Gestión de Carteras Óptimas - Roboadvisors

Gestión de Carteras
Gerard Albà
Arnau Via
Fernando López
FME UPC – Mayo 2020

Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
2
1. Robo-advisory y Optimización de carteras
2. Implementación de carteras óptimas dinámicas robustas
2.1 Regularización de la matriz de Riesgos ∑
2.2 Métodos de Machine Learning
3. HRP (Hierarchical Risk Parity)
4. Ejercicio: Schwab, Wealthfront, Betterment, Scalable

3
Robo Advisors
• Los Robo Advisors son una de las tendencias innovadoras en el sector
financiero (parte de las llamadas Fintech), en Wealth management y
Gestión de activos (asset management)
• Son plataformas de inversión automatizadas y que utilizan métodos
cuantitativos para la gestión de las carteras de clientes online
• Muchos de estos sistemas tienen como base metodologías de
optimización y asset allocation. El proceso incluye desde la selección
del universo de instrumentos de inversión inicial, hasta el rebalanceo
periódico (gestión) y reporting de performance
• A continuación vamos a ver a modo de ejemplo algunos de los
principales robo advisors del mercado y sus respectivas
implementaciones en la práctica de los métodos de gestión de carteras
estudiados en este módulo del Posgrado

4
• Top US 10 Robo advisors AuMs (Junio 2019)
https://www.youtube.com/watch?v=A-9II-zBq1k

5
• Algunas de estas plataformas publican su metodología de
construcción de carteras en whitepapers
https://uk.scalable.capital/assets/3x3i7a9xgm11/45qdErW8QUwE2kGMUG8EoG/95c
0da441c27a12015ba1047dcb25ce7/Scalable_Capital_Whitepaper_WP05_UK.pdf
https://intelligent.schwab.com/public/intelligent/insights/whitepapers/asset-
allocation.html
https://research.wealthfront.com/whitepapers/investment-methodology/
https://www.betterment.com/resources/betterment-portfolio-strategy/
• Utilizaremos estos ejemplos como casos de estudio
Robo Advisors

6
Ejemplo: Scalable capital

7
• Scalable Capital implementa el problema de optimización con restricciones en
cada paso para un inversor individual ik en la categoría de riesgo k:

8
• En cada revisión de analiza el riesgo. En caso de superar el límite (presupuesto)
individual, la cartera se rebalancea:
c

9
Ejemplo:
Charles
Schwab
• Charles Schwab utiliza full
scale optimization
(escenarios) en la
construcción de carteras.
Las carteras tienen
rentabilidades esperadas
como en optimización
media-varianza, pero el
perfil de riesgo se puede
personalizar según
preferencias individuales

10
Ejemplo: Wealthfront

11
Ejemplo: Wealthfront
• Wealthfront utiliza el
modelo de Black-
Litterman para la
construcción de
carteras óptimas,
ajustando las
rentabilidades
esperadas en las
visiones con un
modelo multifactor
APT propio

12
Ejemplo: Betterment

13
Ejemplo: Betterment

14
El proceso de gestión de un robo advisor
Universo de
activos
Perfil inversor Optimitzación cartera Seguimiento
y rebalanceo
Performance y
reporting
• Se utilizan con
frecuencia
ETFs o fondos
de las
principales
clases de
activos
globales
• Criterios de
selección
incluyen:
expense ratio,
liquididez,
réplica del
índice
• Cuestionarios
para determinar
el perfil
individual de
riesgo,
objetivos de
inversión,
horizonte
temporal
• Test Idoneidad
MiFID
• El método más
habitual actualmente
es media/varianza
(Markowitz). Se
añaden restricciones.
• Adaptaciones
utilizando Black-
Litterman,
optimización de VaR
o CVaR
• Otros métodos como
Full Scale
Optimization
(escenarios), Risk
parity
• En algunos casos,
regularización de la
matriz de
Covarianzas
• Se basa en
la revisión
constante
de los
parámetro
s de riesgo
o de
optimizació
n de las
ponderacio
nes
• También se
rebalancea
periódicam
ente (por
ejemplo,
mensualm
ente) en
algunos
casos
• Información de
seguimiento de
la evolución de
la cartera
• KPIs de riesgo y
rentabilidad, y
performance
attribution

15
• Los Robo Advisors son un buen ejemplo de la aplicación práctica de la
optimización de carteras. En particular, muestran las limitaciones prácticas de
métodos tradicionales como Markowitz (Media-Varianza)
• Algunas modificaciones y mejoras que se aplican respecto la teoría de Markowitz:
– Restricciones: en las ponderaciones, los costes de transacción, la fiscalidad
– Rentabilidades esperadas: B-L, CAPM y APT, Gordon growth, métodos no
cuantitativos
– Medidas de Riesgo: VaR o CVaR, correlaciones de las colas, Escenarios
(MonteCarlo)
• Aplicaciones de metodologías distintas, como por ejemplo:
– Diversificación y ponderaciones basadas en Riesgo (por ejemplo, Risk parity,
Equal Risk Contribution, HRP)
– Sparsity y Smoothing, con métodos de optimización de AI (Trees, ADMM,…)
• JPMorgan: Hierarchical Risk Parity: Enhancing Returns at Target
Volatility Apr’2017
• Amundi: Robust Asset Allocation for Robo-Advisors, 2018

16
Aplicación práctica y límites de la Optimización (µ,s)
• Recordamos el método de Markowitz, que consiste en maximizar la
rentabilidad esperada de la cartera con la restricción del nivel de
volatilidad (o, equivalentemente, minimizar la volatilidad con una
restricción de rentabilidad esperada objetivo)
Max Minå=
P ×=
N
i
iiW
1
µµ
*
11
2
sssrs =××= åå ==
P ji
N
j
ijji
N
i
WW
å=
=
N
i
iW
1
1
0³iW
ji
N
j
ijji
N
i
WW ssrs åå ==
P ××=
11
2
*
1
µµµ =×= å=
P
N
i
iiW

17
• En la práctica, la solución del problema anterior puede no ser estable.
Especialmente si la matriz de varianzas/covarianzas tiene valores
propios pequeños (ya que la solución se obtiene de invertir esta
matriz)
• Ejemplo: construimos carteras de inversión con 4 activos
µ1=7% µ2=8% µ3=9% µ4=10%
s1=15% s2=18% s3=20% s4=25%
∑ =
1 0,50 0,50 0,60
0,50
0,50
0,60
1 0,50 0,50
0,50 1 0,40
0,50 0,40 1
• Supongamos que queremos calcular la cartera óptima con una
volatilidad del 15%. Invertimos todo el capital disponible (long only)

18
• La cartera óptima (media-varianza) resulta:
w1=26,3% w2=25,5% w3=32,3% w4=15,9%
• Veamos las sensibilidades de la solución óptima respecto a pequeños
cambios en los parámetros, en la siguiente tabla:
s3 19% 21% 21%
rij 0,30 0,70 0,70
µ2 5% 7%
w1 26,30% 21,48% 30,20% 7,03% 54,49% 54,72% 70,75%
w2 25,52% 22,90% 27,79% 24,23% 26,81% -2,43% 13,95%
w3 32,28% 39,10% 26,48% 37,53% 22,38% 35,38% 16,57%
w4 15,90% 16,52% 15,53% 31,21% -3,78% 12,34% -1,27%

19
Shrinkage de la matriz de riesgos (Varianzas/Covarianzas) ∑
• Ver “Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix” Olivier Ledoit,
Equities Division Credit Suisse First Boston
• La inestabilidad numérica en la optimización de carteras mediante
Markowitz se acentúa además en la práctica al tener que aproximar la
matriz ∑ por las varianzas-covarianzas estimadas a partir de una
muestra de rentabilidades de los activos
• El estimador de la matriz ∑, la matriz S, a partir de una muestra
histórica de observaciones contiene un error elevado, especialmente
cuando el número de activos N es grande comparado con la muestra
de m datos históricos. Los valores estimados son más extremos
mtNiri
t ,...,1,...,1 == ( )( )å=
--
-
=
m
t
j
t
j
t
i
t
i
tji rrrr
m
rrCov
1
1
1
),(

20
• Una alternativa distinta –vista en este módulo- para aproximar la
matriz ∑ es la utilización de métodos de factores: CAPM (un solo
factor) o APT (L factores)
• Estos métodos permiten un error en el estimador menor, aunque son
un estimador estructural con riesgo de sesgo del modelo
å=
+×+=
L
j
ijijii FR
1
eba
( ) LjNiB ijij ,,1,,1 !! === b ( ) Njiijij ,,1, !==S s ( ) Ljiijij ,,1, !==L l
E+×B= fR
W+LBB=S T

21
• Las técnicas de shrinkage de la matriz ∑ consisten en combinar el
estimador de la matriz de covarianzas (histórica) muestrales S con un
estimador estructural de factores F:
• Otra opción simple utilizada en la práctica consiste en una matriz F de
correlaciones medias constantes. Es decir, para la matriz F del modelo
anterior asumimos todas las correlaciones (para cada par) son
idénticas e iguales a la correlación muestral media observada
Σ ≅ # $ % + (1 − #) $ +

22
• La matriz F en el caso de correlaciones constantes se obtiene de los
siguientes cálculos
– Correlaciones teóricas ! y muestrales s
– Correlaciones medias
– Las componentes fij de la matriz F son:
!"# =
%"#
%"#%##
&"# =
'"#
'"#'##
̅! =
2
* − 1 *
-
"./
01/
-
#."2/
0
!"# ̅& =
2
* − 1 *
-
"./
01/
-
#."2/
0
&"#
3"" = '"" 3"# = ̅& '""'##

23
Construcción de carteras de Markowitz (media-varianza) Sparse estables
• Existen varios métodos para regularizar la optimización poco estable de
Markowitz (matriz mal condicionada ∑)
• Podemos añadir en la función objetivo de Markowitz una componente
(penalty) que garantize carteras estables y sparse (con pocos activos).
• Una ventaja añadida de este tipo de penalties es un mayor control sobre
los costes de transacción de los rebalanceos en la gestión de la cartera
• Un parámetro t permite modelar la ponderación de este nuevo factor
• Ver por ejemplo: Sparse and stable Markowitz portfolios, Working paper
European Central bank No 936 (2008)

24
Construcción de carteras de Markowitz (media-varianza) Sparse estables
• El factor penalty L1 que añadimos a la función objetivo de la optimización
!" = $ " = %
&'"
(
$&
Min
,
-. + !"

25
Construcción de carteras de Markowitz (media-varianza) dinámicas robustas:
• La formulación general del problema de optimización dinámico, mediante
un proceso automático (como el de un Robo advisor), estable y que
incorpora restricciones individuales (personalización, objetivos/goals-
based), consiste en:
• pesos de los activos de la cartera óptima a partir de la cartera
actual . Se obtienen de la solución de:
• f(x) corresponde a la función volatilidad, L1, L2 son funciones penalty de
regularización (estabilidad, sparsity y costes de transacción del
rebalanceo), y !" son los pesos de un benchmark de referencia. Los
parámetros # permiten calibrar las intensidades
• Podemos añadir otras restricciones:
"$%&
"$
min
*
+ " + -#&
./&(" − !" &
+ -#2
./2(" − !" 2
2
+ #& )/&(" − "$ & + #2 )/2(" − "$ 2
2
" ∈ Ω

26
Métodos de Machine Learning:
• El modelo original de Markowitz de media-varianza es un problema que se
resuelve con técnicas numéricas de programación cuadrática con restricciones
lineales
• Las formulaciones y aplicaciones más desarrolladas del modelo original de
Markowitz, con funciones objetivo más complejas –ver slide siguiente-, no son
problemas que puedan resolverse mediante programación cuadrática. Varios
métodos de optimización basados en machine learning (aplicados en
optimización de redes neuronales, support vectors, regresiones) permiten
resolver estos casos generales de construcción de carteras
• El desarrollo también de nuevas estrategias cuantitativas de gestión de activos:
smart beta, risk premia alternativas, estrategias sistemáticas, risk parity, robo-
advisors) está cambiando las técnicas numéricas utilizadas. Los métodos de
Machine Learning están permitiendo aplicar algoritmos de optimización masivos
a estos problemas
• Algunos de estos métodos incluyen: coordinate descent, AD descent, proximal
gradient, etc
• Ver Amundi: Machine Learning Optimization Algorithms & Portfolio Allocation
Sep’2019

27
• Funciones objetivo en Optimización de carteras:
• Funciones Penalty y de regularización

28
• Restricciones utilizadas en gestión de carteras
• Funciones Penalty y de regularización

29
HRP: Hierarchical Risk Parity
• El modelo de Markowitz, como hemos visto, presenta dificultades prácticas:
concentración en pocos activos e inestabilidad (inversa de la matriz
Covarianzas), y dificultad de cálculo de las rentabilidades esperadas
• Markowitz, a través de la matriz ∑, considera las correlaciones entre las
rentabilidades de todos los activos. Es decir, cualquier activo, en el proceso de
optimización, “compite” o puede sustituir a cualquier otro en la cartera resultante
• El método HRP mejora estos aspectos:
– Las ponderaciones se asignan según el riesgo (risk parity), de manera
inversamente proporcional. No es necesario incorporar la rentabilidad
esperada de cada activo
– Los activos se agrupan en categorías y se selecciona dentro de cada
categoría. Es decir, se mantiene un criterio de jerarquía/categorización
(liquidez, tamaño, industria o geografía). En Markowitz, estas agrupaciones
se pierden (todos los activos “compiten” individualmente contra todos)
• HRP se puede dividir en tres pasos principales: Hierarchical Tree Clustering,
Reordenación (Matrix seriation) y Bisección recursiva
• Ver ejemplo: JPMorgan Cross Asset Portfolios of Tradable Risk Premia Indices,
Hierarchical Risk Parity: Enhancing Returns at Target Volatility, Abr’17

30
Risk Parity
• La estrategia de construcción de carteras risk parity pondera cada
activo de manera que su contribución al riesgo sea la misma para
cada activo
min
$
%
&'(
)
*
+, - ∑- +
/
− +& - 1&(+)
4
1 + = %
&'(
)
∑- +
+, - ∑- +

31
1. Hierarchical Tree Clustering
• El algoritmo de Tree clustering agrupa los activos individuales en clusters
(categorías) de activos correlacionados entre sí
Consideramos N activos y una muestra de M observaciones (rentabilidades
históricas)
D es la matriz de distancias según correlaciones:
es la matriz de distancias entre las columnas (a pares) de la matriz D:
• es una medida de la proximidad/similitud de estos dos activos con el resto en
general. Si para un par (i,j) el valor en la matriz es elevado, significa que los dos
activos están en un grupo con comportamiento distinto al resto de activos
!"# = 0,5 ( 1 − +"#
,!
,!"# = -
./0
1
!." − !.#
2
,!

32
• A continuación agrupamos los activos en clusters, en un proceso recursivo
• El primer cluster lo forman los activos (i,j) que minimizan la distancia
• En el ejemplo anterior, a y b forman el primer cluster
• De manera iterativa, calculamos la matriz D de distancias, y recalculamos las
distancias de cada activo i (distinto de a y b, que ya excluímos) con el cluster 1
formado por (a, b)
!"
!"
!" )$ (&,( = min
$
!"$&, !"$(
min
$-
!"$-

33
• En el ejemplo, supongamos que las nuevas distancias de cada activo restante vs
el cluster (a, b) resultan:
• Los activos c y e formarían parte del segundo cluster, junto al cluster (a, b)
• El algoritmo combina todos los activos en clusters, actualizando en cada paso la
matriz de distancias, hasta clasificar todos los activos en el cluster general total
que incluye todos los activos en subclusters
• En el método de optimización de pesos final del modelo HRP, veremos que los
activos sólo “compiten” con los activos del mismo cluster, y no con todos los
activos del universo inicial

34
2. Quasi-Diagonalización (Reordenación de la matriz ∑)
• La matriz ∑ se puede reordenar a partir de los clusters del paso anterior. Es decir,
activos de un mismo cluster se colocan más cerca (filas y columnas
reordenadas). Esto permite que los valores elevados de covarianzas estén
alrededor de la diagonal, mientras que los valores pequeños se encuentran más
alejados. Es una matriz quasi-diagonal (matriz inversa estable útil en el paso 3
del proceso)
Covarianzas iniciales Covarianzas reordenadas
por clusters

35
3. Bisección recursiva
• Finalmente, HRP permite obtener los pesos de cada activo individual, de manera
inversamente proporcional al riesgo del subcluster (risk parity), pero
manteniendo una buena diversificación (cartera no concentrada) entre los varios
clusters
• Empezando por el cluster superior (el último obtenido del proceso 1), asignamos
de manera recursiva pesos a cada uno de los dos subclusters de cada paso del
proceso 1 (empezando con pesos W1 , W2 igual a 1)
• Los pesos , corresponden a la solución de la cartera de mínima varianza de
cada iteración
!" = $" % !"
!& = $& % !&
$" = 1 −
)"
)" + )&
$& = 1 − $"
$" $&

36
• Ejercicio: explicar la implementación del proceso de gestión del robo
advisor (según los 5 aspectos descritos en la slide 11), escogiendo etre
uno de los siguientes: Schwab, Wealthfront, Betterment, Scalable
• Mínimo 500 palabras. Fecha entrega: 30 de Junio

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