Este documento resume conceptos clave de cálculo vectorial, incluyendo productos triples, reglas de derivadas de campos vectoriales como divergencia, rotacional y gradiente. También presenta dos identidades y dos productos vectoriales triples, además de los teoremas de divergencia de Gauss y Stokes.

1. Universidad Técnica de Loja
Escuela de Ingeniería Química
Mecánica de Fluidos
Resumen de Cálculo Vectorial
Productos triples
A · (B × C) = B · (C × A ) = C · (A × B )
A × (B × C ) = B(A · C ) − C(A · B )
Reglas de Producto
∇(f g ) = f ∇g + g ∇f
∇(A · B ) = A × (∇ × B ) + B × (∇ × A ) + (A · ∇ )B + (B · ∇ )A
∇ · (f A ) = f (∇ · A ) + A · (∇f )
Los siguientes resultados se aplican a cualquier campo escalar φ y a cualquier campo
vectorial v = v x ˆ x + v y ˆ y + v z ˆ z o Ω = Ω x ˆ x + Ω y ˆ y + Ω z ˆ z
i i i i i i
Derivadas de un campo vectorial:
∂v y ∂v z
∂v
div v = ∇ · v = x + + es un escalar.
∂x ∂x ∂x
∂v y ⎞ ⎛ ∂v
⎛ ∂v ∂v ⎞
⎛ ∂v ∂v ⎞
rot v = ∇ × v = ˆ x ⎜ z − ⎟ + ˆ y ⎜ x − z ⎟ + ˆ z ⎜ y − x ⎟ es un vector.
i⎜ ⎟ i ∂z i⎜
∂y ⎟
⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂x
⎝ ⎠
⎛ ∂φ ⎞
⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞
grad φ = ∇φ = ˆ x ⎜ ⎟ + ˆ y ⎜ ⎟ + ˆ z ⎜ ⎟ es un vector.
i i⎜ ⎟ i
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠
Dos identidades:
∇ × ∇φ = 0
∇ · (∇ × v ) = 0
Dos productos vectoriales triples:
1
v × (∇ × v ) = ∇(v · v ) − (v · ∇ )v
2
∇ × (v × Ω ) = (Ω · ∇ )v − (v · ∇ )Ω + v (∇ · Ω ) − Ω(∇ · v )
Teorema de la divergencia (Gauss): Sea V un dominio simplemente conexo, acotado
ˆ
por la superficie S, con vector normal unitario n , entonces
∫∫∫ (∇ · v )dV = ∫∫ v · ndS
ˆ
V S
∫∫∫ (∇φ)dV = ∫∫ φndS
ˆ
V S
Teorema de Stokes: Sea Γ una curva cerrada, limitando la superficie S, entonces
∫ v · dl = ∫∫ (∇ × v ) · ndS
ˆ
Γ S