Volatility models and their applications in Finance (2/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-2

Volatilitat i Correlació
Sessió pràctica
Gerard Albà
Josep Salvà
FME UPC – 27 Gener 2014

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
1.

Gestió del risc d’una opció: les gregues.
Delta
Gamma
Vega
Theta
Rho i Phi

2.

Gestió d’un Llibre de Derivats
Valoració i Cobertura teòrica d’straddles
Imputs de Mercat:
la volatilitat
la correlació
els dividends discrets
Problemes reals

2


1. Gestió del risc d’una opció: les gregues.
En una operació amb opcions, el market maker (creador de
mercat) busca obtenir-ne un benefici independentment del valor
final del payoff, o sigui, minimitzant tot tipus de risc.
Un inversor també pot voler cobrir (parcialment o total) algun
tipus de risc.

Per això, primer de tot cal saber identificar i quantificar els
riscos que poden afectar al valor de l’opció.
En funció de la magnitud de cadascun, cal trobar formes de
reduir la seva importància.

3


Per exemple, segons la fórmula de Black-Scholes, el valor d’una
opció de compra europea és de la forma:

amb

4


Per tant, el preu d’una call europea depèn de les següents
variables o paràmetres:

•Strike,
•Preu del subjacent,
•Tipus d’interès,
•Dividends,
•Volatilitat,
•Temps a venciment,

5


Podem pensar, doncs, en una funció en aquests paràmetres de
la forma:

i el mateix podem fer amb les opcions de venda (puts):

6



Les gregues mesuren la sensibilitat del preu de l’opció a les
variacions de les variables que afecten al seu valor.

D’aquesta manera es pot quantificar l’efecte que té cadascuna
d’elles i decidir de quines cal gestionar el risc.

De totes les variables i paràmetres, l’strike i la data de
venciment queden fixats a l’inici i es mantenen constants
durant la vida de l’opció.

7



8


1. Gestió del risc d’una opció: la delta.
La delta mesura la sensibilitat del preu de l’opció a canvis en el
preu del subjacent. Si denominem D al preu del derivat, la delta
és de la forma

Per a opcions plain vanilla:

9



10


La delta indica la quantitat de subjacent que cal tenir en una
cartera replicant.

Proporciona una aproximació lineal (en funció del preu del
subjacent) al preu de l’opció

11


Tot i així, el valor d’un derivat no és lineal en el preu del
subjacent, fet pel qual l’aproximació és més inexacta com
major és la variació
.

Això també fa que el valor de delta canviï quan ho fa el preu
del subjacent o el temps. Per tant, el nombre d’accions que cal
tenir en cartera per replicar el derivat no és constant.

12


1. Gestió del risc d’una opció: la gamma.

Per tant la delta (que ens marca la quantitat de subjacent
necessari per a fer la cobertura) resulta ser una sensibilitat
molt important i ens interessa conèixer-ne la seva
sensibilitat respecte l’evolució del subjacent.

O sigui, ens interessa saber com i quant variarà la quantitat
de subjacent en cartera si ho fa el preu del subjacent.

Aquesta sensibilitat es la que s’anomena Gamma:

13



El signe de la gamma ens indicarà si haurem de comprar
més subjacent quan el preu d’aquest augmenti o si n’haurem
de comprar quan disminueixi (a l’inversa per a la venda de
subjacent).

Una gamma elevada ens indica que la quantitat de subjacent
en cartera variarà més quan ho faci el preu del subjacent,
mentre que una gamma reduïda ens indica que no caldrà
variar gaire la quantitat de subjacent en cartera.

14



Per opcions plain vanilla tenim que la gamma és la mateixa
per calls i puts, i és de la forma

amb

Igual que la delta, varia segons l’evolució de la resta de
variables.
15



16


Usant la gamma s’aconsegueix una millor aproximació de les
variacions del preu de l’opció segons les del preu del
subjacent.

17



A diferència de la delta, la gamma no es pot cobrir comprant
o venent subjacent.
Si es vol tenir una posició reduïda en gamma cal usar altres
opcions.
A la pràctica s’usen combinacions d’opcions cotitzades en
mercats organitzats per neutralitzar la gamma de les opcions
que es desitja cobrir.
Tot i així, la poca liquiditat del mercat d’opcions fa que la
cobertura de gamma no sigui tant dinàmica com pot ser la
cobertura delta.

18


1. Gestió del risc d’una opció: la vega.

Tot i que en el model de valoració de Black-Scholes se
suposa la volatilitat constant, sabem que també varia en el
temps i segons el valor del subjacent.

La sensibilitat d’una opció a canvis en la volatilitat
s’anomena vega, i per a les opcions plain vanilla coincideix i
és de la forma

19



20


En moltes opcions la vega resulta ser molt important ja que
l’exposició a canvis en la volatilitat pot ser molt elevada.
En les opcions plain vanilla, el preu resulta ser molt sensible
al valor de volatilitat usat.
Preu d'una Vainilla segons la Volatilitat (S=10, K = 10, r= 4%, q= 0%, T=1)
Preu Call

Preu Put

3
2,5

Preu

2
1,5
1
0,5
0
5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

55%

60%

Volatilitat

21



Preus i Volatilitat Implícita
22



Per tant, durant la vida de l’opció, els canvis en la volatilitat
provocaran canvis en la seva valoració a més dels provocats
pels canvis en les altres variables.

Aquests canvis de volatilitat serien canvis en la volatilitat
implícita. Si l’opció es manté fins al venciment, els canvis en
la valoració no acaben important ja que el valor del payoff és
independent de la volatilitat.

El que sí que importa més són els canvis en la volatilitat
realitzada que pot afectar a la cobertura delta/gamma.

23



24


Els diferents nivells de volatilitat fan variar més o menys la
gamma i per tant, fan que la cobertura a canvis en el
subjacent sigui diferent.

Que el preu de l’opció (plain vanilla) sigui superior quan
augmenta la volatilitat és un dels factors que fa que els
nivells implícits tendeixin a ser superiors als nivells
realitzats.

D’aquesta manera s’evita haver de fer la cobertura de la
vega, tot i que podria ser coberta, igual que la gamma,
usant combinacions d’opcions cotitzades; o mitjançant altres
instruments més sofisticats com Variance Swaps.
25


1. Gestió del risc d’una opció: la theta.

Hem vist que el preu d’un derivat depèn també del temps.
La sensibilitat al pas del temps s’anomena Theta:

I per a les opcions plain vanilla és de la forma:

26


1. Gestió del risc d’una opció: la theta.

27


1. Gestió del risc d’una opció: la rho i la phi.

Igual que la volatilitat, tot i que en el model de BlackScholes es suposa un tipus d’interès lliure de risc fix durant
la vida de l’opció, a la pràctica no ho és. El mateix passa
amb la rendibilitat als dividends considerats.

La sensibilitat als tipus d’interès s’anomena rho i la
sensibilitat als dividends (o dividend yield) s’acostuma a
anomenar phi.

Tot i així, per a opcions plain vanilla no resulten ser molt
importants i sovint no se’n realitza la cobertura, que es
podria fer utilitzant instruments de renda fixa com Swaps de
tipus d’interès o Dividend Swaps.
28



L’expressió per a la rho de les opcions plain vanilla és

I la de phi és

29



30


2.

Gestió d’un Llibre de Derivats: Valoració i Cobertura
teòrica d’straddles

Com s’ha dit, la volatilitat realitzada en fer la cobertura
afecta al valor de gamma (i per tant, de delta).

Suposem que volem fer la cobertura delta de 100 straddles
(call+put ATM) amb strike 10, tipus d’interès lliure de risc
del 4%, volatilitat del 20%, sense dividends i amb un
venciment a 20 dies.

Generant una mostra d’evolució de preus durant els 20 dies
amb una volatilitat del 20% i realitzant la cobertura delta
una vegada cada dia s’obté un P&L gairebé nul.

31


2.

Dia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
TOTAL

Spot
10,00
9,82
9,74
9,82
9,78
9,75
9,65
9,66
9,58
9,57
9,59
9,55
9,34
9,32
9,41
9,55
9,52
9,50
9,50
9,59
9,56

Preu Straddles
-37,39
-38,14
-40,18
-36,52
-37,00
-37,39
-41,70
-40,62
-45,20
-45,65
-43,75
-46,04
-65,11
-67,29
-58,70
-45,22
-47,94
-49,48
-49,90
-40,81
-44,38

P&L opció
-0,75
-2,04
3,66
-0,48
-0,39
-4,31
1,08
-4,58
-0,45
1,89
-2,29
-19,07
-2,18
8,59
13,48
-2,72
-1,54
-0,42
9,09
-3,57
-6,99

Delta
5,37
-25,23
-40,65
-28,12
-36,69
-43,47
-60,70
-61,74
-74,21
-77,91
-78,22
-84,33
-97,57
-98,75
-98,08
-94,84
-98,02
-99,47
-99,94
-99,99
-100,00

d1
0,07
-0,32
-0,53
-0,36
-0,48
-0,58
-0,85
-0,87
-1,13
-1,22
-1,23
-1,42
-2,25
-2,50
-2,34
-1,95
-2,33
-2,79
-3,45
-3,97

P&L accions
-0,94
2,19
-3,31
1,18
1,13
4,21
-0,39
4,70
0,93
-1,39
2,64
17,57
2,15
-8,64
-13,60
2,77
1,51
0,34
-9,19
3,47
7,35

P&L
0,00
-1,69
0,15
0,35
0,70
0,75
-0,10
0,69
0,12
0,49
0,50
0,35
-1,50
-0,03
-0,05
-0,12
0,05
-0,03
-0,08
-0,10
-0,10

Bo
-16,33
284,34
434,53
311,51
395,34
461,45
627,83
637,85
757,43
792,90
795,93
854,43
978,18
989,32
983,07
952,29
982,64
996,54
1001,15
1001,74
1001,92

Finançament
-0,00179
0,03116
0,04762
0,03414
0,04332
0,05057
0,06880
0,06990
0,08301
0,08689
0,08723
0,09364
0,10720
0,10842
0,10773
0,10436
0,10769
0,10921
0,10972
0,10978
0,10980

P&L Acumulat
0,00
-1,69
-1,51
-1,12
-0,38
0,41
0,36
1,12
1,32
1,88
2,47
2,91
1,50
1,58
1,64
1,64
1,79
1,87
1,90
1,91
1,92

1,66839

1,92

32


Distribució de resultats a partir de 100 simulacions amb
volatilitat implícita 20% i volatilitat realitzada 20%.
El valor mig del P&L està a l’entorn dels 0€.

33


2.


En canvi, si la volatilitat realitzada és superior a la implícita
s’obtenen pèrdues majors. Amb una volatilitat realitzada del
30% obtindríem:
Dia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
TOTAL

Spot
10,00
9,74
9,61
9,73
9,66
9,62
9,47
9,48
9,37
9,35
9,38
9,33
9,02
8,99
9,11
9,32
9,27
9,25
9,24
9,38
9,32

Preu Straddles
-37,39
-40,98
-46,77
-39,83
-42,22
-44,33
-54,36
-53,30
-62,93
-64,60
-62,11
-66,87
-97,10
-100,47
-87,98
-67,97
-72,40
-74,85
-75,53
-62,28
-67,55

P&L opció
-3,59
-5,79
6,94
-2,39
-2,11
-10,03
1,06
-9,63
-1,67
2,49
-4,76
-30,23
-3,37
12,49
20,01
-4,44
-2,44
-0,69
13,26
-5,27
-30,16

Delta
5,37
-39,50
-59,72
-43,63
-54,96
-63,34
-81,44
-82,42
-91,88
-94,06
-94,26
-97,07
-99,94
-99,98
-99,96
-99,72
-99,96
-100,00
-100,00
-100,00
-100,00

d1
0,07
-0,52
-0,84
-0,58
-0,76
-0,90
-1,32
-1,35
-1,74
-1,89
-1,90
-2,18
-3,44
-3,81
-3,58
-3,00
-3,58
-4,28
-5,30
-6,14

P&L accions
-1,41
5,12
-7,16
2,76
2,57
9,12
-0,70
9,30
1,78
-2,38
4,75
29,53
3,27
-12,59
-20,12
4,34
2,34
0,58
-13,36
5,17
22,90

P&L
0,00
-5,00
-0,67
-0,22
0,37
0,46
-0,90
0,36
-0,33
0,11
0,11
-0,01
-0,70
-0,10
-0,10
-0,11
-0,10
-0,10
-0,10
-0,10
-0,10

Bo
-16,33
420,59
614,94
458,46
568,06
648,69
820,25
829,64
918,30
938,80
940,78
967,08
993,05
993,57
993,50
991,39
993,72
994,13
994,27
994,38
994,50

Finançament
-0,00179
0,04609
0,06739
0,05024
0,06225
0,07109
0,08989
0,09092
0,10064
0,10288
0,10310
0,10598
0,10883
0,10888
0,10888
0,10865
0,10890
0,10895
0,10896
0,10897
0,10899

P&L Acumulat
0,00
-5,00
-5,63
-5,78
-5,36
-4,84
-5,67
-5,22
-5,46
-5,25
-5,04
-4,96
-5,55
-5,54
-5,53
-5,54
-5,53
-5,52
-5,51
-5,51
-5,50

1,86869

-5,50

34


El valor mig del P&L està a l’entorn dels -20€.

35


2.


I amb una volatilitat realitzada del 10%:

Dia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
TOTAL

Spot
10,00
9,91
9,87
9,91
9,89
9,88
9,83
9,83
9,79
9,79
9,80
9,78
9,67
9,66
9,71
9,78
9,77
9,76
9,76
9,81
9,79

Preu Straddles
-37,39
-36,61
-36,28
-34,72
-34,00
-33,27
-33,48
-32,36
-32,72
-31,97
-30,53
-30,25
-35,88
-35,99
-31,80
-25,87
-25,76
-25,34
-24,64
-19,60
-21,17

P&L opció
0,78
0,33
1,56
0,71
0,74
-0,22
1,12
-0,36
0,75
1,45
0,27
-5,63
-0,11
4,19
5,93
0,11
0,42
0,70
5,04
-1,56
16,22

Delta
5,37
-10,08
-18,36
-11,50
-16,05
-19,78
-30,28
-30,90
-40,06
-43,15
-43,32
-49,25
-71,91
-76,94
-73,58
-63,96
-72,87
-81,32
-89,80
-93,74
-100,00

d1
0,07
-0,13
-0,23
-0,14
-0,20
-0,25
-0,39
-0,40
-0,53
-0,57
-0,57
-0,66
-1,08
-1,20
-1,12
-0,91
-1,10
-1,32
-1,64
-1,86

P&L accions
-0,47
0,44
-0,77
0,24
0,24
0,96
-0,12
1,18
0,23
-0,42
0,72
5,25
0,78
-3,53
-5,29
0,92
0,53
0,09
-4,29
1,60
-1,71

P&L
0,00
0,31
0,77
0,79
0,95
0,98
0,75
1,00
0,82
0,98
1,03
0,99
-0,37
0,67
0,66
0,64
1,03
0,95
0,79
0,75
0,04

Bo
-16,33
136,88
218,59
150,57
195,61
232,46
335,72
341,78
431,59
461,83
463,52
521,61
740,89
789,56
756,98
662,98
750,06
832,64
915,50
954,18
1015,60

Finançament
-0,00179
0,01500
0,02396
0,01650
0,02144
0,02548
0,03679
0,03746
0,04730
0,05061
0,05080
0,05716
0,08119
0,08653
0,08296
0,07266
0,08220
0,09125
0,10033
0,10457
0,11130

P&L Acumulat
0,00
0,31
1,09
1,91
2,87
3,87
4,64
5,68
6,54
7,57
8,64
9,69
9,37
10,12
10,86
11,59
12,69
13,72
14,60
15,45
15,60

1,19367

15,60

36


El valor mig del P&L està a l’entorn dels +19€.

37


2.


I la volatilitat realitzada pot variar tant? Sí!
Volatilitat Realitzada i Volatilitat Implícita

38


2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Imputs de Mercat
la volatilitat
Segons els tipus de subjacent, la volatilitat implícita que
usem per valorar l’aconseguim de formes molt diferents.

En els Mercats Organitzats (ex: Equity) tenim opcions
vainilla amb diversos venciments i strikes. Tenint la resta de
variables només ens falta la volatilitat. Aquesta l’aconseguim
buscant la volatilitat implícita que ens iguala el preu.
Ull!! Les opcions sobre accions són americanes i les opcions sobre índexs son europees.

En mercats OTC (Over-The-Counter) no tenim aquestes
opcions coitzades per tant hem d’aconseguir les volatilitats
d’altres formes. Per exemple en FX s’usa el Risk Reversal i el
Butterfly, i en Tipus d’interès s’usa el Capstrapping.

39


la volatilitat

Nivells de Volatilitat de l’Eurodòlar
40


la volatilitat

Nivells de Volatilitat de l’Euribor6M
41


la correlació
Tal com passa amb la volatilitat, la correlació histórica no ens
serveix per valorar i necessitem una correlació implícita per
donar preus correctes.

En aquest cas no tenim opcions a mercat organitzat, per tant
les correlacions implícites s'han de treure d'opcions OTC.

Si algú ens dongués un preu sobre una opció sobre dos
actius i tenim totes les dades de mercat necessàries (preus,
volatilitats, dividents, tipus d'interés...) i a sobre, sabem
valorar l'opció, aleshores podem trobar una correlació
implícita que iguala el preu.
Sembla massa fàcil...
42


la correlació
Correlació històrica entre
UG FP i ITX SM

Correlació històrica entre
Eurodòlar i WTI (petroli)

43


En Equity a més a més, tenim un altre problema: els
dividends.

En el model de Black-Scholes es dóna per fet que els
dividends s'expressen com un rendiment constant de l'actiu i
que aquest a més és en espècie.

A l'hora de la veritat els dividends són discrets i generalment
en una quantitat en euros, que generalment no coincideix
amb el que s'havia pagat l'any anterior
Així doncs, també hem d'obtenir un valor implícit dels
dividends a mercat. Per això tenim els dividend swaps o els
futurs de dividends.
44



A l’esquerra: Índex de dividends pel 2014 de l’índex FTSE100 (UK)
A la dreta: Índex de dividends pel 2014 de l’índex Eurostoxx50 (Euro)

45


A l’esquerra: Índex de dividends pel 2014 del BBVA
A la dreta: Índex de dividends pel 2014 de Telefónica

En els dos casos es pot observar que els moviments del preu són més
marcats que en els índexs FTSE100 o Eurostoxx50 degut a la poca liquiditat
46


2.

Gestió d’un Llibre de Derivats: Problemes reals

Problemes entre la teoria i la pràctica:

- Diferència entre la oferta i la demanda
- Comisions de mercat i/o de brokeratge
- Liquidesa i profunditat de mercat
- Col·lateralització
- Bases
- etc.

47


2.


Liquidesa i profunditat del futur de l’Euribor3M Mar09
48


2.


Liquidesa i profunditat de la Call 98 de l’Euribor3M Mar09
49


2.


Diferència entre l’oferta i la demanda, accentuada a major nominal
50

Volatility models and their applications in Finance (2/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-2

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Más de Gerard Alba

Más de Gerard Alba (20)

Volatility models and their applications in Finance (2/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-2