
+ vx + vy + vz =− + gz
∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z

4. Flujo de densidad constante
p * ≡ p − ρg·R
∂v
∂t
( )
+ (v·∇ )v = − ∇ p * + ρg·R + g
ρ
1
1 *
= − ∇p (si ∇ρ = 0)
ρ

5. Ecuación de Bernoulli
2
∂v
2
⎛ v2 ⎞ 2
⎛1 ⎞ 2 2
∫ ∂t ·dc + ∫ ∇⎜ 2
⎜ ⎟·dc + ∫ ⎜ ∇p ⎟·dc − ∫ g·dc = ∫ v × (∇ × v )·dc
⎟ ⎜ρ ⎟
1 1 ⎝ ⎠ 1⎝ ⎠ 1 1
2
∂v ⎛ v22 p2 ⎞ ⎛ v1 2 p1 ⎞
∫ ∂t ·ds + ⎜ 2 + ρ − g·R 2 ⎟ − ⎜ 2 + ρ − g·R1 ⎟ = 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(si v·(∇ρ) = 0; ds × v = 0 )
Líneas de
corriente
Partícula de fluido

6. Cómo se mide un flujo
2
1
4
3
ρm
Un medidor venturi estrecha el flujo de un fluido con la finalidad de crear una
diferencia de presión que se relacione con los gastos volumétrico y másico. El
manómetro de la figura se utiliza para medir la diferencia de presión.
2(p1 − p 2 ) Q1 = A 1 v1
V1 =
⎛ ⎛ A1 ⎞ ⎞ m = ρQ1
&
ρ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ A ⎟ − 1⎟
⎝⎝ 2 ⎠ ⎠
p1 − p 2 = (ρ m − ρ )gh

8. La ecuación de Euler en coordenadas de línea de corriente
Vectores unitarios para las coordenadas de línea de corriente en un punto P sobre
Una línea de corriente cuyo centro de curvatura es O.

9. El diagrama de las líneas de corriente en las proximidades de un cuerpo ilustra
cómo la dirección del gradiente de presión depende de la curvatura de la línea
de corriente.

10. Marcos de referencia no inerciales
~
~ dR ~
~ V= + Ω×R
y dt
~
R
~
x
r ~
z

11. ~
R =r+R
~
dR dr dR
= +
dt dt dt
V = Vni + (
d ~~ ~~ ~~
dt
ix x + iy y + iz z )
⎡~ d
= Vni + ⎢ ix (~ ) + iy (~ ) + iz (~ )⎥ + ⎢~
x
~ d
y
~ d
z x ix + y( ) ( )
⎤ ⎡ d ~ ~d ~ ~d ~ ⎤
iy + z ( )
iz ⎥
⎣ dt dt dt ⎦ ⎣ dt dt dt ⎦
~
[(
x
~
) ( ~
= Vni + V + ~ Ω × ix + ~ Ω × iy + ~ Ω × iz
y z ) (
~
)]
~
( ~ ~ ~
= V + V + Ω× ~i + ~i + ~i = V + V + Ω× R
ni x x y y z z ) ~
ni
~
~ ~
V = Vni + V + Ω × R

12. ~
dV
dt
=
dVni dV d
dt
+ +
dt dt
(
Ω×R
~
)
~
dV
dt
=
dVni dV
dt
+
dt
+ Ω×
d ~
dt
( )
R + (Ω ) × R
d
dt
~
~
dV
dt
= a ni +
dV
dt
~
(
+ Ω × V + Ω × R + (Ω ) × R
~ d
dt
) ~
dV
dt
= a ni +
dt
( )
ix Vx + iy Vy + iz Vz + Ω × V + Ω × R + (Ω ) × R
d ~~ ~~ ~~ ~ ~ d
dt
( ~
)
dV ⎡~ d ~
= a ni + ⎢ ix ( )
Vx + iy
~ d ~
Vy + iz ( )
~ d ~ ⎤ ⎡~ d ~
Vz ⎥ + ⎢Vx ( )
~ d ~
ix + Vy iy + Vz ( )
~ d ~ ⎤
( )
iz ⎥ + ... ( )
dt ⎣ dt dt dt ⎦ ⎣ dt dt dt ⎦
(
...Ω × V + Ω × R + (Ω ) × R
~ ~ d
)
dt
~
dV
dt
a
~
[ (
= a ni + ~ + Vx Ω × ix + Vy Ω × iy + Vz Ω × iz + Ω × V + Ω × R + (Ω ) × R
~ ~
) ~
( ~ ~
) ~
( ~
)]
d
dt
~
( )
dV
dt
= a ni + ~ + Ω × Vx ix + Vy iy + Vz iz + Ω × V + Ω × R + (Ω ) × R
a (
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
) d
dt
(
~
)
dV
dt
a
~ ~
(
= a ni + ~ + Ω × V + Ω × V + Ω × R + (Ω ) × R
~ d
dt
~
)
dV
dt
a
~ ~
(
= a ni + ~ + 2Ω × V + Ω × Ω × R + (Ω ) × R
d
dt
~
)

13. a
~
(
a = a ni + ~ + 2Ω × V + Ω × Ω × R + (Ω ) × R
~
)
d
dt
~
~
DV
Dt
= a ni +
DV
Dt
~
(
+ 2Ω × V + Ω × Ω × R + (Ω ) × R
~ d
dt
) ~
Ecuación de Euler:
~
DV
Dt
(
= −2Ω × V − Ω × Ω × R − (Ω ) × R − ∇p + (g − a ni )
~ ~
)
d
dt
~ 1~
ρ
~
∂t
(
∂V ~ ~ ~
)
+ V • ∇ V = −2Ω × V − Ω × Ω × R − (Ω ) × R − ∇p + (g − a ni )
~ ~
( d
dt
) ~ 1~
ρ

14. Marco de referencia traslacional y acelerado
Ecuación de Euler
~
DV 1~
~ = − ∇p + g − a ni
Dt ρ
Ecuación de Bernoulli
~
∂V ~ ⎛ V2 ~ ⎞ ⎛ V1 ~ ⎞
1 2 2
p2 p1
∫ ∂t ·d s +⎜ 2 + ρ − (g − a ni )·R 2 ⎟ ⎜ 2 + ρ − (g − a ni )·R 1 ⎟ = 0
⎜ ⎟−⎜
⎟
1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ~~
si V·∇ρ = 0 )

15. Marco de referencia rotacional con movimiento constante
r=r~, θ = ~ + Ωt , z = ~
θ z
~ ~ ~
Vr = Vr ; Vθ = Vθ + Ωt; Vz = Vz (o V = V + Ω × ~ )
r
~
DV DV ~
= ~ − Ω ri r + 2Ω × V
2
Dt Dt
Ecuación de Euler
~~
DV 1~ 2~ ~
~ = − ∇p + g + Ω r i r − 2Ω × V
Dt ρ
Ecuación de Bernoulli
1 ~~
DV ~ ⎛ V2
2
p2 ~ (Ω~2 )2
r ⎞ ⎛ V1 2 p1 ~ (Ω~ )2
r1 ⎞
∫ Dt
~ ·d s +⎜
⎜ 2 +
ρ
− g·R 2 −
2
⎟−⎜
⎟ ⎜ 2 + − g·R 1 −
ρ 2
⎟=0
⎟
1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ~~
si V·∇ρ = 0 )

16. Flujos especiales
Flujo barotrópico
Flujo irrotacional

18. Visualización de campos de flujo:

19. Ejemplo_4_2.m