Good Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them well
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1. 2010
INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
CECyT “WILFRIDO MASSIEU”
Departamento de Unidades de Aprendizaje
Del Área Básica
PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G.
CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES
2. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 2
PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS .
Verificación por derivación
3. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 3
4. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 4
5. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
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PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 5
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PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 7
8. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 8
ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas
las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas
contenidas en las integrales.
Identidades trigonométricas
Problema 1
xdx
xdx
dx
dx
x
x
dx
x
dx
x
sen
xdx
sen
2
cos
4
1
2
cos
2
1
4
1
2
cos
2
cos
2
1
4
1
2
cos
1
2
1
2
2
2
2
2
4
du
du
dx
du
x
u
2
2
2
dx
dv
dx
dv
x
v
2
2
2
1)
dx
sen4
6)
xdx
3
tan 11)
dx
x
x
sen 3
2
cos 16) xdx
x
tg 4
sec
4 4
3
2)
dx
sen5 7)
xdx
3
tan4
12) dx
x
x
sen 4
3
cos
17)
xdx
x
sen 2
3
cos
3)
xdx
3
cos4
8)
xdx
ctg 2
13)
xdx
x
sen 2
cos
2 3
5
18)
xdx
x 4
3
sec
tan
4)
xdx
2
cos5
9)
xdx
ctg 3
14)
xdx
x 5
3
sec
tan 19)
xdx
x 3
5
sec
tan
5)
xdx
2
tan 10)
dx
x
ctg 4
15)
xdx
x 6
3
sec
tan 20)
xdx
x
sen 3
3
cos
9. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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dv
v
senu
x
vdv
udu
x
dv
v
du
u
x
2
cos
1
2
1
8
1
4
1
4
1
cos
8
1
cos
4
1
4
1
2
cos
4
1
2
cos
2
1
4
1
2
2
vdv
dv
x
sen
x
dv
v
x
sen
x 2
cos
16
1
16
1
2
4
1
4
1
2
cos
1
16
1
2
4
1
4
1
dv
dw
dv
dw
v
w
2
2
2
x
sen
x
x
sen
x
senw
x
x
sen
x
dw
w
v
x
sen
x
4
32
1
8
1
2
4
1
4
1
32
1
2
16
1
2
4
1
4
1
2
cos
16
1
16
1
2
4
1
4
1
c
x
sen
x
sen
x
4
32
1
2
4
1
8
3
Problema 2
xsenxdx
xsenxdx
senxdx
dx
xsenx
xsenx
senx
senxdx
x
x
senxdx
x
dx
x
sen
senx
xdx
senxsen
xdx
sen
4
2
4
2
4
2
2
2
2
2
4
5
cos
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
2
1
cos
1
5
3
2
cos
2
cos
2
cos
5
3
4
2
4
2 v
u
x
dv
v
du
u
x
du
v
du
u
x
c
x
x
x
5
cos
cos
3
2
cos
5
3
senxdx
du
senxdx
du
x
u
cos
senxdx
dv
senxdx
dv
x
v
cos
10. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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Problema 3
Problema 4
Problema 5
dx
xdx
dx
x
xdx 2
2
2
sec
1
sec
tan
c
x
x
tan
Problema 6
xdx
xdx
x
xdx
x
xdx
x
xdx
tan
tan
sec
tan
1
sec
tan
tan
tan
2
2
2
3
xdx
du
x
u
2
sec
tan
c
x
Ln
u
c
x
Ln
udu
sec
2
sec
2
c
x
Ln
x
sec
2
tan2
11. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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Problema 7
du
u
u
udu
u
xdx 1
sec
tan
3
1
tan
tan
3
1
3
tan 2
2
2
2
4
du
u
du
u
u 2
2
2
tan
3
1
sec
tan
3
1
v = tg u ; dv = sec2
u du
)
3
(
3
1
3
tan
3
1
3
tan
9
1
3
1
tan
9
1
3
1
3
1
9
1
3
1
sec
3
1
3
3
1
1
sec
3
1
3
1
3
3
3
2
3
2
2
x
x
x
c
x
v
u
u
u
tg
v
du
udu
v
du
u
dv
v
c
x
x
x
3
tan
3
1
3
tan
9
1 3
Problema 8
dx
xdx
dx
x
xdx 2
2
2
csc
1
csc
cot c
x
ctgx
Problema 9
senx
Ln
du
u
xdx
xdx
x
dx
x
x
xdx
x
xdx
cot
csc
cot
1
csc
cot
cot
cot
cot
2
2
2
3
xdx
du
xdx
du
ctgx
u
2
2
csc
csc
senx
Ln
u
senx
Ln
udu
2
2
c
senx
Ln
x
ctg
2
2
Problema 10
xdx
xdx
x
dx
x
x
xdx
x
xdx
2
2
2
2
2
2
2
4
cot
csc
cot
1
csc
cot
cot
cot
cot
xdx
du
xdx
du
x
u
2
2
csc
csc
cot
dx
du
x
u
3
1
3
12. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
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c
x
x
ctg
u
dx
xdx
du
u
dx
x
du
u
3
csc
1
csc
3
2
2
2
2
c
x
x
x
cot
3
cot3
Problema 11
Problema 12
Problema 13
=
Problema 14
13. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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dx
x
x 5
3
sec
tan c
x
x
5
7
sec
5
1
sec
7
1
Problema 15
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
xdx
x
2
4
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
4
3
6
3
sec
)
tan
tan
2
1
(
tan
sec
tan
1
tan
sec
sec
tan
sec
sec
tan
sec
tan
xdx
x
xdx
x
xdx
x 2
7
2
5
2
3
sec
tan
sec
tan
2
sec
tan
c
u
u
u
u
du
u
du
u
8
6
2
4
2
8
6
4
7
5
3
c
x
x
x
8
tan
3
tan
4
tan 8
6
4
Problema 16
=
Problema 17
dx
senx
x
dx
senx
x
dx
senx
x
x
dx
senx
x
x
sen
xdx
x
sen
4
2
2
2
2
2
2
3
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
senxdx
du
senxdx
du
x
u
cos
c
u
u
du
u
du
u
5
3
5
3
4
2
c
x
x
5
cos
3
cos 5
3
xdx
du
x
u
2
sec
tan
14. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
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Problema 18
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
2
5
2
3
2
2
3
2
2
3
4
3
sec
tan
sec
tan
sec
tan
1
tan
sec
sec
tan
sec
tan
c
u
u
du
u
du
u
6
4
6
4
5
3
c
x
x
6
tan
4
tan 6
4
Problema 19
dx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
tan
sec
sec
1
sec
2
sec
tan
sec
sec
1
sec
tan
sec
sec
tan
tan
sec
sec
tan
sec
tan
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
3
5
dx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x tan
sec
sec
tan
sec
sec
2
tan
sec
sec 2
4
6
c
u
u
u
du
u
du
u
du
u
3
5
2
7
2
3
5
7
2
4
6
c
x
x
x
3
5
7
sec
3
1
sec
5
2
sec
7
1
Problema 20
dx
x
x
sen
dx
x
x
sen
dx
x
x
sen
x
sen
dx
x
x
x
sen
dx
x
x
sen
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
5
3
2
3
2
3
3
3
c
u
u
du
u
du
u
6
4
6
4
5
3
c
x
sen
x
sen
6
4
6
4
xdx
du
senx
u
cos
xdx
du
x
u
2
sec
tan
x
x
du
x
u
tan
sec
sec
15. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 15
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I .
PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
16. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 16
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
17. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 17
6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
18. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 18
9. Solución:
10. Solución:
11. Solución:
19. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 19
En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el
siguiente ejercicio.
12. Solución:
20. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 20
SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO
21. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 21
Actividad complementaria II: Soluciones
Problema 1
Problema 2
22. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
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Problema 3
23. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
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Problema 4
Problema 5
24. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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Problema 6
Problema 7
25. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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Problema 8
Problema 9
Problema 10
26. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
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Problema 11
Problema 12
27. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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Problema 13
Problema 14
28. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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Problema 15
Problema 16
29. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 29
Problema 17
30. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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INTEGRACIÓN POR PARTES.
ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
PROBLEMAS RESUELTOS.
1.
c
x
xsenx
c
x
xsenx
senxdx
senx
x
xdx
x cos
cos
cos
xdx
dv
x
u
cos
senx
v
dx
du
2.
c
x
x
sen
x
x
x
x
x
sen
x
x
x
dx
x
sen
x
sen
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
vdu
uv
dv
u
dx
x
sen
x
cos
2
2
cos
cos
2
cos
2
cos
cos
2
cos
2
cos
cos
2
2
2
2
2
2
x
sen
v
dx
du
dx
x
dv
x
u
dx
x
sen
dv
x
v
dx
x
du
x
u
cos
cos
2
2
3.
c
e
xe
dx
e
xe
dx
xe
x
x
x
x
x
x
x
e
v
dx
du
dx
e
dv
x
u
4.
c
e
ex
e
x
dx
e
xe
e
x
dx
x
e
e
x
dx
x
e
e
x
vdu
uv
dv
u
dx
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
e
v
dx
du
dx
e
dv
x
u
e
v
dx
x
du
dx
e
dv
x
u
2
2
31. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
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PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 31
5.
dw
e
we
dw
e
we
dw
we
dw
we
dx
xe
x
dx
e
x w
w
w
w
w
w
x
x
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
3
u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew
c
e
we w
w
2
1
2
1
c
e
e
x x
x
2
2
2
1
2
1 2
6. c
x
x
Ln
x
dx
x
Ln
x
x
dx
x
x
Ln
x
dx
x
Ln
dx
dv
x
Ln
u
x
v
x
dx
du
7.
dx
x
dx
x
Ln
x
x
Lnx
x
dx
x
x
Ln
x
x
x
Ln
x
dx
x
xLn
2
2
c
x
x
x
x
x
x
Ln
x
dx
x
Ln
x
x
x
x
Ln
x
dx
x
Ln
x
dx
Lnx
x
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
ln
2
1
2
2
2
x
x
Ln
x
v
dx
du
dx
x
Ln
dv
x
u
8
c
x
sen
x
x
x
sen
x
x
sen
x
x
x
sen
x
dx
x
x
x
x
sen
x
dx
x
x
x
x
sen
x
dx
x
sen
x
x
sen
x
dx
x
senx
x
sen
x
vdu
uv
dv
u
dx
x
x
2
cos
2
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
2
2
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
x
v
dx
du
dx
x
sen
dv
x
u
x
sen
v
dx
x
du
dx
x
dv
x
u
cos
2
cos
2
xdx
dw
xdx
dw
x
w
2
2
2
32. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
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9.
x
x
e
v
dx
x
du
dx
e
dv
x
u
2
2
2
3
2
1
3
u
u
e
du
e
dx
du
dx
du
x
u
2
1
2
1
2
2
2
c
e
xe
e
xe
dx
e
xe
dx
e
e
x
dx
xe
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
2
u
u
u
x
2
e
2
1
e
2
1
du
e
2
1
2
du
e
dx
e
v
Finalmente la integral original se resuelve así:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xe
xe
e
x
e
x
c
x
e
xe
e
x
e
x
dx
e
xe
e
x
e
x
dx
e
x
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
3
8
3
4
3
4
3
2
1
2
1
4
3
4
3
4
3
2
4
3
4
3
4
3
2
dx
xe
e
x
e
x
dx
x
e
e
x
e
x
dx
e
x
e
x
dx
x
e
e
x
vdu
uv
dv
u
dx
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
2
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
3
2
3
2
1
2
x
x
e
dv
v
dx
du
dx
e
dv
x
u
2
2
2
1
dx
du
dx
du
x
u
2
2
2
33. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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10.
dx
xe x
c
e
xe
)
e
(
xe
dx
e
xe
dx
e
)
e
(
x x
x
x
x
x
x
x
x
INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES.
PROBLEMA 1.
=
=
PROBLEMA 2.
x
x
e
v
dx
du
dx
e
dv
x
u
34. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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=
=
= -
=
COMPROBACIÓN
= =
= =
= =
PROBLEMA 3.
=
=
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=
COMPROBACIÓN
PROBLEMA 4.
=
= =
PROBLEMA 5.
=
=
PROBLEMA 6.
d
ctg
tg
3
= =
36. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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PROBLEMA7.
u cosy du seny dy seny dy
( ) 2 (
du du du 2 ·
c
y y +
2 (1 y y) c
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PROBLEMA 8
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE
PROBLEMA 1.
x
x
dx
3
Hacemos la sustitución :
x
u
6
ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3
du
u
dx
x
u
5
6
6
1
; Además
2
3
u
x 3
u
x
u
du
u
u
u
du
u
x
x
dx
1
6
6 3
3
2
5
3
Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt
t
dt
t
t
t
t
dt
t 1
3
3
6
1
6
2
3
3
c
u
u
u
u
c
t
t
t
t
dt
t
t
t
1
ln
6
1
18
1
9
1
2
ln
3
2
3
3
6
1
3
3
6
2
3
2
3
2
Por lo tanto:
c
x
x
x
x
x
x
dx
1
ln
6
1
18
1
9
1
2 6
6
2
6
3
6
3
INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡
39. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL!
dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical :
dx = dx
u = 2
du = dx
=6 dx
dx
⋅ du ⋅ c
COMPROBACIÓN:
d ⋅ 4
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
PARTES
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.
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PROBLEMA 3.
PROBLEMA 4.
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PROBLEMA 5.
- Demostrar la siguiente igualdad :
xdx
sen
n
n
n
x
x
sen
xdx
sen n
n
n 2
1
1
cos
Solución:
xsenxdx
sen
xdx
sen n
n
1
Proponiendo: u= x
senn 1
Dv= senxdx
xdx
xsen
n
x
xsen
xdx
sen n
n
n 2
2
1
cos
1
cos
xdx
sen
n
xdx
sen
n
x
xsen n
n
n
1
1
cos 2
1
Agrupando se tiene:
xdx
sen
n
n
n
x
x
sen
xdx
sen n
n
n 2
1
1
cos
…… Así queda demostrado
PROBLEMA 6.
dx
x
Cos
e
x
Cos
e
dx
x
Sen
e x
x
x
3
9
3
3
3
3
3
3
x
e
u 3
dx
x
Sen
dv
3
; x
e
u 3
dx
x
Cos
dv
3
dx
e
du x
3
3
dx
e
du
x
Cos
v x
3
3
;
3
3
3
3
x
Sen
v
C
x
Cos
x
Sen
e
dx
x
Sen
e
x
Sen
e
x
Cos
e
x
x
x
x
3
3
9
82
3
3
81
3
27
3
3
3
3
3
3
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PROBLEMA 7.
xdx
xn
ln
dx
x
n
x
n
x
x
dx
x
n
x
n
x
x
dx
n
x
x
n
x
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ln
1
1
1
ln
1
1
ln
1
c
n
x
n
x
c
n
x
x
n
x
c
n
x
n
l
x
n
x
dx
x
n
l
x
n
x
n
n
n
n
n
n
n
1
1
ln
1
1
ln
1
1
1
ln
1
1
ln
1
1
2
1
1
1
1
1
PROBLEMA 8.
Sea u= x ; du= dx
dv= ;
w= ;
V= -
V= -
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PROBLEMA 9
u= arctanx ;
dv = xdx ; v=
Haciendo la división:
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PROBLEMA 10.
Sea u=
Integrando por partes
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PROBLEMA 11.
Sea
Integrando esta ultima por partes:
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x
u
x²-9
3
x
z
x²+16
4
ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
PROBLEMA 1.
5
Secu
x 3 secu
dx 3 secu tgu du
5 45
15 15 udu 15tgu = 15 +C
5
PROBLEMA 2
tg z
x 4 tgz
dx 4
4
4 4 4 4tg z 4z
x 4arctg
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x
u
9-x²
3
PROBLEMA 3
5 25 25 5
Sen u
x 5 senu
dx 5 cos u du
5 25 5 5 5 u al llegar a ésta
parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es
el
ángulo cuyo seno vale : , lo cual se escribe: arc sen
el resultado final es: 5 arcsen +c
PROBLEMA 4
Sen u
x 3senu
dx 3cosu du
9 9 9 cos2u) du
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v 2u
dv 2du
du
u · arc sen senv
arc sen sen 2v c arc sen · · c
arc sen x
PROBLEMA 5
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 6
Sec w x
dx secw tgw dw
=
= = + c
PROBLEMA 7
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
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PROBLEMA 8
=
= =
= =
= + + c = + + C
PROBLEMA 9
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 10
1
x
1-x²
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PROBLEMA 11
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Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales
indicando planteamientos ,operaciones y resultado.
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
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Solución:
(Fig.1)
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
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Solución:
Solución:
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Solución:
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Solución:
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ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO
EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
S o l u c i o n e s
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Integración de funciones racionales, por fracciones parciales,
cuando el denominador contiene factores cuadráticos
Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
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MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES.
Caso 1-
De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema: A+B=1
A-4B=0
Resolviendo este sistema obtenemos: A=
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Efectuando la división
Caso 2
De ésta identidad obtenemos
A=6
-2A-B=-8
A+B+C=3
Resolviendo el sistema tenemos
A=6 ; B=-4 ; C=1
=
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Sea u=1-x ;
=-
=- +4
=-
Caso
-x+3=A (
-x+3=A
-x+3=(A+B)
De esta identidad obtenemos que
A+B= 0 -2ª+C= -1 3A= 3
Resolviendo el sistema
A= 1 , B = -1 , C = 1
74. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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Sea u=
=
=
=
Caso IV.- =
+Cx+D
+(A+C) x+B+D
De esta identidad tenemos
A=2
B=0
A+C=0
B+D=0
Resolviendo el sistema
A=2 ;B=0 ; c=-2 ; D =0
∴
Sea u=
=
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Realizando división:
dx
Caso 1
5x+4 = A
5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B
5x+4=(A+B) x + 2A-4B
De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema
A+B = 5
2A-4B =
Resolviendo el sistema obtenemos
A=4 ;B=1
= x + 4
= x +
6)
Multiplicando ambos miembros por eliminamos los
denominadores y obtenemos :
X=A(x-2)+B = Ax-2A+B
76. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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De esta identidad tenemos que: A=1 & -2A+B=0
Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2
Sea
=
=
=
7)
Caso 1
Ax+A+Bx+2B
De esta identidad tenemos:
A+B=5
A+2B=8
Resolviendo el sistema tenemos que A=2 ,B=3
=2
77. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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8) Caso 3
(A+B)
De esta identidad tenemos : A+B= 4 C= 0 3A=6
Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0
=2 =
9)
A A+B +Ct-2C-2Bt
A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C
DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA:
A+B=2
C-2B=-4
4A-2C=-4
RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0
78. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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PROBLEMA DE CONCURSO
79. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA!
P1)
81. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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P2)
P3)
82. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes
=
P4)
83. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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=
P5)
84. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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P6)
P7)
85. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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P8)
86. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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P9)
Integrando ésta última por partes :
87. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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P10)
P11)
88. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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P12) -
P13)
89. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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BIBLIOGRAFÍA
AYRES, F. “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”. SERIE SCHAUM, MC GRAW-HILL,
MÉXICO.
BOSCH-GUERRA. “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”.ED.PUBLICACIONES
CULTURAL,MÉXICO
DEL GRANDE, D. “CÁLCULO ELEMENTAL”. ED. HARLA, MÉXICO
ELFRIEDE W. “ DIDÁCTICA _ CÁLCULO INTEGRAL”.GRUPO EDITORIAL
IBEROAMÉRICA.MÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
FUENLABRADA, S. “CÁLCULO INTEGRAL”. ED. TRILLAS, MÉXICO
GRANVILLE,W.A. “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”, ED. LIMUSA, MÉXICO
LEITHOLD, L. “CÁLCULO”, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS, MÉXICO
PURCELL, E.J. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”.ED.LIMUSA, MÉXICO.
STEWART, J. “CALCULO DE UNA VARIABLE”. ED.THOMPSON, MÉXICO.
SWOKOWSKY, E. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”. ED. IBEROAMERICANA,
MÉXICO.
ZILL,D.G. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
90. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 90
PÁGINAS ELECTRÓNICAS
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