Probabilidad 2

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Probabilidad 2

  1. 1. Probabilidad y Estad´ ısticaConceptos b´sicos, probabilidad condicional, regla de la cadena a y regla de Bayes Dr. H´ctor Avil´s e e Ingenier´ en Tecnolog´ de la Informaci´n ıa ıas o Universidad Polit´cnica de Victoria e Cd. Victoria Tamaulipas Enero-Abril 2012
  2. 2. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesContenido Conceptos b´sicos de probabilidad a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesH. Avil´s e UPV2/71
  3. 3. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesContenido Conceptos b´sicos de probabilidad a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesH. Avil´s e UPV3/71
  4. 4. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes “La probabilidad no es m´s que sentido com´n reducido a c´lculos” a u a Pierre Sim´n Laplace 1749 - 1827. o Teor´ anal´ ıa ıtica de probabilidad, 1820.H. Avil´s e UPV4/71
  5. 5. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud de la ocurrencia de eventosH. Avil´s e UPV5/71
  6. 6. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud de la ocurrencia de eventos Frases como “Estoy casi seguro que llover´ hoy” o “Tenemos a un 90% de probabilidad de ganar el juego” son comunes en nuestro lenguaje cotidianoH. Avil´s e UPV5/71
  7. 7. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud de la ocurrencia de eventos Frases como “Estoy casi seguro que llover´ hoy” o “Tenemos a un 90% de probabilidad de ganar el juego” son comunes en nuestro lenguaje cotidiano Desafortunadamente, declaraciones as´ suelen no tener m´s ı a sustento que nuestra propia creenciaH. Avil´s e UPV5/71
  8. 8. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud de la ocurrencia de eventos Frases como “Estoy casi seguro que llover´ hoy” o “Tenemos a un 90% de probabilidad de ganar el juego” son comunes en nuestro lenguaje cotidiano Desafortunadamente, declaraciones as´ suelen no tener m´s ı a sustento que nuestra propia creencia Con la teor´ de probabilidad podemos sistematizar tales ıa afirmaciones a trav´s de un conjunto de axiomas o reglas de e operaci´n, un espacio muestral y eventos con probabilidades o relacionadas a ellosH. Avil´s e UPV5/71
  9. 9. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:H. Avil´s e UPV6/71
  10. 10. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde: L es un espacio muestral no vac´ ıoH. Avil´s e UPV6/71
  11. 11. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde: L es un espacio muestral no vac´ ıo E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto, E podr´ ser el conjunto potencia de L) ıaH. Avil´s e UPV6/71
  12. 12. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde: L es un espacio muestral no vac´ ıo E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto, E podr´ ser el conjunto potencia de L) ıa P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los o eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda e seguridad)H. Avil´s e UPV6/71
  13. 13. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde: L es un espacio muestral no vac´ ıo E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto, E podr´ ser el conjunto potencia de L) ıa P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los o eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda e seguridad) Sea A ∈ E , 0 ≤ P(A) ≤ 1H. Avil´s e UPV6/71
  14. 14. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde: L es un espacio muestral no vac´ ıo E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto, E podr´ ser el conjunto potencia de L) ıa P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los o eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda e seguridad) Sea A ∈ E , 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(L) = 1H. Avil´s e UPV6/71
  15. 15. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde: L es un espacio muestral no vac´ ıo E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto, E podr´ ser el conjunto potencia de L) ıa P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los o eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda e seguridad) Sea A ∈ E , 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(L) = 1 P(∅) = 0H. Avil´s e UPV6/71
  16. 16. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda, entoncesH. Avil´s e UPV7/71
  17. 17. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda, entonces L = {´guila, sol} aH. Avil´s e UPV7/71
  18. 18. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda, entonces L = {´guila, sol} a E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son a a A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento a a “el resultado es sol” (B = {sol})H. Avil´s e UPV7/71
  19. 19. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda, entonces L = {´guila, sol} a E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son a a A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento a a “el resultado es sol” (B = {sol}) Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones: oH. Avil´s e UPV7/71
  20. 20. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda, entonces L = {´guila, sol} a E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son a a A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento a a “el resultado es sol” (B = {sol}) Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones: o 1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o ´H. Avil´s e UPV7/71
  21. 21. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda, entonces L = {´guila, sol} a E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son a a A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento a a “el resultado es sol” (B = {sol}) Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones: o 1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o ´ 2 P2 (A) = 0.7 y P2 (B) = 0.3, P2 (∅) = 0, P2 (A ∪ B) = 1, o ´H. Avil´s e UPV7/71
  22. 22. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda, entonces L = {´guila, sol} a E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son a a A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento a a “el resultado es sol” (B = {sol}) Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones: o 1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o ´ 2 P2 (A) = 0.7 y P2 (B) = 0.3, P2 (∅) = 0, P2 (A ∪ B) = 1, o ´ 3 P3 (A) = 0.4 y P3 (B) = 0.6, P3 (∅) = 0, P3 (A ∪ B) = 1, o ´H. Avil´s e UPV7/71
  23. 23. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda, entonces L = {´guila, sol} a E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son a a A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento a a “el resultado es sol” (B = {sol}) Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones: o 1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o ´ 2 P2 (A) = 0.7 y P2 (B) = 0.3, P2 (∅) = 0, P2 (A ∪ B) = 1, o ´ 3 P3 (A) = 0.4 y P3 (B) = 0.6, P3 (∅) = 0, P3 (A ∪ B) = 1, o ´ 4 ...H. Avil´s e UPV7/71
  24. 24. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´ ´ ıo, sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila} o a y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila}) a aH. Avil´s e UPV8/71
  25. 25. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´ ´ ıo, sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila} o a y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila}) a a En la pr´ctica frecuentemente podemos omitir la definici´n de a o E si se precisan los eventos de inter´s eH. Avil´s e UPV8/71
  26. 26. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´ ´ ıo, sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila} o a y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila}) a a En la pr´ctica frecuentemente podemos omitir la definici´n de a o E si se precisan los eventos de inter´s e En algunos problemas pr´cticos s´lo conoceremos las a o probabilidades para eventos simples; sin embargo, el resto se puede inferirH. Avil´s e UPV8/71
  27. 27. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´ ´ ıo, sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila} o a y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila}) a a En la pr´ctica frecuentemente podemos omitir la definici´n de a o E si se precisan los eventos de inter´s e En algunos problemas pr´cticos s´lo conoceremos las a o probabilidades para eventos simples; sin embargo, el resto se puede inferir En el ejemplo anterior siendo A y B exhaustivos colectivamente (es decir, A ∪ B = L) y disjuntos entre s´ ı (A ∩ B) = ∅, se tiene que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1 = P(L)H. Avil´s e UPV8/71
  28. 28. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para a definir P):H. Avil´s e UPV9/71
  29. 29. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para a definir P): Por enfoque frecuentista, de estimaci´n, o experiencia, cuando o se ha observado que un suceso B ha ocurrido mB veces de un total de m repeticiones (i.e., P(B) = mB ) mH. Avil´s e UPV9/71
  30. 30. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para a definir P): Por enfoque frecuentista, de estimaci´n, o experiencia, cuando o se ha observado que un suceso B ha ocurrido mB veces de un total de m repeticiones (i.e., P(B) = mB ) m Por enfoque cl´sico o a priori cuando un suceso A puede a ocurrir de nA formas de un total de n maneras posibles en el espacio muestral (i.e., P(A) = nnA )H. Avil´s e UPV9/71
  31. 31. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para a definir P): Por enfoque frecuentista, de estimaci´n, o experiencia, cuando o se ha observado que un suceso B ha ocurrido mB veces de un total de m repeticiones (i.e., P(B) = mB ) m Por enfoque cl´sico o a priori cuando un suceso A puede a ocurrir de nA formas de un total de n maneras posibles en el espacio muestral (i.e., P(A) = nnA ) De manera subjetiva (i.e., suposici´n o creencia personal) oH. Avil´s e UPV9/71
  32. 32. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Como ejemplo del enfoque frecuentista, se dice que un matem´tico adinerado pidi´ a sus trabajadores lanzar a o monedas miles de veces, cayendo “sol” aproximadamente la mitad de las vecesH. Avil´s e UPV10/71
  33. 33. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Como ejemplo del enfoque frecuentista, se dice que un matem´tico adinerado pidi´ a sus trabajadores lanzar a o monedas miles de veces, cayendo “sol” aproximadamente la mitad de las veces Si elegimos el m´todo cl´sico, que caiga “cara” es uno de dos e a resultados posibles del espacio muestral, entonces su probabilidad es 1 = 0.5 2H. Avil´s e UPV10/71
  34. 34. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a Como ejemplo del enfoque frecuentista, se dice que un matem´tico adinerado pidi´ a sus trabajadores lanzar a o monedas miles de veces, cayendo “sol” aproximadamente la mitad de las veces Si elegimos el m´todo cl´sico, que caiga “cara” es uno de dos e a resultados posibles del espacio muestral, entonces su probabilidad es 1 = 0.5 2 En el mismo ejemplo, las opciones 2 y 3 se eligieron por suposici´n (la moneda podr´ no ser “justa”) o ıaH. Avil´s e UPV10/71
  35. 35. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a En general, al definir un espacio de probabilidad creamos un modelo matem´tico cuya precisi´n y utilidad debe contrastarse con a o la realidadH. Avil´s e UPV11/71
  36. 36. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes a Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada u Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅, P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An )H. Avil´s e UPV12/71
  37. 37. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes a Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada u Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅, P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An ) Si adem´s son exhaustivos colectivamente, es decir, a (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = L, entonces P(A1 ∪A2 ∪...∪An ) = P(L) = P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) = 1H. Avil´s e UPV12/71
  38. 38. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes a Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada u Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅, P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An ) Si adem´s son exhaustivos colectivamente, es decir, a (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = L, entonces P(A1 ∪A2 ∪...∪An ) = P(L) = P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) = 1 Si A1 ⊂ A2 , entonces P(A1 ) ≤ P(A2 ) y P(A2 − A1 ) = P(A2 ) − P(A1 )H. Avil´s e UPV12/71
  39. 39. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes a Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada u Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅, P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An ) Si adem´s son exhaustivos colectivamente, es decir, a (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = L, entonces P(A1 ∪A2 ∪...∪An ) = P(L) = P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) = 1 Si A1 ⊂ A2 , entonces P(A1 ) ≤ P(A2 ) y P(A2 − A1 ) = P(A2 ) − P(A1 ) P(A ) = 1 − P(A)H. Avil´s e UPV12/71
  40. 40. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes a Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son a o no disjuntos), entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)H. Avil´s e UPV13/71
  41. 41. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes a Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son a o no disjuntos), entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) −P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C )H. Avil´s e UPV13/71
  42. 42. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes a Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son a o no disjuntos), entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) −P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C ) Para dos sucesos A y B, P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B )H. Avil´s e UPV13/71
  43. 43. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes a Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son a o no disjuntos), entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) −P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C ) Para dos sucesos A y B, P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B ) Generalizando, si un suceso A puede resultar en uno de los sucesos mutuamente excluyentes A1 , A2 , ..., An entonces P(A) = P(A ∩ A1 ) + P(A ∩ A2 ) + ... + P(A ∩ An )H. Avil´s e UPV13/71
  44. 44. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:H. Avil´s e UPV14/71
  45. 45. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado: L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}H. Avil´s e UPV14/71
  46. 46. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado: L = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamenteH. Avil´s e UPV14/71
  47. 47. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado: L = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente Siguiendo el modelo cl´sico, cada resultado es 1 de 6 posibles, a as´ P(A1 ) = 1 , P(A2 ) = 1 , P(A3 ) = 6 , ... ı 6 6 1H. Avil´s e UPV14/71
  48. 48. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado: L = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente Siguiendo el modelo cl´sico, cada resultado es 1 de 6 posibles, a as´ P(A1 ) = 1 , P(A2 ) = 1 , P(A3 ) = 6 , ... ı 6 6 1 Ya que s´lo un evento puede ocurrir a la vez (i.e., o A1 , A2 , A3 , ... son disjuntos) y su uni´n produce L, o P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 ) = P(L) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(A6 ) = 1 + 1 + ... + 1 = 1 6 6 6H. Avil´s e UPV14/71
  49. 49. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado: L = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente Siguiendo el modelo cl´sico, cada resultado es 1 de 6 posibles, a as´ P(A1 ) = 1 , P(A2 ) = 1 , P(A3 ) = 6 , ... ı 6 6 1 Ya que s´lo un evento puede ocurrir a la vez (i.e., o A1 , A2 , A3 , ... son disjuntos) y su uni´n produce L, o P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 ) = P(L) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(A6 ) = 1 + 1 + ... + 1 = 1 6 6 6 Recordar: A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 implica que puede ocurrir A1 , ´ A2 , ´ A3 ... o oH. Avil´s e UPV14/71
  50. 50. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un evento B es “que resulte un n´mero impar”, el u subconjunto relacionado es {1, 3, 5} (i.e., 1 o 3 ´ 5) y ´ o P(B) = P(A1 ∪ A3 ∪ A5 ) = P(A1 ) + P(A3 ) + P(A5 ) = 1 1 1 3 1 6 + 6 + 6 = 6 = 2H. Avil´s e UPV15/71
  51. 51. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un evento B es “que resulte un n´mero impar”, el u subconjunto relacionado es {1, 3, 5} (i.e., 1 o 3 ´ 5) y ´ o P(B) = P(A1 ∪ A3 ∪ A5 ) = P(A1 ) + P(A3 ) + P(A5 ) = 1 1 1 3 1 6 + 6 + 6 = 6 = 2 1 1 Ya que A1 ⊂ B, entonces P(A1 ) = 6 < P(B) = 2 y 1 P(B − A1 ) = P(B) − P(A1 ) = 2 − 1 = 2 6 6H. Avil´s e UPV15/71
  52. 52. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Si un evento B es “que resulte un n´mero impar”, el u subconjunto relacionado es {1, 3, 5} (i.e., 1 o 3 ´ 5) y ´ o P(B) = P(A1 ∪ A3 ∪ A5 ) = P(A1 ) + P(A3 ) + P(A5 ) = 1 1 1 3 1 6 + 6 + 6 = 6 = 2 1 1 Ya que A1 ⊂ B, entonces P(A1 ) = 6 < P(B) = 2 y 1 P(B − A1 ) = P(B) − P(A1 ) = 2 − 1 = 2 6 6 Si el evento es “que el resultado sea cualquier n´mero excepto u el 2”, A2 = {1, 3, 4, 5, 6} y su probabilidad es 5 P(A2 ) = P(L − A2 ) = P({1, 3, 4, 5, 6}) = 6H. Avil´s e UPV15/71
  53. 53. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Consideremos nuevamente el evento B ´ {1, 3, 5}, y el evento o A1 = {1}. Ambos conjuntos son no disjuntos, (B ∩ A1 ) = {1}. Por tanto, la probabilidad de P(B ∪ A1 ) = P(B) + P(A1 ) − P(B ∩ A1 ) = 3 + 6 − 6 = 3 6 1 1 6H. Avil´s e UPV16/71
  54. 54. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Consideremos nuevamente el evento B ´ {1, 3, 5}, y el evento o A1 = {1}. Ambos conjuntos son no disjuntos, (B ∩ A1 ) = {1}. Por tanto, la probabilidad de P(B ∪ A1 ) = P(B) + P(A1 ) − P(B ∩ A1 ) = 3 + 6 − 6 = 3 6 1 1 6 Para P(B ∪ A1 ∪ A3 ) = P(B) + P(A1 ) + P(A3 ) − P(B ∩ A1 ) −P(A1 ∩ A3 ) − P(A3 ∩ B) + P(B ∩ A1 ∩ A3 ) = 3 1 1 1 1 3 6 + 6 + 6 − 6 −0− 6 +0= 6H. Avil´s e UPV16/71
  55. 55. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo a Consideremos nuevamente el evento B ´ {1, 3, 5}, y el evento o A1 = {1}. Ambos conjuntos son no disjuntos, (B ∩ A1 ) = {1}. Por tanto, la probabilidad de P(B ∪ A1 ) = P(B) + P(A1 ) − P(B ∩ A1 ) = 3 + 6 − 6 = 3 6 1 1 6 Para P(B ∪ A1 ∪ A3 ) = P(B) + P(A1 ) + P(A3 ) − P(B ∩ A1 ) −P(A1 ∩ A3 ) − P(A3 ∩ B) + P(B ∩ A1 ∩ A3 ) = 3 1 1 1 1 3 6 + 6 + 6 − 6 −0− 6 +0= 6 Si A = {1, 2} ´ “el resultado es 1 ´ 2” y B = {2, 4, 6}, o o P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B ) = P({1}) + P({2}) = 2 6H. Avil´s e UPV16/71
  56. 56. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejercicios a Considere el experimento aleatorio “lanzar un dado dos veces” Describa gr´ficamente su espacio muestral a Asigne probabilidades iguales a cada salida Describa los conjuntos de los siguientes eventos: a) A ´ “el o resultado en el primer lanzamiento es 1”, B ´ “el resultado en o el segundo lanzamiento es 5”, C ´ “la suma de ambos o resultados es 6” y D ´ “ambos n´meros son iguales”, E ´ o u o “salga 7 u 11” Calcule P(A), P(B), P(C ) y P(D), P(C ∪ A) , P(A ∪ D ∪ B), P(E )H. Avil´s e UPV17/71
  57. 57. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejercicios a Considere el experimento aleatorio “Sacar una ficha de una bolsa que contiene 3 fichas marcadas con una X, 1 ficha con una carita feliz y 4 fichas de carita triste”. Calcule la probabilidad de elegir: a) una ficha X, b) una ficha de carita feliz y c) una ficha de carita triste, d) que no sea una X, y e) que sea de X o carita triste Un ni˜o est´ jugando con 5 cubos numerados del 1 al 5. Si n a los coloca al azar en fila: a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el a n´mero resultante sea menor a 20,000?, b) ¿Cu´l es la u a probabilidad de que resulte mayor de 40,000?H. Avil´s e UPV18/71
  58. 58. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Ejercicios a Un examen consta de 10 preguntas y 10 respuestas dadas. a) ¿Cu´l es la probabilidad de contestar correctamente el examen a si las respuestas se eligen de manera aleatoria? b) Si la primera pregunta se respondi´ bien ¿Cu´l es la probabilidad o a de sacar bien el resto del examen? De una baraja inglesa de 52 cartas (13 valores y 4 palos) se extraen todas las cartas marcadas con tr´boles. Si las cartas e restantes est´n ordenadas al azar y se toma una de ellas: a) a ¿Cu´l es la probabilidad de que la carta sea del palo de a diamantes? b) ¿Cu´l es la probabilidad de que la carta sea de a corazones y con valor mayor o igual a 10?, c) ¿Cu´l es la a probabilidad si se considera tambi´n que sea un as de pica? eH. Avil´s e UPV19/71
  59. 59. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a En resumen, para definir un espacio de probabilidad se requiere:H. Avil´s e UPV20/71
  60. 60. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a En resumen, para definir un espacio de probabilidad se requiere: Un espacio muestralH. Avil´s e UPV20/71
  61. 61. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a En resumen, para definir un espacio de probabilidad se requiere: Un espacio muestral Un conjunto de eventos posibles (definidos todos en el espacio muestral)H. Avil´s e UPV20/71
  62. 62. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a En resumen, para definir un espacio de probabilidad se requiere: Un espacio muestral Un conjunto de eventos posibles (definidos todos en el espacio muestral) La funci´n de probabilidad para los eventos de dicho conjunto oH. Avil´s e UPV20/71
  63. 63. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad a En resumen, para definir un espacio de probabilidad se requiere: Un espacio muestral Un conjunto de eventos posibles (definidos todos en el espacio muestral) La funci´n de probabilidad para los eventos de dicho conjunto o Si las probabilidades de eventos compuestos por dos o m´s a eventos simples no son dadas, se pueden calcular mediante operaciones definidas en la teor´ probabilidad ıaH. Avil´s e UPV20/71
  64. 64. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesContenido x Conceptos b´sicos de probabilidad a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesH. Avil´s e UPV21/71
  65. 65. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Maths in neon at Autonomy in Cambridge http://www.flickr.com/photos/mattbuck007/3676624894/H. Avil´s e UPV22/71
  66. 66. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un segundo evento BH. Avil´s e UPV23/71
  67. 67. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un segundo evento B Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia): oH. Avil´s e UPV23/71
  68. 68. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un segundo evento B Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia): o Que llueva si no pague mi recibo de luzH. Avil´s e UPV23/71
  69. 69. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un segundo evento B Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia): o Que llueva si no pague mi recibo de luz Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en TabascoH. Avil´s e UPV23/71
  70. 70. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un segundo evento B Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia): o Que llueva si no pague mi recibo de luz Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en Tabasco Que a una persona cualquiera le guste la pizza cuando a otra le gusta el pollo rostizadoH. Avil´s e UPV23/71
  71. 71. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un segundo evento B Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia): o Que llueva si no pague mi recibo de luz Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en Tabasco Que a una persona cualquiera le guste la pizza cuando a otra le gusta el pollo rostizado Al lanzar dos dados, el n´mero que sale en un dado no afecta u el resultado de otroH. Avil´s e UPV23/71
  72. 72. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un segundo evento B Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia): o Que llueva si no pague mi recibo de luz Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en Tabasco Que a una persona cualquiera le guste la pizza cuando a otra le gusta el pollo rostizado Al lanzar dos dados, el n´mero que sale en un dado no afecta u el resultado de otro ...H. Avil´s e UPV23/71
  73. 73. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros eventos (aparentemente):H. Avil´s e UPV24/71
  74. 74. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros eventos (aparentemente): Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo eH. Avil´s e UPV24/71
  75. 75. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros eventos (aparentemente): Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo e Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el segundo tiempoH. Avil´s e UPV24/71
  76. 76. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros eventos (aparentemente): Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo e Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el segundo tiempo Que repruebe un examen dado que no estudi´ eH. Avil´s e UPV24/71
  77. 77. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros eventos (aparentemente): Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo e Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el segundo tiempo Que repruebe un examen dado que no estudi´ e Que se ponche una llanta de un coche si ´sta tiene 10 a˜os de e n usoH. Avil´s e UPV24/71
  78. 78. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros eventos (aparentemente): Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo e Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el segundo tiempo Que repruebe un examen dado que no estudi´ e Que se ponche una llanta de un coche si ´sta tiene 10 a˜os de e n uso Enfermarse del est´mago al comer fuera del metro Quevedo o (no recomendable)H. Avil´s e UPV24/71
  79. 79. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros eventos (aparentemente): Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo e Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el segundo tiempo Que repruebe un examen dado que no estudi´ e Que se ponche una llanta de un coche si ´sta tiene 10 a˜os de e n uso Enfermarse del est´mago al comer fuera del metro Quevedo o (no recomendable) ...H. Avil´s e UPV24/71
  80. 80. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B)H. Avil´s e UPV25/71
  81. 81. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B) A esto se le conoce como probabilidad condicional (siempre que A y B est´n definidos en el mismo espacio probabil´ e ıstico)H. Avil´s e UPV25/71
  82. 82. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B) A esto se le conoce como probabilidad condicional (siempre que A y B est´n definidos en el mismo espacio probabil´ e ıstico) La probabilidad condicional se representa como P(B|A), i.e., la probabilidad de (que ocurra) B dado (que ha sucedido) AH. Avil´s e UPV25/71
  83. 83. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B) A esto se le conoce como probabilidad condicional (siempre que A y B est´n definidos en el mismo espacio probabil´ e ıstico) La probabilidad condicional se representa como P(B|A), i.e., la probabilidad de (que ocurra) B dado (que ha sucedido) A Cuando la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B, entonces se dice que B es independiente (o no depende) estad´ ısticamente de AH. Avil´s e UPV25/71
  84. 84. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)H. Avil´s e UPV26/71
  85. 85. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B) Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de AH. Avil´s e UPV26/71
  86. 86. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B) Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A P(A∩B) En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0H. Avil´s e UPV26/71
  87. 87. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B) Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A P(A∩B) En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0 P(A ∩ B) ´ P(A ∧ B) ´ P(A, B), es la probabilidad conjunta o o de A y B, i.e., que sucedan “los dos”H. Avil´s e UPV26/71
  88. 88. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B) Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A P(A∩B) En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0 P(A ∩ B) ´ P(A ∧ B) ´ P(A, B), es la probabilidad conjunta o o de A y B, i.e., que sucedan “los dos” P(A) es conocida como probabilidad marginal de AH. Avil´s e UPV26/71
  89. 89. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B) Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A P(A∩B) En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0 P(A ∩ B) ´ P(A ∧ B) ´ P(A, B), es la probabilidad conjunta o o de A y B, i.e., que sucedan “los dos” P(A) es conocida como probabilidad marginal de A A la P(B|A) se le llama la probabilidad posterior de B dado AH. Avil´s e UPV26/71
  90. 90. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesConceptos b´sicos de probabilidad - Probabilidad acondicional Un evento A cualquiera est´ implicitamente condicionado al a espacio muestral L, as´ P(A|L) = P(A∩L) = P(A) = P(A) ı P(L) 1H. Avil´s e UPV27/71
  91. 91. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional P(B|A) = P(A∩B) indica que cuando un evento A sucede, la P(A) probabilidad del evento B es la raz´n de P(A ∩ B) con o respecto a P(A)H. Avil´s e UPV28/71
  92. 92. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional ¿Qu´ pasa con P(B|A), si como se muestra el ´rea (A, B) e a aumenta?H. Avil´s e UPV29/71
  93. 93. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional ¿Qu´ pasa con P(B|A), si como se muestra el ´rea (A, B) e a aumenta? Entonces P(B|A) aumentar´ tambi´n! a eH. Avil´s e UPV29/71
  94. 94. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Si P(A ∩ B) = ∅, entonces P(B|A) = P(A|B) = 0H. Avil´s e UPV30/71
  95. 95. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Si B ⊂ A, entonces P(A|B) = 1H. Avil´s e UPV31/71
  96. 96. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Un hecho importante de la probabilidad condicional es P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)H. Avil´s e UPV32/71
  97. 97. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Un hecho importante de la probabilidad condicional es P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B) Sin embargo, es com´n que P(A|B) = P(B|A) uH. Avil´s e UPV32/71
  98. 98. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Por otro lado, si B y A son independientes estad´ ısticamente (i.e., P(B|A) = P(B)), se tiene que P(A ∩ B) = P(A) × P(B)H. Avil´s e UPV33/71
  99. 99. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Por otro lado, si B y A son independientes estad´ ısticamente (i.e., P(B|A) = P(B)), se tiene que P(A ∩ B) = P(A) × P(B) N´tese que la interpretaci´n intuitiva de P(B|A) y P(A ∩ B), o o es similar y son proporcionales por un factor P(A)H. Avil´s e UPV33/71
  100. 100. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional Por otro lado, si B y A son independientes estad´ ısticamente (i.e., P(B|A) = P(B)), se tiene que P(A ∩ B) = P(A) × P(B) N´tese que la interpretaci´n intuitiva de P(B|A) y P(A ∩ B), o o es similar y son proporcionales por un factor P(A) De cu´l de las dos cantidades se disponga depender´ del a a problemaH. Avil´s e UPV33/71
  101. 101. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 1 Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la a probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra e bolita roja si hay reemplazo en el experimento?H. Avil´s e UPV34/71
  102. 102. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 1 Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la a probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra e bolita roja si hay reemplazo en el experimento? Considere dos eventos A = “Sacar una bola roja en el primer intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”H. Avil´s e UPV34/71
  103. 103. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 1 Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la a probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra e bolita roja si hay reemplazo en el experimento? Considere dos eventos A = “Sacar una bola roja en el primer intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento” P(A) = 3 y si hay reemplazo, P(B|A) = P(B) = 3 7 7H. Avil´s e UPV34/71
  104. 104. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 1 Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la a probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra e bolita roja si hay reemplazo en el experimento? Considere dos eventos A = “Sacar una bola roja en el primer intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento” P(A) = 3 y si hay reemplazo, P(B|A) = P(B) = 3 7 7 P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 3 × 3 = 49 7 7 9H. Avil´s e UPV34/71
  105. 105. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 2 Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la a probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra e roja si no hay reemplazo en el experimento?H. Avil´s e UPV35/71
  106. 106. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 2 Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la a probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra e roja si no hay reemplazo en el experimento? Considere los eventos A = “Sacar una bola roja en el primer intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”H. Avil´s e UPV35/71
  107. 107. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 2 Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la a probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra e roja si no hay reemplazo en el experimento? Considere los eventos A = “Sacar una bola roja en el primer intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento” P(A) = 3 y si no hay reemplazo, P(B|A) = 6 7 2H. Avil´s e UPV35/71
  108. 108. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 2 Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la a probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra e roja si no hay reemplazo en el experimento? Considere los eventos A = “Sacar una bola roja en el primer intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento” P(A) = 3 y si no hay reemplazo, P(B|A) = 6 7 2 3 2 6 P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = 7 × 6 = 42H. Avil´s e UPV35/71
  109. 109. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 3 Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A = “Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7 ıH. Avil´s e UPV36/71
  110. 110. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 3 Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A = “Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7 ı Si se realizan dos lanzamientos independientes:H. Avil´s e UPV36/71
  111. 111. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 3 Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A = “Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7 ı Si se realizan dos lanzamientos independientes: P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49H. Avil´s e UPV36/71
  112. 112. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 3 Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A = “Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7 ı Si se realizan dos lanzamientos independientes: P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49 P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21H. Avil´s e UPV36/71
  113. 113. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 3 Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A = “Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7 ı Si se realizan dos lanzamientos independientes: P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49 P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21 P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.3 = 0.21H. Avil´s e UPV36/71
  114. 114. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 3 Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A = “Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7 ı Si se realizan dos lanzamientos independientes: P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49 P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21 P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.3 = 0.21 P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.3 = 0.09H. Avil´s e UPV36/71
  115. 115. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 3 Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A = “Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7 ı Si se realizan dos lanzamientos independientes: P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49 P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21 P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.3 = 0.21 P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.3 = 0.09 Note que la probabilidad de estas combinaciones suma a 1H. Avil´s e UPV36/71
  116. 116. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 4 Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A = “Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5}) uH. Avil´s e UPV37/71
  117. 117. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 4 Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A = “Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5}) u 3 1 P(A) = 6 y P(B) = 6H. Avil´s e UPV37/71
  118. 118. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 4 Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A = “Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5}) u P(A) = 3 y P(B) = 1 6 6 1 P(A ∩ B) = P({5}) = 6H. Avil´s e UPV37/71
  119. 119. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 4 Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A = “Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5}) u P(A) = 3 y P(B) = 1 6 6 P(A ∩ B) = P({5}) = 1 6 P(B|A) = P(A∩B) = 1/6 = 6/18 = 3/9 = 1/3 P(A) 3/6H. Avil´s e UPV37/71
  120. 120. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 4 Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A = “Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5}) u P(A) = 3 y P(B) = 1 6 6 P(A ∩ B) = P({5}) = 1 6 P(B|A) = P(A∩B) = 1/6 = 6/18 = 3/9 = 1/3 P(A) 3/6 P(A∩B) 1/6 P(A|B) = P(B) = 1/6 = 6/6 = 1H. Avil´s e UPV37/71
  121. 121. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 4 Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A = “Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5}) u P(A) = 3 y P(B) = 1 6 6 P(A ∩ B) = P({5}) = 1 6 P(B|A) = P(A∩B) = 1/6 = 6/18 = 3/9 = 1/3 P(A) 3/6 P(A∩B) 1/6 P(A|B) = P(B) = 1/6 = 6/6 = 1 N´tese que P(A|B) = P(B|A) oH. Avil´s e UPV37/71
  122. 122. Conceptos b´sicos a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de BayesProbabilidad condicional - Ejemplo 5 Una f´brica produce partes que son o buenas (95%), o con a defectos menores (4%), o para la basura (1%). Las partes pasan por una inspecci´n que siempre detecta las que son o basura para descartarlas. ¿Cu´l es la probabilidad de que se a embarque una pieza buena?H. Avil´s e UPV38/71

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