CAP1

1. TEORÍA DE CONTROL

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1 Introducción Al Control Automático
1.1 Concepto
1.2 Historia del Control Automático
1.3 Diseño de Sistemas de Control
2 Un Sistema de Control Biomédico: Control de la glicemia en una persona normal
2.1 Fisiología de la alimentación con Carbohidrato
2.2 Fisiología del Páncreas y la célula Beta
2.3 La Insulina: Desde su receptor hasta el transportador Glut-4
3 Modelos Matemáticos de Sistemas
3.1 Ecuaciones Diferenciales: descripción en el Dominio del Tiempo
3.2 Funciones de Transferencia: Descripción en el dominio de la Frecuencia
3.3 La Descripción de Polo-Cero
4 Sistemas y Diagramas de Bloque
5 Control, Glicemia, Diabetes y Bombeo de Insulina
5.1 Control de la glicemia e Insulina: 1897-1970
5.2 Control de la glicemia e Insulina: 1970-1974
6 Desarrollo de un nuevo páncreas artificial, como ejemplo de estudio de
comportamiento de un sistema de Control
6.1 El desafío: Nuevo páncreas artificial
6.2 Nuevo páncreas artificial: Diagrama de bloque
6.3 Nuevo páncreas artificial: Gráfico polo-cero y estabilidad
6.4 Nuevo páncreas artificial: El overshoot y otros parámetros
6.5 Nuevo páncreas artificial: Planteamiento del problema
6.5.1 Simplificando el diagrama de bloques
6.5.2 Función de transferencia
6.5.3 Cálculo de ω y de K
6.6 Palabras finales

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CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN AL CONTROL AUTOMÁTICO
1.1 Concepto: Si nos ponemos de a cuerdo en que ‘la Ingeniería es una actividad
involucrada en la comprensión y el control de los materiales y las fuerzas de la naturaleza
en benefi cio de la huma nidad’ (1), ve remos que ella comparte un id eal d e fondo con la
Medicina, que ‘...bus ca el bienestar completo del ser humano, tant o físico como
psicológico y social..’
Sin embargo, ambas disciplinas han evolucionado casi independientemente una de
otra, cada una desarrollando su len guaje que le es propio. La Ingeniería, al menos desde
que Ne wton y Leibnitz crea ron el c álculo infinitesimal en 1660, usa l a matemática. La
Medicina, en cambio, sólo comenzó a incorporar mediciones exactas en el siglo veinte, y
la Ingeniería B iomédica comenz ó a gestarse co mo disciplina después de la se gunda
guerra mundial.
Así, por un lado, cuando en 1760 James Watt construyó el primer motor de vapor,
la Ingeniería tuvo que comenzar a lidiar seriam ente con el problema d e la interacción
hombre-máquina y por primera v ez, se vio en la c reciente ne cesidad de d esarrollar
sistemas que ayudaran al hombre a ‘controlar’ éstas, es decir, a ajustar su funcionamiento
continuamente de acuerdo sus cambiantes necesidades, y, lo que es más difícil, hacerlo de
una forma que no implicara la pr esencia continua de una persona. Est a lucha de la
Ingeniería por el ‘control’ continúa hasta el día de hoy.
Por otro lado, la Medicina se ha ido ac ercando a las herramientas matemáticas de
control que la Ingeniería viene desarrollando desde 1868-Teoría de Control . La Medicina
ha tenido dos grandes razones para acercarse a la Teoría de Control. En p rimer lugar, las
herramientas ma temáticas de a quella ha n si do útile s pa ra la c omprensión de l
funcionamiento de los si stemas del ser humano normal (cir culación, sistema endoc rino,
etc), es de cir, en lo que llamamos ‘F isiología’. En se gundo lu gar, el d esarrollo de la
Ingeniería Biomédica desde 1945 ha ido incorpor ando equipos y sistemas de Ingeniería a
los procesos médicos de diagnóstico y tratamiento de enfermedades.
En estas dos conferencias, trataremos de satisfacer dos necesidades. Por un lado, los
Ingenieros Civiles Electricistas, que desean entender hasta qué punto la Teoría de Control
que aprendie ron se pue de aplicar a la F isiología y l a diag nóstico y tratamiento de
enfermedades. Por otro l ado, nosotros los Médicos trataremos de ap reciar la belleza de la
Matemática aplicada, y el poder que la Teoría de Control ya tiene para comprender mejor
la F isiología, y el pode r que pued e tene r par a el desar rollo de nuevo s sistemas de
diagnóstico y tratamiento en el siglo que comienza.
Buena suerte a todos. Allá vamos.

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1.2 Historia del Control Automático: La i deación de se cuencias de act ividades
(sistemas) por el ser hu mano es mu y antigua (Figura 1). El uso d e la retroalimentación
para control de sistemas tiene una historia larga e interesante.
Figura 1: Una máquina de Rube Goldberg para evitar golpearse el cráneo al resbalarse en el pavimento.
(http://www.rubegoldberg.com/html/gallery.htm)
Tabla 1: Desarrollo de los Sistemas de Control.
Fecha Ev ento Histórico
1769 James Watt desarrolla la máquina de vapor, colocándole un ‘gobernador’, o sistema basado en la fuerza centrífuga, para
el control automático del paso de vapor desde la caldera, y por ende, de la potencia mecánica
1800 Producción en serie de mosquetes por Eli Whitney
1865 Ingeniero n orteamericano ofrec e u n torpedo au tónomo a Pres idente J .J.Pérez, c apaz, s egún él, d e hundir a la a rmada
española que bloqueaba Valparaíso. J.J.Pérez le contesta -‘…¿y si se chinga…?’
1868 J.C.Maxwell formula el primer modelo matemático de un sistema de control automático, precisamente el ‘gobernador’ de
la máquina de Watt
1880 Whitehead en Inglaterra y Schwartzkopf en alemania perfeccionan el sistema de control de los torpedos, corrigiéndose la
inestabilidad o ‘delfineo’ (‘porpoising’)
1891 La torpedera Lynch hunde al acorazado rebelde ‘Blanco Encalada’ en el puerto de Caldera, usando torpedos Whitehead.
1913 Producción en serie de autos por Henry Ford
1927 H.W.Bode analiza matemáticamente los amplificadores de retroalimentación (regenerativos)
1932 H.Nyquist desarrolla un método para analizar la estabilidad de un sistema
1952 Sistema de control numérico (NC) desarrollado en el M.I.T. para el control de los ejes de las máquinas-herramienta
1954 George Devol la ‘transferencia programada de artículos’, que se considera el primer diseño robótico
1960 Primer Robot práctico, el ‘Unimate’, usado para la manutención de equipos para el vaciado de metales en moldes
1980 Estudio a fondo del diseño de sistemas robustos de control
1990 Las empresas manufactureras transnacionales ponen énfasis en la automatización
Cuando en 1769 James Watt constru yó
la primer a máquina de v apor ( Figura 1), se dio
cuenta que tenía que dot arla de un sistema que
le permitiera aumentar al má ximo la entrada de
vapor desde la caldera cuando el volante giraba
muy lent amente, y que a su vez hiciese lo
contrario, es de cir, lim itar el p aso de vapor
cuando el volante se aceleraba mucho. Así, dotó
a su motor d e un ‘gobernador’ c entrífugo,
conectado al volante por piñón y cr emallera, el
que vari aba el paso de vapo r se gún la
separación de dos bolas que se separ aban con la
fuerza centrífuga.
Figura 1: La máquina de vapor de Watt
(http://www.phm.gov.au/exhibits/exib_per
m/boult.htm)

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Sin embargo, desde 1769 hasta 1868 se siguieron equipando los motores de vapor
con estos ‘ gobernadores’ en forma empírica, sin saber re almente como diseñarlos par a
obtener los rangos de control del paso de vapor deseados.
Esto es tan cierto, que, aunque el torpedo autónomo
fue inventado durant e la revolución Norteam ericana (1860-
1865), el control automático de profundidad d e éstos era
‘inestable’, de modo que la profundidad del torpedo oscilaba,
y éste se comportaba como un ‘delfín’, a veces chocando con
el fondo, a ve ces p asando por deb ajo del bar co enemi go, y
siempre desviándose al saltar fuera del agua.
La historia cu enta que e n 1865 la armada españ ola,
incluyendo tres fr agatas blindadas, bloque aba e l puerto d e
Valparaíso. Un dí a en que el presi dente d e C hile, José
Joaquín Pérez (Figura 2) estaba tomando mote con huesillos
Figura 2: Presidente José
en la plaz a de la Constitución, se le acercó u n ing eniero
Joaquín Pérez (1861-1871) norteamericano, y le ofreció ‘un torpedo autónomo capaz de
©Biblioteca del Congreso hacer volar en pedazos a la fragata Numancia’ (Figura 3). Se
Nacional de Chile dice que J .J.Pérez , sin dejar d e p aladear su mote con
huesillos, le contestó ‘...¿y si se chinga....?’(2)
En realidad, J.J.Pérez tenía razón, porque los torpedos de la época eran muy poco
fiables, y porqu e sólo 3 años después,
J.C.Maxwell form ula en Inglaterra l a
primera te oría ma temática de Contr ol
Automático, y no s ería hasta la década
de 1880 que el sistema de control d e
profundidad y dirección de los
torpedos se haría estable (Figura 4).
Figura 3: La fragata blindada española ‘Numancia’
http://www.nautigalia.com/grandesbarcos/numancia/i
ndex.htm
Figura 4: Torpedos Whitehead en
la década de 1880.
La lle gada del sig lo XX implicó dos áreas en que el control automático se hiz o
cada vez más necesario. Por un lado, los Ingenieros Mecánicos se vieron en la necesidad
de controlar la produc ción en serie automóviles y un sinnúmero de prod uctos. Por otro
lado, la emergente Ingeniería Eléctrica se vio en la necesidad de crear y analizar circuitos
que, partiendo por el am plificador regenerativo en la dé cada de 1920, se irían haci endo
cada v ez más complejos . F inalmente, en el último cuarto d el siglo X X, l os robots, con
sofisticados sistemas de cont rol, harían su ent rada en si stemas de m anufacturas que i rían
desde automóviles hasta hélices supercríticas para submarinos.

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1.3 Diseño de Sistemas de Control:
La mano DIST (Figura 5) es el resultado de un
proyecto de investigaci ón europeo (3), que
tiene un pul gar y tres dedos, con 16 grados de
libertad. El sistema de control de los dedos
tiene una r etroalimentación de posic ión
(position feedback), el que m ide el án gulo
(posición) de cada articulación, comparándol a
con la posición de refe rencia. La dife rencia
entre ambas (‘e rror’) es comunicada a un
Figura 5: La mano DIST. Manipulador de microprocesador, el cu al a t ravés d e una
alta destreza con 16 grados de libertad. función u(t) ordena a un actuador (servomotor)
http://www.graal.dist.unige.it/research/activi llevar a cabo un proceso ( movimiento
ties/DISThand/DISThand.html articular), lo que d á lu gar a un a salida (n ueva
posición del dedo) (Figura 6).
Figura 6: Sistema de control de tipo ‘position-feedback’ del dedo
de una mano artificial (1).
La f igura 7 mue stra u no de los últimos
adelantos en Ingeniería Biomédica, el corazón
artificial ( AbioCor) impla ntado e l 3 de Julio
del año 2001. Los meca nismos de control de
la fre cuencia cardíaca en un ap arato
completamente implant able, son un nuevo
reto para los Ingenieros.
Figura 7: Corazón artificial implantado el 3
Julio 2001.
http://www.cnn.com/2001/HEALTH/conditi
ons/07/03/artificial.heart/