bài toán nghiệm kép

1. Biên soạn: Nguyễn Thế Duy Facebook: Starfc.Manunited
MoonAcademy.vn - Học để khẳng định mình 1 Hotline: 0432 99 9696
BÀI TOÁN
LIÊN HỢP VỚI NGHIỆM KÉP HỮU TỈ
Biên soạn NGUYỄN THẾ DUY
I, Lý thuyết cơ bản.
Hai cách để kiểm tra tính chất nghiệm của phương trình, tính chất nghiệm kép.
Cách 1. Dùng bảng TABLE ( Mode 7 ) để khảo sát đồ thị hàm số.
Ví dụ. Ta xét bài toán phương trình sau  2 1 2 2 1x x x x     .
Sử dụng chức năng TABLE ( mode 7 ) với điều kiện
1
2
x  nên ta có bảng sau:
X F(X)
0.5 0.5857
1 0
1.5 0.1362
2 0.4395
2.5 0.8377
3 1.2998
3.5 1.8088
4 2.3542
4.5 2.9289
5 3.5178
Từ bảng giá trị trên, ta nhận đấy đồ thị có dấu hiệu như một parabol tiếp xúc với trục hoành tại nghiệm duy
nhất.
Cách 2. Dùng tính chất đạo hàm.
Ví dụ. Ta xét bài toán phương trình sau  2 1 2 2 1x x x x     .
Trước hết, sử dụng máy tính CASIO với chức năng SHIFT CALC để tìm nghiệm của phương trình, với bài
trên ta tìm được nghiệm là 1x  . Sau đó ta xét giá trị   1
2 1 2 2 1
x
d
x x x
dx 
    được hiểu là thay giá
trị 1x  vào biểu thức đạo hàm cấp 1 của hàm số   2 1 2 2 1f x x x x     và
  1
2 1 2 2 1 0
x
d
x x x
dx 
     .
Do đó kết luận 1x  chính là nghiệm kép của phương trình.
Tìm biểu thức liên hợp với căn thức.
 Xét với căn thức  f x có biểu thức liên hợp là ax b hoặc 2
ax bx c  .
 Bây giờ ta cần tìm ,a b sao cho  ax b f x  khi liên hợp sẽ xuất hiện nghiệm kép. Vậy nên ta
sẽ xét được như sau:
o Giả sử, nó có nghiệm kép 0x x nên ta có  0 0 0ax b f x   .
o Đạo hàm của hàm số   ax b f x  tại 0x x bằng 0 . Hay      0
' '
x x
ax b f x

  .

2. Biên soạn: Nguyễn Thế Duy Facebook: Starfc.Manunited
MoonAcademy.vn - Học để khẳng định mình 2 Hotline: 0432 99 9696
o Khi đó ,a b là nghiệm của hệ phương trình
 
     0
0 0 0
' '
x x
ax b f x
ax b f x

   


 

.
II, Các bài toán ví dụ.
Ví dụ 1. Giải phương trình 2 24
4 5 3 4 8x x x x x
x
        trên tập số thực.
LỜI GIẢI. Điều kiện: 0x  . Kiểm tra tính chất nghiệm, thấy có nghiệm kép 2x  .
Ta có 2 2 2 2
2 2
3
4 8 4 5 4 8 4 5 3 0
4 8 4 5
x x x x x x x x
x x x x
             
    
.
Do đó suy ra
2
2 24 4
4 8 4 5 3 0 0 0
x
x x x x x x
x x

             .
Cách 1. Phương trình đã cho tương đương với 2 24
4 4 5 1 4 8 0x x x x x
x
         
   
2
2 2 22 2
2 2 2 2
4 5 1 4 8 24 4 2 4 5 2
0 0
4 5 4 8 1 4 5 4 8 1
x x x x xx x x x
x xx x x x x x x x
          
     
           
   
  
 
  
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
0
4 5 4 8 1 4 5 1
1 2
2 0 2
4 5 4 8 1 4 5 1
x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
 
  
        
 
      
 
          
Vì
  2 2 2
1 2
0; 0
4 5 4 8 1 4 5 1
x
x x x x x x x
   
        
.
Cách 2. Khi đó (1)
   
2
2 24
3 2 4 2 1
x
x x
x

       
   
   
2 22
2 2
2 4 2 14
3
2 4 2 1
x xx
x x x
    
  
    
   
2
2 2
4 3
3
2 4 2 1
x
x x x

  
    
(2)
   
   
2 22
2 4 24
VP 2 0 0 0 VT 2 4 4.
x x xx
x
x x x
  
         
Mặt khác      
3
VP 2 3 4 VT 2 VP 2 .
4 1
    

Dấu " " xảy 2,x  thử lại đã thỏa mãn (1)
Đ/s: 2x 
Ví dụ 2. Giải phương trình   2 2
4 5 12 3x x x     trên tập số thực dương.
LỜI GIẢI. Điều kiện: 0 5x  .
Phương trình đã cho tương đương với:   2 2
2 4 5 2 3 24 0x x x     

3. Biên soạn: Nguyễn Thế Duy Facebook: Starfc.Manunited
MoonAcademy.vn - Học để khẳng định mình 3 Hotline: 0432 99 9696
    2 2 2
4 2 5 5 2 3 3 2 1 0x x x x x x x            
    
     
2 2
2 2
2 2
5 4 1 3 1
1 0 1 . 0 1
2 5 5 2 3 3
x x x
x x f x x
x x x x
   
         
     
.
Với  
 
2 2
5 43
1 0; 0
2 3 3 2 5 5
x
f x x
x x x x

     
     
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 1x  .
[Note]. Giải hệ phương trình
 
 
 
2
2 5 17 12 4 3 15
,
3
4 4 1
x x y y y x
x y
x y
x
        


    


Lời giải:
Điều kiện:  0;3 ; 4 0x y   .
Nhận thấy 4 0y   không là nghiệm của hệ nên từ phương trình thứ hai của hệ, ta có:
     3 3 3
4 4 1 4 4 4 4 3 4
4
x x
x y x y x x y x x x
x yx
 
               

Mà  
2
2 4 4x x x    và    5 17 5 4 3x y y x      ,    3 15 3 3 4y x x y      .
Nên phương trình một trong hệ trở thành:
       
3
4 5 4 3 12 4 3 3 4
4
x
y x y x y
y
 
          
 
  2 23 3 3
4 5 12 3 4 5 12 3
4 4 4
x x x
t t t
y y y
   
            
   
với
3
0
4
x
t
y

 

.
      2 2 2 2 2
2 4 5 2 3 24 0 4 2 5 5 2 3 3 2 1 0t t t t t t t t t t                   
    
     
2 2
2 2
2 2
5 4 1 3 1
1 0 1 . 0 1 3 4 1 0
2 5 5 2 3 3
t t t
t t f t t x y x y
t t t t
   
                 
     
.
Với  
 
2 2
5 43
1 0; 0
2 3 3 2 5 5
t
f t t
t t t t

     
     
.
Khi đó hệ đã cho trở thành
1 0 9 4 5
4 1 4 5 10
x y x
x x y
     
 
    
( thỏa mãn điều kiện ban đầu ).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là    ; 9 4 5;4 5 10x y    .
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
 
   
 2
2 3
,
2 4 3 2 5 4 3 3
x y x y x y
x y
x y y x y y x
     

        

PHÂN TÍCH CASIO. Quan sát phương trình hai của hệ, một phương trình khá dài và phức tạp nên ta sẽ
đi xét phương trình một để tìm mối quan hệ giữa ,x y . Xét phương trình  2 3x y x y x y     .

4. Biên soạn: Nguyễn Thế Duy Facebook: Starfc.Manunited
MoonAcademy.vn - Học để khẳng định mình 4 Hotline: 0432 99 9696
 Chọn 1y  suy ra  1 1 3x x x    . Dùng máy tính CASIO với chức năng SHIFT CALC ta
được nghiệm 5 1 4 4x y     .
 Chọn 100y  suy ra  98 100 300x x x    . Dùng máy tính CASIO với chức năng SHIFT
CALC ta được nghiệm 104 100 4 4x y     .
Do đó nhân tử cần tìm đó chính là 4 0x y   . Chính vì thế ta sẽ ghép biểu thức liên hợp giữa x y
với 2 ta được như sau:     2 3 2 2 4 0x y x y x y x y x y x y             
     2 2 2 2 0x y x y x y x y          
  2 0 2 4x y x y x y x y x y             vì 5 0x y x y x y       .
Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, chúng ta có    2
4 4 1 2 2 9 4 29 55x x x x x        .
Với SHIFT CALC không khó để thấy phương trình   có nghiệm 5x  và ta sẽ kiểm tra tính chất
nghiệm bằng cách xét đạo hàm của hàm số     2
4 4 1 2 2 9 4 29 55f x x x x x x        , ta có:
 
 2 4 1
' 4 1 8 29
1 2 9
x
f x x x
x x

     
 
và có được  ' 5 0f  .
Đến đây ta khẳng định phương trình   có nghiệm kép là 5x  . Khi biết được tính chất nghiệm, chúng ta
sẽ đến các cách để giải quyết bài toán nghiệm kép như sau:
 Cách 1. Phương pháp liên hợp kép. Do phương trình   chứa hai căn thức bậc hai nên ta sẽ có hai
biểu thức liên hợp, đó là:
Đặt 1ax b x   , giải hệ phương trình
   
5
5
1
1 3
;
4 4' 1 '
x
x
ax b x
a b
ax b x


   

  
  

.
Biểu thức liên hợp cần tìm là 3 4 1x x   .
Đặt 2 9mx n x   , giải hệ phương trình
   
5
5
2 9
1; 4
' 2 9 '
x
x
mx n x
m n
mx n x


   

   
  

.
Biểu thức liên hợp cần tìm là 4 2 9x x   .
Do đó, phương trình   tương đương với:
      2
3 5 4 3 4 1 2 4 2 9 0x x x x x x          
 
2 4 2
5 3 0 5 1
3 4 1 4 2 9
x
x x y
x x x x
 
         
      
.
Vì
4 2 9
3 0;
23 4 1 4 2 9
x
x
x x x x

    
     
.
 Cách 2. Phương pháp đưa về tổng các đại lượng không âm. Do tìm được nghiệm kép 5x  nên
suy ra được  2 4 1x x   và 2 9 1x   do đó, ta có được:
     
 2 2 2 4 1
2 9 1 2 4 1 0 5
2 9 1
x x
x x x x
x
                
 
.

5. Biên soạn: Nguyễn Thế Duy Facebook: Starfc.Manunited
MoonAcademy.vn - Học để khẳng định mình 5 Hotline: 0432 99 9696
 Cách 3. Phương pháp đánh giá qua bất đẳng thức. Do với nghiệm duy nhất 5x  hay nói cách
khác với điểm rơi tại 5x  , áp dụng bất đẳng thức AM – GM, chúng ta
có:
    4 4 1 4 3
2 2 9 2 9 1 2 8
x x x x
x x x
     

     
.
Nên suy ra       
22
4 29 55 4 3 2 8 3 5 0 5x x x x x x x              .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là    ; 5;1x y  .
Ví dụ 4. Giải phương trình    2 2
2 3 1 4 3 6 2x x x x x x       .
PHÂN TÍCH CASIO. Như thường lệ, ta sẽ dùng chức năng SHIFT CALC của máy tính CASIO để dò
nghiệm của phương trình    2 2
2 3 1 4 3 6 2 0f x x x x x x        .
Nhập máy, ta thấy với điều kiện
3 3
;
2 2
x
 
  
 
ta sẽ gán các giá trị nguyên của x từ 1 1  và máy sẽ
báo hai nghiệm là 0; 1x x   . Tuy nhiên, đến đây mọi thứ vẫn chưa rõ ràng vì có nghiệm nhưng ta vẫn
loay hoay chưa biết liên hợp như thế nào. Vậy nên ta sẽ có thêm một bước nữa đó chính là xác định tính
chất nghiệm của phương trình. Tính chất nghiệm ở đây chính là có phải nghiệm bội hay không, không khó
khăn gì ta tính được đạo hàm cấp 1 của  f x là  
 2
2 2
2 2
3 12
' 2 3 4 3 6
3 4 3
x xx
f x x x
x x

      
 
.
 Với 0x  suy ra  ' 0 2 3 2 6 2 3 4 0f       .
 Với 1x   suy ra  ' 1 2.2 1 1 6 0f       .
Do đó, ta có được 1x   chính là nghiệm kép của phương trình đã cho. Và khẳng định được rằng phương
trình có một nghiệm 0x  và nghiệm kép 1x   . Mục đích của ta là “ tìm biểu thức liên hợp với hai căn
“ mà với nghiệm tìm được ta đưa ra các kết luận sau đây.
 Với biểu thức 2
2 3x x  đã chứa nghiệm 0x  nên ta cần liên hợp biểu thức 2
3x  với ax b
sao cho xuất hiện nghiệm kép 1x   . Do đó ta có hệ phương trình:
   
2
1
2
1
1
3
2
3' 3 '
2
x
x
ax b x a
ax b x b


      
 
    
 
Và biểu thức liên hợp là  2
2 3 3x x   .
 Với biểu thức   2
1 4 3x x  đã chứa nghiệm 1 0x   nên ta cần liên hợp biểu thức 2
4 3x
với mx n sao cho xuất hiện hai nghiệm 0; 1x x   . Do đó ta có
2 14 3
20; 1
mmx n x
nx x
    
 
   
.
Và biểu thức liên hợp là  2
4 3 2x x   .
Khi ghép biểu thức liên hợp, đại lượng còn dư là     3 1 2 6 2x x x x x      .
Do đó phương trình   0f x  tương đương với:      2 2
2 3 3 1 4 3 2 0x x x x x x           
   
.

6. Biên soạn: Nguyễn Thế Duy Facebook: Starfc.Manunited
MoonAcademy.vn - Học để khẳng định mình 6 Hotline: 0432 99 9696
           
 
 
 
2 22 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
4 3 3 1 4 3 2 3 1 4 1
0 0
2 3 3 4 3 2 2 3 3 4 3 2
1 0
3 4
1 0 3 4
02 3 3 4 3 2
2 3 3 4 3 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
x x x x
                   
           
  
  
      
         
     
Với phương trình   , ta sẽ chứng minh nó vô nghiệm bằng cách khảo sát tính chất của nó là đại lượng âm
hay dương bằng TABLE ( mode 7 ), khi đó sẽ dễ dàng hơn cho chúng ta ở việc chứng minh vô nghiệm.
 Nhập   2 2
3 4
2 3 3 4 3 2
F X
X X X X
 
     
 Nhập 0.8 0.8 0.2Start End Step      .
 Ta sẽ thấy tất cả giá trị đều cho   0F X  .
Nên ta có      2 2 2 2
3 4 3 2 4 2 3 3 0 3 4 3 8 3 7 6 0x x x x x x x                 .
   
2 2
2 2
2 2
9 15 192
3 4 3 2 7 8 3 0 0
4 3 2 7 8 3
x x
x x x
x x x
  
         
   
vô nghiệm.
LỜI GIẢI. Điều kiện:
3 3
;
2 2
x
 
  
 
Phương trình đã cho tương đương với:      2 2
2 3 3 1 4 3 2 0x x x x x x           
   
           
 
 
 
2 22 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
4 3 3 1 4 3 2 3 1 4 1
0 0
2 3 3 4 3 2 2 3 3 4 3 2
1 0
3 4
1 0 3 4
02 3 3 4 3 2
2 3 3 4 3 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
x x x x
                   
           
  
  
      
         
     
 
2 2
2 2
2 2
0; 1
0; 1
9 15 192
03 4 3 8 3 7 6 0
4 3 2 7 8 3
x x
x x
x x
vnx x x
x x x
  
                    
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 0; 1x x   .