3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Νέοι Ορισµοί (Πίνακας Γειτνίασης – Πίνακας Πρόσπτωσης)
Ασκήσεις: Ερωτήσεις
Ασκήσεις: Ασκήσεις Κατανόησης
Επίπεδο Β
Ασκήσεις: Εφαρµογές
Επίπεδο Γ
Ασκήσεις: Λυµένες Ασκήσεις
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
4. Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του:
B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός µη κατευθυνόµενου γραφήµατος
G=(V,E) µε |V|=n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως:
Α ,
1, , ∈
0, , ∉
Α
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
5. B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε απλά µη
κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:
• Συµµετρικός ως προς
την κύρια διαγώνιο
κορυφές
κορυφές
Το στοιχείο , είναι
0: αν δεν υπάρχει η ακµή
που συνδέει τις ,
1: αν υπάρχει η ακµή
που συνδέει τις ,
Άθροισµα των στοιχείων της
γραµµής i ισούται µε d
Άθροισµα των στοιχείων της
στήλης j ισούται µε d
Άθροισµα όλων των στοιχεί-
ων του πίνακα ισούται µε
d 2
ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n2
6. Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του:
B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος
G=(V,E) µε |V|=n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως:
Α ,
1, , ∈
0, , ∉
Α
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
7. B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε
κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:
κορυφές
κορυφές
Το στοιχείο , είναι
0: αν δεν υπάρχει η ακµή
από την στην
1: αν υπάρχει η ακµή
από την στην
Άθροισµα των στοιχείων της
γραµµής i ισούται µε έξω
βαθµό κορυφής !"
Άθροισµα των στοιχείων της
στήλης j µε έσω
βαθµό κορυφής !#
Άθροισµα όλων των στοιχεί-
ων του πίνακα ισούται µε
!"
ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n2
8. B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
3. Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών)
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών):
Το στοιχείο $, % του πίνακα Α& (ο πίνακας γειτνίασης υψωµένος στην k δυναµη) δίνει
πόσα µονοπάτια µήκους k υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή
Πόρισµα 1:
Το στοιχείο $, % του πίνακα A ( Α ( ⋯ ( Α& δίνει πόσα µονοπάτια µήκους το πολύ k
υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή
Πόρισµα 2:
Αν ένα µη διαγώνιο στοιχείο $, % του πίνακα A ( Α ( ⋯ ( Α #
(όπου n=|V| ) είναι 0,
τότε το γράφηµα δεν είναι συνδεόµενο.
9. Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής
B. Θεωρία
2. Πίνακας Πρόσπτωσης
1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός µη κατευθυνόµενου
γραφήµατος G=(V,E) µε |V|=n, |E|=m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως:
Α * , +
1, , -./01, 23 3 -/. 4,5 6
0, 773ώ5
6 6 6 6 69
Α
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
6
6
6
6 69
10. B. Θεωρία
2. Πίνακας Πρόσπτωσης
2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα πρόσπτωσης σε απλά
µη κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:
Κορυφές
Ακµές
6 Το στοιχείο , είναι
0: αν η ακµή 6 δεν είναι
άκρο της
1: αν η ακµή 6 είναι
άκρο της
Άθροισµα των στοιχείων της
γραµµής i ισούται µε d
Μία στήλη έχει:
• 2 άσσους
• n-2 µηδενικά
Άθροισµα όλων των στοιχεί-
ων του πίνακα ισούται µε
2
ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: nm
11. Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής
B. Θεωρία
2. Πίνακας Πρόσπτωσης
2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός κατευθυνόµενου
γραφήµατος G=(V,E) µε |V|=n, |E|=m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως:
Α * , :
1, , -./01, 23 3 /;, 4,5 6
<1, , -./01, 23 3 =2/ 5 4,5 6
0, 773ώ5
6 6 6 6 69
Α
0
<1
0
1
<1
0
0
1
<1
1
0
0
1
0
<1
0
0
1
<1
0
6
6
6
6 69
12. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 1
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους
πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n≥2)
1. Α a , +
0, $ ? %
2, $ %
2. Α a , +
1, $ ? %
0, $ %
3. Α a , :
1, $ % ( 1, % 1, … , C < 1
1, $ % < 1, % 2, … C
0, 773D5
13. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 2
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους
πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n:άρτιος≥2)
1. Α a ,
0 $ %
1, $ ? %, 1 E $ E , 1 E % E
1, $ ? %, F $ E C, F % E C
0, 773D5
2. Α a , G
0, 1 E $ E , 1 E % E
0, F $ E C, F % E C
1, 773D5
14. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 3
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Να σχεδιαστεί ένα απλό συνδεδεµένο µη-κατευθυνόµενο γράφηµα, χωρίς
ανακυκλώσεις, για το οποίο ο πίνακας γειτνίασης και ο πίνακας πρόσπτωσης είναι ίδιοι
όταν τηρείται η ίδια διάταξη των κορυφών και στους δύο πίνακες (εξαιρείται το τετριµµένο
γράφηµα).
15. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 4
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Για µη-κατευθυνόµενο γράφηµα χωρίς ανακυκλώσεις, αν Μ είναι ο πίνακας
πρόσπτωσης, να εξετάσετε τι αναπαριστούν (i) τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Μ·ΜΤ,
και (ii) τα µη διαγώνια στοιχεία του Μ·ΜΤ. Υπενθυµίζεται ότι ΜΤ είναι ο ανάστροφος
πίνακας του Μ.
16. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Στο ακόλουθο γράφηµα εξετάστε αν ισχύουν οι ακόλουθες
Προτάσεις που αφορούν τον πίνακα γειτνίασης Α του γραφήµατος:
1. Το άθροισµα των στοιχείων του πίνακα ισούται µε 8
2. Το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α2 ισούται µε 8
3. Το στοιχείο (2,2) του πίνακα Α3 ισούται µε 2
4. Κανένα στοιχείο του πίνακα Α+Α2 δεν είναι ίσο µε 0
17. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 2
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης και Π ο πίνακας πρόσπτωσης ενός µη κατευθυντικού (µη
κατευθυνόµενου) απλού γραφήµατος.
1. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Α είναι ίσο µε το άθροισµα των
στοιχείων της i-οστης στήλης.
2. Ο αριθµός των άσσων του Α είναι άρτιος.
3. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Π είναι ίσο µε το άθροισµα των
στοιχείων της i-οστης στήλης.
4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη στον Π µόνο µε µηδενικά.
18. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 3
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Έστω Kn το πλήρες γράφηµα µε n ≥ 3 κορυφές, Α ο πίνακας γειτνίασης του Kn, και Μ ο
πίνακας πρόσπτωσης του Kn. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες
όχι;
1. Ο πίνακας γειτνίασης Α περιέχει µόνο 1.
2. Ο αριθµός των στοιχείων του πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε n2(n–1) / 2.
3. Ο αριθµός των 0 στον πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε 3 .
4. Το αθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α ισούται µε n
19. ∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης του Κ5. Συµβολίζουµε µε dn την κοινή τιµή των διαγωνίων
στοιχείων του Αn και µε an την κοινή τιµή των µη διαγωνίων στοιχείων του Αn. ∆είξτε µε
µαθηµατική επαγωγή ότι ισχύουν τα εξής (α) an+1=dn+3an (β) dn+1=4an
20. ∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Γράψτε τον πίνακα γειτνίασης Α για το γράφηµα G που απεικονίζεται στο παρακάτω
σχήµα και εξετάστε τη σχέση
(i) των διαγώνιων στοιχείων του πίνακα Α2
µε τους βαθµούς των κορυφών
του G και
(ii) του ίχνους του πίνακα Α3
(ίχνος ενός πίνακα είναι το άθροισµα των
διαγώνιων στοιχείων του) µε τον αριθµό των τριγώνων (κύκλων µήκους 3)
του G .
V3
V4
V2
V1
V5
G