O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre números complexos, incluindo sua definição, representações, operações e propriedades. É definido que um número complexo é representado por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. As principais operações como adição, subtração, multiplicação e divisão são descritas utilizando esta representação algébrica.
O estudo do controle motor nada mais é do que o estudo da natureza do movimen...
Números complexos
1. Números Complexos
Definição: i
1
Representações: Algébrica:
Par ordenado:
Trigonométrica:
y
z a b.i
z ( a, b )
z z .(cos i.sen )
z : módulo z
a2 b2
: arg z argumento de z
•P(a,b)
cos
x
a
z
sen
b
z
z a b.i P(a, b)
z z .(cos i.sen ) P( z , )
2
2
z a b
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2. Números Complexos
z a b.i
Conjugado: z a b.i
Exemplo: i = (0,1)
i2 = -1
(0,b) = b.i
(a,0) = a
z = 2 – 5.i
z = 2 + 5.i
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3. Números Complexos
Operações:
• Adição:
(a b.i) (c d .i) (a c) (b d ).i
(1 2.i) (3 4.i) 4 6.i
• Subtração:
(a b.i) (c d .i) (a c) (b d ).i
(5 3.i) (3 4.i) 2 1.i
• Multiplicação:
(a b.i).(c d .i) (ac bd ) (bc ad ).i
(1 i).( 2i) 3 i
1
• Divisão:
(a b.i )
(c d .i ) 0
(c d .i )
(a b.i ) (c d .i ) (ac bd ) (bc ad ).i
.
(c d .i ) (c d .i )
c2 d 2
1 i 1 i 2.i
.
i
1 i 1 i
2
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4. Números Complexos
• Exponenciação:
in ir
Para n 4, r é o resto da divisão de n por 4 !
• Potência de z : zn = (a+b.i)n Desenvolver Binômio de Newton
Operações – Forma trigonométrica:
• Multiplicação: z .z
1
• Divisão:
2
z a b.i z z .(cos i.sen )
z1 . z2 .cos( 1 2 ) i.sen( 12 )
z
z1
1 .cos( 1 2 ) i.sen( 1 2 )
z2
z2
• Potenciação:
z n z .cos(n. ) i.sen(n. ), n Z
n
• O argumento das operações é
a 1ª determinação positiva ou
nula dos argumentos.
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5. Números Complexos
• Radiciação: zk é a raiz enésima de z
z z zk
n
k
n
zz
1
n
z z .(cos i.sen )
zk z
1
n
2
2
.cos(
.k ) i.sen (
.k ), k {0,1,2,..., n 1}
n
n
n
n
• Os argumentos estão em P.A. : a1 = /n e r = 2/n
Exemplo:
z 8.(cos60o i.sen 60o )
Obter a raiz cúbica de z
60
360o
60o
360o
z z k 8.cos(
.k ) i.sen (
.k )
3
3
3
3
o
o
o
o
z k 2. cos(20 120 .k ) i.sen ( 20 120 .k )
o
3
3
P0
k 1 z 2.cos140 i.sen140 P1
k 2 z 2.cos 260 i.sen 260 P2
k 0 z0 2. cos 20 i.sen 20
o
o
o
o
1
o
o
2
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