Estudio a las matemáticas discretas

1. LOGICA
PARTE 1

2. Introducción a la lógica
Estudio del razonamiento
Coherente
Estructurado
Tiene sentido
Lógica proposicional, simbólica o
matemática
PROPOSICIONES O AFIRMACIONES

3. Proposiciones o afirmaciones
Enunciado
Verdadero
Falso
El día esta soleado
Bogotá es la capital de Colombia
México esta en Europa
2+3=5
3+3=7
Comprame una hamburguesa
¿Cuantos años tienes?
Te deseo lo mejor
Pablo es ingeniero
Los ingenieros son aburridos
PABLO ES ABURRIDO
RELACIÓN

4. Proposiciones simples
𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡
𝑝 Juan es arquitecto
𝑞 Mi zapato es rojo
𝑟 el día esta soleado

5. Proposiciones compuestas
𝑝 𝑆𝑒𝑟𝑔𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑞 𝐽𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜
𝑟 𝑆𝑒𝑟𝑔𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑦 𝐽𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜
𝑝 𝑞
?
Conectores Lógicos
𝑆𝑒𝑟𝑔𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑡𝑎 𝐽𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜
𝑌
𝑂
𝑆𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

6. Conectores lógicos
𝑟 𝑆𝑒𝑟𝑔𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑦 𝐽𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜
𝑝 𝑞
Conector lógico Símbolo Nombre
y ⋀ Conjunción
o ⋁ Disyunción debíl
o…o △ Disyunción fuerte
Si… entonces.. → Implicación
Si y solo si ↔ Equivalencia
No es verdad ~ Negación

7. Valor de verdad
𝑟 𝑆𝑒𝑟𝑔𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑦 𝐽𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜
𝑝 𝑞
V
F
V
F
V V
V F
F V
F F
𝑝 𝑞
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
𝑝 𝑞 𝑟
2𝑛

8. Conjunción
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑙𝑜𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝐻𝑎𝑐𝑒 𝑓𝑟í𝑜
𝑝 𝑞
V V V
V F F
F V F
F F F
𝑝 𝑞 𝑝⋀𝑞
TABLAS DE VERDAD

9. Disyunción débil
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑙𝑜𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝐻𝑎𝑐𝑒 𝑓𝑟í𝑜
𝑝 𝑞
V V V
V F V
F V V
F F F
𝑝 𝑞 𝑝⋁𝑞

10. Disyunción fuerte
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑙𝑜𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝐻𝑎𝑐𝑒 𝑓𝑟í𝑜
𝑝 𝑞
V V F
V F V
F V V
F F F
𝑝 𝑞 𝑝 △ 𝑞
o

11. Condicional
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑙𝑜𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 Hace frío
𝑝 𝑞
Entonces
V V V
V F F
F V V
F F V
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞
Si
Antecedente Consecuente

12. Bicondicional
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑙𝑜𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 Hace frío
𝑝 𝑞
Si y solo si
V V V
V F F
F V F
F F V
𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞

13. Negación
Esta lloviendo
𝑝
No esta lloviendo
~𝑝
Esta lloviendo y hace frio
No es verdad que Esta lloviendo y hace frio
~(𝑝⋀𝑞)
(𝑝⋀𝑞)
V F
F V
𝑝 ~𝑝

14. Tablas de verdad
Tautología Contradicción Contingencia
V V V
V F V
F V V
F F V
𝑝 𝑞 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎
V V F
V F F
F V F
F F F
𝑝 𝑞 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎
V V V
V F F
F V V
F F F
𝑝 𝑞 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎

15. Construcción tabla de verdad
V
F
𝑝
𝑝 → (𝑝⋀~𝑝)
F
V
~𝑝
V V V
V F F
F V F
F F F
𝑝 𝑞 𝑝⋀𝑞
F
F
𝑝⋀~𝑝
F
V
𝑝 → 𝑝⋀~𝑝
V V V
V F F
F V V
F F V
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞
Contingencia

16. (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ ~𝑞
V V
V F
F V
F F
𝑝 𝑞
2𝑛
V
V
V
F
𝑝 ∨ 𝑞
V V V
V F V
F V V
F F F
𝑝 𝑞 𝑝⋁𝑞
F
V
F
V
~𝑞
V
V
V
V
(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ ~𝑞
Tautología

17. Ejemplo
~(𝑟⋀𝑝) ∨ ~(𝑞 ∨ 𝑝)

18. Ejemplo
Si se conoce que 𝑞 ∨ ~𝑟 ∨ 𝑝 Es falsa
Determinar el valor de verdad de
~𝑟 ∨ ~𝑝 ⟶ 𝑝 ⟶ ~𝑝

19. Circuitos lógicos
Interruptor
Generador
Bombillo

20. Lógica y circuitos eléctricos
𝑝
V
F
1
0
1
0

21. Lógica y circuitos
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
𝑝 𝑞 𝑝⋀𝑞
Conjunción
Circuito en serie
1 1 1
1 0
0
0 1
0
0 0
0

22. Lógica y circuitos
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
𝑝 𝑞 𝑝⋀𝑞
Disyunción
Circuito en paralelo
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0

23. Lógica y circuitos
Disyunción
p
q
Conjunción
p q
Negación
~𝑞

24. Ejemplo
Representar
~𝑟 ∨ ~𝑝 ⋀ 𝑝
~p
~r
𝑝