Algebra

Carlos Ivorra Castillo

´
ALGEBRA

Mathematics, rightly viewed, possesses not only
truth, but supreme beauty —a beauty cold and austere, like that of sculpture.
Bertrand Russell

´
Indice General
Introducciń
o

ix

Preliminares conjuntistas

xv

Cap´
ıtulo I: Los n´ meros enteros y racionales
u
1.1 Construcciń de los n´meros enteros . . . .
o
u
1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Cuerpos de cocientes. N´meros racionales .
u
1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . .

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1
1
3
7
13

Cap´
ıtulo II: Anillos de polinomios
15
2.1 Construcciń de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15
o
2.2 Evaluaciń de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Cap´
ıtulo III: Ideales
25
3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Cap´
ıtulo IV: Divisibilidad en dominios ´
ıntegros
4.1 Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . .
a
4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . .
4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . .
Cap´
ıtulo V: Congruencias y anillos cociente
5.1 Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . .
a
5.2 N´meros perfectos . . . . . . . . . . . . .
u
5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . .
5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . .
v

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45
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54
58
60

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INDICE GENERAL

vi
Cap´
ıtulo VI: Algunas aplicaciones
6.1 Ternas pitag´ricas . . . . . . .
o
6.2 Sumas de dos cuadrados . . . .
6.3 Sumas de cuatro cuadrados . .
6.4 N´meros de la forma x2 + 3y 2 .
u
6.5 La ecuaciń x2 + 3y 2 = z 3 . . .
o
´
6.6 El Ultimo Teorema de Fermat .
6.7 Enteros ciclot´micos . . . . . .
o
Cap´
ıtulo VII: M´dulos
o
7.1 M´dulos . . . . .
o
7.2 Suma de m´dulos
o
7.3 M´dulos libres. .
o

y espacios
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65
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80
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vectoriales
87
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Cap´
ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos
8.1 Extensiones algebraicas . . . . . .
8.2 Homomorfismos entre extensiones .
8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . .
8.4 Extensiones normales . . . . . . . .
8.5 Extensiones separables . . . . . . .
8.6 El teorema del elemento primitivo
8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . .
Cap´
ıtulo IX: Grupos
9.1 Definiciń y propiedades b´sicas .
o
a
9.2 Grupos de permutaciones . . . . .
9.3 Generadores, grupos c´
ıclicos . . . .
9.4 Conjugaciń y subgrupos normales
o
9.5 Producto de grupos . . . . . . . . .
9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . .
9.7 Grupos alternados . . . . . . . . .

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105
110
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135
135
139
144
147
150
152
154

Cap´
ıtulo X: Matrices y determinantes
157
10.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.3 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Cap´
ıtulo XI: Enteros algebraicos
11.1 Definiciń y propiedades b´sicas . . . . . .
o
a
11.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos .
11.3 Divisibilidad en anillos de enteros . . . . . .
11.4 Factorizaciń unica en cuerpos cuadr´ticos .
o ´
a
11.5 Aplicaciones de la factorizaciń unica . . . .
o ´

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179
185
191
195
201

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INDICE GENERAL

vii

Cap´
ıtulo XII: Factorizaciń ideal
o
207
12.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.2 Factorizaciń ideal en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . 214
o
12.3 Dominios de Dedekind y dominios de factorizaciń unica . . . . . 220
o ´
Cap´
ıtulo XIII: Factorizaciń en cuerpos
o
13.1 Los primos cuadr´ticos . . . . . . . .
a
13.2 El grupo de clases . . . . . . . . . .
13.3 C´lculo del n´mero de clases . . . .
a
u

cuadr´ticos
a
223
. . . . . . . . . . . . . . . . 223
. . . . . . . . . . . . . . . . 226
. . . . . . . . . . . . . . . . 230

Cap´
ıtulo XIV: La ley de reciprocidad cuadr´tica
a
14.1 Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
14.2 El s´
ımbolo de Legendre . . . . . . . . . . . . .
14.3 El s´
ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Los teoremas de Euler . . . . . . . . . . . . . .

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243
243
247
252
255

Cap´
ıtulo XV: La teor´ de Galois
ıa
15.1 La correspondencia de Galois
15.2 Extensiones ciclot´micas . . .
o
15.3 Cuerpos finitos . . . . . . . .
15.4 Polinomios sim´tricos . . . .
e

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259
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273
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Cap´
ıtulo XVI: M´dulos finitamente generados
o
281
16.1 Los teoremas de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
16.2 La estructura de los grupos de unidades . . . . . . . . . . . . . . 289
Cap´
ıtulo XVII: Resoluciń de ecuaciones por radicales
o
17.1 Extensiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Caracterizaciń de las extensiones radicales . . . . . .
o
17.4 La ecuaciń general de grado n . . . . . . . . . . . . .
o

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293
294
297
303
305

Apńdice A: El teorema de la base normal
e

307

Apńdice B: Extensiones inseparables
e

311

Apńdice C: La resultante
e

315

Bibliograf´
ıa

319

´
Indice de Tablas

321

´
Indice de Materias

322

Introducciń
o
El prop´sito de este libro es introducir a un lector con conocimientos m´
o
ınimos
de matem´ticas en el estudio de los n´meros naturales
a
u
0,

1,

2,

3,

4,

5,

...

Quiz´ esta afirmaciń sorprenda al lector por dos posibles motivos: bien
a
o
porque crea que los n´meros naturales son algo tan simple que dif´
u
ıcilmente se
puede escribir un libro sobre ellos, bien porque crea que un libro as´ no deber´
ı
ıa
´
llamarse ‘Algebra’. El primer caso es fćil de rectificar. Consideremos por
a
ejemplo la ecuaciń
o
x2 + xy − 3y 2 = 15.
¿Sabr´ decidir el lector si existen n´meros naturales (x, y) que satisfagan
ıa
u
esta condiciń? Tenemos aqu´ un problema de planteamiento elemental cuya
o
ı
soluciń no es nada fćil. Si existiera un par as´ podr´
o
a
ı
ıamos tener suerte y encontrarlo por tanteo, pero si no lo hay necesitaremos algń tipo de razonamiento
u
que lo justifique, pues el no encontrar soluciones no significa que no las haya.
Si el problema fuera x2 + xy + 3y 2 = 15 el asunto ser´ muy diferente, pues
ıa
podr´
ıamos hacer 4(x2 + xy + 3y 2 ) = (2x + y)2 + 11y 2 y de aqu´ sacar´
ı
ıamos una
cota a las posibles soluciones, con lo que un n´mero finito de comprobaciones
u
bastar´ para decidir si las hay. Aun as´ habr´
ıa
ı
ıamos necesitado un pequeõ truco
n
que requerir´ un m´
ıa
ınimo de perspicacia.
De nada sirve despejar la y en funciń de x, o viceversa, pues entonces nos
o
encontraremos con el problema de determinar si una expresiń con una ra´
o
ız
cuadrada puede o no ser un n´mero natural, y no podremos ir mucho m´s lejos.
u
a
Sin duda el lector que cre´ dominar los n´meros naturales reconocer´ ya la
ıa
u
a
precariedad de ese dominio. Sin embargo esta situaciń suele causar rechazo al
o
matem´tico acostumbrado a otra clase de problemas m´s . . . ¿abstractos? La
a
a
reacciń natural es: ¿pero qu´ importa si existen o no soluciones naturales? Una
o
e
pregunta interesante podr´ ser si existen funciones reales continuas no derivaıa
bles en ningń punto, por ejemplo, porque una soluciń negativa consolidar´
u
o
ıa
nuestro conocimiento de la continuidad y la derivabilidad, mientras que una
soluciń positiva ser´ (y de hecho es) algo verdaderamente curioso e intrigante.
o
ıa
Sin embargo, tanto si alguien encuentra una soluciń a esa ecuaciń como si
o
o
prueba que no las hay, lo cierto es que nos quedamos igual, obtenemos un dato
irrelevante.
ix

x

Introducciń
o

Esta objeciń entronca con la posible sorpresa de que un libro que promete
o
´
abordar estas banalidades tenga la osad´ de titularse ‘Algebra’. El reproche
ıa
estar´ justificado si lo unico que fu´ramos a ver en este libro fuera una coıa
´
e
lecciń de recetas o, ań peor, de trucos para resolver ecuaciones como la de
o
u
antes. Tambiń en tal caso ser´ razonable opinar que el contenido del libro
e
ıa
ser´ irrelevante, al menos segń los gustos matem´ticos al uso. Sin embargo,
ıa
u
a
el inter´s de un problema puede no estar en la pregunta sino en la respuesta.
e
Parafraseamos a Gauss al decir que la aridez de esta clase de problemas oculta
una disciplina que merece el t´
ıtulo de Reina de las Matem´ticas. ¿Por qu´ un
a
e
matem´tico que destac´ tan prodigiosamente en an´lisis, geometr´ diferencial,
a
o
a
ıa
f´
ısica y estad´
ıstica, entre otras partes de la matem´tica, antepon´ la teor´ de
a
ıa
ıa
n´meros a todas ellas? Sencillamente porque al abordar problemas como el que
u
hemos propuesto se encontr´ con una teor´ mucho m´s rica, sutil y abstracta
o
ıa
a
que cualquier otra de su ´poca.
e
Ciertamente, la teor´ de n´meros antes de Gauss era esencialmente una
ıa
u
colecciń de trucos, verdaderos monumentos al ingenio humano, eso s´ pero
o
ı,
despreciables al gusto del matem´tico moderno, pero estamos hablando de la
a
teor´ de n´meros del siglo XVIII. Para los matem´ticos del siglo XIX la siıa
u
a
tuaciń era radicalmente distinta, y es esta visiń moderna la que queremos
o
o
transmitir al lector de este libro. B´sicamente se puede describir como sigue:
a
Los n´meros naturales son unos objetos extremadamente caprichosos, pero
u
no ca´ticos. Es como si un pianista decide caprichosamente qu´ pieza va a
o
e
tocar. A priori no podemos predecir lo que har´, pero una vez que conocemos su
a
decisiń podemos anticipar cada uno de sus movimientos a partir de la partitura.
o
Un pianista ca´tico ser´ por ejemplo un int´rprete de jazz que improvisara en
o
ıa
e
todo momento. As´ el comportamiento de los n´meros puede ser controlado en
ı,
u
funciń de ciertos par´metros, caprichosos hasta donde hoy se sabe, y la forma
o
a
de controlarlos no es la fuerza bruta (la manipulaciń de ecuaciones al estilo
o
del siglo XVIII), que ofrece resultados muy limitados, sino la psicolog´ m´s
ıa a
fina, la b´squeda de leyes generales que s´lo pueden ser expresadas en t´rminos
u
o
e
de objetos abstractos, impensables en una primera aproximaciń, pero que los
o
matem´ticos han podido descubrir poco a poco a lo largo de casi dos siglos.
a
Pensemos por ejemplo en la introducciń de los n´meros enteros:
o
u
...

−5,

−4,

−3,

−2,

−1,

0,

1,

2,

3,

4,

5,

...

Se trata del ejemplo m´s elemental de c´mo un artificio algebraico como es poner
a
o
un signo delante de los n´meros resulta ser de inestimable ayuda en su manejo.
u
Tanto es as´ que en realidad, aunque la motivaciń primera en el estudio de los
ı
o
n´meros proviene de los n´meros naturales, es m´s justo decir que en este libro
u
u
a
se estudian los n´meros enteros.
u
Pero si queremos resolver el problema que hemos planteado necesitamos ir
mucho m´s lejos. El paso siguiente en esta direcciń es factorizar la ecuaciń
a
o
o
≥
√ ¥≥
√ ¥
x2 + xy − 3y 2 = x + y 1+2 13 x + y 1−2 13 .
Esto puede parecer un sucio ‘truco’, pero en realidad es un paso obvio si se
disfruta del punto de vista adecuado. As´ nos encontramos con que la ecuaciń
ı
o

xi
est´ relacionada con el n´mero D = 13, invisible hasta ahora, y que se conoce
a
u
como discriminante de la ecuaciń. Por ejemplo, si antes dec´
o
ıamos que el problema con −3 es m´s dif´ que el mismo problema pero con un +3, un algebrista
a
ıcil
ver´ el discriminante D = 13 frente al discriminante D = −11, y el algebrista
a
sabe que una de las caracter´
ısticas generales de este tipo de ecuaciones es que las
de discriminante negativo siempre son m´s fćiles. Vemos as´ que el verdadero
a a
ı
problema no era el signo del −3, sino el del discriminante.
√
Adem´s nos ha aparecido el n´mero irracional 1+2 13 , y en este punto el
a
u
algebrista deja de pensar en n´meros para fijarse en algo mucho m´s abstracto,
u
a
como es el conjunto
h √ i n
o
√
Z 1+2 13 = x + y 1+2 13 | x, y ∈ Z .
´
El sabe que este conjunto tiene una estructura importante conocida como dominio ´
ıntegro, que lo hace muy similar al propio conjunto Z de los n´meros
u
enteros. Sobre este conjunto est´ definida una aplicaciń llamada norma
a
o
h √ i
N : Z 1+2 13 −→ Z,

≥
≥
√ ¥
√ ¥≥
√ ¥
dada por N x + y 1+2 13 = x + y 1+2 13 x + y 1−2 13 = x2 + xy − 3y 2 y
cuyo comportamiento es extremadamente regular.
El resultado es que la penetraciń del algebrista convierte un arduo problema
o
que todo el mundo entiende en un sencillo problema que s´lo los algebristas
o
√
entienden: ¿Existe un entero cuadr´tico en Q( 1+2 13 ) cuya norma sea 15?
a
Decimos ‘sencillo’ pensando, por supuesto, en el punto de vista del algebrista
que cuenta con el equipaje de una s´lida y elegante teor´ Para ´l la soluciń se
o
ıa.
e
o
obtiene analizando unos objetos todav´ m´s abstractos y alejados de la simple
ıa a
ecuaciń dada: los ideales del anillo anterior. No importa si el lector no sabe en
o
este punto de qu´ estamos hablando (eso es lo que puede aprender en este libro,
e
precisamente), lo que importa es que esos ideales siguen un comportamiento
extremadamente simple, de modo que una comprobaciń elemental le permite
o
concluir la inexistencia de soluciones enteras. Citamos aqu´ la comprobaciń sin
ı
o
a
ńimo de que el lector la entienda, s´lo para que admire su sencillez formal:
o
Tenemos que 15 = 3 · 5 y si existiera un ideal de norma 15 ´ste tendr´
e
ıa
un factor primo de norma 5, pero eso significar´ que el discriminante 13 ser´
ıa
ıa
un resto cuadr´tico m´dulo 5, pero (13/5) = (3/5) = (5/3) = (2/3) = −1,
a
o
contradicciń.
o
Todo esto puede ser razonado sin esfuerzo incluso mentalmente. El lector
encontrar´ los detalles en el cap´
a
ıtulo XIV.
En realidad este problema era muy fćil. Si el t´rmino independiente de la
a
e
ecuaciń no hubiera sido 15, sino otro n´mero, como 17, entonces la soluciń
o
u
o
habr´ sido positiva, y para justificarlo el algebrista habr´ tenido que contar
ıa
ıa
con dos datos m´s, todav´ m´s≥abstractos:
a
ıa a
√ ¥
1) El n´mero de clases de Q 1+2 13 es h = 1,
u
≥ √ ¥
2) El cuerpo Q 1+2 13 contiene unidades de norma negativa.

xii

Introducciń
o

Una vez m´s, no esperamos que el lector entienda nada de esto. La segunda
a
propiedad es fćil de comprobar con un m´
a
ınimo tanteo, mientras que la primera
es un hecho nada trivial y que ejemplifica lo que antes llam´bamos comportaa
≥ √ ¥
miento ‘caprichoso’ de los n´meros. En efecto, cada cuerpo como Q 1+2 13
u
tiene asociado un n´mero natural h llamado su ‘n´mero de clases’, que se puede
u
u
calcular en la prćtica mediante un algoritmo.
a
√
¿Por qu´ el n´mero de clases para 13 es h = 1 mientras que, por ejemplo,
e
u
√
para 15 es h = 2? Esto forma parte del comportamiento caprichoso de los
n´meros del que habl´bamos antes, pero lo cierto es que, una vez determinado
u
a
el n´mero de clases, el algebrista sabe cu´l es el ‘carćter’ que este capricho
u
a
a
imprime a los problemas asociados a este n´mero, y sabe a qu´ atenerse.
u
e
No creemos necesario aburrir al lector con m´s afirmaciones que probablea
´
mente no entienda. Estas habrń bastado para que comprenda la situaciń.
a
o
Los problemas num´ricos como el que hemos presentado abren la puerta, a la
e
vez que dan sentido y motivaciń, a una teor´ cuyo ‘sabor’ ha podido captar
o
ıa
hace un momento, una teor´ profunda, rica en conceptos y en ideas y que nos
ıa
permite llegar a elegantes principios generales m´s simples formalmente cuanto
a
m´s elevados y complejos conceptualmente.
a
Se trata de una situaciń similar a la de la mecńica celeste: el movimiento de
o
a
los planetas puede ser descrito eficientemente por las leyes ptolemaicas, meramente descriptivas y aproximadas, o por las leyes de Kepler, rigurosas pero
tćnicas, o por la ley de la gravitaciń universal de Newton, la m´s simple
e
o
a
formalmente, o por las ecuaciones de la relatividad general de Einstein, las m´s
a
sofisticadas de todas, pero las que proporcionan una mejor comprensiń del
o
fen´meno.
o
El estudio de los n´meros enteros se conoce en general como Teor´ de
u
ıa
N´meros, y la teor´ que hay detr´s es tan vasta que no encaja en ninguna
u
ıa
a
rama particular de las matem´ticas, sino que en ella intervienen el ´lgebra, la
a
a
topolog´ el an´lisis e incluso la geometr´ Por ello, y a pesar de que fraccioıa,
a
ıa.
narla no deja de ser artificial, se habla de una Teor´ de N´meros Elemental (que
ıa
u
no usa m´s que la aritm´tica b´sica), una Teor´ Algebraica de N´meros, una
a
e
a
ıa
u
Teor´ Anal´
ıa
ıtica de n´meros y una Geometr´ de los N´meros. (No obstante
u
ıa
u
las fronteras no pueden establecerse con precisiń, y por eso se ha terminado
o
hablando de una Teor´ Algebraica de N´meros Anal´
ıa
u
ıtica).
El ejemplo que hemos dado corresponde a la Teor´ Algebraica de N´meros
ıa
u
(al igual que el contenido de este libro). Quiz´ despu´s de todo podr´ tener
a
e
ıa
´
razń el lector que considerara que ‘Algebra’ no es el t´
o
ıtulo adecuado de este
libro, sino que ser´ mejor haberlo llamado ‘Teor´ Algebraica de N´meros’.
ıa
ıa
u
Sin embargo hemos decidido darle el t´
ıtulo que tiene porque al fin y al cabo
abordamos a un nivel aceptable como introducciń el equivalente a un primer
o
curso de ´lgebra: ´lgebra lineal (m´dulos, espacios vectoriales, matrices, detera
a
o
minantes), teor´ de anillos, teor´ de cuerpos y teor´ de grupos finitos (con
ıa
ıa
ıa
especial hincapi´ en los grupos abelianos y resolubles y los grupos de permue
´
taciones), y no creemos que la palabra ‘Algebra’ deba significar otra cosa m´s
a
especializada. M´s bien los libros que se ocupan de resultados algebraicos tan
a

xiii
abstractos que ya no tienen nada que ver con los n´meros (cuyo valor e inter´s
u
e
´
nadie pone en duda) deber´ llamarse ‘Algebra abstracta’ (como de hecho alıan
gunos lo hacen), y un libro de Teor´ Algebraica de N´meros ser´ algo m´s
ıa
u
ıa
a
especializado y sistem´tico. Preferimos pensar, pues, que ´ste es un libro de
a
e
a
´lgebra con ilustraciones de teor´ de n´meros, encaminado a dotar al lector de
ıa
u
una base algebraica suficiente para un estudio posterior de la Teor´ Algebraica
ıa
de N´meros propiamente dicha.
u
El criterio general en la redacciń ha sido usar los n´meros como hilo cono
u
ductor e ir introduciendo progresivamente los conceptos algebraicos necesarios
a un nivel lo suficientemente general como para que el lector termine con un conocimiento s´lido del ´lgebra elemental, pero nunca hasta el punto (esperamos)
o
a
de que las ideas resulten oscurecidas por los conceptos formales.
La restricciń principal ha sido que a todos los efectos no existen los n´meros
o
u
reales. No hemos demostrado ningń resultado que requiera el uso de n´meros
u
u
reales ni se da ninguna interpretaciń geom´trica o aplicaciń a la geometr´
o
e
o
ıa
de los conceptos algebraicos. La razń de esta restricciń es que, en primer
o
o
lugar, los n´meros reales no han resultado necesarios en ningń momento y,
u
u
en segundo lugar, que consideramos que la introducciń m´s razonable de los
o
a
n´meros reales es una introducciń geom´trica y no algebraica ni anal´
u
o
e
ıtica, por
lo que no es ´ste el libro adecuado para presentarlos.
e
La unica laguna importante que este criterio ha ocasionado es que no hemos
´
hablado de equivalencia y semejanza de matrices, vectores propios, polinomios
caracter´
ısticos, etc., pues estos conceptos tienen una interpretaciń geom´trica
o
e
importante y ser´ absurdo introducirlos sin ella. Tambiń puede echarse en
ıa
e
falta la teor´ de Sylow, de la que no hemos hablado porque su indiscutible
ıa
utilidad en el estudio de los n´meros s´lo se pone de manifiesto en estados m´s
u
o
a
avanzados de la teor´ y por lo tanto hubiera sido forzado mostrar alguna apliıa,
caciń m´s all´ de la propia teor´ de grupos. Hemos incluido tres apńdices
o
a
a
ıa
e
con algunos resultados cuyo inter´s no puede comprenderse plenamente sin coe
nocer el desarrollo posterior de la teor´ pero que de todos modos pueden ser
ıa,
ilustrativos porque son una prolongaciń natural de la teor´ elemental.
o
ıa
El orden de exposiciń pretende combinar la naturalidad, en el sentido de
o
que cada concepto aparezca en el momento en que resulta necesario, con el
m´
ınimo orden preciso para una correcta asimilaciń por parte del lector. Esto
o
hace que algunos resultados puedan estar en cap´
ıtulos donde en principio no
se esperar´ encontrarlos. Pińsese que ´ste no es un libro de consulta, sino
ıa
e
e
un libro para ser le´ desde el principio hasta el final, un libro donde no se
ıdo
pretende que est´ ‘todo’ sino s´lo lo necesario para que no haya paja que saltar.
e
o
Esperamos sinceramente que el lector disfrute, si no con la forma de este
libro, de la que somos responsables, s´ con su contenido, que ha cautivado a
ı
tantos matem´ticos.
a

Citamos aqu´ brevemente los resultados que el lector deber´ conocer para
ı
ıa
entender este libro. De todos modos, salvo en muy contadas ocasiones todos los
requisitos pueden suplirse con un poco de sentido comń (o intuiciń, como suele
u
o
decirse). Por ello el unico requisito real es estar familiarizado con el lenguaje y
´
el razonamiento matem´tico.
a
Suponemos que el lector conoce el lenguaje de la teor´ de conjuntos eleıa
mental: conjuntos, subconjuntos, uniń, intersecciń, producto cartesiano, aplio
o
caciones, etc. S´lo hay un punto a destacar a este respecto, y es que en este
o
libro adoptaremos siempre el convenio de que en una composiciń de aplicacioo
°
¢
nes actá primero la aplicaciń de la izquierda, esto es, (f ◦ g)(x) = g f (x) .
u
o
Consideramos que, a la larga, este convenio resulta mucho m´s natural que el
a
contrario.
Necesitaremos tambiń algo de teor´ de cardinales, aunque normalmente
e
ıa
todos los cardinales que nos aparecerń serń finitos. Si el lector decide ignorar
a
a
toda alusiń a cardinales infinitos se perder´ una m´
o
a
ınima parte del contenido de
este libro. Baste, pues, saber que el cardinal de un conjunto es, al menos si el
conjunto es finito, lo que usualmente se entiende por su ‘n´mero de elementos’,
u
y que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y s´lo si se puede establecer una
o
aplicaciń biyectiva entre ellos. El cardinal de un conjunto X es menor o igual
o
que el cardinal de un conjunto Y si y s´lo si existe una aplicaciń inyectiva de
o
o
X en Y .
Un hecho elemental de uso muy frecuente es que si un conjunto finito X tiene
el mismo cardinal que un subconjunto Y , entonces X = Y . M´s en general: una
a
aplicaciń entre dos conjuntos finitos del mismo cardinal es biyectiva si y s´lo
o
o
si es inyectiva si y s´lo si es suprayectiva.
o
Respecto a la aritm´tica cardinal usaremos a menudo que si un conjunto
e
est´ dividido en subconjuntos disjuntos, entonces su cardinal es la suma de los
a
cardinales de sus partes, y si todas ellas tienen el mismo cardinal, entonces el
cardinal del conjunto total es el de una de sus partes multiplicado por el n´mero
u
de partes. As´ mismo, el cardinal de un producto cartesiano es el producto de
ı
los cardinales de los factores.
El unico punto donde necesitaremos algń resultado adicional es en la prueba
´
u
de la equicardinalidad de bases (cap´
ıtulo VII). All´ usaremos que si X es un
ı
conjunto infinito, entonces el n´mero de subconjuntos finitos de X coincide con
u
xv

xvi


el cardinal de X, y que si X est´ dividido en conjuntos finitos, entonces el
a
cardinal de X coincide con el n´mero de partes.
u
Menciń especial requiere el Lema de Zorn, que nos aparecer´ en pocas
o
a
pero importantes ocasiones. Recordemos las definiciones que intervienen en su
enunciado:
Un conjunto X est´ parcialmente ordenado por una relaciń ≤ si se cumple:
a
o
1. x ≤ x para todo x ∈ X.
2. Si x ≤ y e y ≤ x, entonces x = y, para todo x, y, ∈ X.
3. Si x ≤ y e y ≤ z, entonces x ≤ z, para todo x, y, z ∈ X.
El ejemplo t´
ıpico de orden parcial en una familia de conjuntos es el dado por
la inclusiń, es decir, x ≤ y si y s´lo si x ⊂ y.
o
o
Un subconjunto Y de un conjunto parcialmente ordenado X es una cadena
si cualquier par de elementos x, y ∈ Y cumple x ≤ y o y ≤ x.
Un elemento x de un conjunto parcialmente ordenado X es una cota superior
de un conjunto Y ⊂ X si para todo y ∈ Y se cumple y ≤ x.
Si X es un conjunto parcialmente ordenado, un maximal de X es un elemento
x ∈ X tal que no existe ningń y ∈ X que cumpla x ≤ y, x 6= y.
u
Lema de Zorn Si X es un conjunto parcialmente ordenado no vac´ en el que
ıo
toda cadena tiene una cota superior, entonces X tiene un elemento maximal.
En la prćtica, el lema de Zorn se aplica a conjuntos ordenados por la ina
clusiń, y la forma t´
o
ıpica de probar que una cadena tiene cota superior es probar
que la uniń de todos sus elementos es tambiń un elemento del conjunto, lo
o
e
cual es siempre un ejercicio sencillo. El resultado es entonces la existencia de un
miembro de la familia que no est´ contenido en ningń otro. Todas las verificaa
u
ciones concretas de las hip´tesis del lema de Zorn en este libro se dejan como
o
un sencillo ejercicio para el lector.
Hay un teorema que puede probarse mediante el lema de Zorn pero que
hemos preferido probar de otro modo para evitar tecnicismos conjuntistas demasiado prolijos. Se trata de la existencia de clausura algebraica (cap´
ıtulo VIII)
En su lugar usaremos un resultado equivalente al lema de Zorn, y es el principio
de buena ordenaciń de Zermelo:
o
Principio de buena ordenaciń Todo conjunto admite un buen orden, esto
o
es, una relaciń de orden total en la que todo subconjunto no vac´ tiene un
o
ıo
m´
ınimo elemento.
Usaremos este hecho junto con el teorema de recursiń transfinita, segń el
o
u
cual, si X es un conjunto bien ordenado por una relaciń ≤, podemos definir
o
una sucesiń {Ax }x∈X definiendo un t´rmino arbitrario Ax en funciń de la
o
e
o
sucesiń de t´rminos anteriores {Ay }y<x .
o
e

Cap´
ıtulo I

Los n´ meros enteros y
u
racionales
1.1

Construcciń de los n´ meros enteros
o
u

Seguramente el lector conocer´ de sobra los n´meros enteros. Los n´meros
a
u
u
enteros son:
...

−5,

−4,

−3,

−2,

−1,

0,

1,

2,

3,

4,

5,

...

En definitiva los n´meros enteros no son sino los n´meros naturales por dupliu
u
cado, de modo que mientras la operaciń 4 − 7 no puede efectuarse con n´meros
o
u
naturales, tiene en cambio la soluciń entera −3.
o
En primer lugar vamos a indicar c´mo construir los n´meros enteros en
o
u
teor´ de conjuntos. Aunque la formalizaciń conjuntista no va a ser nuestra
ıa
o
preocupaciń principal, consideramos ilustrativo detenernos en ello porque se
o
trata de un buen ejemplo del uso de las relaciones de equivalencia, y el lector
deber´ reflexionar sobre esta construcciń no s´lo hasta entenderla, sino hasta
ıa
o
o
verla natural.
En principio podr´
ıamos definir los n´meros enteros como los n´meros natuu
u
rales precedidos de un signo +/−, con el convenio de que +0 = −0. Esto ser´
ıa
l´gicamente aceptable y probablemente es la definiciń que m´s se ajusta a la
o
o
a
idea que el lector tiene de estos n´meros, pero no es la definiciń m´s prćtica
u
o
a
a
ni mucho menos en la que podr´
ıamos pensar. Por ejemplo, si a partir de dicha
definiciń queremos definir la suma de dos n´meros enteros deber´
o
u
ıamos escribir
algo as´ como:
ı
La suma de dos n´meros enteros del mismo signo se calcula sumando sus
u
valores absolutos con el mismo signo. La suma de dos n´meros enteros de signos
u
opuestos se calcula restando sus valores absolutos con el signo del sumando de
mayor valor absoluto.
El lector lo habr´ entendido perfectamente, pero desde un punto de vista
a
l´gico es una ley enrevesada y si quisi´ramos usarla para probar algo tan simple
o
e
1

2

Cap´
ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales
u

como que (n + m) + r = n + (m + r) nos obligar´ a distinguir casos y m´s casos.
ıa
a
La idea para obtener una definiciń prćtica parte del hecho de que un
o
a
n´mero entero puede ser determinado algebraicamente como la resta de dos
u
n´meros naturales. Por ejemplo, el par (8, 3) determina el n´mero 8 − 3 = +5,
u
u
mientras que el par (3, 8) determina al n´mero 3 − 8 = −5.
u
No podemos establecer que el n´mero entero +5 ser´ para nosotros el par
u
a
de n´meros naturales (8, 3), porque, por ejemplo, el par (7, 2) es otro objeto
u
distinto que tendr´ el mismo derecho a ser identificado con el entero +5.
ıa
Entonces nos preguntamos cuńdo dos pares de n´meros (a, b) y (c, d) dan
a
u
lugar al mismo n´mero entero al restar sus componentes. Obviamente se cumple
u
a − b = c − d si y s´lo si a + d = b + c. Ahora observamos que los pares de
o
n´meros naturales y la relaciń a + d = b + c no involucran en absoluto n´meros
u
o
u
enteros, luego podemos usarlos para definir los n´meros enteros sin que nuestra
u
definiciń resulte circular.
o
Definiciń 1.1 Suponemos conocido el conjunto de los n´meros naturales, al
o
u
que aqu´ llamaremos N. Definimos en N × N la relaciń R dada por
ı
o
(a, b) R (c, d) si y s´lo si a + d = b + c.
o
Es fćil probar que se trata de una relaciń de equivalencia. Llamaremos
a
o
[a, b] a la clase de equivalencia del par (a, b), es decir, [a, b] es el conjunto formado
por todos los pares relacionados con (a, b).
En los t´rminos anteriores los elementos de [a, b] son todos los pares que
e
dan lugar al mismo n´mero entero que (a, b) al restar sus componentes, con
u
lo que existe exactamente una clase de equivalencia por cada n´mero entero.
u
Por ejemplo, el n´mero +5 se corresponde con la clase cuyos elementos son
u
(5, 0), (6, 1), (7, 2), . . . La diferencia l´gica es que los n´meros enteros no los
o
u
tenemos definidos y las clases de equivalencia respecto a la relaciń R s´
o
ı.
Llamaremos conjunto de los n´meros enteros al cociente Z = (N × N)/R. La
u
letra Z es por el alemń Zahl (n´mero). Si n es un n´mero natural llamaremos
a
u
u
+n = [n, 0] y −n = [0, n].
Ahora es fćil probar que todo n´mero entero [a, b] es de la forma [a − b, 0] o
a
u
bien [0, b − a], segń si a es mayor o menor que b, es decir, todo n´mero entero
u
u
es de la forma +n o bien −n para un n´mero natural n. Adem´s todos ´stos
u
a
e
son distintos salvo en el caso +0 = −0 = [0, 0].
Llamaremos n´meros positivos a los del conjunto Z+ = {+n | n ∈ N, n 6= 0}.
u
Los n´meros negativos serń los del conjunto Z− = {−n | n ∈ N, n 6= 0}. De
u
a
este modo el conjunto Z se expresa como uniń disjunta Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}.
o
Para ordenar los n´meros enteros observamos que ha de ser a − b ≤ c − d si y
u
s´lo si a + d ≤ b + c (para todos los n´meros naturales a, b, c, d), luego podemos
o
u
definir [a, b] ≤ [c, d] si y s´lo si a + d ≤ b + c.
o
Esta definiciń exige comprobar que es compatible con la relaciń R, es
o
o
decir, que si [a, b] = [a0 , b0 ] y [c, d] = [c0 , d0 ] entonces a + d ≤ b + c si y s´lo si
o
a0 + d0 ≤ b0 + c0 .

1.2. Anillos

3

La comprobaciń es sencilla, como tambiń lo es probar que esta relaciń
o
e
o
define un orden total con el cual Z queda ordenado segń lo hemos representado
u
en la p´gina 1. En lo sucesivo identificaremos los n´meros naturales con los
a
u
n´meros enteros no negativos. En particular suprimiremos el signo +, de modo
u
que 2 y +2 serń una misma cosa. Por tanto podemos escribir N ⊂ Z.
a
La suma y el producto de n´meros enteros se definen como sigue:
u
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d],

[a, b][c, d] = [ac + bd, ad + bc].

(El lector debe convencerse de que ´stas son las definiciones l´gicas. Por ejemplo,
e
o
en el caso de la suma ha de considerar que (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).)
Es fćil ver que estas operaciones son compatibles con la identificaciń que
a
o
hemos hecho entre n´meros naturales y enteros, es decir, que 7 + 5 = 12 visto
u
tanto como suma de n´meros naturales como de enteros (m´s concretamente:
u
a
(+m) + (+n) = +(m + n)).
Ahora es fćil demostrar las propiedades b´sicas de la suma de enteros.
a
a
Veamos como muestra la asociatividad que antes hab´
ıamos puesto como ejemplo:
([a, b] + [c, d]) + [e, f ] = [a + c + e, b + d + f ] = [a, b] + ([c, d] + [e, f ]).

1.2

Anillos

Nuestro estudio de los n´meros enteros nos va a llevar m´s adelante a trau
a
bajar con ‘n´meros’ m´s generales (o m´s abstractos, si se quiere). Por ello, en
u
a
a
lugar de enunciar directamente las propiedades b´sicas de las operaciones con
a
enteros conviene hacerlo en un contexto m´s general, de manera que el mismo
a
lenguaje que introduzcamos ahora nos permita despu´s sentir cierta familiaridad
e
con los objetos que nos encontraremos.
Definiciń 1.2 Una ley de composiciń interna en un conjunto A es una aplio
o
caciń ∗ : A × A −→ A. Escribiremos a ∗ b en lugar de ∗(a, b).
o
Diremos que una ley de composiciń interna ∗ es asociativa si cumple que
o
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todos los elementos a, b y c del conjunto A.
En tal caso las expresiones de la forma a ∗ b ∗ c ∗ d ∗ e, y en general a1 ∗ · · · ∗ an
estń bien definidas, en el sentido de que no dependen del orden en que se
a
efectén las operaciones (respetando la posiciń de los factores) y por lo tanto
u
o
no se necesitan parńtesis.
e
Una ley de composiciń interna ∗ es conmutativa si cumple a ∗ b = b ∗ a
o
para todos los elementos a y b del conjunto A. Si ∗ es a la vez asociativa y
conmutativa las expresiones a1 ∗ · · · ∗ an no dependen tampoco de la posiciń
o
de cada factor, es decir, podemos desordenarlas sin alterar el resultado.
Un anillo es una terna (A, +, ·) en la que A es un conjunto y +, · son dos
leyes internas en A, de modo que se cumplan las propiedades siguientes:
1. (a + b) + c = a + (b + c) para todos los a, b, c de A.
2. a + b = b + a para todos los a, b de A.

4

Cap´
u
3. Existe un elemento 0 en A tal que a + 0 = a para todo a de A.
4. Para todo a de A existe un −a en A tal que a + (−a) = 0.
5. (ab)c = a(bc) para todos los a, b, c de A.
6. a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc para todos los a, b, c de A.

El elemento aludido en la condiciń 3 ha de ser unico, pues si 0 y 00 cumplen
o
´
lo mismo entonces 0 = 0 + 00 = 00 . Lo llamaremos elemento neutro o nulo del
anillo A.
Igualmente, para cada a de A el elemento −a aludido en 4 es unico, pues
´
si b cumpliera lo mismo entonces b = 0 + b = −a + a + b = −a + 0 = −a. Lo
llamaremos elemento sim´trico u opuesto de a.
e
En lo sucesivo usaremos siempre los signos + y · para nombrar las operaciones de un anillo cualquiera, aunque en cada caso se tratar´ de una operaciń
a
o
distinta. A la operaciń + la llamaremos ‘suma’ y a la operaciń · la llamao
o
remos ‘producto’. Igualmente, ‘A es un anillo’ significar´ que lo es con ciertas
a
operaciones que se sobrentienden.
Pn
Escribiremos a − b en lugar de a + (−b). La notaciń i=1 ai se usar´ para
o
a
Qn
representar sumas finitas mientras que i=1 ai indicar´ un producto finito.
a

Un anillo A es conmutativo si ab = ba para todos los elementos a y b de A.
Un anillo A es unitario si existe un elemento 1 en A tal que a · 1 = 1 · a = a
para todo elemento a de A. Dicho elemento 1 ha de ser unico, pues si 1 y
´
10 cumplen lo mismo entonces 1 = 1 · 10 = 10 . Al elemento 1 lo llamaremos
identidad de A.
El teorema siguiente contiene unas cuantas propiedades sencillas de los anillos. Todas ellas se cumplen en particular en el caso de Z, pero ań m´s imu
a
portante es saber que podremos usarlas al trabajar con cualquier conjunto del
que sepamos que tiene estructura de anillo, por muy abstracta que pueda ser la
naturaleza de sus elementos y sus operaciones.
Teorema 1.3 Sea A un anillo y a, b, c elementos de A.
1. Si a + b = a + c entonces b = c.
2. Si a + a = a entonces a = 0.
3. −(−a) = a.
4. 0a = a0 = 0.
5. (−a)b = a(−b) = −(ab).
6. (−a)(−b) = ab.
7. −(a + b) = −a − b.

1.2. Anillos

5

´
Demostracion:
1. a + b = a + c ⇒ −a + a + b = −a + a + c ⇒ 0 + b = 0 + c ⇒ b = c.
2. a + a = a ⇒ a + a = a + 0 ⇒ a = 0.
3. −a + a = 0 = −a + (−(−a)) ⇒ a = −(−a).
4. 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a ⇒ 0a = 0.
5. (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0 ⇒ (−a)b = −(ab).
6. (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.
7. (−a − b) + (a + b) = a − a + b − b = 0 ⇒ (−a − b) = −(a + b).
Observemos que si en un anillo unitario A se cumple 1 = 0 entonces cualquier
a ∈ A cumple a = a · 1 = a · 0 = 0, luego A = {0}. Los anillos que m´s nos
a
van a interesar son los anillos conmutativos y unitarios distintos de este caso
trivial. A tales anillos los llamaremos dominios es decir: Un dominio es un anillo
conmutativo y unitario en el que 1 6= 0. Es fćil ver que Z es un dominio.
a
Notemos que en cualquier anillo a0 = 0a = 0, pero no es cierto en general
que si ab = 0 uno de los factores haya de ser nulo. Por supuesto en Z s´ ocurre
ı
as´ Vamos a dar una definiciń que recoja este hecho.
ı.
o
Definiciń 1.4 Un elemento a de un dominio A es un divisor de cero si es no
o
nulo y existe un b en A no nulo tal que ab = 0. Un dominio ´
ıntegro es un
dominio sin divisores de cero.
Una propiedad muy importante de los dominios ´
ıntegros es que en ellos
podemos simplificar elementos no nulos de las igualdades, es decir, si en un
dominio ´
ıntegro tenemos que ab = ac y a 6= 0, entonces b = c, pues a(b − c) = 0,
luego b − c = 0.
Ejercicio: Dotar a Z × Z de una estructura de dominio que no sea ´
ıntegro.

Para acabar con las propiedades b´sicas del anillo Z vamos a probar que
a
cualquier par de n´meros no nulos se puede dividir eucl´
u
ıdeamente, es decir, se
puede obtener un cociente y un resto. Nos basamos en que los n´meros naturales
u
cumplen esto mismo.
Teorema 1.5 Sean D y d n´meros enteros con d no nulo. Entonces existen
u
unos unicos enteros c y r tales que D = dc + r y 0 ≤ r < |d|, donde |d| es igual
´
a d si d es positivo y a −d si es negativo.
´
Demostracion: Consideremos los n´meros naturales |D| y |d|. Sabemos
u
que existen naturales c y r tales que |D| = |d|c + r, con 0 ≤ r < |d|.
Si r = 0 entonces cambiando el signo de c si es preciso tenemos D = dc + 0.
Supongamos r > 0.
Si D ≥ 0 y d > 0 entonces tenemos D = dc + r, como quer´
ıamos.

6

Cap´
u

Si D ≥ 0 y d < 0 entonces sirve D = d(−c) + r.
Si D < 0 y d > 0 entonces D = d(−c − 1) + (d − r).
Si D < 0 y d < 0 entonces D = d(c + 1) + (−d − r).
Si tuvi´ramos dos expresiones distintas D = dc + r = dc0 + r0 , entonces sea
e
c = c si d > 0 y c = −c si d < 0. Igualmente definimos c0 . As´ dc = |d|¯,
¯
¯
¯
ı
c
dc0 = |d|0 c0 . Supongamos que c < c0 . Entonces
¯
¯ ¯
D = dc + r = |d|¯ + r < |d|¯ + |d| = |d|(¯ + 1) ≤ |d|¯0 = dc0 ≤ dc0 + r0 = D,
c
c
c
c
y esto es una contradicciń. Por lo tanto ha de ser c = c0 y de aqu´ que
o
ı
dc + r = dc + r0 , luego r = r0 .
Esta propiedad de los n´meros enteros confiere propiedades muy importantes
u
al anillo Z y es pose´ tambiń por otros anillos de inter´s. Por ello conviene
ıda
e
e
tratarla en general.
Definiciń 1.6 Un dominio eucl´
o
ıdeo es un dominio ´
ıntegro A tal que existe
una funciń φ : A {0} −→ N que cumpla lo siguiente:
o
1. Si a, b son elementos de A no nulos φ(a) ≤ φ(ab).
2. Si D y d son elementos de A con d 6= 0 entonces existen c y r en A de
manera que D = dc + r con r = 0 o bien 0 ≤ φ(r) < φ(d).
La funciń φ se llama norma eucl´
o
ıdea.
Es obvio que Z es un dominio eucl´
ıdeo con la norma φ dada por φ(a) = |a|.
Ahora bien, observemos que el cociente y el resto no son unicos. Por ejemplo,
´
para dividir 8 entre 3 podemos hacer 8 = 3 · 2 + 2 o bien 8 = 3 · 3 − 1. En ambos
casos |r| < |d|.
Un elemento a de un dominio A es una unidad si existe un elemento b en
A tal que ab = 1. Dicho elemento b est´ un´
a ıvocamente determinado por a, ya
que si ab = 1 = ac entonces b = b1 = bac = 1c = c. A este unico elemento lo
´
llamaremos inverso de a y lo representaremos por a−1 .
Obviamente 1 es una unidad y 1−1 = 1. En cambio 0 no puede ser una
unidad. Una unidad no puede ser divisor de cero, pues si a es una unidad y
ab = 0, entonces b = 1b = a−1 ab = a−1 0 = 0.
Las unidades de Z son exactamente 1 y −1.
Un anillo de divisiń es un anillo unitario con 1 6= 0 en el que todo elemento
o
no nulo es una unidad.
Un cuerpo es un anillo de divisiń conmutativo. En particular todo cuerpo
o
es un dominio ´
ıntegro.
Observemos tambiń que todo cuerpo K es un dominio eucl´
e
ıdeo tomando
como norma la aplicaciń constante 1, pues la divisiń eucl´
o
o
ıdea puede realizarse
siempre con resto 0, es decir, D = d(D/d) + 0.
Vamos a definir operaciones entre n´meros enteros y los elementos de un
u
anillo.

1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales
u
Sea A un anillo, a un elemento de A y n un
elemento na como

n veces

a + ··· + a

0
na =

−n veces

(−a) + · · · + (−a)

7
n´mero entero. Definimos el
u

si n > 0
si n = 0
si n < 0

n veces

Si n > 0 definimos tambiń an = a · · · a. Si A es unitario a0 = 1, y si a es
e
−n veces

una unidad y n < 0, entonces an = a−1 · · · a−1 .

Es pura rutina comprobar los hechos siguientes.
Teorema 1.7 Sea A un anillo unitario y a, b elementos de A (que supondremos
inversibles cuando proceda). Sean m y n n´meros enteros. Se cumple:
u
1. m(a + b) = ma + mb.
2. (m + n)a = ma + na.
3. (−m)a = −(ma) = m(−a).
4. m(na) = (mn)a.
5. Si ab = ba entonces (ab)m = am bm .
6. am+n = am an .
7. (am )n = amn .
8. a−m = (a−1 )m = (am )−1 .
Adem´s si A = Z, ma es lo mismo en el sentido de la definiciń anterior que
a
o
en el sentido del producto usual en Z.

1.3

Cuerpos de cocientes. N´ meros racionales
u

A continuaciń vamos a dar un m´todo para obtener un cuerpo a partir
o
e
de un dominio ´
ıntegro. A partir de Z obtendremos el cuerpo de los n´meros
u
racionales, pero el m´todo es general y lo aplicaremos a m´s casos.
e
a
a
b

Sea K un cuerpo y a, b dos elementos de K con b no nulo. Llamaremos
= ab−1 . Es fćil comprobar las relaciones siguientes:
a
a
c
= ⇔ ad = bc,
b
d

a c
ad + bc
+ =
,
b
d
bd

Con estos hechos in mente definimos:

ac
ac
= .
bd
bd

8

Cap´
u

Definiciń 1.8 Sea A un dominio ´
o
ıntegro y A∗ = A {0}. Sea R la relaciń
o
∗
en el conjunto A × A dada por (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc. Es fćil probar
a
que R es una relaciń de equivalencia en A × A∗ . Llamaremos a a la clase
o
b
c
de equivalencia del par (a, b). De este modo se cumple a = d ⇔ ad = bc.
b
Llamaremos cuerpo de cocientes de A al conjunto cociente K = (A × A∗ )/R.
Es fćil comprobar que ciertamente K es un cuerpo con las operaciones dadas
a
c
c
a
por a + d = ad+bc , a d = ac . Concretamente 0 = 0 , 1 = 1 ,− a = −a = −b , y
b
bd
1
1
b
b
° ab −1 bd
¢
b
si a 6= 0, entonces b
= a.
b

Para relacionar un anillo con su cuerpo de cocientes conviene introducir
algunos conceptos. Es claro que lo que interesa de un anillo no es en absoluto
la naturaleza conjuntista de sus elementos sino el modo en que los relacionan
las leyes internas. Por ejemplo, si A = {a, b} es cualquier conjunto con dos
elementos, es fćil convertirlo en un anillo (cuerpo, de hecho) con las leyes
a
dadas por a + a = b + b = a, a + b = b + a = b, aa = ab = ba = a, bb = b.
Si hacemos lo mismo con otro conjunto A0 = {a0 , b0 } obtenemos un anillo
distinto conjuntistamente, pero el mismo anillo algebraicamente. La forma de
plasmar esta relaciń es el concepto de homomorfismo de anillos que definimos
o
a continuaciń.
o
Definiciń 1.9 Sean A y B dos anillos. Una aplicaciń f : A −→ B es un
o
o
homomorfismo de anillos si cumple f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b)
para todos los elementos a y b de A.
Una consecuencia inmediata es que f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0), luego
f (0) = 0, y que f (a) + f (−a) = f (a − a) = f (0) = 0, luego f (−a) = −f (a).
Tambiń es claro que si m es un n´mero entero f (ma) = mf (a).
e
u
Una precauciń es que no tiene por qu´ ocurrir f (1) = 1. Por ejemplo la
o
e
aplicaciń que vale constantemente 0 es un homomorfismo (el unico) que cumple
o
´
f (1) = 0.
Suponiendo f (1) 6= 0, una condiciń suficiente para que f (1) = 1 es que B
o
sea un dominio ´
ıntegro, pues entonces f (1)f (1) = f (1 · 1) = f (1) = f (1)1, luego
f (1) = 1.
Cuando f (1) = 1 se cumple f (an ) = f (a)n para todo elemento a de A y
todo entero n. En cualquier caso esto vale para exponentes positivos.
La composiciń de homomorfismos es un homomorfismo.
o
Un isomorfismo de anillos es un homomorfismo biyectivo. Notemos que
si f : A −→ B es ° isomorfismo, ¢
un
entonces f −1¢ : B °−→ A¢tambiń es un
e
°
−1
−1
isomorfismo, pues f f (a) + f (b) = f f −1 (a) + f f −1 (b) = a + b, luego
f −1 (a + b) = f −1 (a) + f −1 (b), e igualmente ocurre con el producto.
Dos anillos A y B son isomorfos (abreviadamente, A ∼ B) si existe un
=
isomorfismo f : A −→ B. Cuando dos anillos son isomorfos son algebraicamente
indistinguibles, es decir, uno es conmutativo si y s´lo si lo es el otro, etc. Por
o
tanto podemos considerarlos el mismo anillo.

u

9

Un anillo A es un subanillo de un anillo B si A ⊂ B y las operaciones de A
son las mismas que las de B. Por ejemplo, {2n | n ∈ Z} es un subanillo de Z
(no unitario, por cierto). En general, si f : A −→ B es un homomorfismo, es
fćil ver que f [A] es un subanillo de B.
a
Ejercicio: Considerando Z × Z y Z × {0}, probar que la identidad de un subanillo
puede ser distinta de la del anillo. Probar que esto es imposible si los anillos son
dominios ´
ıntegros.

Un monomorfismo de anillos es un homomorfismo inyectivo. Si f : A −→ B
es un monomorfismo es claro que f : A −→ f [A] es un isomorfismo, o sea, A
es isomorfo a un subanillo de B, luego podemos identificar A con su imagen y
considerar que A es un subanillo de B.
´
Este es el caso de un dominio ´
ıntegro y su cuerpo de cocientes:
Teorema 1.10 Sea A un dominio ´
ıntegro y K su cuerpo de cocientes.
a) La aplicaciń φ : A −→ K dada por φ(a) = a/1 es un monomorfismo de
o
anillos.
b) Si K 0 es un cuerpo y ψ : A −→ K 0 es un monomorfismo de anillos, existe
un unico monomorfismo de cuerpos χ : K −→ K 0 tal que para todo a de A se
´
cumple χ(φ(a)) = ψ(a).
´
Demostracion: a) es inmediato. Para probar b) basta definir χ(a/b) =
ψ(a)ψ(b)−1 . Se prueba que la definiciń no depende de la representaciń de a/b
o
o
como fracciń y que es un monomorfismo.
o
Lo que afirma la parte a) del teorema anterior es que podemos considerar
a A como un subanillo de su cuerpo de cocientes sin m´s que identificar cada
a
elemento a con a/1, es decir, considerando que dividir entre 1 es no hacer nada.
La parte b) afirma que si un cuerpo K 0 contiene a A, entonces tambiń
e
contiene una copia isomorfa de K, a saber, el conjunto {ab−1 | a, b ∈ A}. En
otras palabras, si ya tenemos a A contenido en un cuerpo K 0 no necesitamos
salirnos de K 0 para construir el cuerpo de cocientes de A. Basta tomar todas
las fracciones posibles con elementos de A aunque, si no tenemos a A metido en
ningń cuerpo, siempre podemos realizar la construcciń de la definiciń 1.8.
u
o
o
Definiciń 1.11 Llamaremos cuerpo de los n´meros racionales Q al cuerpo de
o
u
cocientes de Z. Los elementos de Q son las fracciones a/b con a, b en Z, b 6= 0.
Como a = −a , podemos exigir que b sea positivo.
b
−b
c
El cuerpo Q est´ totalmente ordenado por la relaciń a ≤ d ⇔ ad ≤ bc
a
o b
(si b, d > 0). Es fćil ver que este orden extiende al de Z. Llamaremos Q+
a
al conjunto de los n´meros racionales positivos (mayores que 0) y Q− al de los
u
n´meros negativos.
u
El valor absoluto de un n´mero racional r es
u
Ω
r si r ≥ 0,
|r| =
−r si r < 0.

10

Cap´
u
El signo de r es
sig r =




1
0

−1

si r > 0,
si r = 0,
si r < 0.

El lector puede entretenerse demostrando el teorema siguiente:
Teorema 1.12 Sean r, s, t y u n´meros racionales.
u
1. Si r ≤ s y t ≤ u entonces r + t ≤ s + u.
2. Si r ≤ s entonces −s ≤ −r y si son positivos 1/s ≤ 1/r.
3. Si 0 ≤ r y s ≤ t, entonces rs ≤ rt.
4. Existe un n´mero natural n tal que r < n.
u
5. Si r < s existe un n´mero racional t tal que r < t < s.
u
6. |r| = |s| si y s´lo si r = s o r = −s.
o
7. |r| ≤ a si y s´lo si −a ≤ r ≤ a.
o
8. |rs| = |r||s|.
9. |a + b| ≤ |a| + |b|.
Ø
Ø
10. Ø|a| − |b|Ø ≤ |a − b|.

(Veamos por ejemplo la prueba de 10: por 9) |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|,
luego |a| − |b| ≤ |a − b|, y similarmente |b| − |a| ≤ |a − b|, luego tenemos que
−|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|, y por 7) concluimos 10).
Los cuerpos de cocientes nos permiten salirnos temporalmente de un anillo
en nuestros c´lculos aunque despu´s volvamos a ´l. Veamos un ejemplo.
a
e
e
Definiciń 1.13 Definimos inductivamente el factorial de un n´mero natural
o
u
mediante las condiciones siguientes:
0! = 1,

(n + 1)! = (n + 1) n!

Por ejemplo
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, etc.
Sean n, n1 , . . . , nk n´meros naturales tales que n = n1 +. . . +nk . Definimos
u
el n´mero combinatorio
u
µ
∂
n
n!
=
n1 · · · nk
n1 ! · · · nk !
Si 0 ≤ m ≤ n abreviaremos
µ ∂ µ
∂
n
n
n!
=
=
m
m n−m
m! (n − m)!

u

11

µ ∂
5
= 10. Vamos a demostrar las propiedades principales de los
3
n´meros combinatorios.
u
Por ejemplo,

Teorema 1.14 Sean m ≤ n n´meros naturales.
u
°n¢ ° n ¢
1. m = n−m .
° ¢ ° ¢
°n¢
2. n = n = 1,
0
n
1 = n.
° n ¢ ° n ¢ ° n+1 ¢
3. Si m < n, m + m+1 = m+1 .

4. Los n´meros combinatorios son n´meros naturales.
u
u
´
Demostracion: 3) Hay que probar que
n!
n!
(n + 1)!
+
=
.
m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)!
(m + 1)! (n − m)!

Ahora bien,
µ
=

n!
n!
+
m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)!

∂

(m + 1)! (n − m)!

n! (m + 1) m! (n − m)! n! (m + 1)! (n − m)(n − m − 1)!
+
m! (n − m)!
(m + 1)! (n − m − 1)!

= n! (m + 1) + n! (n − m) = m n! + n! + n n! − m n! = (n + 1) n! = (n + 1)!
°n¢
4) Una simple inducciń nos da que m es un n´mero natural, pues cada
o
u
n´mero combinatorio con n + 1 es suma de dos con n, por el apartado 3).
u
Para el caso general basta usar que
µ
∂ µ
∂µ
∂
n
n − nk+1
n
=
.
n1 . . . nk nk+1
n1 . . . nk
nk+1
La forma m´s fćil de calcular los n´meros combinatorios es disponerlos en
a a
u
forma de trińgulo, de modo que cada uno es la suma de los dos que hay sobre
a
´l. El trińgulo as´ construido se suele llamar trińgulo de Tartaglia.
e
a
ı
a
1
1
1
1
1
1

3
4

5

1
2

1
3

6
10

1
4

10

1
5

1

Trińgulo de Tartaglia
a
La utilidad principal de estos n´meros ser´ para nosotros el hecho siguiente:
u
a

12

Cap´
u

Teorema 1.15 (Binomio de Newton) Sea A dominio, n un n´mero natural
u
y a, b dos elementos de A. Entonces
n
X µn∂
(a + b)n =
am bn−m .
m
m=0
´
Demostracion: Por inducci´n sobre n. Para n = 0 es inmediato.
o
n
X µn∂
n+1
n
(a + b)
= (a + b) (a + b) =
am bn−m (a + b)
m
m=0
n
n
X µn∂
X µn∂
m+1 n−m
=
a
b
+
am bn−m+1
m
m
m=0
m=0

∂
n
X µn∂
n
m n+1−m
=
a b
+
am bn+1−m
m−1
m
m=1
m=0
µ ∂
µ ∂
n 0 n+1
n n+1 0
=
a b
+
a
b
0
n
n
n
Xµ n ∂
X µn∂
+
am bn+1−m +
am bn+1−m
m−1
m
m=1
m=1
µ ∂
µ
∂
n 0 n+1
n + 1 n+1 0
=
a b
+
a
b
0
n+1
n
X µµ n ∂ µ n ∂∂
+
+
am bn+1−m
m−1
m
m=1
µ ∂
µ
∂
∂
n µ
n 0 n+1
n + 1 n+1 0 X n + 1 m n+1−m
=
a b
+
a
b +
a b
0
n+1
m
m=1
n+1
X

µ

=

µ
∂
n + 1 m n+1−m
a b
.
m
m=0
n+1
X

Una consecuencia inmediata es que

Pn

° ¢

n
m=0 m

De forma similar se demuestra en general:

= (1 + 1)n = 2n .

Teorema 1.16 Sea A un anillo conmutativo y unitario,n un n´mero natural y
u
a1 , . . . , ak elementos de A. Entonces se cumple:
∂
X µ
n
n
(a1 + · · · + ak ) =
an1 · · · ank ,
k
n1 · · · nk 1
n ,...,n
1

k

donde la suma se extiende sobre todos los n´meros naturales n1 , . . . , nk tales
u
que n1 + · · · + nk = n.

1.4. Cuaterniones racionales

1.4

13

Cuaterniones racionales

Para terminar esbozaremos un ejemplo de un anillo de divisiń D que no
o
es un cuerpo. La idea es que los elementos de D han de ser de la forma a +
bi + cj + dk, donde a, b, c y d son n´meros racionales. Los elementos i, j, k se
u
multiplican como sigue:
i2 = j 2 = k2 = −1,

ij = k,

ji = −k,

jk = i,

kj = −i,

ki = j,

ik = −j.

O sea, cuando multiplicamos en el orden i → j → k → i, el producto es
el elemento restante, pero si multiplicamos en el orden inverso obtenemos el
opuesto.
Segń esto, dos elementos cualesquiera se han de multiplicar as´
u
ı:
(a+bi+cj +dk)(a0 +b0 i+c0 j +d0 k) = (aa0 −bb0 −cc0 −dd0 )+(ab0 +ba0 +cd0 −dc0 )i
+(ac0 + ca0 + db0 − bd0 )j + (ad0 + da0 + bc0 − cb0 )k.

Como un elemento de D viene determinado por cuatro n´meros racionales,
u
formalmente podemos definir D = Q4 y las operaciones vendrń dadas por:
a
(a, b, c, d) + (a0 , b0 , c0 , d0 ) = (a + a0 , b + b0 , c + c0 , d + d0 )
(a, b, c, d)(a0 , b0 , c0 , d0 )
= (aa0 −bb0 −cc0 −dd0 , ab0 +ba0 +cd0 −dc0 , ac0 +ca0 +db0 −bd0 , ad0 +da0 +bc0 −cb0 ).

As´ es fćil, aunque tedioso, probar que D es un anillo unitario. La identidad
ı
a
es, por supuesto, (1, 0, 0, 0).
Llamando 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0) y k = (0, 0, 0, 1), es
fćil probar que
a
(a, b, c, d) = (a, 0, 0, 0)1 + (b, 0, 0, 0)i + (c, 0, 0, 0)j + (d, 0, 0, 0)k.
Por otra parte, la aplicaciń que a cada n´mero racional a le asigna (a, 0, 0, 0)
o
u
es un monomorfismo de anillos, por lo que si identificamos a con (a, 0, 0, 0),
obtenemos que cada elemento de D se expresa de forma unica como quer´
´
ıamos,
es decir, (a, b, c, d) = a + bi + cj + dk.
Los elementos de D se llaman cuaterniones racionales. Para probar que D es
realmente un anillo de divisiń conviene llamar conjugado de q = a + bi + cj + dk
o
al cuaterniń q = a − bi − cj − dk. Es fćil probar que q q = a2 + b2 + c2 + d2 .
o ¯
a
¯
A este n´mero lo llamaremos norma de q. La norma de un cuaterniń q, que
u
o
representaremos por N(q), es un n´mero racional positivo y adem´s claramente
u
a
N(q) = 0 ⇔ q = 0.
q
¯
Si q es un cuaterniń no nulo, tenemos que existe q −1 = N(q) , luego ciertao
mente D es un anillo de divisiń. Como ij 6= ji, no es un cuerpo.
o
Ejercicio: Comprobar que pq = q p, y de aqu´ a su vez que N(pq) = N(p) N(q).
¯¯
ı

Ejercicio: Escribir expl´
ıcitamente la igualdad N(pq) = N(p) N(q) e interpretarla como
una propiedad de los n´meros naturales.
u
Ejercicio: ¿Qu´ condiciń ha de cumplir un cuerpo K para que podamos construir
e
o
un anillo de divisiń de cuaterniones sobre K?
o

Cap´
ıtulo II

Anillos de polinomios
Si x e y son n´meros enteros, xy + x y x2 − 2y son otros n´meros enteros. Su
u
u
suma es x2 +xy+x−2y y su producto (xy+x)(x2 −2y) = x2 (xy+x)−2y(xy+x) =
x3 y + x3 − 2xy 2 − 2xy.
Al trabajar con n´meros enteros surgen fćilmente relaciones de este estilo
u
a
y a menudo resulta muy util poder tratarlas como objetos y no como meros
´
t´rminos que relacionan n´meros concretos. Lo que vamos a hacer es dar una
e
u
construcciń general que permite aãdir a cada anillo A un conjunto de elemeno
n
tos indeterminados, como aqu´ son x e y, de modo que obtengamos un nuevo
ı
anillo con elementos como x3 y +x3 −2xy 2 −2xy. A estos objetos los llamaremos
polinomios. Un polinomio no es nada m´s que esto, pero la construcciń formal
a
o
resulta un tanto tćnica.
e

2.1

Construcciń de los anillos de polinomios
o

Definiciń 2.1 Sea S un conjunto. Llamemos M el conjunto de las aplicaciones
o
u : S −→ N tales que el conjunto {i ∈ S | u(i) 6= 0} es finito.
Por ejemplo, si S = {x, y, z} y una funciń u ∈ M cumple u(x) = 3, u(y) = 1,
o
u(z) = 7, nuestra intenciń es que u represente al monomio puro x3 yz 7 .
o
Si u, v son funciones de M llamaremos u + v a la funciń dada por
o
(u + v)(i) = u(i) + v(i).
Claramente u + v est´ en M .
a
Notemos que la suma u + v representa al producto de los monomios representados por u y°por ¢ Si m ∈ N y u ∈ M llamaremos mu a la funciń dada
v.
o
por (mu)(i) = m u(i) . Tambiń es claro que mu est´ en M . Es claro que mu
e
a
representa a la potencia m–sima del monomio representado por u. Llamaremos
0 a la funciń de M que toma constantemente el valor 0.
o
Si x ∈ S llamaremos ≤x ∈ M a la funciń que toma el valor 1 en x y vale 0
o
en cualquier otro punto. Claramente, ≤x representa al monomio x.
15

16

Cap´
ıtulo 2. Anillos de polinomios

Notemos que si u ∈ M y x1 , . . . , xn son los puntos donde u no se anula,
entonces u puede expresarse como u = u(x1 )≤x1 + · · · + u(xn )≤xn . Si pensamos
en el primer ejemplo, esto se interpreta como que el monomio u es el producto
del monomio x elevado a 3, por el monomio y, por el monomio z elevado a 7.
Un polinomio arbitrario, como x3 y + x3 − 2xy 2 − 2xy, es una suma de monomios no necesariamente puros, sino multiplicados por coeficientes en un anillo
dado. Esto nos lleva a la definiciń siguiente:
o
Si A es un anillo, llamaremos conjunto de los polinomios con indeterminadas
en S sobre A al conjunto A[S] formado por las funciones f : M −→ A tales que
el conjunto {u ∈ M | f (u) 6= 0} es finito.
As´ si f ∈ A[S] y u ∈ M , el elemento f (u) se interpreta como el coeficiente
ı,
del monomio u en f . Con estas ideas el lector puede convencerse de que la
definiciń l´gica de las operaciones en A[S] es la siguiente:
o o
P
(f + g)(u) = f (u) + g(u),
(f g)(u) =
f (v)g(w).
v+w=u

Notar que el sumatorio que define el producto es finito.

Teorema 2.2 Sea A un anillo y S un conjunto. Entonces A[S] es un anillo.
Si A es conmutativo o unitario, A[S] tambiń lo es.
e
´
Demostracion: Es fćil ver que si f , g, h ∈ A[S], entonces (f + g) + h =
a
f + (g + h) y f + g = g + f .
La aplicaciń 0 : M −→ A que toma constantemente el valor 0 es el elemento
o
neutro de A[S] y si f ∈ A[S], la funciń dada por (−f )(u) = −f (u) es el
o
sim´trico de f . Si f , g, h ∈ A[S] y u ∈ M se cumple
e
°
¢
P
P
P
(f g)h (u) =
f (s)g(t)h(w) =
f (s)g(t)h(w)
v+w=u s+t=v
w+s+t=u
°
¢
P
P
=
f (s)g(t)h(w) = f (gh) (u),
s+v=u t+w=v

luego (f g)h = f (gh).
°
¢
f (g + h) (u) =

°
¢
f (v) g(w) + h(w)
v+w=u
P
P
=
f (v)g(w) +
f (v)h(w) = (f g)(u) + (f h)(u),
P

v+w=u

v+w=u

luego f (g + h) = f g + f h, e igualmente (f + g)h = f h + gh.
Si A es conmutativo
(f g)(u) =

P

f (v)g(w) =

v+w=u

P

g(w)f (v) = (gf )(u),

v+w=u

luego f g = gf , es decir, A[S] es conmutativo.
Si A es unitario, sea 1 la aplicaciń que vale 1 sobre 0 ∈ M y vale 0 en otro
o
caso. Entonces (f 1)(u) = f (u), luego f 1 = f . Igualmente 1f = f .
Los teoremas siguientes prueban que los polinomios son lo que esperamos
que sean. El primer paso es sumergir A en A[S]. El teorema siguiente es una
comprobaciń rutinaria.
o

2.1. Construcciń de los anillos de polinomios
o

17

Teorema 2.3 Sea A un anillo y S un conjunto. Para cada a ∈ A sea fa el
polinomio que cumple fa (0) = a y que toma el valor 0 en cualquier otro caso.
Sea φ : A −→ A[S] la aplicaciń dada por φ(a) = fa . Entonces φ es un
o
monomorfismo de anillos y si A es unitario φ(1) = 1.
Definiciń 2.4 En lo sucesivo, si A es un anillo, S un conjunto y a ∈ A,
o
escribiremos a en lugar de φ(a) y A en lugar de φ[A]. De este modo A es un
subanillo de A[S]. Supongamos que A es unitario. Para cada x ∈ S llamaremos
x al polinomio que cumple x(≤x ) = 1 y que toma el valor 0 en cualquier otro caso.
¯
¯
La aplicaciń que a cada x le asigna x es biyectiva, luego podemos identificar
o
¯
x con x y as´ considerar que S ⊂ A[S]. A los elementos de S los llamaremos
¯
ı
indeterminadas.
El teorema siguiente recoge el comportamiento de los polinomios construidos
a partir de las indeterminadas mediante productos. Inmediatamente despu´s
e
probaremos que todo polinomio puede construirse a partir de las indeterminadas
mediante sumas y productos.
Teorema 2.5 Sea A un anillo unitario y S un conjunto.
1. Si k ∈ N, a ∈ A y x ∈ S, entonces el polinomio axk toma el valor a sobre
k≤x y 0 en otro caso.
2. Si k1 , . . . , kn ∈ N, a ∈ A y x1 , . . . , xn son indeterminadas distintas,
entonces el polinomio axk1 · · · xkn toma el valor a sobre k1 ≤x1 +· · ·+kn ≤xn
n
1
y 0 en otro caso.
3. Si x, y ∈ S, entonces xy = yx.
4. Si a ∈ A y x ∈ S, entonces ax = xa.
´
Demostracion:
1. Por inducciń sobre k. °
o
Para k = 0 es inmediato. Supuesto cierto para k,
¢
entonces (axk+1 )(u) = (axk )x (u) = (axk )(v)x(w) = 0 salvo si v = k≤x
y w = ≤x , es decir, salvo si u = (k + 1)≤x , en cuyo caso da a.
2. Por inducciń sobre n. Para n = 1 es el caso anterior. Supuesto cierto
o
kn+1
kn+1
para n tenemos que (axk1 · · · xn+1 )(u) = (axk1 · · · xkn )(v)(xn+1 )(w) = 0
n
1
1
salvo que v = k1 ≤x1 + · · · + kn ≤xn y w = kn+1 ≤xn+1 , es decir, salvo si
u = k1 ≤x1 + · · · + kn+1 ≤xn+1 , en cuyo caso vale a.
3. es inmediato por 2, pues ambos polinomios son la misma funciń.
o
4. Basta notar que el caso 1 se prueba igual con a por la derecha.
Como consecuencia inmediata tenemos:

18

Cap´

Teorema 2.6 Sea A un anillo unitario y S un conjunto. El polinomio
m
P

ai xki1 · · · xkin ,
n
1

i=1

donde a1 , . . . , am ∈ A, x1 , . . . , xn son indeterminadas distintas y las n–tuplas
de naturales (ki1 , . . . , kin ) son todas distintas, vale ai sobre ki1 ≤x1 + · · · + kin ≤xn
y vale 0 en cualquier otro caso.
Como los polinomios de esta forma cubren todas las aplicaciones posibles de
M en A (con un n´mero finito de im´genes no nulas) hemos demostrado:
u
a
Teorema 2.7 Sea A un anillo unitario y S un conjunto. Todo polinomio no
nulo de A[S] se expresa en la forma descrita en el teorema anterior para ciertas
indeterminadas, ciertos elementos de A y ciertas n–tuplas de naturales. La
expresiń es unica (salvo el orden) si exigimos que todos los ai sean no nulos y
o
´
que cada indeterminada tenga exponente no nulo en al menos un sumando.
Definiciń 2.8 En la expresiń de 2.6, los elementos ai se llaman coeficientes
o
o
del polinomio. Concretamente ai es el coeficiente del t´rmino en xki1 · · · xkin . Se
e
n
1
entiende que si un t´rmino no aparece en la expresiń, su coeficiente es 0 (siempre
e
o
puede aãdirse multiplicado por 0). Un polinomio con un unico coeficiente no
n
´
nulo (o sea, de la forma a xk1 . . . xkn ) es un monomio. Por tanto un polinomio
n
1
se expresa siempre como suma de monomios. A veces se les llama binomios,
trinomios, etc. segń el n´mero de monomios que los compongan. El coeficiente
u
u
del t´rmino del monomio cuyos exponentes son todos nulos se llama t´rmino
e
e
independiente, es decir, el t´rmino independiente de f es f (0). Un polinomio
e
cuyo unico coeficiente no nulo sea a lo sumo el t´rmino independiente es un
´
e
polinomio constante. Los polinomios constantes son exactamente los elementos
de A, segń la identificaciń que hemos realizado.
u
o
Tenemos definidos anillos de polinomios con cualquier cantidad de indeterminadas, posiblemente infinitas. Cuando S = {x1 , . . . , xn } es finito, en lugar de
A[S] se escribe tambiń A[x1 , . . . , xn ].
e
Por ejemplo, un elemento de Z[x, y, z] es 3x5 y 2 z 2 + 8x2 z − 6z 2 + 5. El
t´rmino independiente es 5, el coeficiente del monomio en x2 z es 8 (en el cual
e
la indeterminada y tiene exponente 0), el coeficiente del monomio en x5 es 0.
Cuando s´lo hay una indeterminada la expresiń P un polinomio es m´s
o
o de
a
m
sencilla. Cada polinomio no nulo de A[x] es de la forma i=0 ai xi , y la expresiń
o
es unica si exigimos que am 6= 0.
´
Si m es el mayor natural tal que el coeficiente de xm en un polinomio p es no
nulo, entonces a dicho coeficiente se le llama coeficiente director del polinomio
p y el n´mero m se llama grado de p y lo representaremos por grad p.
u
Un polinomio de A[x] es mńico si su coeficiente director es 1.
o
La suma y el producto de polinomios con una indeterminada es m´s simple:
a
m
P

ai xi +

i=0

m
P

bi xi =

i=0

m
P

(ai + bi )xi ,

i=0

2.2. Evaluaciń de polinomios
o
µm
P

ai xi

i=0

∂µ

n
P

19
bi xi

i=0

∂

=

µ X

m+n
P
k=0

i+j=k

∂
ai bj xk .

Por ejemplo, un elemento de Z[x] es 2x + 5x2 − 11x + 6. Se trata de un
polinomio de grado 5 con coeficiente director igual a 2.
En la prćtica escribiremos p = p(x1 , . . . , xn ) para indicar que las indetera
minadas x1 , . . . , xn son las unicas (a lo sumo) que aparecen en el polinomio p
´
con exponentes no nulos.

2.2

5

Evaluaciń de polinomios
o

La evaluaciń de polinomios es un concepto muy sencillo: si p(x) = 2x2 −4x,
o
pretendemos que p(3) sea 2 · 32 − 4 · 3 = 6. No obstante vamos a definir las
evaluaciones en un contexto m´s general que nos ser´ util despu´s.
a
a´
e
Definiciń 2.9 Sean A y B dos anillos conmutativos y unitarios, φ : A −→ B
o
un homomorfismo, S un conjunto y v : S −→ B cualquier aplicaciń. Para cada
o
Pm
polinomio p = i=1 ai xki1 . . . xkin ∈ A[S] definimos
n
1
φp(v) =

m
P

φ(ai ) v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin ∈ B.

i=1

La conmutatividad de B y la unicidad de la expresiń hacen que φp(v) est´
o
e
bien definido, pues dos expresiones de p difieren s´lo en el orden de las indetero
minadas y en la presencia de monomios con coeficiente 0, o de indeterminadas
con exponente 0, pero en cualquier caso se obtiene el mismo elemento de B.
Tenemos, por tanto, una aplicaciń Φ : A[S] −→ B dada por Φ(p) = φp(v).
o
En definitiva Φ(p) se calcula reemplazando los coeficientes de p por su imagen
por φ y las indeterminadas por sus im´genes por v.
a
En la prćtica, si p = p(x1 , . . . , xn ) escribiremos φp(b1 , . . . , bn ) para indicar
a
el polinomio que resulta de evaluar cada indeterminada xi con el elemento bi .
Notar que aunque S pueda ser infinito, φp(v) s´lo depende de la forma en que v
o
actá sobre las indeterminadas que aparecen en p, que son siempre un n´mero
u
u
finito.
Cuando φ sea simplemente la identidad en A no lo escribiremos, y pondremos
simplemente p(b1 , . . . , bn ).
Teorema 2.10 Sean A y B dos anillos conmutativos y unitarios, φ : A −→ B
un homomorfismo tal que φ(1) = 1, S un conjunto y v : S −→ B cualquier
aplicaciń. Entonces la evaluaciń Φ : A[S] −→ B es el unico homomorfismo
o
o
´
que coincide con φ sobre A y con v sobre S.
Pm
ki1
kin
´
Demostracion: Sean p, q ∈ A[S], digamos p =
y
i=1 ai x1 . . . xn
Pm
ki1
kin
q = i=1 bi x1 . . . xn . Observar que no hay problema en suponer que los
exponentes de los monomios son los mismos, pues podemos aãdir monomios
n
con coeficiente 0 hasta igualar ambas expresiones.
µm
∂
m
P
P
ki1
kin
Φ(p + q) = Φ
(ai + bi ) x1 . . . xn
=
φ(ai + bi )v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin
i=1

i=1

20

Cap´
=

m
m
¢
P°
P
φ(ai ) + φ(bi ) v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin =
φ(ai )v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin

i=1

i=1

+

m
P

φ(bi )v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin = Φ(p) + Φ(q).

i=1

Para probar que Φ conserva productos usaremos el hecho ya probado de que
conserva las sumas.
√
!
m
P
ki1 +kj1
kin +kjn
Φ(pq) = Φ
ai bj x1
. . . xn
i,j=1

=
=
=

m
P

k +kj1

Φ(ai bj x1i1

i,j=1
m
P

. . . xkin +kjn )
n

φ(ai bj ) v(x1 )ki1 +kj1 . . . v(xn )kin +kjn

i,j=1
m
P

φ(ai )φ(bj ) v(x1 )ki1 +kj1 . . . v(xn )kin +kjn

i,j=1

=

µm
P

ki1

φ(ai ) v(x1 )

i=1

kin

. . . v(xn )

∂√

m
P

kj1

φ(bj ) v(x1 )

. . . v(xn )

j=1

= Φ(p)Φ(q).

kjn

!

La unicidad es evidente.
De este teorema se deducen varios casos particulares de inter´s.
e
Teorema 2.11 Sean A y B anillos conmutativos y unitarios y φ : A −→ B un
homomorfismo tal que φ(1) = 1. Sea S un conjunto. Entonces existe un unico
´
¯
homomorfismo φ : A[S] −→ B[S] que coincide con φ en A y deja invariantes a
las indeterminadas. Adem´s es inyectivo, suprayectivo o biyectivo si φ lo es.
a
´
Demostracion: El homomorfismo no es sino el construido en el teorema
anterior tomando como v la identidad en S. Concretamente
µm
∂
m
¯ P ai xki1 . . . xkin = P φ(ai ) xki1 . . . xkin .
φ
n
n
1
1
i=1

i=1

Todo lo pedido es obvio.

Esto significa en particular que si A es un subanillo de B podemos considerar
A[S] como un subanillo de B[S]. As´ por ejemplo, Z[S] ⊂ Q[S].
ı
Teorema 2.12 Sea A un anillo conmutativo y unitario. Sea S un conjunto
y supongamos que S = X ∪ Y con X e Y disjuntos. Sea B el conjunto de
los polinomios de A[S] tales que todos sus monomios con coeficientes no nulos
tengan tan s´lo indeterminadas de X con exponentes no nulos. Entonces B es
o
un subanillo de A[S] isomorfo a A[X] y A[S] es isomorfo a A[X][Y ].

2.3. Propiedades algebraicas

21

´
Demostracion: Sea φ : A[X] −→ A[S] el homomorfismo construido en
2.10 con la identidad en A y la identidad en X. Es claro que B es la imagen de
φ y que φ es un monomorfismo.
Ahora sea ψ : A[X][Y ] −→ A[S] el homomorfismo construido en 2.10 a partir
de φ y de la identidad en Y . Es inmediato probar que se trata de un isomorfismo
de anillos.
Por ejemplo, el polinomio 3x5 y 2 z 2 + 8x2 z − 6z 2 + 5 de Z[x, y, z] puede ser
identificado con (3x5 y 2 − 6)z 2 + (8x2 )z + 5 ∈ Z[x, y][z], donde ahora 3x5 y 2 − 6
es el coeficiente de z 2 .
Si lo queremos en Z[z][x, y] ser´: 3z 2 (x5 y 2 ) + (8z)x2 + (−6z 2 + 5), donde
a
ahora −6z 2 + 5 es el t´rmino independiente.
e
Por otra parte si S ⊂ T podemos considerar A[S] ⊂ A[T ].

2.3

Propiedades algebraicas

Las principales propiedades algebraicas de los anillos de polinomios se deducen a partir de consideraciones sobre los grados. Es obvio que el grado de la
suma de dos polinomios f y g de A[x] es menor o igual que el m´ximo de los
a
grados de f y g. Ser´ igual a dicho m´ximo si sus grados son distintos, pero
a
a
si coinciden se pueden cancelar los coeficientes directores y el grado de la suma
disminuye:
(3x5 − 2x2 + 5x + 2) + (−3x5 + x3 − x2 + 1) = x3 − 3x2 + 5x + 3.
El grado del producto es a lo sumo la suma de los grados. Normalmente se
da la igualdad. Las unicas excepciones se dan si uno de los factores es nulo, o
´
si alguno de los coeficientes directores es un divisor de cero.
Teorema 2.13 Sea A un anillo unitario y p, q dos polinomios no nulos de A[x]
tales que al menos el coeficiente director de uno de ellos no sea un divisor de
cero. Entonces pq 6= 0, grad(pq) = grad(p) + grad(q) y el coeficiente director
del producto es el producto de los coeficientes directores.
Pm
Pn
´
Demostracion: ≥
Sean p = i=0 ai xi , q = i=0 bi xi , con am 6= 0 6= bn .
¥
Pm+n P
k
m+n
Entonces pq = k=0
es exactamente
i+j=k ai bj x y el coeficiente de x
am bn 6= 0, puesto que uno de ellos no es divisor de cero. Por lo tanto am bn es
el coeficiente director de pq y el grado es m + n.
ıntegro y S un conjunto cualquiera. Entonces
A[S] es un dominio ´
ıntegro.
´
Demostracion: El teorema anterior nos da que si A es un dominio ´
ıntegro
entonces A[x] tambiń lo es. Aplicńdolo un n´mero finito de veces obtenemos
e
a
u
que si A es un dominio ´
ıntegro y S es finito, entonces A[S] tambiń lo es. Si S
e
es arbitrario y f , g son dos polinomios no nulos de A[S], entonces los monomios

22

Cap´

con coeficientes no nulos de f y g contienen un n´mero finito de indeterminadas
u
con exponente no nulo, luego f y g estń en un subanillo A[X] con X finito,
a
luego A[X] es un dominio ´
ıntegro, luego f g 6= 0. Por tanto A[S] es un dominio
´
ıntegro.
ıntegro y S un conjunto. Entonces las unidades de A[S] son las mismas que las de A.
´
Demostracion: Ve´moslo primero para A[x]. Si p ∈ A[x] es una unidad,
a
entonces existe otro polinomio no nulo q tal que pq = 1. Por 2.13 tenemos que
grad p + grad q = grad 1 = 0, luego ha de ser grad p = grad q = 0, es decir, p y
q estń en A, luego p es una unidad en A.
a
De aqu´ se sigue el resultado para A[S] con S finito y, por el mismo argumento
ı
que en el teorema anterior, vale para todo S.
En particular vemos que A[S] no es un cuerpo aunque A lo sea. Como s´ es
ı
un dominio ´
ıntegro, podemos definir su cuerpo de fracciones.
o
ıntegro y S un conjunto. Llamaremos
cuerpo de las fracciones algebraicas o funciones racionales sobre A con indeterminadas en S al cuerpo de cocientes de A[S]. Lo representaremos por A(S).
As´ por ejemplo, un elemento de Z(x, y) es
ı,
Ejercicio: Probar que Z(S) = Q(S).

x4 −x3 y
x3 −4xy 2 +4 .

Quiz´ ´ste es un buen momento para empezar a entender la utilidad del
a e
lenguaje algebraico que empezamos a introducir en el cap´
ıtulo anterior: el hecho de que Z[x] sea un anillo (y m´s concretamente un dominio ´
a
ıntegro) nos
permite tratar formalmente a sus elementos con las mismas reglas b´sicas que
a
a los n´meros enteros. El hecho de que conozcamos la construcciń general del
u
o
cuerpo de cocientes de un dominio ´
ıntegro justifica que hablemos de fracciones
de polinomios exactamente igual que de fracciones de enteros, y estos ejemplos
son s´lo una m´
o
ınima parte de los que nos vamos a encontrar.
Debemos ocuparnos ahora de la posibilidad de dividir polinomios. Esta es
una caracter´
ıstica important´
ısima de los anillos con una indeterminada.
Teorema 2.17 Sea A un anillo unitario, D y d dos polinomios no nulos de A[x]
tales que el coeficiente director de d sea una unidad en A. Entonces existen unos
unicos polinomios c y r en A[x] tales que D = dc + r con el grado de r menor
´
estrictamente que el grado de d (tambiń podemos exigir que D = cd + r, pero
e
si A no es conmutativo los polinomios que cumplan esto no tienen por qu´ ser
e
los mismos).
´
Demostracion: Si grad D < grad d basta tomar c = 0 y r = D. Supongamos que grad d ≤ grad D. P
Pn
m
Sea D = i=0 ai xi , d = i=0 bi xi , con an 6= 0 6= bm y m ≤ n. Adem´s esa
tamos suponiendo que bm es una unidad de A. Veamos el teorema por inducciń
o
sobre n.

2.3. Propiedades algebraicas

23

Si n = 0, entonces tambiń m = 0, es decir, D = a0 , d = b0 , luego basta
e
tomar c = (b0 )−1 a0 y r = 0. Supong´moslo cierto para polinomios de grado
a
menor que n.
Pm
Consideremos db−1 an xn−m = i=0 bi b−1 an xi+n−m . El monomio de mayor
m
m
grado es bm (bm )−1 an xm+n−m = an xn , luego se trata de un polinomio de grado
n con coeficiente director an .
Consecuentemente el polinomio D − d(bm )−1 an xn−m tiene grado menor que
n, luego por hip´tesis de inducciń existen polinomios c0 y r de manera que
o
o
D − db−1 an xn−m = dc0 + r con grad r < grad d.
m
Sea c = b−1 an xn−m + c0 . As´ D = dc + r como se ped´
ı
ıa.
m
Veamos ahora la unicidad. Supongamos que D = dc + r = dc0 + r0 . Entonces
d(c−c0 ) = r0 −r. Si c−c0 6= 0, como el coeficiente director de d es una unidad, por
el teorema 2.13. resulta que grad(r0 −r) = grad(d(c−c0 )) = grad d+grad(c−c0 ),
pero grad(r0 − r) < grad d ≤ grad d + grad(c − c0 ), contradicciń.
o
Concluimos entonces que c = c0 , luego tambiń r = r0 .
e
El lector que sepa dividir n´meros naturales puede adaptar su m´todo para
u
e
dividir tambiń polinomios. No hay ninguna diferencia esencial.
e
Es importante que para poder dividir polinomios el divisor debe tener coeficiente director unitario. En particular podemos dividir siempre entre polinomios
mńicos. Cuando A es un cuerpo todos los coeficientes son unidades, luego se
o
pueden dividir polinomios cualesquiera. Como en este caso el grado del producto es la suma de los grados, tenemos todas las condiciones exigidas en la
definiciń de dominio eucl´
o
ıdeo, es decir:
Teorema 2.18 Si K es un cuerpo, entonces el anillo de polinomios K[x] es un
dominio eucl´
ıdeo.
Sin embargo esto es falso si K no es un cuerpo. Por ejemplo Z[x] no es un
dominio eucl´
ıdeo. Tampoco es cierto en anillos de polinomios con m´s de una
a
indeterminada, por ejemplo Q[x, y] no es un dominio eucl´
ıdeo. Estos hechos los
probaremos en el cap´
ıtulo siguiente. Es interesante notar que en estos momentos
no tenemos idea de c´mo puede probarse la no existencia de una norma eucl´
o
ıdea.
Si bien la teor´ que estamos desarrollando ha surgido para resolver una serie
ıa
de problemas anteriores a ella misma, estamos ante un ejemplo (a un nivel muy
simple) de c´mo cada teor´ plantea de forma natural nuevos problemas a la vez
o
ıa
que resuelve otros, problemas que nunca se hubieran podido formular fuera del
contexto creado por ella.

Cap´
ıtulo III

Ideales
En los cap´
ıtulos anteriores hemos introducido los que van a ser por ahora
nuestros objetos de estudio principales: los n´meros enteros y racionales y sus
u
anillos de polinomios. Ahora vamos a introducir un concepto que ha resultado
ser fundamental en el estudio de ´stos y otros anillos relacionados. Se trata del
e
concepto de ideal. Por razones que luego podremos entrever, el concepto de ideal
surgi´ con cierto retraso en el estudio de los n´meros. Nosotros lo introducimos
o
u
desde un principio porque, dada su importancia, conviene familiarizarse con ´l
e
cuanto antes. Sin embargo, para evitar un grado de abstracciń que todav´ no
o
ıa
podemos justificar, aqu´ nos limitaremos a ver las m´
ı
ınimas ideas que nos puedan
ser utiles de momento.
´

3.1

Ideales en un dominio

Definiciń 3.1 Un ideal en un dominio1 A es un conjunto I ⊂ A que cumpla
o
las propiedades siguientes:
1. 0 ∈ I,
2. si a, b ∈ I, entonces a + b ∈ I,
3. si a ∈ A y b ∈ I entonces ab ∈ I.
Todo anillo tiene al menos dos ideales, a saber, {0} y el propio A. Se les llama
ideales impropios. El ideal {0} es el ideal trivial y se representa simplemente
por 0.
Una observaciń trivial es que si un ideal I de dominio A contiene una
o
unidad u, entonces I = A. En efecto, por definiciń de ideal se cumple que
o
1 = u−1 u ∈ I y si a ∈ A, entonces a = a1 ∈ I, es decir, todo elemento de A est´
a
en I.
1 La definiciń es v´lida para anillos (unitarios) arbitrarios sin m´s que a˜ adir que tambiń
o
a
a
n
e
ba ∈ I en la propiedad 3.

25

26

Cap´
ıtulo 3. Ideales

Por lo tanto los unicos ideales de un cuerpo son los impropios, pues si un
´
ideal de un cuerpo posee un elemento no nulo, ser´ una unidad, y el ideal ser´
a
a
el cuerpo completo.
Definiciń 3.2 Es inmediato que la intersecciń de una familia de ideales de
o
o
un anillo A sigue siendo un ideal de A. Por lo tanto si X ⊂ A, existe un m´
ınimo
ideal de A que contiene a X, a saber, la intersecciń de todos los ideales de
o
A que contienen a X (existe al menos uno, el propio A). Lo llamaremos ideal
generado por X y lo representaremos por (X). Tambiń se dice que el conjunto
e
X es un generador del ideal (X).
As´ para todo subconjunto X de A tenemos que (X) es un ideal de A,
ı,
X ⊂ (X) y si I es un ideal de A tal que X ⊂ I, entonces (X) ⊂ I. Otro hecho
obvio es que si X ⊂ Y ⊂ A, entonces X ⊂ (Y ), luego (X) ⊂ (Y ).
Cuando el conjunto X es finito, X = {x1 , . . . , xn }, el ideal generado por X
se representa por (x1 , . . . , xn ). Entonces se dice que el ideal est´ finitamente
a
generado.
El teorema siguiente nos da la forma de los elementos de un ideal a partir
de sus generadores.
Teorema 3.3 Sea A un dominio y X ⊂ A. Entonces
(X) = {a1 x1 + · · · + an xn | n ∈ N, ai ∈ A, xi ∈ X}
En particular si x ∈ A, entonces (x) = {ax | a ∈ A}.
´
Demostracion: Se comprueba sin dificultad que el conjunto de la derecha
es un ideal de A y claramente contiene a X, luego
(X) ⊂ {a1 x1 + · · · + an xn | n ∈ N, ai ∈ A, xi ∈ X}.
Por otra parte (X) ha de contener a los elementos de la forma ax, con x
en X, y por ser un subanillo a las sumas de estos elementos, luego se da la
igualdad.
Pn
Pn
Si X tiene un s´lo elemento x, las sumas i=1 ai x = ( i=1 ai ) x estń en
o
a
{ax | a ∈ A}, luego (X) ⊂ {ax | a ∈ A}. La otra inclusiń es obvia.
o

Entre los ideales de un anillo se puede definir una suma y un producto como
sigue:
Definiciń 3.4 Sea A un anillo y sean S1 , . . . , Sn subconjuntos de A. Llamao
remos
S1 + · · · + Sn
S1 · · · Sn

= {s1 + · · · + sn | si ∈ Si para i = 1, . . . , n}
nP
o
m
=
si1 · · · sin | m ∈ N y sij ∈ Sj para j = 1, . . . , n
i=1

Es pura rutina comprobar que la suma y el producto de ideales de A vuelve
a ser un ideal de A. Adem´s son operaciones asociativas, conmutativas y distria
butivas, es decir, P (Q + R) = P Q + P R. De la definiciń de ideal se sigue que
o
P Q ⊂ P ∩ Q.

3.2. Dominios de ideales principales

3.2

27

Dominios de ideales principales

Definiciń 3.5 Un ideal de un dominio A es principal si est´ generado por un
o
a
solo elemento, es decir, si es de la forma (a) = aA = {ab | b ∈ A}.
Un dominio de ideales principales (DIP) es un dominio ´
ıntegro en el que
todo ideal es principal.
Teorema 3.6 Todo dominio eucl´
ıdeo es un dominio de ideales principales.
´
Demostracion: Sea A un dominio eucl´
ıdeo y sea φ : A {0} −→ N su norma
eucl´
ıdea. Sea I 6= 0 un ideal de A (si I = 0 ya es principal).
Sea a ∈ I tal que φ(a) sea el m´
ınimo del conjunto {φ(b) | b ∈ I, b 6= 0}.
Si b ∈ I, entonces b = ac + r, para r = 0 o bien φ(r) < φ(a). Como a ∈ I,
por la definiciń de ideal ac ∈ I, y como I es un subanillo, tambiń b − ac ∈ I,
o
e
es decir, r ∈ I. Como φ(a) es m´
ınimo, no puede ser φ(r) < φ(a), luego r = 0,
es decir, b = ac ∈ Aa.
Hemos probado que I ⊂ Aa. Como a ∈ I, la otra inclusiń es consecuencia
o
de la definiciń de ideal. Por tanto I = aA es un ideal principal.
o
En particular tenemos que Z es un DIP, es decir, los unicos ideales de Z son
´
los de la forma nZ, para n ∈ Z. Tambiń son DIP los anillos K[x], donde K es
e
un cuerpo.
Como los cuerpos no tienen m´s ideales que los impropios, y ´stos son prina
e
cipales, (0 = (0), A = (1)), resulta que los cuerpos son trivialmente DIPs.
(Alternativamente, sabemos que los cuerpos son dominios eucl´
ıdeos.)
El hecho de que los anillos m´s importantes sean DIPs es la explicaciń de
a
o
que el concepto de ideal tardara en surgir en teor´ de n´meros. Cualquier afirıa
u
maciń sobre ideales en un DIP puede reformularse como una afirmaciń sobre
o
o
los elementos del anillo, pues cada ideal est´ determinado por su generador. No
a
obstante hay anillos que no son DIP, y al estudiarlos conviene saber cuńtas
a
cosas son ciertas para ideales en general aunque no sean principales. De hecho,
en ciertos casos de inter´s, resultados que en DIPs pueden formularse con elee
mentos y con ideales, son falsos en otros anillos en t´rminos de elementos, pero
e
siguen siendo ciertos en t´rminos de ideales.
e
Vamos a ver unos ejemplos de dominios ´
ıntegros que no son DIPs.
ıntegro. Entonces A[x] es DIP si y s´lo si A
o
es un cuerpo.
´
Demostracion: Si A es un cuerpo sabemos que A[x] es un dominio eucl´
ıdeo, luego es un DIP. Rec´
ıprocamente, si A[x] es DIP, sea a ∈ A un elemento
no nulo y veamos que es una unidad en A. Para ello consideramos el ideal (x, a)
de A[x]. Como ha de ser un ideal principal existe un polinomio p ∈ A[x] tal que
(x, a) = (p), luego a = pq para cierto q ∈ A[x], pero entonces grad p + grad q =
grad a = 0, luego grad p = 0 y por tanto p ∈ A. Por otra parte tambiń
e
x = pr, para cierto r ∈ A[x], pero entonces el coeficiente director de x, que es 1,

28

Cap´
ıtulo 3. Ideales

es el producto de p por el coeficiente director de r, luego p es una unidad y
(p) = A[x].
Entonces 1 ∈ (p) = (x, a), luego 1 = ux + va, para ciertos polinomios
u, v ∈ A[x]. Sin embargo el t´rmino independiente de ux es 0 y el de va es ba,
e
donde b es el t´rmino independiente de v. Resulta, pues, que 1 = ba, con lo que
e
a es una unidad en A.
Esto nos da muchos ejemplos de dominios ´
ıntegros que no son DIP (ni por
tanto eucl´
ıdeos). A saber, Z[x] £y m´s en general A[S] cuando el cardinal de S
a §
es mayor que 1 (pues A[S] = A S {x} [x] y A[S {x}] no es un cuerpo).

Ejercicio: Probar que (x, 2) no es un ideal principal de Z[x], y que (x, y) no es un
ideal principal de Q[x, y].

3.3

Anillos noetherianos

Para acabar el cap´
ıtulo vamos a definir una clase de anillos m´s general que
a
la de los DIPs y que jugar´ un papel relevante en el pr´ximo cap´
a
o
ıtulo.
Definiciń 3.8 Un dominio ´
o
ıntegro A es un anillo noetheriano si todo ideal de
A es finitamente generado.
Evidentemente, todo DIP es un anillo noetheriano.
ıntegro. Son equivalentes:
1. A es un anillo noetheriano.
2. Para toda cadena ascendente de ideales de A
I0 ⊂ I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ . . .
existe un n´mero natural n tal que In = Im para todo m ≥ n.
u
3. Toda familia de ideales de A tiene un maximal para la inclusiń.
o
´
Demostracion: Si I0 ⊂ I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ . . . es una cadena ascendente de
S∞
ideales de A, es fćil ver que la uniń i=0 Ii es tambiń un ideal de A. Si A
a
o
e
es noetheriano ha de tener un generador finito X. Cada elemento de X est´
a
en uno de los ideales Ii , y como X es finito y los ideales forman una cadena,
S∞
existir´ un natural n tal que X ⊂ In , pero entonces i=0 Ii = (X) ⊂ In , lo que
a
implica que Ii = In para todo i ≥ n. Por tanto 1) implica 2).
Si una familia de ideales de A no tuviera maximal, ser´ posible extraer una
ıa
cadena ascendente de ideales que contradijera 2), luego 2) implica 3).
Si A tuviera un ideal I que no admitiera un generador finito, entonces, dado
cualquier elemento a0 de I, se cumple que (a0 ) 6= I, luego existe un elemento
a1 ∈ I (a0 ), luego (a0 ) ⊂ (a0 , a1 ) 6= I, y de esta forma podemos conseguir una
cadena de ideales
(a0 ) ⊂ (a0 , a1 ) ⊂ (a0 , a1 , a2 ) ⊂. . .
sin que ninguno de ellos sea maximal. Por lo tanto 3) implica 1).

Cap´
ıtulo IV

Divisibilidad en dominios
´
ıntegros
El concepto de divisibilidad es uno de los m´s importantes en el estudio de los
a
n´meros. A partir de ´l se plantean los m´s interesantes y variados problemas
u
e
a
cuyo estudio ha ocupado a los matem´ticos durante milenios. Aqu´ desarroa
ı
llaremos la teor´ b´sica al respecto. En cap´
ıa a
ıtulos posteriores profundizaremos
m´s en ella.
a

4.1

Conceptos b´sicos
a

o
ıntegro y a, b dos elementos de A. Diremos
que a divide a b, o que a es un divisor de b, o que b es un m´ltiplo de a (y lo
u
representaremos a | b) si existe un elemento c de A tal que b = ac.
Por ejemplo en Z es fćil ver que 3 divide a 15, pero no a 16.
a
Es obvio que si a | b y b | c entonces a | c.
Si u es una unidad, cualquier elemento a de A se expresa como a = u(u−1 a),
luego las unidades dividen a todo elemento de A. Por otra parte si u es una
unidad y a | u, entonces existe un b en A tal que u = ab, luego 1 = abu−1 , es
decir, a es una unidad. En otras palabras, los divisores de las unidades son las
unidades.
Por el contrario 0 no divide a nadie salvo a s´ mismo.
ı
Diremos que dos elementos a y b de A son asociados si a | b y b | a. Por
ejemplo en Z se cumple que 3 y −3 son asociados. Ser asociado es una relaciń
o
de equivalencia. Si dos elementos son asociados tienen los mismos m´ltiplos y
u
divisores.
La asociaciń est´ estrechamente relacionada con la existencia de unidades.
o
a
En efecto, si a y b son asociados no nulos, entonces a = ub y b = va, para
ciertos u y v del anillo A. Por lo tanto a = uva, de donde uv = 1, o sea, u y v
son unidades. As´ pues, si dos elementos son asociados, uno se obtiene del otro
ı
29

30

Cap´
ıtulo 4. Divisibilidad en dominios ´
ıntegros

multiplicńdolo por una unidad. El rec´
a
ıproco es cierto, como es fćil observar.
a
Adem´s, cuando un mismo elemento no nulo se multiplica por unidades distintas
a
obtenemos elementos distintos, luego un elemento no nulo de A tiene tantos
asociados como unidades hay en A. Como Z tiene dos unidades, los asociados
en Z forman parejas, salvo el cero, que es su unico asociado.
´
Tenemos, pues, que todo elemento de A tiene por divisores a las unidades
de A y a sus propios asociados (entre los que est´ ´l mismo). A estos divisores
ae
los llamaremos divisores impropios de a. Cualquier otro divisor es un divisor
propio. Por ejemplo, los divisores impropios de 4 en Z son 1, −1, 4 y −4. Sus
divisores propios son 2 y −2.
Estas consideraciones nos llevan al concepto de elemento irreducible: Un
elemento a de un dominio ´
ıntegro A es irreducible en A si es no nulo, no es una
unidad y no admite ninguna descomposiciń a = bc con b y c elementos de A,
o
salvo que uno de ellos sea una unidad (y, por lo tanto, el otro es un asociado de
a).
Equivalentemente, un elemento (no nulo ni unidad) es irreducible si sus
unicos divisores son los impropios. Tambiń es obvio que un elemento es irre´
e
ducible si y s´lo si lo es cualquiera de sus asociados.
o
Por ejemplo, es fćil ver que los unicos divisores de 5 en Z son 1, −1, 5 y
a
´
−5, lo que implica que 5 es irreducible en Z. En cambio 15 no es irreducible,
pues factoriza como 15 = 3 · 5.
Si un n´mero entero (no nulo ni unidad) no es irreducible, entonces factoriza
u
como producto de dos enteros estrictamente menores en m´dulo. Si ´stos no son
o
e
irreducibles factorizarń a su vez en factores menores, y este proceso tiene que
a
acabar antes o despu´s, por lo que todo n´mero entero se puede expresar como
e
u
producto de irreducibles. M´s ań, puede probarse que esta descomposiciń es
a u
o
esencialmente unica. Para formular esto con precisiń y en t´rminos aplicables
´
o
e
a otros casos (como por ejemplo a polinomios), conviene introducir el concepto
siguiente:
Un dominio ´
ıntegro A es un dominio de factorizaciń unica (DFU) si todo
o ´
elemento a de A no nulo y que no sea una unidad se descompone como producto de elementos irreducibles a = c1 · · · cn y la descomposiciń es unica salvo
o
´
ordenaciń o cambio por asociados (es decir, si a = c1 · · · cn = d1 · · · dm son dos
o
descomposiciones de a en elementos irreducibles, entonces m = n y, ordenando
los factores adecuadamente, cada ci es asociado a di ).
No es dif´ probar por m´todos elementales que Z es un DFU. Por ejemplo
ıcil
e
la factorizaciń unica de 140 es 140 = 2 · 2 · 5 · 7 = (−5) · 2 · 7 · (−2) = · · ·
o ´
Sin embargo vamos a probar m´s en general que todo DIP es un DFU. Esto lo
a
veremos en la secciń siguiente. Acabaremos ´sta con algunas consideraciones
o
e
adicionales sobre DFUs que nos ayudarń a familiarizarnos con ellos.
a
Si A es un DFU y a es un elemento no nulo ni unitario, para cada elemento
irreducible p de A llamaremos exponente de p en a al n´mero de veces que p o
u
sus asociados aparecen en cualquier descomposiciń de a en factores irreducibles
o

4.1. Conceptos b´sicos
a

31

(puede ser igual a 0). Lo denotaremos por ep (a). En una descomposiciń de a
o
aparecerń ep (a) factores asociados a p, es decir, factores de la forma up donde
a
u es una unidad. Si multiplicamos todas las unidades que as´ aparecen, resulta
ı
que a admite una descomposiciń en la forma a = u · pn1 · · · pnm , donde los
o
n
1
pi son irreducibles distintos, ni = epi (a) y u es una unidad. La presencia de
u es necesaria, pues por ejemplo la unica forma de factorizar en Z el −25 de
´
este modo es −25 = (−1)52 . Lo importante es que cada p aparece siempre con
exponente ep (a) en virtud de la unicidad de la factorizaciń.
o
Adem´s el exponente de un irreducible en un elemento a es por definiciń el
a
o
mismo que el de sus asociados, y el exponente de un irreducible en un elemento a
es el mismo que en los asociados de a (pues una factorizaciń de un asociado de
o
a se obtiene multiplicando una factorizaciń de a por una unidad, sin cambiar
o
los irreducibles).
La factorizaciń en irreducibles de un producto puede obtenerse como el
o
producto de las factorizaciones de los factores, de donde se sigue la relaciń
o
ep (ab) = ep (a) + ep (b).
Podemos definir ep (a) = 0 para todo irreducible p cuando a es una unidad
y as´ la relaciń anterior es v´lida tambiń si a o b es una unidad.
ı
o
a
e
Notar tambiń que un irreducible p divide a un elemento a si y s´lo si
e
o
ep (a) 6= 0. En efecto, si ep (a) 6= 0 eso significa que p aparece en una factorizaciń
o
de a, luego p | a. Por otra parte si p | a, entonces a = pb para cierto elemento
b, luego ep (a) = ep (p) + ep (b) = 1 + ep (b) 6= 0.
Si a | b, ha de cumplirse que ep (a) ≤ ep (b) para todo irreducible p de A. La
condiciń es tambiń suficiente, pues si se cumple esto, entonces b se obtiene
o
e
como producto de a por el producto de todos los irreducibles p que dividen a b
elevados al exponente ep (b) − ep (a) (y una unidad adecuada). Dos elementos a
y b son asociados si y s´lo si ep (a) = ep (b) para todo irreducible p de A.
o
Como consecuencia de estos hechos tenemos que en un DFU, si p es irreducible y p | ab, entonces p | a o p | b. En efecto, estamos suponiendo que
0 6= ep (a) + ep (b), luego una de los dos exponentes ha de ser no nulo.
Este hecho resulta ser muy importante en la teor´ de la divisibilidad, hasta
ıa
el punto de que conviene introducir un nuevo concepto para comprenderlo adecuadamente:
Si A es un dominio ´
ıntegro, un elemento p de A es primo si es no nulo, no
es una unidad y cuando p | ab entonces p | a o p | b para todos los elementos a
y b de A.
Ya hemos probado la mitad del siguiente teorema fundamental:
ıntegro
1. Todo primo de A es irreducible.
2. Si A es DFU, entonces un elemento de A es primo si y s´lo si es irreducible
o
´
Demostracion: Efectivamente, si p es primo y se descompone como p = ab,
entonces p | a o p | b, pero como a | p y b | p, lo que tenemos es que p es asociado

32

Cap´
ıtulo 4. Divisibilidad en dominios ´
ıntegros

con a o con b, lo que implica que el otro es una unidad. La segunda afirmaciń
o
ya est´ probada.
a

4.2

Ideales y divisibilidad

Aunque todav´ no estamos en condiciones de comprender enteramente por
ıa
qu´, lo cierto es que los ideales proporcionan el lenguaje idńeo para expresar los
e
o
hechos m´s relevantes de la divisibilidad en un anillo. En primer lugar hemos
a
de notar que si a es un elemento de un dominio ´
ıntegro A, entonces el ideal
(a) = Aa es precisamente el conjunto de todos los m´ltiplos de a. Es claro que
u
a | b equivale a (b) ⊂ (a), de donde se sigue que a y b son asociados si y s´lo si
o
(a) = (b), es decir, si y s´lo si generan el mismo ideal.
o
Hemos de pensar que dos elementos asociados son una misma cosa a efectos
de divisibilidad (ambos tienen los mismos m´ltiplos y divisores). Ahora vemos
u
que a cada familia de elementos asociados de un dominio ´
ıntegro le corresponde
un unico ideal principal. En particular el 0 se corresponde con el ideal 0 = (0)
´
y las unidades de A se corresponden todas ellas con el ideal A = (1).
El lector que quiera comprender adecuadamente la teor´ de la divisibilidad
ıa
debe esforzarse por llegar a entender que los ideales principales representan
mejor que los elementos mismos del anillo los posibles divisores de un elemento
dado. Quiz´ en esta direcciń le ayude conocer un d´bil esbozo informal del
a
o
e
modo en que el concepto de ideal era concebido cuando apareci´ en la teor´
o
ıa:
Consideremos las dos afirmaciones siguientes relativas a Z. Por una parte
2 | 6 y por otra −2 | 6. A efectos de divisibilidad ambas son equivalentes, puesto
que 2 y −2 son asociados. Podemos resumirlas en una sola si consideramos que
es el ideal (2) = (−2) el que divide a 6, y escribimos en consecuencia (2) | 6.
Podemos pensar que los divisores de los elementos de un dominio ´
ıntegro no
son otros elementos del anillo, sino sus ideales. As´ podemos definir (a) | b
ı,
como a | b, lo cual no depende del generador elegido para el ideal, pues dos
cualesquiera son asociados. Notar que esto equivale a que b ∈ (a), luego si I
es un ideal principal tenemos (por definiciń) que I | b ⇔ b ∈ I. Lo que hace
o
de esto una idea brillante es que en realidad no tenemos por qu´ exigir a I
e
que sea principal, con lo que cualquier ideal I puede dividir a un elemento en
este sentido. En un DIP cada ‘divisor ideal’ se corresponde con una familia de
‘divisores reales’ asociados (sus generadores), pero hay anillos no DIP en los que
se puede hablar coherentemente de divisores ideales en este sentido sin que estń
e
asociados a divisores reales, es decir, sin que sean principales. Tales ‘divisores
ideales’ resultan esenciales para formular una teor´ de divisibilidad razonable
ıa
(y util) en dichos anillos. De hecho, los ideales en el sentido moderno fueron
´
introducidos por Dedekind a finales del siglo XIX para formalizar esta idea de
divisor ideal que no se corresponde con ningń divisor real.
u
M´s en general, podemos extender la relaciń de divisibilidad de modo que
a
o
los ideales puedan dividirse entre s´ Podemos pensar que un ideal I divide a un
ı.
ideal J si J ⊂ I (comparar con a | b ⇔ (b) ⊂ (a)). De momento no entraremos

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