Análisis matemático 3

CURSO DE
ANÁLISIS MATEMÁTICO III
Miguel Canela
Departament de Matemàtica aplicada i anàlisi, UB
canela@mat.ub.es
1. Propiedades topológicas de los subconjuntos de Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . 3
Producto escalar y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Distancia, bolas y conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
L´ımite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Interior, adherencia y frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Continuidad y l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
L´ımite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Derivadas parciales y direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Diferencial, matriz jacobiana y gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Funciones de clase C1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Máximos y m´ınimos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4. Teorema de la función inversa y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Teorema de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Teorema de la función impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Método de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Curso de Análisis matemático III/1

5. Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tangente y normal a una curva del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Ecuación diferencial de un haz de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ecuaciones en variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Curvas y superficies en Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Problemas de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1. PROPIEDADES TOPOLÓGICAS
DE LOS SUBCONJUNTOS DE R
n
PRODUCTO ESCALAR Y NORMA
El producto escalar de x, y ∈ Rn
se define por
x · y =
n
i=1
xiyi.
La norma de x es
x = x · x
1/2
=
n
i=1
x2
i
1/2
.
Observa que, si n = 1, la norma es el valor absoluto. Para n = 2 y n = 3, coincide
con el módulo de un vector tal como se define en un curso de F´ısica.
Es inmediato, a partir de la definición, que, para x, y, z ∈ Rn
, α, β ∈ R, se cumple
(αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z).
Si u = 1, decimos que u es unitario. De la fórmula
αx = |α| x
resulta que, si x = 0, u = x/ x es unitario.
Proposición. Sean x, y ∈ Rn
. Se cumple
x · y ≤ x y (desigualdad de Cauchy-Schwarz),
y la igualdad sólo se da si x e y son linealmente dependientes.
Demostración. Si x = 0 o y = 0, la desigualdad es trivial. En caso contrario,
podemos pasar x y y al primer miembro, y reducir el problema a ver que, si u, v
son unitarios, |u · v| ≤ 1, y que |u · v| = 1 sólo puede ser si u = v o u = −v. Para
verlo, observamos
0 ≤ u − v
2
= (u − v) · (u − v) = u 2
+ v 2
− 2 u · v = 2(1 − u · v),
que implica u·v ≤ 1. Cambiando + por −, resulta u·v ≥ −1, y, en definitiva |u·v| ≤ 1.
Finalmente, u · v = 1 implica u = v, y u · v = −1 implica u = −v. ♠
Proposición. Sean x, y ∈ Rn
. Se cumple
x + y ≤ x + y (desigualdad triangular),
y la igualdad sólo se da si y = αx, con α ≥ 0, o viceversa.
Demostración. Si x = 0 o y = 0 la desigualdad es trivial. Si no, resulta de la
desigualdad de Cauchy-Schwarz en
x + y
2
= x 2
+ y 2
+ 2 x · y ≤ x 2
+ y 2
+ 2 x y = x + y
2
.
Si hay igualdad en la desigualdad triangular, también en la de Cauchy-Schwarz, y
entonces x e y son linealmente dependientes, o sea y = αx, y obviamente α > 0. ♠

En general, en un espacio vectorial real E, un producto escalar es una aplicación
(x, y) → x · y a valores reales, que cumple:
(i) x · x ≥ 0 para todo x ∈ E, y x · x = 0 si y sólo si x = 0.
(ii) x · y = y · x para x, y ∈ E.
(iii) (αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z), para x, y, z ∈ E, α, β ∈ R.
Hay otros productos escalares de interés en el Análisis matemático. Por ejemplo, en
el espacio de las funciones continuas en [0, 1], podemos definir
f · g =
1
0
f(x) g(x) dx.
No obstante, el único producto escalar con el que trabajamos en este curso es el de
Rn
. En el curso de Análisis funcional aparecen otros productos, definidos en espacios
de funciones o en espacios de sucesiones.
Una norma en E es una aplicación x → x a valores reales que cumple:
(i) x ≥ 0 para todo x ∈ E, y x = 0 si y sólo si x = 0.
(ii) αx = α x para x ∈ E, α ∈ R.
(iii) x + y ≤ x + y , para x, y, z ∈ E.
A partir de un producto escalar siempre se puede definir una norma, haciendo x =
(x · x)1/2
, y los argumentos que hemos dado para probar la desigualdad de Cauchy-
Schwarz y la triangular valen en general. Hay otras normas de Rn
de interés en el
Análisis matemático, aunque no todas se definen a partir de un producto escalar (v.
Ejercicio 3). Cuando se quiere distinguir entre las distintas normas de Rn
, se denota
la que hemos definido a partir del producto, que es la norma eucl´ıdea, por x 2. De
los espacios en los que hay definida una norma, los espacios normados, se ocupa el
curso de Análisis funcional.
Otra norma interesante que s´ı vamos a usar este curso en alguna ocasión, es la norma
de una aplicación lineal, o, equivalentemente, de una matriz. Primer probamos
una desigualdad fundamental de las aplicaciones lineales.
Proposición. Sea T : Rn
→ Rm
una aplicación lineal. Existe K > 0 tal que
Tx ≤ K x , x ∈ Rn
.
Demostración. Pasando x al primer miembro, el problema se reduce a ver que existe
K > 0 tal que, si u es unitario, Tu ≤ K. Supongamos que A es la matriz de T en
la base canónica e1, . . . , en , de modo que
Tx =
m
j=1
n
i=1
aijxi ej.
Entonces, si u = 1,
Tu ≤
m
j=1
n
i=1
aijui ≤
m
j=1
n
i=1
|aij|. ♠
El argumento seguido en esta demostración muestra que entre las constantes K > 0
que cumplen la desigualdad para una aplicación T hay una que es la menor, y que
coincide con el supremo de Tu . Por definición, esta constante m´ınima es la norma
de T, es decir,
T = sup
u =1
Tu .

Ejercicios
1. Decimos que x e y son ortogonales si x · y = 0. Demuestra que, en ese caso,
x + y
2
= x 2
+ y 2
(teorema de Pitágoras).
2. Demuestra que, para cualquier par x, y ∈ Rn
,
(a) x − y ≤ x − y .
(b) x + y
2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ y 2
(identidad del paralelogramo).
(c) x + y x − y ≤ x 2
+ y 2
.
3. Para x ∈ Rn
, definimos
x 1 =
n
i=1
|xi|, x ∞ = max |x1|, . . . , |xn| ,
(a) Demuestra que estas fórmulas definen normas en Rn
.
(b) Demuestra que se cumple
x ∞ ≤ x 2 ≤ x 1 ≤ n x ∞.
(c) Demuestra que estas normas no cumplen la identidad del paralelogramo.
4. Demuestra, que si T es una aplicación lineal, se cumple
T = sup
u ≤1
Tu .
5. Sean T y S son aplicaciones lineales.
(a) Demuestra que se cumple T +S ≤ T + S , cuando la suma tiene sentido.
(b) Demuestra que se cumple T ◦ S ≤ T S , cuando la composición tiene
sentido. Muestra con un ejemplo que la igualdad no se da siempre.
DISTANCIA, BOLAS Y CONJUNTOS ACOTADOS
La distancia entre dos puntos x, y ∈ Rn
se define por
d(x, y) = x − y 1/2
=
n
i=1
(xi − yi)2
1/2
.
Proposición. Sean x, y, z ∈ Rn
. Se cumple:
(i) d(x, y) ≥ 0, y sólo d(x, y) = 0 si x = y.
(ii) d(x, y) = d(y, x).
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular).
Demostración. Las dos primeras son evidentes. La tercera se deduce directamente de
la definición de la distancia y de la desigualdad triangular de la norma. ♠
Una distancia en un conjunto X cualquiera es una aplicación (x, y) → R con las
propiedades (i)–(iii) de la proposición anterior. Un conjunto en el que hay definida
una distancia es un espacio métrico. En cualquier espacio normado se puede definir
una distancia haciendo d(x, y) = x − y 1/2
, pero no es la única manera. Un ejemplo
muy artificial, que se usa a veces para construir contraejemplos en la teor´ıa de los
espacios métricos, es la distancia discreta, para la que d(x, y) = 1 si x = y, y
d(x, x) = 0. En este curso sólo vamos a usar la distancia definida en Rn
mediante la
norma eucl´ıdea, que es la distancia eucl´ıdea.
La distancia entre un punto a ∈ Rn
y un conjunto X ⊂ Rn
se define por
d(a, X) = inf
x∈X
d(a, x).
Por convenio, se entiende que d(a, ∅) = ∞.

Ejemplo. La distancia de un punto a un conjunto no siempre es accesible, o, dicho
de otro modo, no siempre existe x ∈ X tal que d(a, x) = d(a, X). Un ejemplo sencillo,
en R, nos lo da a = 0, X = (1, 2].
La distancia entre dos conjuntos X, Y ⊂ Rn
se define por
d(X, Y ) = inf d(x, y) : x ∈ X y ∈ Y .
Una definición equivalente (la comprobación es inmediata para quien tenga claro lo
que significa inf) es
d(X, Y ) = inf
x∈X
d(x, Y ) = inf
y∈Y
d(y, X).
Sean a ∈ Rn
y r > 0. La bola abierta de centro x y radio r se define por
B(a, r) = x ∈ Rn
: x − a < r .
Análogamente, la bola cerrada de centro x y radio r se define por
B (a, r) = x ∈ Rn
: x − a ≤ r .
La esfera de centro x y radio r es
S(a, r) = x ∈ Rn
: x − a = r .
Ejemplo. Supongamos que n = 1. Entonces
B(a, r) = a − r, a + r , B (a, r) = a − r, a + r , S(a, r) = a − r, a + r .
El diámetro de un conjunto X ⊂ Rn
se define por
δ(X) = sup d(x, y) : x, y ∈ X .
Se entiende, en esta definición, que el supremo puede ser infinito, y que el diámetro
del conjunto vac´ıo es 0.
Ejemplo. Para a, b ∈ R, δ [a, b] = b − a, δ {a} = 0, y δ [a, +∞) = +∞.
Cuando el diámetro de un conjunto es finito, decimos que es un conjunto acotado.
Todo subconjunto de un conjunto acotado es acotado, y la unión finita de conjuntos
acotados es un conjunto acotado. Cualquier bola es un conjunto acotado (v. Ejercicio
4), y que un conjunto es acotado si y sólo existe una bola que lo contenga (v. Ejercicio
5). Por tanto, para n = 1, la definición de conjunto acotado que hemos dado aqu´ı
coincide con la del curso de Análisis matemático I para subconjuntos de R (X ⊂ R
es acotado si existen a, b ∈ R tales que a ≤ x ≤ b para todo x ∈ X).
Decimos que f : X → Rn
es una aplicación acotada cuando f(X) es un conjunto
acotado.
Ejercicios
1. Para a, b ∈ Rn
, X, Y, Z ⊂ Rn
, di cuáles de las siguientes fórmulas son válidas en
general:
(a) d(a, X) ≤ d(a, b) + d(b, X).
(b) d(a, Y ) ≤ d(a, X) + d(X, Y ).
(c) d(X, Z) ≤ d(X, Y ) + d(Y, Z).

2. Considera en R2
la distancia definida por la norma · 1. ¿Qué es la bola de centro
(0, 0) y radio 1? ¿Y para la distancia definida por · ∞?
3. Define en R2
una norma cuyas bolas sean elipses.
4. Demuestra que siempre se cumple δ B(a, r) ≤ 2r. ¿Puedes imaginar una distancia
donde el diámetro de una bola sea menor que el doble del radio? ¿Es posible que eso
pase en un espacio normado?
5. Demuestra que un conjunto es acotado si y sólo existe una bola que lo contiene.
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Sean (xk)k una sucesión de Rn
, y a ∈ Rn
. Decimos que a es el l´ımite de (xk)k, o que
(xk)k converge hacia a, cuando xk − a tiene l´ımite 0. Equivalentemente, cuando,
para todo > 0, existe k0 tal que, si k ≥ k0, entonces xk − a < . Esta definición
es la extensión directa de la del curso de Análisis matemático I para sucesiones de
números reales. Como ya sabemos, no siempre hay l´ımite. Las sucesiones que tienen
l´ımite son las sucesiones convergentes. La expresión
a = lim
k→∞
xk
se interpreta igual que para sucesiones en R. Si no hay ambigüedad, se puede abreviar
a = limk xk, o incluso lim xk.
Proposición. Sea (xk)k una sucesión de Rn
. Se cumple:
(i) Si (xk)k tiene l´ımite, es único.
(ii) Si (xk)k tiene l´ımite, todas las sucesiones parciales de (xk)k tienen el mismo
l´ımite.
(iii) Si (xk)k tiene l´ımite, es acotada.
Demostración. Basta repasar la del curso de Análisis matemático I. ♠
. Designamos por xk,j la coordenada
j-ésima de xk. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) lim xk = a.
(ii) limk xk,j = aj, para j = 1, . . . , n.
Demostración. Basta observar que, para x, y ∈ Rn
, se cumple
max
1≤j≤n
xj − yj ≤ x − y ≤
n
j=1
xj − yj . ♠
La condición de Cauchy también se extiende de forma natural a las sucesiones de
Rn
. Decimos que (xk)k cumple la condición de Cauchy, o que es una sucesión
de Cauchy, cuando, para todo > 0, existe k0 tal que, si k1, k2 ≥ k0, entonces
xk1 − xk2
< .
. Las siguientes condiciones son equiva-
lentes:
(i) (xk)k tiene l´ımite.
(ii) (xk)k cumple la condición de Cauchy.
Demostración. Para ver que toda sucesión con l´ımite cumple la condición de Cauchy,
el argumento es el mismo que para sucesiones de números reales, usando la desigualdad
xk1 − xk2
≤ xk1
− a + a − xk2
.

Rec´ıprocamente, supongamos que (xk)k cumple la condición de Cauchy. Por la de-
sigualdad de la demostración de la proposición anterior, las sucesiones de coordenadas
(xk,j)k son sucesiones de Cauchy de números reales, que tienen l´ımite, y por tanto
(xk)k tiene l´ımite. ♠
Proposición (teorema de Bolzano-Weierstrass en Rn
). Sea (xk)k una sucesión
acotada de Rn
. Existe una sucesión parcial de (xk)k que tiene l´ımite.
Demostración. Si (xk)k es acotada, también son acotadas las sucesiones de coorde-
nadas (xk,j)k, y podemos extraer de cada una parcial convergente, por el teorema de
Bolzano-Weierstrass para sucesiones de números reales (curso de Análisis matemático
I). Si extraemos estas parciales ordenadamente, de forma que cada una sea una par-
cial de la anterior, obtenemos una sucesión (yk)k, parcial de (xk)k, tal que todas las
sucesiones de coordenadas (yk,j)k tienen l´ımite, y por tanto (yk)k tiene l´ımite. ♠
INTERIOR, ADHERENCIA Y FRONTERA
Sean X ⊂ Rn
y a ∈ Rn
. Decimos que a es un punto adherente a X cuando
d(a, X) = 0. El conjunto de puntos adherentes a X se llama adherencia o clausura
de X, y se designa por ¯X. Tal como hemos definido la distancia, todos los puntos son
adherentes a Rn
, y ninguno lo es a ∅. Siempre X ⊂ ¯X, pero puede ser X = ¯X. Es
fácil encontrar ejemplos de ambas situaciones en R. Cuando ¯X = Rn
, se dice que X
es denso en Rn
Ejemplo. En R, (0, 1] = [0, 1] = (0, 1) = [0, 1].
Proposición. Sean X ⊂ Rn
y a ∈ Rn
. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) a es adherente a X.
(ii) Existe una sucesión (xk)k, contenida en X, con l´ımite a.
(iii) Para cada > 0 existe x ∈ X tal que x − a < .
(iv) Para cada > 0, B(a, ) ∩ X = ∅.
Demostración. (i) implica (ii): para cada k ∈ N escogemos xk ∈ X con xk−a < 1/k,
y entonces lim xk = a.
(ii) implica (iii): Para cualquier > 0, infinitos términos de la sucesión (xk)k cumplen
xk − a < .
(iii) implica (i): Para todo > 0, d(a, X) < , luego d(a, X) = 0.
Finalmente, (iii) y (iv) son trivialmente equivalentes. ♠
Proposición. Sean X, Y ⊂ Rn
, y a ∈ Rn
. Se cumple:
(i) Si X ⊂ Y , entonces ¯X ⊂ ¯Y .
(ii) X ∪ Y = ¯X ∪ ¯Y .
(iii) X ∩ Y ⊂ ¯X ∩ ¯Y .
(iv) d(a, X) = d(a, ¯X).
(v) ¯¯X = ¯X.
Demostración. (i) Resulta directamente de la definición, ya que, si X ⊂ Y , entonces
d(a, X) ≥ d(a, Y ) .
(ii) Por (i), ¯X ⊂ X ∪ Y y ¯Y ⊂ X ∪ Y , luego ¯X ∪ ¯Y ⊂ X ∪ Y . Rec´ıprocamente, si a
es l´ımite de una sucesión contenida en X ∪ Y , hay infinitos términos en uno de los
dos conjuntos, con lo cual a ∈ ¯X o a ∈ ¯Y , y por tanto a ∈ ¯X ∪ ¯Y .
(iii) Por (i), X ∩ Y ⊂ ¯X, y X ∩ Y ⊂ ¯Y , luego X ∩ Y ⊂ ¯X ∩ ¯Y .

(iv) Como X ⊂ ¯X, d(a, ¯X) ≤ d(a, X). Si no fuesen iguales, existir´ıa x0 ∈ ¯X tal que
x0 − a < d(a, X). Pero entonces tendr´ıamos, para todo x ∈ X,
x − x0 ≥ x − a − x0 − a ≥ d(a, X) − x0 − a ,
y por tanto
d(x0, X) ≥ d(a, X) − x0 − a > 0,
contradictorio, porque x0 es adherente a X.
(v) Resulta directamente de (i). ♠
Ejemplo. Si X = [−1, 0) e Y = (0, 1], ¯X ∩ ¯Y = {0}, pero X ∩ Y = ∅.
Sean X ⊂ Rn
y a ∈ Rn
. Decimos que a es un punto de acumulación de X cuando
d a, X {a} = 0. Como para los puntos adherentes, tenemos varias definiciones
equivalentes (v. la proposición que sigue).
y a ∈ Rn
. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) a es un punto de acumulación de X.
(ii) Existe una sucesión (xk)k, contenida en X {a}, con l´ımite a.
(iii) Para cada > 0 existe x ∈ X tal que 0 < x − a < .
(iv) Para cada > 0, B(a, ) ∩ X {a} = ∅.
Demostración. Igual que para los puntos adherentes. ♠
Un punto adherente que no es de acumulación pertenece necesariamente al conjunto,
y se llama punto aislado. De la proposición anterior se deduce que a es un punto
aislado de X si y sólo si existe r > 0 tal que B(a, r) ∩ X = {a}.
Decimos que a es un punto interior a X cuando existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ X. El
conjunto de puntos interiores a X se llama interior de X, y se designa por X◦
. Por
definición, X◦
⊂ X, pero la igualdad no es siempre cierta (v. el ejemplo que sigue).
Por convenio, el interior del conjunto vac´ıo es vac´ıo.
Cuando a es interior a un conjunto, decimos que éste es un entorno de a. En Análisis
matemático, usamos con frecuencia expresiones del tipo “. . . se cumple en un entorno
de a”, sin más detalles, cuando no nos interesa precisar cuál es ese conjunto. Decir que
algo se cumple “en un entorno de a”, equivale a decir que se cumple en B(a, r), para
un cierto r > 0 que no precisamos. Cuando una función tiene una cierta propiedad
en un entorno de cada uno de los puntos de un conjunto A (aunque pueda no tenerla
en A), decimos a veces que tiene esa propiedad localmente en A. Esta manera de
expresarse confunde al principio, pero resulta práctica cuando uno se habitúa.
Ejemplo. Si X = (0, 1], X◦
= (0, 1).
Proposición. Sea X ⊂ Rn
. Se cumple:
(i) Rn
X◦
= Rn
X.
(ii) Rn
¯X = Rn
X
◦
.
Demostración. (i) a /∈ X◦
equivale a que no exista > 0 tal que B(a, ) ⊂ X, o sea a
B(a, ) ∩ (Rn
X) = ∅ para todo , y por tanto a que a sea adherente a Rn
X.
(ii) Resulta directamente de (i), cambiando X por su complementario. ♠
Proposición. Sean X, Y ⊂ Rn
. Se cumple:
(i) Si X ⊂ Y , entonces X◦
⊂ Y ◦
.
(ii) X◦
∪ Y ◦
⊂ (X ∪ Y )◦
.

(iii) (X ∩ Y )◦
= X◦
∩ Y ◦
.
(iv) X◦ ◦
= X◦
.
Demostración. Estas propiedades se deducen directamente de las de la adherencia,
pasando al complementario. ♠
Ejemplo. Si X = [−1, 0] e Y = [0, 1], 0 es interior a X ∪ Y , pero no lo es a X ni a
Y . Por tanto, en este caso, (X ∪ Y )◦
= X◦
∪ Y ◦
.
Sean X ⊂ Rn
y a ∈ Rn
. Decimos que a es un punto frontera de X cuando a es
adherente a X y a Rn
X. El conjunto de puntos frontera de X se llama frontera
de X, y se designa por Fr(X) (también ∂X, o bX). Por definición, la frontera de
un conjunto coincide con la de su complementario. De las propiedades del interior
y la adherencia que hemos visto antes, resulta que un punto frontera es un punto
adherente que no es interior, es decir,
Fr(X) = ¯X X◦
.
Ejemplo. Si X = (0, 1], Fr(X) = {0, 1}.
Ejercicios
1. Demuestra:
(a) La adherencia de una bola (abierta o cerrada) es la correspondiente bola ce-
rrada.
(b) La adherencia de una bola (abierta o cerrada) es la correspondiente bola cer-
rada.
(c) La frontera de una bola (abierta o cerrada) es la correspondiente esfera.
2. Halla la adherencia y el interior de A = (x, y) ∈ R2
: 0 ≤ x < 1, xy < 1 .
3. Sea Q el subconjunto de R formado por los números racionales. Repasa lo que
sabes sobre R y Q hasta entender que Q y R Q son ambos densos en R. Deduce
de ah´ı que el interior de Q es vac´ıo y la frontera es R. Este ejemplo muestra que el
interior, la adherencia y la frontera, que son obvios para conjuntos sencillos, como las
bolas, pueden no serlo para conjuntos más complicados.
4. Sea Qn
el subconjunto de Rn
formado por los puntos de coordenadas racionales.
Demuestra que Qn
y Rn
Qn
son ambos densos en Rn
.
5. ¿Cuáles son los puntos de acumulación del conjunto de R2
X =
1
n
,
1
m
: n, m ∈ N ?
6. Demuestra que la adherencia de un conjunto acotado es un conjunto acotado.
CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS
Sea X ⊂ Rn
. Se dice que X es abierto cuando X◦
= X, y que X es cerrado cuando
¯X = X. Como el interior de X y la adherencia de Rn
X son complementarios, X
es abierto si y sólo si Rn
X es cerrado. Rn
y ∅ son abiertos y cerrados.
Proposición. Los únicos subconjuntos abiertos y cerrados de Rn
son Rn
y ∅.
Demostración. Supongamos que X ⊂ Rn
es abierto y cerrado, y X = Rn
, ∅. Escoge-
mos a ∈ X y b ∈ Rn
X, y definimos t0 = sup t ∈ [0, 1] : a+t(b−a) ∈ X . Como t0

es el supremo de este conjunto, es el l´ımite de una sucesión (tk)k contenida en él, con
tk ≤ t0. Pero entonces x0 = a + t0(b − a) = lim(a + tk(b − a)), y, por ser X cerrado,
x0 ∈ X, y por consiguiente t0 < 1.
Ahora bien, como X es abierto, hay una bola B(x0, r) contenida en X, y, escogiendo
t < 1 de forma que
t0 < t < t0 +
r
b − a
,
resulta a + t(b − a) − x0 = (t − t0) b − a < r, luego a + t(b − a) ∈ X, lo que
contradice que t0 sea el supremo. ♠
Proposición. Se cumple:
(i) La unión de una familia (Ai)i∈I de subconjuntos abiertos de Rn
es un conjunto
abierto.
(ii) La intersección de una familia (Ci)i∈I de subconjuntos cerrados de Rn
es un
conjunto cerrado.
Demostración. Como los conjuntos cerrados son los complementarios de los conjuntos
abiertos, basta con probar (i). Para ello hay que ver que todo punto a del conjunto
unión A es interior. Pero si a ∈ A, existe i0 ∈ I tal que a ∈ Ai0
, y, como este conjunto
es abierto, a es interior a Ai0 , y por tanto a A. ♠
Proposición. Se cumple:
(i) La unión de una familia finita C1, . . . , Cm de subconjuntos cerrados de Rn
es
un conjunto cerrado.
(ii) La intersección de una familia finita A1, . . . , Am de subconjuntos abiertos de
Rn
es un conjunto abierto.
Demostración. Como antes, sólo probamos (i). Hay que ver que si a es un punto
adherente a la la unión C de estos conjuntos, entonces a ∈ C. Si a es adherente a
C, es el l´ımite de una sucesión contenida en C. Pero como C es una unión finita, esa
sucesión debe tener infinitos términos en alguno de los conjuntos Ci. Como éste es
cerrado, contiene a a, y por tanto a ∈ C. ♠
Ejemplo. Sea Am = − 1/m, 1/m , para m = 1, 2, 3, . . .. La intersección de estos
conjuntos es {0}, que no es abierto. Esto prueba que, en (ii), el que la familia de
conjuntos abiertos sea finita no es una hipótesis superflua. Un contraejemplo para (i)
se obtiene haciendo Cm = 1/m, 1 − (1/m) .
Sea X un conjunto cualquiera. Una topolog´ıa en X es una familia T de subcon-
juntos de X que contiene a X y a ∅, y es cerrada por unión y por intersección
finita. Un espacio topológico es un conjunto donde se ha definido una topolog´ıa.
Las proposiciones de esta sección muestran que los conjuntos abiertos forman una
topolog´ıa en Rn
, y, repasando lo que hemos hecho, puede se verificar sin dificultad
que se puede definir una topolog´ıa en cualquier espacio métrico siguiendo el mismo
proceso. Hay topolog´ıas que no se pueden definir con una distancia. Aqu´ı nos limita-
mos a la topolog´ıa definida en Rn
por la distancia eucl´ıdea. Los espacios topológicos
se estudian en el curso de Topolog´ıa.
Ejercicios
1. Sea X ⊂ Rn
. Demuestra que:
(a) Fr(X) es cerrado.
(b) X es cerrado si y sólo si Fr(X) ⊂ X.
(c) X es abierto si y sólo si X ∩ Fr(X) = ∅.
2. Demuestra que:

(a) Si C ⊂ Rn
es cerrado, existe una sucesión decreciente de conjuntos abiertos
(Ak)k cuya intersección es C.
Indicación. Prueba Ak = x ∈ Rn
: d(x, C) < 1/k .
(b) Si A ⊂ Rn
es abierto y no vac´ıo, existe una sucesión creciente de conjuntos
cerrados (Ck)k cuya unión es A.
CONJUNTOS COMPACTOS
Sea C ⊂ Rn
. Decimos que C es compacto cuando toda sucesión contenida en C
tiene una parcial convergente hacia un punto de C.
Ejemplo. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, toda sucesión acotada de números
reales tiene una parcial convergente. Por consiguiente, un intervalo cerrado [a, b] de
R siempre es compacto. Sin embargo, un intervalo no cerrado no es nunca compacto.
Por ejemplo, si a < b, [a, b) no es compacto, porque la sucesión xk = b − (1/k) está
contenida en [a, b) (suprimiendo los primeros términos si hace falta), pero no tiene
ninguna parcial que converja hacia un punto de [a, b). Se pueden obtener ejemplos
parecidos en Rn
, usando el teorema de Bolzano-Weierstrass para Rn
.
Proposición. Sea C ⊂ Rn
. C es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Demostración. Supongamos que C es cerrado y acotado, y sea (xk)k una sucesión
contenida en C. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, hay una sucesión parcial que
tiene l´ımite, y por ser C cerrado, el l´ımite es un punto de C.
Rec´ıprocamente, supongamos que C es compacto. Para ver que es cerrado, consi-
deramos una sucesión (xk)k, contenida en C, y con l´ımite x ∈ Rn
. Hay una parcial
de (xk)k que converge hacia un punto de C, quea sólo puede ser x, luego x ∈ C.
Para ver que C es acotado, razonamos por reducción al absurdo. Si no lo fuera,
podr´ıamos construir por recurrencia una sucesión (xk)k contenida en C, con xk1
−
xk2 > 1 para k1 = k2, que no tendr´ıa ninguna parcial que cumpliera la condición
de Cauchy. Para construir esta sucesión, empezamos con x1 arbitrario, y si C no
es acotado, C ⊂ B(x1, 1), y existe x2 ∈ C B(x1, 1). Ahora escogemos x3 ∈ C
B(x1, 1) ∪ B(x2, 1) , y as´ı sucesivamente. ♠
Proposición. Sea K ⊂ R compacto. Entonces existen max K y min K.
Demostración. Vamos a ver que K tiene máximo. Como K es acotado, existe b =
sup K, y sólo hay que ver b ∈ K. De la definición de supremo del curso de Análisis
matemático I se deduce que hay una sucesión contenida en K con l´ımite b. Pero como
K es cerrado, b ∈ K. Para ver que hay m´ınimo se razona de forma parecida. ♠
En el curso de Topolog´ıa, donde se generalizan los conceptos de conjunto abierto,
cerrado, frontera, etc., los conjuntos compactos no se introducen como se ha hecho
aqu´ı, sino mediante recubrimientos abiertos. Las proposiciones que siguen muestran la
equivalencia en Rn
de la definición de compacto dada aqu´ı y la del curso de Topolog´ıa.
Los argumentos que usamos son válidos para cualquier espacio métrico.
Proposición. Sean K ⊂ Rn
compacto, y (Ai)i∈I una familia de subconjuntos abier-
tos de Rn
, de modo que la unión de esta familia contiene a K. Existe δ > 0 tal que
para todo x ∈ K existe i ∈ I que cumple B(x, δ) ⊂ Ai.
Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Si no fuese cierto, habr´ıa una
sucesión (xk)k en K tal que B(xk, 1/k) ⊂ Ai para todo k ∈ N y todo i ∈ I. Susti-
tuyendo esta sucesión por una parcial si es preciso, podemos suponer que tiene l´ımite,

que será un punto a ∈ K. Como los Ai son abiertos y su unión contiene K, existen
i ∈ I y r > 0 tales que B(a, r) ⊂ Ai. Ahora bien, como a = lim xk, existe k0 tal
que xk − a < r/2 para k ≥ k0, lo que nos lleva a una contradicción, ya que, por la
desigualdad triangular,
B(xk, r/2) ⊂ B(a, r) ⊂ Ai. ♠
Una familia de conjuntos abiertos cuya unión contiene un conjunto se llama re-
cubrimiento abierto de ese conjunto. El número δ cuya existencia asegura esta
proposición se llama número de Lebesgue del recubrimiento (Ai)i∈I. Si (Ai)i∈I
es un recubrimiento de un conjunto X y J ⊂ I es tal que (Ai)i∈J también es un
recubrimiento de X, decimos que es un subrecubrimiento.
Proposición. Sea K ⊂ R. Son equivalentes:
(i) K es compacto.
(ii) Si (Ai)i∈I es un recubrimiento abierto de K, existe un subrecubrimiento finito.
(iii) Si (Ci)i∈I es una familia de conjuntos cerrados, tal que
F ∩
i∈I
Ci = ∅,
existe una subfamilia finita (Ci1
, . . . , Cim
, tal que
F ∩


m
j=1
Cij

 = ∅.
Demostración. Las condiciones (ii) e (iii) son equivalentes, pasando al complemen-
tario. Usando la existencia del número de Lebesgue, para ver que (i) implica (ii)
basta probar que, para cada δ > 0, K podemos recubrir con una familia finita de
bolas de radio δ. Para probar esto, razonamos por redución al absurdo. Si fuese
falso, podr´ıamos construir por recurrencia una sucesión (xk)k contenida en K, tal que
xk1
− xk2 para k1 = k2, y esta sucesión no tiene ninguna parcial convergente, lo
que contradice la hipótesis de que K es compacto.
Veamos ahora que (iii) implica (i). Sea (xk)k una sucesión contenida en K, y hemos
de probar que tiene una parcial convergente. Para cada i ∈ N, llamamos Ci a la
adherencia de xj : j ≥ i . Tenemos as´ı una sucesión decreciente de conjuntos
cerrados, y Ci ∩ K = ∅ para todo i. Si (iii) es cierta,
∞
i=1
Ci ∩ K = ∅,
y si x pertenece a esta intersección, para cada i se cumple B(x, 1/i)∩ xj : j ≥ i = ∅,
de donde se deduce fácilmente la existencia de una parcial convergente hacia x. ♠
Ejercicios
1. Demuestra que
K = 0 ∪
1
n
: n ∈ N
es un subconjunto compacto de R.
2. Da un ejemplo de un recubrimiento abierto de (0, 1) para el que no haya un
subrecubrimiento finito.

3. Demuestra que la unión de una familia finita de conjuntos compactos es un conjunto
compacto.
4. Demuestra que la frontera de un conjunto compacto es un conjunto compacto.
PROBLEMAS
1.1. Halla los puntos de acumulación de los conjuntos
A = x ∈ R2
: 0 < x1 ≤ 1, x2 = sin(1/x1) ,
B = x ∈ R2
: 0 < x1 ≤ 1, x2 = x1 sin(1/x1) .
1.2. ¿Cuáles son los puntos de acumulación del conjunto
X =
1
n
+
1
m
: n, m ∈ N ?
1.3. Sean A ⊂ B ⊂ Rn
.
(a) Demuestra (B A)◦
= B◦
¯A.
(b) Demuestra B A ⊂ ¯B A◦
.
(c) Da un ejemplo donde B A = ¯B A◦
.
1.4. Sea X ⊂ Rn
. Demuestra que el diámetro de X coincide con el de ¯X.
1.5. Sea G ⊂ Rn
. Demuestra:
(a) G es denso si y sólo si G ∩ A = ∅ para todo conjunto abierto no vac´ıo A ⊂ Rn
.
(b) Si G es denso y A es abierto A ⊂ A ∩ G.
1.6. Demuestra que, si A ⊂ Rn
es abierto, la frontera de A tiene interior vac´ıo.
1.7. Demuestra que:
(a) Si X ⊂ Rn
y Y ⊂ Rm
son abiertos, X × Y es un subconjunto abierto de
Rn+m
.
(b) Si X ⊂ Rn
y Y ⊂ Rm
son cerrados, X × Y es un subconjunto cerrado de
Rn+m
.
1.8. Demuestra que, si K ⊂ Rn
y H ⊂ Rm
son compactos, K ×H es un subconjunto
compacto de Rn+m
.
1.9. Sean K ⊂ Rn
compacto y A ⊂ Rn
abierto, con K ⊂ A. Demostrar que existe
r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A para todo x ∈ K.
1.10. Sea G ⊂ Rn
. Demuestra:
(a) Si G es abierto, no existen x, y ∈ G tales que x − y = δ(G).
(b) Si G es compacto, existen x, y ∈ G tales que x − y = δ(G).

2. CONTINUIDAD Y LÍMITES
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Sean D ⊂ X ⊂ Rn
, a ∈ Rn
, y f : X → Rm
, y supongamos que a es un punto
de acumulación de D. Decimos que b ∈ Rm
es el l´ımite de f en a, relativo
a D, cuando, para cualquier sucesión (xk)k contenida en D {a}, con l´ımite a, la
sucesión imagen f(xk) k
tiene l´ımite b. Puede representarse esta situación mediante
la fórmula
b = limx→a
x∈D
f(x).
Cuando D = X, omitimos “x ∈ D”, y decimos que b es el l´ımite de f en a. As´ı
es en la mayor´ıa de los casos, aunque a veces usamos subconjuntos especiales de X,
como en los ejemplos de más abajo.
Observa que no es necesario que f esté definida en a. En cualquier caso, el valor f(a)
no influye en el l´ımite. Observa también que, si podemos hallar subconjuntos D1, D2
de X de modo que
limx→a
x∈D1
f(x) = limx→a
x∈D2
f(x),
entonces el l´ımite de f en a no existe (v. ejemplos a continuación)
Ejemplo. La definición que hemos dado generaliza la de los l´ımites laterales del curso
de Análisis matemático I. Por ejemplo, si f(x) = x/|x|, escogemos
D+ = x ∈ R : x > 0 , D− = x ∈ R : x < 0 ,
y tenemos
lim
x→0
x∈D+
f(x) = lim
x→0+
f(x) = 1, lim
x→0
x∈D−
f(x) = lim
x→0−
f(x) = −1.
Ejemplo. Sea f : R2
{(0, 0)} → R definida por
f(x, y) =
xy
x2 + y2
.
Para α ∈ R, sea Dα = (x, y) ∈ R2
: y = αx . Entonces el l´ımite relativo a Dα,
lim
(x,y)→(0,0)
x∈Dα
f(x) = lim
x→0
f x, αx =
α
1 + α2
,
depende de α, y por tanto f no tiene l´ımite en (0, 0).
Ejemplo. Sea f : R2
{(0, 0)} → R definida por
f(x, y) =
xy2
x2 + y2
.
Como
y2
x2 + y2
≤ 1,
resulta |f(x, y)| ≤ |x|, y por tanto
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.

Proposición. Sean D ⊂ X ⊂ Rn
, a ∈ Rn
, b ∈ Rm
, y f : X → Rm
, y supongamos
que a es un punto de acumulación de D. Son equivalentes:
(i) b es el l´ımite de f en a, relativo a D.
(ii) Para cada > 0 existe δ > 0 tal que, si x ∈ D {a} y x − a < δ, entonces
f(x) − b < (definición − δ de l´ımite).
(iii) Para cada > 0 existe δ > 0 tal que f B(a, δ) ∩ (D {a} ⊂ B(b, ).
Demostración. Basta repasar la del curso de Análisis matemático I. ♠
Ejercicios
1. En R, una función tiene l´ımite si y sólo hay l´ımite por la derecha y por la izquierda,
y coinciden. Generaliza esta regla a funciones definidas en un subconjunto de Rn
: si
X = D1 ∪ D2, y a es un punto de acumulación de D1 y de D2, existe el l´ımite de
f : X → Rm
en a si y sólo si existen los l´ımites relativos a D1 y D2, y coinciden.
2. Sean X ⊂ Rn
, f : X → Rm
, y a ∈ Rn
un punto de acumulación de X, tales que,
para toda sucesión (xk)k contenida en D, con l´ımite a, la sucesión imagen f(xk) k
tiene l´ımite. Demuestra que f tiene l´ımite en a.
3. Usa la fórmula
lim
t→0
1 − cos t
t2/2
= 1
para calcular el l´ımite de la función f : (x, y) ∈ R2
: xy > 0 → R definida por
f(x, y) =
1 − cos
√
xy
y
en un punto de la frontera.
4. Demuestra
lim
(x,y)→(0,0)
xy sin
1
x2 + y2
= 0.
5. Definimos f : R2
→ R por f(x, y) = x si y ≥ 0, y por f(x, y)) = −x si y < 0.
Demuestra que f no tiene l´ımite en ningún punto del eje x, salvo en el origen.
6. Demuestra
lim
(x,y)→(0,0)
x5
y2
+ x3
yz3
(x2 + y2 + z2)3
= 0.
7. Sea f : (x, y) ∈ R2
: x = y → R definida por
f(x, y) =
xy
x − y
.
Usa una sucesión (xk, yk) k
con l´ımite (0, 0), para la que (xk − yk)k tienda a 0 más
rápido que (xkyk)k, para ver que f no tiene l´ımite en (0, 0).
FUNCIONES CONTINUAS
Sean X ⊂ Rn
y f : X → Rm
. Decimos que f es una función continua en un
punto a ∈ X cuando
f(a) = lim
x→a
f(x).
Una función continua en un conjunto es una función que es continua en todos los
puntos de ese conjunto. Cuando es continua en todos los puntos donde está definida,
decimos que es continua, a secas. Si f : X → Rm
es continua, entonces la restricción
f|Y es continua para todo Y ⊂ X, pero hay que ir con cuidado al aplicar esta idea en
sentido contrario (v. el segundo de los ejemplos que siguen).

Ejemplo. La función f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
xy
|x| + |y|
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0, es continua en (0, 0). Se puede deducir que el l´ımite
en (0, 0) es 0 de la desigualdad
|f(x, y)| =
|xy|
|x| + |y|
≤ |x|.
Ejemplo. Sean f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
x2
− y2
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0, y X = {(x, y) ∈ R2
: y = x}. La restricción f|X
es constante igual a 0, y por tanto continua, pero f no es continua, porque no tiene
l´ımite en (0, 0). Para verlo basta considerar Dα = (x, y) ∈ R2
: y = αx y observar
lim
(x,y)→(0,0)
x∈Dα
f(x) = lim
x→0
f x, αx =
1 − α2
1 + α2
.
Sea f : X → Rm
. Para cada j ∈ {1, . . . , m} podemos considerar la función compo-
nente fj : X → R, que asigna a cada x ∈ X la coordenada j-ésima de f(x). Podemos
expresar f en función de sus componentes, f = f1, . . . , fm . La continuidad (y la
diferenciabilidad, v. Cap´ıtulo 3) de f es equivalente a la de sus funciones componentes.
, a ∈ X, y f : X → Rm
. Son equivalentes:
(i) f es continua en a.
(ii) Las funciones componentes f1, . . . , fm son continuas. en a.
Demostración. Supongamos lim xk = a. Entonces lim f(xk) = f(a) si y sólo si
lim fj(xk) = fj(a) para 1 ≤ j ≤ m. ♠
, f : X → Rm
con l´ımite en un punto a ∈ X, g : Y → Rp
continua en f(a), con f(X) ⊂ Y ⊂ Rm
. Entonces g ◦ f tiene l´ımite en a, y se cumple
lim
x→a
g f(x) = g lim
x→a
f(x) .
Demostración. Si (xk)k es una sucesión contenida en X, con l´ımite a, (f(xk))k con-
verge hacia el l´ımite de f en a, y al aplicar g se obtiene la fórmula deseada. ♠
Resulta de esta proposición que podemos operar con los l´ımites de sumas, productos,
cocientes, etc., como en el curso de Análisis matemático I en el caso de una variable.
Resulta también que, si f y g son continuas, g ◦ f es continua, y, por tanto, que
cualquier operación continua con funciones continuas da una función continua. Por
descontado, hay que tener cuidado con los cocientes cuando el denominador se anula.
Proposición. Sean D ⊂ X ⊂ Rn
, D denso en X y f, g : X → Rm
continuas, de
modo que f|D = g|D. Entonces f = g.
Demostración. Sea x ∈ X. Existe una sucesión (xk)k contenida en D, con lim xk = x.
Como f es continua,
f(x) = lim f(xk) = lim g(xk) = g(x). ♠
NOTA. Si m = 1, se puede reemplazar la igualdad por ≤ o ≥ en la proposición
anterior, y la demostración es muy parecida.

, y f : X → Rm
. Son equivalentes:
(i) f es continua.
(ii) Para todo G ⊂ X, f X ∩ ¯G ⊂ f(G).
Demostración. (i) implica (ii): Si x ∈ ¯G, existe una sucesión (xk)k contenida en G,
con l´ımite x. Como f es continua, f(x) = lim f(xk), y por tanto f(x) ∈ f(G).
(ii) implica (i): Si f no es continua en un punto a, la condición -δ no es válida, y
existe > 0 para el que se puede construir por recurrencia (tomando δ = 1/k) una
sucesión (xk)k con l´ımite a, tal que f(xk) − f(a) ≥ . Si G es el recorrido de esta
sucesión, a ∈ G, pero f(a) /∈ f(G), ya que d f(a), f(G) ≥ . ♠
cerrado y f : X → Rm
. Son equivalentes:
(i) f es continua.
(ii) Para todo C ⊂ Rm
cerrado, f−1
(C) es cerrado.
Demostración. (i) implica (ii): Partimos de f f−1
(C) ⊂ C. Usando la proposición
anterior, con G = f−1
(C), resulta
f f−1(C) ⊂ f f−1(C) ⊂ ¯C = C,
y por tanto f−1(C) ⊂ f−1
(C). La inclusión es sentido opuesto siempre es cierta.
(ii) implica (i): Partimos de G ⊂ f−1
f(G) . Como f(G) es cerrado, f−1
f(G) es
cerrado, y entonces
¯G ⊂ f−1 f(G) ⊂ f−1 f(G) = f−1
f(G) ,
luego f ¯G ⊂ f(G). ♠
Se deduce de esta proposición que, si f y g son funciones continuas definidas en un
conjunto cerrado X, el conjunto x ∈ X : f(x) = g(x) es cerrado. Para funciones a
valores en R, el conjunto x ∈ X : f(x) ≥ g(x) es cerrado. Esto resulta práctico para
ver que un conjunto definido por igualdades o desigualdades no estrictas es cerrado.
Ejemplo. El conjunto K = (x, y) ∈ R2
: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 es compacto, ya
que es acotado (diámetro
√
2) y cerrado, por ser la intersección de los tres semiplanos
cerrados definidos por las desigualdades de x ≥ 0, y ≥ 0, y x + y ≤ 1.
abierto y f : X → Rm
. Son equivalentes:
(i) f es continua.
(ii) Para todo A ⊂ Rm
abierto, f−1
(A) es abierto.
Demostración. (i) implica (ii): Sea x ∈ f−1
(A). Entonces f(x) ∈ A, y, si A es abierto,
existe > 0 tal que B(f(x), ). Por la definición − δ del l´ımite, existe δ > 0 tal que
B(x, δ) ⊂ X y f B(x, δ) ⊂ B f(x), ⊂ A, y en definitiva B(x, δ) ⊂ f−1
(A).
(ii) implica (i): B(a, ) es abierto, luego f−1
B(a, ) es abierto, y existe δ > 0 de
modo que B(a, δ) ⊂ f−1
B(a, ) , o sea f B(a, δ) ⊂ B f(a), . ♠
Se deduce de esta proposición que, si f y g son dos funciones reales continuas definidas
en un conjunto abierto X, el conjunto x ∈ X : f(x) < g(x) es abierto.
Ejemplo. El conjunto A = (x, y) ∈ R2
: x > 0, y > 0, x + y < 1 es abierto.

Sean X ⊂ Rn
, Y ⊂ Rm
, y f : X → Y biyectiva, de modo que f y f−1
sean
continuas. Decimos entonces que f es un homeomorfismo de X en Y . Si existe un
homeomorfismo entre dos conjuntos, decimos que son homeomorfos.
Ejemplo. Dos intervalos abiertos (cerrados) de la recta real son homeomorfos. De he-
cho, los homeomorfismos aparecen frecuentemente en el curso de Análisis matemático
I, ya que hay un teorema que asegura que una aplicación biyectiva y monótona es
continua, o sea que las funciones (estrictamente) crecientes o decrecientes son home-
omorfismos.
Ejemplo. f(x, y) = (ax, bx) define un homeomorfismo entre el disco unidad abierto
de R2
y el interior de la elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Ejercicios
1. Demuestra que toda aplicación lineal T : Rn
→ Rm
y toda forma cuadrática
Q : Rn
× Rn
→ R son continuas.
2. Se define f : R2
→ R por
f(x, y) =
x2
+ y2
x − y
,
para x = y, y f(x, x) = 0. ¿En qué puntos es continua?
3. Demuestra que cualquier intervalo abierto de R es homeomorfo a R.
4. Demuestra que cualquier bola abierta de Rn
es homeomorfa a Rn
.
FUNCIONES CONTINUAS EN CONJUNTOS COMPACTOS
Proposición. Si C ⊂ Rn
compacto, y f : C → Rm
es continua, f(C) es compacto.
Demostración. Sea (yk)k una sucesión contenida en f(C). Para cada k existe xk ∈ C
con yk = f(xk). Como C es compacto, (xk)k tiene una parcial con l´ımite en C, y, por
ser f continua, la imagen por f de esta sucesión es una parcial de (yk)k con l´ımite en
f(C). ♠
Proposición (teorema de Weierstrass en Rn
). Si C ⊂ Rn
es compacto y f :
C → R es continua, f tiene máximo y m´ınimo.
Demostración. Por la proposición precedente, f(C) es un subconjunto compacto de
R, y, por tanto tiene máximo y m´ınimo (v. Cap´ıtulo 1). ♠
Sean X ⊂ Rn
y f : X → Rm
. Decimos que f es uniformemente continua cuando
para cada > 0 existe δ > 0 tal que, si x1, x2 ∈ X, y x1 − x2 < δ, entonces
f(x1) − f(x2) < .
Proposición (teorema de Heine en Rn
). Si C ⊂ Rn
compacto, y f : C → Rm
es continua, f es uniformemente continua.
Demostración. Si f no es uniformemente continua, existen > 0 y una sucesión de
pares (xk, yk) tales que
xk − yk <
1
k
, f(xk) − f(yk) ≥ .
Sustituyendo, si es preciso, esta sucesión por una parcial, podemos suponer que (xk)k y
(yk)k tienen l´ımite, que debe ser el mismo para ambas. Si a es este l´ımite, lim f(xk) =
lim f(yk) = f(a) por la continuidad de f, lo que nos lleva a una contradicción. ♠

Ejercicios
1. Sea T : Rn
→ Rm
es lineal, demuestra que
T = max
u =1
Tu .
2. Sean K ⊂ Rn
compacto, y f : K → Rm
inyectiva y continua. Demuestra que f
define un homeomorfismo entre K y f(K).
3. La función x → 1/x es el ejemplo clásico de función continua que no es uni-
formemente continua. Después de repasar este ejemplo, demuestra que la función
f : R × (R {(0, 0)}) → R definida por f(x, y) = x/y no es uniformemente continua.
4. Sea A ⊂ Rn
. Demuestra la fórmula
d(x, A − d(y, A) ≤ x − y ,
y, a partir de ella, que la función ϕ : Rn
→ R definida por ϕ(x) = d(x, A) es
uniformemente continua.
5. Demuestra que f(x) = x2
es uniformemente continua en cualquier intervalo ce-
rrado, pero no en R.
6. Demuestra que una función derivable con derivada acotada es uniformemente
continua.
PROBLEMAS
2.1. Demuestra que
lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 − y2
no existe.
2.2. Demuestra que
lim
(x,y)→(0,0)
sin(xy)
x2 + y2
no existe.
2.3. Demuestra que la función f definida por f(x) = x 1/ x 2 x, si x = 0, y
f(0) = 0, define un homeomorfismo del hipercubo C = x ∈ Rn
: x 1 ≤ 1 en la
bola unidad B = x ∈ Rn
: x ≤ 1 .
Indicación. Para ver que f y f−1
son continuas en 0, usa la desigualdad
1 ≤
x 1
x 2
≤ n(n − 1).
2.4. Sean ϕ : R → R derivable en 0, y f : R2
→ R la función definida por
f(x, y) =
x ϕ(y)
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Demuestra que f es continua en (0, 0) si y sólo si
ϕ(0) = ϕ (0) = 0.

2.5. ¿En qué puntos es continua la función f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
x3
− y5
x + y
,
si x + y = 0, y f(x, y) = 0 si x + y = 0?
2.6. Sea f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
y
x
sin(x2
+ y2
),
si x = 0, y f(0, y) = 0. ¿En qué puntos es continua?
2.7. Definimos ϕ : R → R por ϕ(t) = 1 si t es racional y ϕ(t) = 0 en caso contrario,
y f : R2
→ R por f(x, y) = x ϕ(xy). ¿En qué puntos es continua f?
2.8. Sean f : R → R y G = (x, y) ∈ R2
: y = f(x) el grafo de f.
(a) Demuestra que, si f es continua, G es cerrado en R2
.
(b) Demuestra que, si f es acotada y G es cerrado, entonces f es continua.
Indicación. Usa el siguiente hecho: una sucesión (xn)n de R tiene l´ımite a si
y sólo si toda parcial de (xn)n tiene parcial con l´ımite a.
(c) Da un ejemplo de una función discontinua con grafo cerrado.
2.9. Demuestra la siguiente versión del teorema del punto fijo: si f : Rn
→ Rn
cumple la condición
f(x) − f(y) ≤ λ x − y , x, y ∈ Rn
, x = y,
siendo λ una constante, con 0 < λ < 1, f tiene un punto fijo único.
Indicación. Partiendo de un punto x1 arbitrario, construye por recurrencia una
sucesión (xk)k tal que xk+1 = f(xk), y demuestra que cumple la condición de Cauchy.
El l´ımite será el punto fijo.
2.10. Demuestra la siguiente versión del teorema del punto fijo: si K ⊂ Rn
es
compacto y f : K → K cumple la condición
f(x) − f(y) < x − y , x, y ∈ K, x = y,
f tiene un punto fijo único.
Indicación. Busca el m´ınimo de la función ϕ(x) = x − f(x) .

3. DIFERENCIABILIDAD
DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES
Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → R, y a ∈ A. Llamamos derivada parcial de f en a
respecto xi al l´ımite
Dif(a) = lim
t→0
f a1, . . . , ai−1, ai + t, ai+1, . . . , an − f a1, . . . , an
t
,
cuando existe. Por descontado, si n = 1, esta definición coincide con la de la derivada
de una función de una variable del curso de Análisis matemático I.
Se puede ver la derivada parcial como una generalización de la derivada de una función
de una variable, aunque no es sino un caso particular, puesto que Dif(a) es la derivada,
en t = 0, de la función t −→ f a1, . . . , ai−1, ai + t, ai+1, . . . , an . Por consiguiente,
se pueden aplicar a las derivadas parciales todas las propiedades de las derivadas del
curso de Análisis matemático I, y en particular, las reglas del cálculo de derivadas.
Para calcular una derivada parcial usando estas reglas, basta con aplicarlas a f(x),
considerando las variables xj, para i = i, como “constantes”.
La notación ∂f/∂xi es clásica, y se usa cuando la derivada parcial existe para todos
los puntos de un subconjunto abierto B ⊂ A, de modo que se puede considerar la
derivada como una función definida en B. Si se desea indicar el valor de la derivada
parcial en un punto x ∈ B, se puede usar ∂f/∂xi x
, en lugar de Dif(x).
Ejemplo. La función f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
xy
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0, ya apareció en el cap´ıtulo anterior. f tiene derivadas
parciales en todos los puntos. Para (x, y) = (0, 0), podemos usar la regla para la
derivada de un cociente,
∂f
∂x
=
y y2
− x2
x2 + y2 2 ,
∂f
∂y
=
x x2
− y2
x2 + y2 2 .
Para (0, 0) no podemos usar esa fórmula, y recurrimos a la definición,
D1f(0, 0) = lim
t→0
f(t, 0) − f(0, 0)
t
= 0, D2f(0, 0) = lim
t→0
f(0, t) − f(0, 0)
t
= 0.
Observa que f no es continua en (0, 0), puesto que no tiene l´ımite (v. cap´ıtulo anterior).
Esto quiere decir que, para funciones de varias variables, la existencia de derivadas
parciales en un punto no implica la continuidad en ese punto.
Observa que, si ei es el i-ésimo vector de la base canónica de Rn
, la definición de la
derivada parcial se puede escribir
Dif(a) = lim
t→0
f(a + tei) − f(a)
t
.

Podemos generalizar esta definición, sustituyendo ei por un vector u = 0 cualquiera,
obteniendo la derivada de f según u,
Duf(a) = lim
t→0
f(a + tu) − f(a)
t
.
Con esta notación, Dif(a) = Dei
f(a). As´ı pues, las derivadas parciales son un caso
particular de esta nueva definición.Observa que, sustituyendo s = λt,
Dλu = lim
t→0
f(a + tλu) − f(a)
t
= λ lim
s→0
f(a + su) − f(a)
s
= λ Duf(a).
Por tanto, si existe Duf(a), existe Dλu para todo λ ∈ R{0}, y se obtiene a partir de
ella multiplicando por λ. Por eso se usa la expresión derivadas direccionales para
designar las derivadas Duf(a), y en algunos libros se define la derivada direccional
sólo para vectores unitarios. Observa que D−uf(a) = Duf(a), y por tanto la derivada
no depende sólo de la dirección, sino también del sentido.
Ejemplo (continuación). Para u = (u1, u2) unitario,
Duf(0, 0) = lim
t→0
f(tu1, tu2)
t
= lim
t→0
u1 u2
t
,
y la derivada direccional no existe si u1 u2 = 0.
NOTA. Hemos definido las derivadas para funciones a valores en R, pero la definición
se extiende sin problemas a funciones a valores en Rm
. Por lo que hemos sobre
los l´ımites anteriormente, la derivada de una función a valores en Rm
existen si y
solamente existen las derivadas de las funciones componentes, y las componentes de
la derivada coinciden con las derivadas de las componentes.
Ejercicios
1. Sean α > 0, y fα : R2
→ R definida por fα(x, y) = |xy|α
. ¿Para qué valores de α
tiene derivadas en (0, 0)?
2. Sea p : Rn
→ R una norma. Demuestra que p no tiene derivadas en 0.
→ R por f(x, y) = x2
/y si y = 0, y f(x, 0) = 0. Demuestra que f
no es continua en (0, 0), pero tiene derivadas en cualquier dirección.
DIFERENCIAL, MATRIZ JACOBIANA Y GRADIENTE
Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f : A → Rm
. Decimos que f es diferenciable en a
cuando existe una aplicación lineal T : Rn
→ Rm
tal que
lim
x→a
f(x) − f(a) − T(x − a)
x − a
= 0.
Es fácil ver que f es diferenciable en a si y solamente si lo son las funciones compo-
nentes f1, . . . fm. Cuando f es diferenciable en todos los puntos de A, decimos que f
es diferenciable, a secas.
Sea u ∈ Rn
, con u = 0. Si en la fórmula anterior hacemos x = tu tenemos
lim
t→0
f(a + tu) − f(a) − T(tu)
|t|
= lim
t→0
f(a + tu) − f(a)
|t|
− lim
t→0
t
|t|
Tu = 0,
y, examinando por separado estos l´ımites por la derecha y por la izquierda, resulta
Duf(a) = Tu. Esto implica, en primer lugar, que, si T existe, es única. En tal caso
la llamamos diferencial de f en a, y la designamos por Df(a). En segundo lugar,
resulta la proposición siguiente.

Proposición. Sean A ⊂ Rn
. Si f es diferenciable en
a, existe la derivada direccional Du(a) para todo u, y Duf(a) = Df(a)u.
En particular, si hacemos u = ei, resulta que Df(a)ei, que es la columna i-ésima de la
matriz de Df(a) en la base canónica, coincide con la derivada de f según ei. Pero esta
derivada es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de las funciones
componentes fj. Por tanto, los términos de la matriz de Df(a), que llamamos matriz
jacobiana de f en a, son las derivadas Difj(a), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Cada fila de
la matriz jacobiana corresponde a una componente.
Si n = m, la matriz jacobiana es cuadrada. Su determinante se llama determinante
jacobiano. Designamos la matriz jacobiana de f en a por Df(a), sin distinguir entre
ella y la diferencial, y el determinante jacobiano por det Df(a).
Ejemplo. Sea f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
x3
|y|
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Resulta, directamente de la definición de las derivadas
parciales, que D1f(0, 0) = D2f(0, 0) = 0. Por tanto, si f es diferenciable en (0, 0), la
diferencial debe ser 0. As´ı es, ya que
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) − f(0, 0)
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x3
|y|
x2 + y2 3/2
= 0.
. Si f es diferenciable en
a, es continua en a.
Demostración. Sea T la diferencial. Si (xk)k tiene l´ımite a, a partir de un cierto k0
se cumple
f(xk) − f(a) − T(xk − a)
xk − a
< 1,
luego
f(xk) − f(a) − T(xk − a) ≤ f(xk) − f(a) − T(xk − a) < xk − a ,
y, como lim T(xk − a) = 0 por ser T continua, lim f(xk) = f(a). ♠
Ejemplo. Sea f : R2
→ R definida por
f(x, y) =
x2
y
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Es fácil ver que f es continua en (0, 0), usando la
desigualdad f(x, y) ≤ 1. Como en el ejemplo anterior, D1f(0, 0) = D2f(0, 0) = 0.
Luego, si f es diferenciable en (0, 0), la diferencial debe ser 0. No obstante,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) − f(0, 0)
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x2
y
x2 + y2 3/2
no existe, ya que
lim
x→0
f x, αx =
α
1 + α2 3/2
.
As´ı pues, f no es diferenciable, pese a tener derivadas parciales y ser continua. Más
aún, f tiene derivada en cualquier dirección, ya que, si u es unitario,
Duf(0, 0) = lim
t→0
f(tu1, tu2)
t
= u2
1 u2.
Observa que, si f fuera diferenciable, como la diferencial ser´ıa 0, todas las derivadas
direccionales deber´ıan anularse.

Cuando f toma valores reales (m = 1), la matriz jacobiana tiene una fila, y la podemos
identificar con un vector de Rn
, que se llama vector gradiente. El s´ımbolo (nabla)
se usa en F´ısica (donde un campo conservativo es el gradiente de un potencial), y
también en muchos libros de Matemáticas. Si f(a) es el gradiente de f en a, la
fórmula para la derivada direccional se puede escribir
Duf(a) = f(a) · u.
Observa que esta derivada se anula cuando u y el gradiente son ortogonales, y toma
el valor máximo si tienen la misma dirección (v. la desigualdad de Cauchy-Schwarz).
Por eso se dice a veces que el gradiente da la dirección en la cual “la variación de la
función es máxima”.
Ejercicios
1. Sean α > 0, y fα : R2
→ R definida por fα(x, y) = |xy|α
. ¿Para qué valores de α
es diferenciable en (0, 0)?
2. Sean p ∈ N, y fp : R2
→ R definida por
fp(x, y) =
xp
x2 + y2
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Demuestra que fp es continua en (0, 0) cuando p > 2,
y diferenciable cuando p > 3.
3. Demuestra que una aplicación lineal es diferenciable, y que la matriz jacobiana
coincide con la matriz en la base canónica.
FUNCIONES DE CLASE C1
Sean A ⊂ Rn
abierto, y f : A → Rm
. Si f tiene derivadas parciales en un entorno
de a ∈ A, y éstas son continuas en a, decimos que f es una función de clase C1
, o
que es continuamente diferenciable, en a. Cuando f es de clase C1
en todos los
puntos de A, decimos que es de clase C1
, a secas.
abierto, y f : A → Rm
. Si f es de clase C1
en a ∈ A, f
es diferenciable en a.
Demostración. Podemos suponer m = 1. Sea U una bola abierta centrada en a,
donde f tenga derivadas parciales. Para x ∈ U, podemos escribir
f(x) − f(a) = f(x1, a2, . . . , an) − f(a1, a2, . . . , an) + f(x1, x2, a3 . . . , an)
− f(x1, a2, . . . , an) + · · · + f(x1, . . . , xn) − f(x1, . . . , xn−1, an).
Por el teorema del valor medio del curso de Análisis matemático I, para cada i existe
ξi, situado entre xi y ai, tal que
f(x1, . . . , xi−1, xi, ai+1, . . . , an) − f(x1, . . . , xi−1, ai, ai+1, . . . , an)
= Dif(x1, . . . , xi−1, ξi, ai+1, . . . , an) xi − ai .
Entonces yi = (x1, . . . , xi−1, ξi, ai+1, . . . , an) pertenece a U, y yi − a ≤ x − a , y
se cumple
f(x) − f(a) − Df(a)(x − a)
x − a
=
n
i=1
Dif(yi) − Dif(a) xi − ai
x − a
≤
n
i=1
Dif(yi) − Dif(a) ,

y como yi − ai < xi − ai , la expresión de la derecha tiende a 0 cuando x → a,
por la continuidad de las derivadas. ♠
El rec´ıproco de este teorema no es cierto. Hay funciones diferenciables que no son de
clase C1
(v. Ejercicio 2 a continuación).
Ejercicios
1. Se define f : Rn
→ R por f(x) = exp −1/ x 2
, si x = 0, y f(0) = 0. Demuestra
que f es de clase C1
.
2. Para p ∈ N, se define fp : R2
→ R por
fp(x, y) = x + y
p
sin
1
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. ¿Para qué valores de p es continua? ¿Y diferenciable?
¿Y de clase C1
?
REGLA DE LA CADENA
abierto, a ∈ A, f : A → Rm
, B ⊂ Rm
abierto, con
f(A) ⊂ B, y g : B → Rp
. Supongamos que f es diferenciable en a y g es diferenciable
en f(a). Entonces g ◦ f es diferenciable en a, y D(g ◦ f)(a) = Dg f(a) ◦ Df(a).
Demostración. Designamos T = Df(a), S = Dg f(a) . Entonces
g f(x) − g f(a) − S T(x − a)
x − a
≤
g f(x) − g f(a) − S f(x) − f(a)
x − a
+ S
f(x) − f(a) − T(x − a)
x − a
.
El segundo sumando tiende a 0 si x → a, por la continuidad de S. Para ver que el
primero también tiende a 0, suponiendo f(x) = f(a) (en caso contrario, este sumando
se anula), multiplicamos y dividimos por f(x) − f(a) , y observamos que
f(x) − f(a)
x − a
≤
f(x) − f(a) − T(x − a)
x − a
+ T
x − a
x − a
es acotado. ♠
abierto, a ∈ A, y f, g : A → Rm
diferenciables en a.
Entonces f + g es diferenciable en a, y D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a).
Demostración. f + g es la compuesta de (f, g) y ϕ : R2m
→ Rm
dada por ϕ(x, y) =
x + y, y por tanto es diferenciable. D(f, g)(a) es la matriz 2m × n formada al juntar
Df(a) (las m primeras filas) y Dg(a) (las m últimas), y la matriz de ϕ es la matriz
m × 2m formada al juntar dos matrices identidad m-dimensionales. Entonces
D(f +g)(a) = Dϕ f(a), g(a) D(f, g)(a) = Im Im
Df(a)
Dg(a)
= Df(a)+Dg(a). ♠

abierto, a ∈ A, y f, g : A → R diferenciables en a.
Entonces fg es diferenciable en a, y D(fg)(a) = g(a) Df(a) + f(a) Dg(a).
Demostración. fg es la compuesta de (f, g) y ϕ : R2
→ R definida por ϕ(x, y) = xy, y
por tanto es diferenciable. La matriz jacobiana de ϕ es Dϕ(x, y) = [ y x ]. Entonces
D(fg)(a) = Dϕ f(a), g(a) D(f, g)(a) = g(a) f(a)
Df(a)
Dg(a)
= g(a) Df(a) + f(a) Dg(a). ♠
abierto, a ∈ A, y f : A → R diferenciable en a, con
f(a) = 0. Entonces 1/f es diferenciable en a, y se cumple
D 1/f (a) = −
1
f(a)2
Df(a).
Demostración. 1/f es la compuesta de f y ϕ(t) = 1/t. Entonces
D 1/f (a) = ϕ f(a) Df(a) = −
1
f(a)2
Df(a). ♠
De la regla de la cadena resulta que las derivadas de g ◦f se obtienen mediante sumas
y productos a partir de las de f y g, y, si f y g son de clase C1
, también g ◦ f. Por
tanto las sumas, productos, etc., de funciones de clase C1
dan funciones de clase C1
.
Proposición. Sea A ⊂ Rn
abierto, tal que, si a, b ∈ A, existe ϕ : [0, 1] → A de clase
C1
con ϕ(0) = a y ϕ(1) = b. Si f : A → Rm
es diferenciable en a, y Df(x) = 0 para
todo x ∈ A, f es constante.
Demostración. Se puede suponer m = 1. Demostramos que, si a, b ∈ A, entonces
f(a) = f(b). Para ello aplicamos la regla de la cadena a f ◦ ϕ, de modo que
(f ◦ ϕ) (t) = Df ϕ(t) Dϕ(t) = 0.
Por el teorema del valor medio, f◦ϕ es constante, luego ϕ(1) = ϕ(0), o sea f(b) = f(a).
♠
Ejercicios
1. Se definen f : R2
→ R3
por f(x, y) = (x2
, ex+y
, x − y), y g : R3
→ R2
por
g(x, y, z) = x − y2
, ex
). Verifica la validez de la regla de la cadena para g ◦ f y para
f ◦ g, es decir, las fórmulas
D(g ◦ f)(x, y) = Dg f(x, y) ◦ Df(x, y),
D(f ◦ g)(x, y, z) = Df g(x, y, z) ◦ Dg(x, y, z).
2. Sean f : R2
→ R2
definida por f(x, y) = ex
sin y, (ex
− 1) cos y , y g : R2
→ R2
diferenciable en (0, 0), tal que g ◦ f es la identidad en un entorno de (0, 0). Calcula
la matriz jacobiana de g en (0, 0).
3. Se define f : Rn
→ R por f(x) = exp −1/ x 2
, si x = 0, y f(0) = 0. Demuestra
que f es de clase C1
, usando la regla de la cadena.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Para a, b ∈ Rn
, designamos por [a, b] el segmento de extremos a y b, es decir, el
conjunto
[a, b] = a + t(b − a) : t ∈ [0, 1]}.
Sea A ⊂ Rn
, tal que, si x, y ∈ A, entonces [x, y] ⊂ A. Decimos en tal caso que A es
un conjunto convexo.
Proposición (primer teorema del valor medio). Sean A ⊂ Rn
abierto y convexo,
a, b ∈ A, y f : A → R diferenciable. Existe ξ ∈ [a, b] tal que
f(b) − f(a) = Df(ξ) b − a .
Demostración. Consideramos h : [0, 1] → R definida por h(t) = f a + t(b − a) . Por
la regla de la cadena, la derivada de h es
h (t) = Df a + t(b − a)


b1 − a1
...
bn − an

 = Df a + t(b − a) (b − a).
Aplicando el teorema del valor medio para funciones de una variable, existe t0 ∈ (0, 1)
tal que h(1) − h(0) = h (t0), y basta poner ξ = a + t0(b − a) para obtener la fórmula
del enunciado. ♠
El teorema del valor medio no es válido para funciones a valores en Rm
, con m > 1
(v. Ejercicio). Sin embargo, para este caso hay un teorema más débil, como muestra
la proposición siguiente.
Proposición (segundo teorema del valor medio). Sean A ⊂ Rn
abierto y
convexo, a, b ∈ A, y f : A → Rm
diferenciable. Entonces
f(b) − f(a) ≤ sup
x∈[a,b]
Df(x) b − a .
Demostración. Sea M este supremo. Si es infinito, no hay nada que probar. Si es
finito, vamos a ver que, para todo > 0, se cumple f(b) − f(a) ≤ (M + ) b − a .
Para ello consideramos
T = t ∈ [0, 1] : f a + t(b − a) − f(a) ≤ (M + )t b − a ,
y t0 = sup T. Como el primer miembro de esta desigualdad es una función continua
de t, la desigualdad se cumple para t0, luego t0 ∈ T. Si t0 = 1, hemos acabado. Pero
si t0 < 1, podemos escoger t ∈ (t0, 1) tal que
f a + t(b − a) − f(x0) − Df(x0) (t − t0)(b − a)
(t − t0) b − a
< ,
donde designamos x0 = a + t0(b − a). Ahora,
f a + t(b − a) − f(x0) ≤ (t − t0) b − a + Df(x0) (t − t0) b − a
≤ (M + )(t − t0) b − a .
Aplicando la desigualdad triangular, f a + t(b − a) − f(a) ≤ (M + )t b − a , lo
que contradice la definición de t0. As´ı pues, t0 = 1. ♠
Ejercicio
Se define f : [0, 2π] → R2
por f(t) = (sin t, cos t). ¿Existe algún ξ ∈ (0, 2π) tal que
f (ξ) = f(2π) − f(0)?

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sean A ⊂ Rn
, a ∈ A, y f : A → R, de modo que existe Dif(x) en un entorno
de a. Cuando esta función tiene derivada respecto xj en a, es decir, cuando existe
Dj(Dif)(a), la llamamos derivada segunda, respecto a xi, xj, de f en a, y la
designamos por D2
i,jf(a). También podemos usar la notación clásica,
∂2
f
∂xj∂xi
=
∂
∂xj
∂f
∂xi
.
Cuando una derivada segunda existe en todos los puntos de un subconjunto B ⊂ A,
podemos considerarla como una función Df
i,jf : B → R. Si todas las derivadas
segundas existen en un entorno de a y son continuas en a, decimos que f es una
función de clase C2
en a. Si es de clase C2
en todos los puntos de A, decimos que
es de clase C2
, a secas.
Proposición (teorema de Schwarz). Sean A ⊂ Rn
abierto, a ∈ A, y f : A → R.
Si las derivadas segundas D2
i,jf y D2
j,if existen en un entorno de a, y son continuas
en a (en particular, si f es de clase C2
), se cumple D2
i,jf(a) = D2
j,if(a).
Demostración. Es fácil ver que basta demostrar el teorema en el caso en que n = 2,
a = (0, 0) y f(0, 0) = 0, y as´ı lo hacemos, para simplificar la notación. Lo que vamos
a demostrar es que ambas derivadas, D2
1,2f(0, 0) y D2
2,1f(0, 0), coinciden con el l´ımite
lim
x→0
f(x, x) − f(x, 0) − f(0, x)
x2
.
Lo comprobamos sólo para D2
2,1f(0, 0). El argumento se puede adaptar para la otra
derivada con cambios de notación evidentes. Aplicando el teorema del valor medio
a ϕ(t) = f(x, t) − f(0, t), existe ξx, comprendido entre 0 y x, tal que ϕ(x) − ϕ(0) =
ϕ (ξx)x, o sea,
f(x, x) − f(0, x) − f(x, 0) = D2f(x, ξx) − D2f(0, ξx) x,
de modo que sólo nos falta probar
D2
2,1f(0, 0) = lim
x→0
D2f(x, ξx) − D2f(0, ξx)
x
.
Aplicamos ahora el teorema del valor medio a ψ(t) = D2f(t, ξx), y existe ηx compren-
dido entre 0 y x, tal que
D2f(x, ξx) − D2f(0, ξx) = D2
2,1f(ηx, ξx)x.
Como ξx y ηx están entre 0 y x, cuando x → 0, también ξx, ηx → 0, y por la
continuidad de la derivada,
D2,1f(0, 0) = lim
x→0
D2
2,1f(ηx, ξx). ♠
Cuando existen todas las derivadas segundas de f en a, se puede formar con ellas
una matriz n × n, que se llama matriz hessiana de f en a. Su determinante es el
determinante hessiano. Designamos la matriz hessiana por Hf(a), o sea,
Hf(a) =








D2
1,1f(a) D2
1,2f(a) · · · D2
1,nf(a)
D2
2,1f(a) D2
2,2f(a) · · · D2
2,nf(a)
...
...
D2
n,1f(a) D2
n,2f(a) · · · D2
n,nf(a)








.

Si f es de clase C2
, la matriz hessiana es simétrica, y define una forma cuadrática.
Designamos por D2
f(a) esta forma cuadrática, con lo que tenemos
D2
f(a)x =
n
i,j=1
D2
i,jf(a) xi xj = x1 · · · xn Hf(a)


x1
...
xn

 .
Por recurrencia se pueden definir derivadas de cualquier orden de f,
Dm
i1,...,im
f(a) = Dim
Dm−1
i1,...,im−1
f)(a),
y, cuando son continuas, se puede aplicar el teorema de Schwarz, y no importa el
orden en que se deriva. Cuando todas las derivadas de orden m son continuas en a,
decimos que f es una función de clase Cm
en a. Si es de clase Cm
para todo m,
decimos que es una función de clase Cm
.
De la misma manera que Df(a) define una forma lineal y D2
f(a) una forma
cuadrática, D3
f(a) define una forma cúbica, D4
f(a) una forma cuártica, etc. En
general, escribimos
Dm
f(a)x =
n
i1,...,im=1
Dm
i1,...,im
f(a) xi1
· · · xim
.
Ejercicio
Se define f : R2
→ R por
f(x, y) =
xy(x2
− y2
)
x2 + y2
,
si (x, y) = (0, 0), y f(0, 0) = 0. Demuestra que D2
1,2f(0, 0) = 1 y D2
2,1f(0, 0) = −1.
¿Contradice esto el teorema de Schwarz?
FÓRMULA DE TAYLOR
Si una función real f admite derivadas de orden m en un punto a, podemos considerar
Pm(x) = f(a) +
m
k=1
1
k!
Dk
f(a)(x − a),
que es un polinomio de grado m, el polinomio de Taylor de grado m de f en a.
El polinomio de Taylor de una función de n variables se usa (al igual que en el caso
de una variable, visto en el curso de Análisis matemático I) como aproximación de f
en un entorno de a.
Ejemplo. Sea f : R2
→ R definida por f(x, y) = ex+y
. Entonces
Df(0, 0) = [ 1 1 ] , Hf(0, 0) =
1 1
1 1
,
luego el polinomio de Taylor de grado 2 de f en (0, 0) es
1 + x + y +
x2
2
+
y2
2
+ xy.
Observa que este polinomio se puede obtener seleccionando los términos de grado
menor o igual que 2 en el producto de los polinomios de Taylor de ex
y ey
.

La diferencia f(x) − Pm(x), que ser´ıa el error de esa aproximación, es el término
complementario, que, como para las funciones de una variable, se puede expresar
usando las derivadas de orden m + 1, si existen, como se ve en la proposición que
sigue.
Proposición (fórmula de Taylor). Sea A ⊂ Rn
abierto, f : A → R de clase Cm+1
,
y x, a ∈ A tales que [a, x] ⊂ A. Existe ξ ∈ [a, x] tal que
f(x) = f(a) +
m
k=1
1
k!
Dk
f(a)(x − a) +
1
(m + 1)!
Dm+1
f(ξ)(x − a).
Demostración. Definimos h : [0, 1] → R por h(t) = f a+t(x−a) , que es una función
de clase Cm
, cuyas derivadas son
h (t) = Df a + t(x − a) (x − a) =
n
i=1
Di a + t(x − a) (xi − ai),
h (t) = D2
f a + t(x − a) (x − a) =
n
i,j=1
D2
i,j a + t(x − a) (xi − ai)(xj − aj),
etcétera, y, en general, h(k)
(t) = Dk
f a + t(x − a) (x − a). Por la fórmula de Taylor
del curso de Análisis matemático I, existe t ∈ (0, 1) tal que
h(1) = h(0) +
m
k=1
h(k)
(0)
k!
+
h(m+1)
(t)
(m + 1)!
.
Llamando ξ = a + t(b − a) y expresando las derivadas de h en función de las de f,
obtenemos la fórmula del enunciado. ♠
El término complementario es el último sumando en la fórmula que hemos estable-
cido, que es una de las versiones de la fórmula de Taylor para funciones de varias
variables. Existen otras expresiones del término complementario, pero no las veremos
aqu´ı, ya que la que hemos dado nos basta para justificar el método que vamos a dar
en la sección siguiente para identificar los máximos y m´ınimos locales. Asumiendo
ciertas hipótesis sobre las derivadas de orden m + 1 de f en un entorno de a, por
ejemplo, que están uniformemente acotadas, se puede usar esta expresión se para ver
que f(x) − Pm(x) = o x − a m
, es decir,
lim
x→a
f(x) − Pm(x)
x − a m
= 0.
El polinomio de Taylor de grado 1, f(a) + Df(a)(x − a), es una función lineal (con
término constante). En el caso n = 1, visto en el curso de Análisis matemático I, la
gráfica de esta función es la recta tangente a la gráfica de f en a. Para n = 2, se obtiene
un plano tangente, y para n ≥ 3, un hiperplano tangente. Nos ocuparemos más
adelante de esta interpretación geométrica.
Ejercicios
1. Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = sin(x + y) en (0, 0).
2. Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = exy
en (0, 0).
3. Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = x2
y2
+ xy en (1, 1).

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES
Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → R, y a ∈ A. Decimos que f tiene un máximo local
en a cuando existe un entorno U de a tal que f|U alcanza su máximo valor en a, es
decir, cuando f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ U. El m´ınimo local se define de forma
análoga. Para n = 1, estas definiciones dan las de máximo y m´ınimo local de una
función de una variable, vistas en el curso de Análisis matemático I.
abierto, f : A → R. Si f tiene un máximo (m´ınimo)
local en a ∈ A, y existe la derivada parcial Dif(a), entonces Dif(a) = 0.
Demostración. Si f tiene un máximo (m´ınimo) local en a, la función h(t) = f(a+tei)
tiene un máximo (m´ınimo) local en t = 0, luego h (0) = Dif(a) = 0. ♠
Esta proposición es una consecuencia directa del hecho de que la derivada de una
función de una variable se anula en un máximo o un m´ınimo local. En el curso de
Análisis matemático I se ha visto que esta condición no es suficiente para que haya un
máximo o un m´ınimo local, y cómo se puede aclarar lo que sucede en un punto donde
la derivada se anula, examinando el signo de la segunda derivada. A continuación
presentamos la generalización de ese criterio a funciones de varias variables.
abierto, f : A → R de clase C2
, y a ∈ A tal que
Df(a) = 0.
(i) Si D2
f(a) es definida positiva, f tiene un m´ınimo local en a.
(ii) Si D2
f(a) es definida negativa, f tiene un máximo local en a.
(iii) Si D2
f(a) es indefinida, f no tiene ni un máximo ni un m´ınimo local en a.
Demostración. (i) Probamos en primer lugar que, si D2
f(a) es definida positiva,
existen > 0 y un entorno U de a donde D2
f(x)u > para todo x ∈ U y todo
u ∈ S, siendo S = u ∈ Rn
: u = 1 . En particular, D2
f(x) será definida
positiva para x ∈ U. Como S es compacto y D2
f(a)u > 0 en S, existe > tal que
D2
f(a)u > 2 para todo u ∈ S. Tomamos ahora r > 0 tal que B (a, r) ⊂ A. Como
(x, u) → D2
f(x)u es uniformemente continua (teorema de Heine) en el compacto
B (a, r) × S, existe δ > 0 tal que, si x − a < δ, se cumple D2
f(x)u − D2
f(a)u <
para todo u ∈ S. Tomando U = B(a, δ), resulta D2
f(x)u > , para x ∈ U y u ∈ S,
como quer´ıamos probar.
Pasemos ahora a demostrar (i). La fórmula de Taylor en a nos da
f(x) = f(a) + D2
f(ξ)(x − a),
donde, si x ∈ U, también ξ ∈ U, de modo que D2
f(ξ)(x − a) > 0, y por tanto
f(x) ≥ f(a) para x ∈ U, y f|U alcanza su valor m´ınimo en a.
(ii) El argumento de (i) se adapta de forma obvia al caso en que D2
f(a) es definida
positiva.
(iii) Supongamos ahora que D2
f(a) es indefinida, y sean > 0 y u1, u2 ∈ S, tales
que D2
f(a)u1 > 2 y D2
f(a)u2 < −2 . Usando la continuidad uniforme como en la
demostración de (i), vemos que existe un entorno U de a donde se cumple D2
f(x)u1 >
y D2
f(x)u2 < − para todo x ∈ U. Luego, si escogemos x de forma que x−a tenga
la dirección de u1, tenemos f(x) > f(a), y si lo escogemos de forma que x − a tenga
la dirección de u2, tenemos f(x) < f(a), con lo que f no tiene máximo ni m´ınimo
local en a. ♠
Ejemplo. Sea f : R2
→ R definida por f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy. Entonces
Df(x, y) = 3x2
− 3y 3y2
− 3x , Hf(x, y) =
6x −3
−3 6y
.

Las derivadas primeras se anulan en (0, 0) y (1, 1). En estos puntos,
Hf(0, 0) =
0 −3
−3 0
, Hf(1, 1) =
6 −3
−3 6
.
Hf(1, 1) es definida positiva, y por tanto f tiene un m´ınimo local en ese punto. Sin
embargo, Hf(0, 0) es indefinida, con lo que (0, 0) es un punto de silla. Observa que
en (1, 1) hay un m´ınimo local, pero f no tiene m´ınimo, puesto que f(x, 0) = x3
no
está acotada.
Ejemplo. Sean K = (x, y) ∈ R2
: x, y ≥ 0, x + y ≤ 1 , y f(x, y) = xy. f tiene
máximo y m´ınimo en K, por el teorema de Weierstrass. Si el máximo o el m´ınimo
valor de f de f en K se alcanzasen en un punto interior, f tendr´ıa un máximo o un
m´ınimo local en ese punto. Pero Df(x, y) = [ y x ] no se anula en ningún punto
del interior de K, y por tanto el máximo y el m´ınimo valor de f se alcanzan en la
frontera.
El m´ınimo valor de f es obviamente 0. f se anula sobre los segmentos (0, 0), (1, 0)
y (0, 0), (0, 1) , y por tanto el máximo se alcanza en el segmento (0, 1), (1, 0) . Para
ver dónde, basta considerar ϕ(x) = f(x, 1 − x) = x − x2
, que tiene un m´ınimo en
x = 1/2.
Ejercicios
+xy2
−x Demuestra que f tiene un máximo
local y un m´ınimo local, pero no tiene máximo ni m´ınimo.
+ y2
+ 2xy + 1. Demuestra que f tiene
infinitos m´ınimos locales, y que la matriz hessiana es semidefinida en esos puntos.
3. Se define f : (x, y) ∈ R2
: x, y ≥ 0, x + y ≤ 2 → R por f(x, y) = (x − 1)(y + 1).
Halla el máximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
: x ≥ 2, x + y ≥ 4 → R por f(x, y) = x2
− xy + y2
.
: x, y ≥ 1, x+y ≤ 3 → R por f(x, y) = 5−4y−x2
−y2
.
PROBLEMAS
3.1. Sea f : Rn
→ R tal que, si α > 0 y x ∈ Rn
, con x = 1, se cumple
f(αx) − f(0) ≤ e−1/α
.
(a) Calcula las derivadas parciales de f en 0.
(b) ¿Es diferenciable?
3.2. Sea f : (0, 1) × (0, 1) → R definida por
f(x, y) =
x 1 − y , si x ≤ y
y 1 − x , si x > y.
(a) ¿En qué puntos es continua?
(b) ¿En qué puntos es diferenciable? Calcula la diferencial en esos puntos.

3.3. Sean g : {x ∈ Rn
: x = 1} → R, y f : Rn
→ R definida por
f(x) = x g x/ x ,
si x = 0, y g(0) = 0. Demuestra:
(a) La derivada direccional Duf(0) existe si y sólo si g(u) = −g(−u).
(b) Si f es diferenciable en 0, f es lineal.
3.4. Sean A ⊂ Rn
diferenciable en a, tal que f(a) = 0,
y ϕ : A → R definida por ϕ(x) = f(x) . Demuestra que ϕ es diferenciable en a si y
sólo si Df(a) = 0.
3.5. Sean f : Rn
→ Rn
diferenciable en a ∈ Rn
, con Df(a) invertible. Demuestra
que existe δ > 0 tal que, si x − a < δ, entonces f(x) = f(a).
Indicación. Demuestra que si T : Rn
→ Rn
es lineal e invertible, existe η > 0 tal que,
si u = 1, entonces Tu > η.
3.6. Sean α > 0 y f : Rn
→ Rm
diferenciable, tal que
lim
x →∞
x Df(x) = 0.
Se define g : Rn
→ Rm
por g(x) = f(αx) − f(x). Demuestra que g es acotada.
Observación. Df(x) es la norma de una aplicación lineal, no la norma de un vector.
3.7. Sea f : Rn
{0} → R diferenciable, con derivadas parciales acotadas.
(a) Demuestra que, si n > 1, existe M > 0 tal que
f(x) − f(y) ≤ M x − y , x, y ∈ Rn
{0}.
(b) Demuestra que, si n > 1, f tiene l´ımite en 0.
(c) Muestra con un ejemplo que la afirmación de (b) no siempre es cierta para
n = 1.
3.8. Se define f : R3
→ R por f(x, y, z) = cos(2x) + sin y + z2
. Demuestra que f no
tiene máximos locales, y que tiene un m´ınimo local en cualquier punto de la forma
nπ/2, (2m + 1)π/2, 0 , siendo n y m enteros impares.
3.9. Se define f : (0, 2π) × (0, 2π) → R por
f(x, y) = sin x 1 + cos y + sin y 1 + cos x .
Demuestra que f su valor máximo en (π/3, π/3) y su valor m´ınimo en 5π/3, 5π/3 .
3.10. Se define f : {(x, y) ∈ R2
: x, y ≥ 0, x2
+ y2
≤ 1} por f(x, y) = e−x
+ e−y
.
¿Dónde se alcanzan el máximo y el m´ınimo valor de f?
Indicación. Para hallar el m´ınimo, considera h(t) = f(cos t, sin t), para t ∈ [0, π/4].

4. TEOREMA DE LA FUNCIÓN
INVERSA Y CONSECUENCIAS
TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Proposición (teorema de la función inversa). Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → Rn
de clase C1
, y a ∈ A, tal que det Df(a) = 0. Existen un entorno abierto U de a, y un
entorno abierto V de f(a), tales que f es biyectiva entre U y V , y la inversa de f|U
es de clase C1
en f(a). Se cumple, además, Df−1
f(x) = Df(x)−1
para x ∈ U.
Demostración. (a) Basta ver que f−1
existe y es diferenciable, ya que, por la regla
de la cadena, Df−1
(x) y Df(x) son inversas. La continuidad de las derivadas de f−1
resulta de la fórmula mediante la cual se obtienen, invirtiendo Df(x).
(b) Podemos suponer Df(a) = I, ya que, si T = Df(a), la regla de la cadena da
D T−1
◦ f (a) = T−1
◦ Df(a) = I,
y, si el teorema vale para T−1
◦ f, también vale para f.
(c) Existe una bola abierta B, centrada en a, que cumple las cuatro condiciones
siguientes:
(1) f(x) = f(a), para x ∈ ¯B {a}.
(2) det Df(x) = 0, para x ∈ ¯B.
(3) Df(x) − I ≤ 1/2, para x ∈ B.
(4) x − x ≤ 2 f(x) − f(x ) , para x, x ∈ B.
En primer lugar, como Df(a) = I,
lim
x→a
f(x) − f(a) − (x − a)
x − a
= 0,
y existe r > 0 tal que f(x) = f(a) para x−a ≤ r. Por la continuidad de las derivadas
de f, podemos suponer que r es lo suficientemente pequeño como para que (2) se
cumpla también. Como B (a, r) es compacto, podemos usar la continuidad uniforme
de (x, u) → Df(x)u para asegurar que existe δ > 0 tal que Df(x)u − u ≤ 1/2 para
x − a < δ, y u unitario, y por tanto se cumple (3) para B = B(a, δ).
Aplicando el segundo teorema del valor medio a g(x) = f(x) − x, tenemos Dg(x) =
Df(x) − I, y, por (3),
f(x) − x − f(x ) − x ≤
1
2
x − x ,
de donde resulta (4) usando la desigualdad triangular.
(d) Definimos ahora V . Por (1), existe δ > 0 tal que f(x) − f(a) ≥ δ > 0 para
x ∈ Fr(B), y definimos V = B f(a), δ/2 . Entonces
y − f(x) ≥ y − f(a) − f(x) − f(a) >
δ
2
,
y se cumple por tanto:
(5) y − f(a) < y − f(x) para y ∈ V , x ∈ Fr(B).

(e) Vemos ahora que, para cada y ∈ V , existe x ∈ B único con f(x) = y. La unicidad
resulta de (4). Para probar la existencia, consideramos h(x) = y − f(x) 2
. Por (5),
el valor m´ınimo de h en ¯B se alcanza en un punto x ∈ B, que es un m´ınimo local, y
por tanto Dh(x) = 0. Como
Dh(x) = −2 y − f1(x) · · · y − fn(x) Df(x),
y Df(x) tiene inversa, debe ser y = f(x).
(f) Definimos ahora U = B ∩ f−1
(V ), y f es biyectiva entre U y V . Por (4), f−1
es
continua.
(g) Vamos a ver, para concluir, que f−1
es diferenciable. Designamos T = Df(x),
y = f(x), para evitar confusiones. Sea > 0. Escogemos δ > 0 tal que, si x − x <
2δ, se cumpla
f(x ) − f(x) − T(x − x )
x − x
<
2 T−1
.
Entonces, si y − y < δ, por (4) se cumple f−1
(y ) − f−1
(y) < 2δ, luego
y − y − T f−1
(y ) − f−1
(y)
f−1(y ) − f−1(y)
<
2 T−1
.
Por (4),
y − y − T f−1
(y ) − f−1
(y)
y − y
<
T−1
,
y, aplicando T−1
,
f−1
(y ) − f−1
(y) − T−1
(y − y)
y − y
= T−1 y − y − T f−1
(y ) − f−1
(y)
y − y
< ,
lo que prueba que f−1
es diferenciable en x y la diferencial es T−1
. ♠
NOTA. Por la relación que existe entre las derivadas de f y las de f−1
, si f es de
clase Cm
, también f−1
.
Cuando f cumple la hipótesis del teorema de la función inversa en un conjunto abierto
A, decimos que f es un difeomorfismo local en A. Si además f es inyectiva, decimos
que define un difeomorfismo de A en f(A). La inversa es entonces un difeomorfismo
de f(A) en A. Todo difeomorfismo es un homeomorfismo. El ejemplo que sigue ilustra
la distinción entre difeomorfismos y difeomorfismos locales.
Ejemplo. f : R2
→ R2
definida por f(x, y) = (ex
cos y, ex
sin y) es un difeomorfismo
local, con f(R2
) = R2
(0, 0) , pero no es inyectiva, ya que f(x, y + 2π) = f(x, y).
La restricción de f a la banda definida por −π < y < π es un difeomorfismo de esa
banda en el complementario de la semirrecta (u, v) ∈ R2
: u = 0, v < 0 .
Proposición. Si A ⊂ Rn
es abierto, y f : A → Rn
es un difeomorfismo local, f(A)
es abierto.
Demostración. Sea b ∈ f(A). Escogemos a ∈ A con b = f(a). El entorno abierto
V de b, cuya existencia asegura el teorema de la función inversa, está contenido en
f(A), luego b es un punto interior. ♠

Los difeomorfismos se llaman a veces cambios de variable. En R, el más conocido
es el cambio dado por la función exponencial (o el logaritmo). En el curso de Proba-
bilidades aparecerán otros cambios de variable. En R2
, el cambio de variable clásico
es el basado en las coordenadas polares. Para (x, y) = (0, 0), podemos escribir
x = r cos θ, y = r sin θ,
con r ≥ 0. r y θ son las coordenadas polares del punto (x, y). r es el módulo (es
decir, la norma eucl´ıdea), y θ el argumento. Observa que (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) es
un difeomorfismo local de (0, +∞)×R en R2
{(0, 0)}, pero no es un auténtico cambio
de variable (es decir, un difeomorfismo) si no restringimos el dominio del argumento,
ya que todo punto tiene infinitos argumentos. El determinante jacobiano es
cos θ −r sin θ
sin θ r cos θ
= r.
Los cambios de variable se usan frecuentemente para simplificar el cálculo de inte-
grales, como se verá en el curso de Análisis matemático IV.
Ejercicios
1. ¿Qué dice el teorema de la función inversa sobre f(x) = x2
? ¿Y sobre f(x) = sin x?
2. Sea f : R → R definida por
f(x) =
x
2
+ x2
sin 1/x ,
si x = 0, y f(0) = 0. Demuestra que f (0) = 0, pero f no tiene inversa en ningún
entorno de 0. ¿Contradice esto el teorema de la función inversa?
3. Dónde hay que restringir la función (u, v) → (x, y) dada por x = u2
− v2
, y = uv,
para que sea un difeomorfismo local? ¿Y para que sea un difeomorfismo?
4. Las coordenadas polares esféricas en R3
vienen dadas por las relaciones
x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ,
donde r ≥ 0 y −π/2 ≤ θ ≤ π/2. ¿Cuál es la interpretación geométrica de las
coordenadas r, ϕ, θ? ¿Dónde hay que restringir la función (r, ϕ, θ) → (x, y, z), dada
por esta fórmulas, para que sea un difeomorfismo local? ¿Y un difeomorfismo?
TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA
Por comodidad, usamos la notación (x, y), con x ∈ Rn
, y ∈ Rp
, para los puntos de
Rn+p
= Rn
× Rp
. Para una función f definida en un abierto de Rn+p
, designamos
por Dxf(x, y) la submatriz de la matriz jacobiana de f formada por las derivadas
Difj(x, y), con 1 ≤ i ≤ n, y por Dyf(x, y) la submatriz complementaria.
Proposición (teorema de la función impl´ıcita). Sean f : G → Rp
de clase C1
,
G ⊂ Rn+p
abierto, y (a, b) ∈ G tal que f(a, b) = 0 y det Dyf(a, b) = 0. Existen
un entorno abierto A de a, un entorno abierto B de b, y una función g : A → B de
clase C1
, tales que g(a) = b, y, para x ∈ A, g(x) es el único punto de B que cumple
f x, g(x) = 0.
Demostración. Sea F : G → Rn
× Rp
definida por F(x, y) = x, f(x, y) . Como
DF(x, y) =
I 0
Dxf(x, y) Dyf(x, y)
,

resulta det DF(x, y) = det Dyf(x, y), y podemos aplicar el teorema de la función
inversa en (a, b), de modo que existen entornos abiertos U de (a, b) y V de (a, 0), donde
F : U → V es un difeomorfismo. Ahora, F−1
es de la forma F−1
(x, z) = (x, h(x, z)),
y, llamando g(x) = h(x, 0), resulta
x, f(x, g(x)) = F x, g(x) = F x, h(x, 0) = F F−1
(x, 0) = (x, 0),
y por tanto f(x, g(x)) = 0. Finalmente, escogemos dos bolas abiertas A y B, de modo
que (a, b) ∈ A × B ⊂ U. La unicidad de g(x) resulta de que F es inyectiva en U. ♠
Cuando se dan las condiciones del teorema de la función impl´ıcita, decimos que
f(x, y) = 0 define y como función impl´ıcita de x en un entorno de (a, b).
Si g es la función impl´ıcita, la regla de la cadena para x → f x, g(x) da
Dg(x) = −Dyf(x, y)−1
◦ Dxf(x, y),
para y = g(x), lo que permite obtener las derivadas de g. Además, esta relación
asegura que, si f es de clase Cm
, también g. Las derivadas de g también se pueden
obtener tomando derivadas impl´ıcitas en la ecuación f(x, y) = 0 (v. Ejemplo).
Ejemplo. El sistema
xu3
+ yv2
= 4, y2
u + 2xv = 0
define (u, v) como función impl´ıcita de (x, y) en un entorno de (0, 1, 0, 2). Para verlo
aplicamos el teorema de la función impl´ıcita a f(x, y, u, v) = xu3
+yv2
−4, y2
u+2xv ,
con
Df(0, 1, 0, 2) =
0 4 0 4
4 0 1 0
.
Como el determinante de orden 2 de la derecha de esta matriz es distinto de cero,
existe en un entorno de (0, 1) una función g de clase C1
tal que g(0, 1) = (0, 2), y
f x, y, g(x, y) = 0. g es la función impl´ıcita. La matriz jacobiana es
Dg(0, 1) = −
0 4
1 0
−1
0 4
4 0
= −
4 0
0 1
.
Las derivadas de g también se pueden obtener tomando derivadas impl´ıcitas en el
sistema de ecuaciones del principio, es decir, usando las reglas del cálculo de derivadas,
pero considerando que u y v son dos funciones de (x, y). As´ı, derivando respecto a x
en las dos ecuaciones del sistema, resulta
u3
+ 3xu2 ∂u
∂x
+ 2yv
∂v
∂x
= 0, y2 ∂u
∂x
+ 2v + 2x
∂v
∂x
= 0.
Como u(0, 1) = 0, v(0, 1) = 2, resulta
4
∂v
∂x (0,1)
= 0,
∂u
∂x (0,1)
+ 4 = 0,
de donde que es la primera fila de la matriz jacobiana de g. Derivando respecto a y
obtenemos la segunda fila. Este método permite volver a derivar impl´ıcitamente, y
obtener las derivadas segundas, terceras, etc.
Ejercicios
1. ¿Qué dice el teorema de la función impl´ıcita sobre la ecuación x2
+ y2
= 1?
2. Comprueba que el sistema
xu6
+ y2
v3
= 1, xy3
+ v2
u2
= 0
define (x, y) como función impl´ıcita de (u, v) en un entorno de (0, 1, 0, 1). Calcula la
matriz jacobiana y la hessiana de la función impl´ıcita en (0, 1).

MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Proposición (teorema de Lagrange). Sean A ⊂ Rn
abierto, f : A → R y
g : A → Rp
de clase C1
, con Dg(x) de rango p (p < n), para todo x ∈ A. Sea
M = x ∈ A : g(x) = 0 , y supongamos que f|M tiene un máximo (m´ınimo) local en
a. Entonces f(a) depende linealmente de g1(a), . . . , gp(a).
Demostración. Como en el teorema de la función impl´ıcita, designamos los puntos de
Rn
= Rn−p
×Rp
por (x, y), con x ∈ Rn−p
, y ∈ Rp
. Si el rango de la matriz jacobiana
de g es p, hay p columnas independientes, y, para simplificar la notación, suponemos
que, en a, las p últimas lo son, de forma que det Dyg(a) = 0. Por el teorema de la
función impl´ıcita, hay una función impl´ıcita y = ϕ(x) en un entorno de a. La hipótesis
del teorema de Lagrange supone que h(x) = f x, ϕ(x) tiene un máximo (m´ınimo)
local en (a1, . . . , an−p). Por la regla de la cadena, la matriz jacobiana de h es
Dh(x) = Df x, ϕ(x) ◦
I
Dϕ(x)
= Dxf x, ϕ(x) + Dyf x, ϕ(x) ◦ Dϕ(x).
Usando la expresión de la matriz jacobiana de la función impl´ıcita que vimos antes,
y Dh(a1, . . . , an−p) = 0, tenemos Dxf(a) − Dyf(a) ◦ Dyg(a)−1
◦ Dxg(a) = 0, luego
Dxf(a) Dyf(a) = Dyf(a) ◦ Dyg(a)−1
◦ Dxg(a) Dyg(a) .
La matriz de Dyf(a) ◦ Dyg(a)−1
tiene dimensión 1 × p. Denotando por λ1, . . . , λp los
coeficientes de esta matriz, resulta
Df(a) = λ1 · · · λp ◦ Dg(a),
que es equivalente a f(a) = λ1 g1(a) + · · · + λp gp(a). ♠
Observa que, como g1(a), . . . , gp(a) son independientes, porque Dg(a) tiene rango
p, los λi son únicos. Son los multiplicadores de Lagrange. El método basado en
el teorema de Lagrange se presenta a veces como un método para hallar extremos
condicionados, contrapuesto al método que vimos en el cap´ıtulo anterior, que ser´ıa el
método para hallar extremos libres. Las p ecuaciones gi(x) = 0 son las ligaduras,
o restricciones. n − p es el número de grados de libertad del problema.
En la presentación clásica del teorema, se define una función L : A × Rp
→ R, la
función de Lagrange, haciendo
L(x, λ) = f(x) − λ1 g1(a) − · · · − λp gp(a),
y el teorema asegura entonces que DL(a, λ) = 0. Es fácil ver que ambas versiones
son equivalentes. El lenguaje del Álgebra lineal obvia la función de Lagrange, que es
artificial. No obstante, en ciertos contextos, como la Mecánica clásica, o la Microe-
conom´ıa, se puede dar una interpretación de la función de Lagrange (la lagrangiana
de los libros de F´ısica) o de los multiplicadores.
Ejemplo. Vamos a usar el método de Lagrange para hallar la distancia del punto
(1, −7/2) a la rama de la hipérbola xy = 1 contenida en el primer cuadrante. Con-
sideramos
f(x, y) = x − 1
2
+ y + 7/2
2
, g(x, y) = xy − 1.
Los gradientes son
f(x, y) = 2(x − 1), 2(y + 7/2) , g(x, y) = (y, x),

y el m´ınimo de f sobre la curva xy = 1 debe cumplir
x − 1
y
=
y + 7/2
x
.
Sustituyendo y por 1/x, esta ecuación se transforma en 2x4
− 2x3
− 7x − 2 = 0,
que tiene dos soluciones reales, una positiva y otra negativa. La solución negativa
corresponde al punto de la otra rama de la hipérbola más próximo a (1, −7/2), y
la solución positiva, que es x = 2, al punto (2, 1/2), que es el que nos interesa. La
distancia es
√
17.
Es fácil ver que se llega al mismo resultado buscando el m´ınimo de
h(x) = x − 1
2
+
1
x
+
7
2
2
,
que resulta de sustituir y por 1/x en la fórmula de la distancia al cuadrado.
Ejemplo. Calculamos los valores máximo y m´ınimo de
f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
+ x + y + z
sobre la esfera x2
+ y2
+ z2
= 4. Para ello aplicamos el método de Lagrange, con
g(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
− 4. Los gradientes son
f(x, y, z) = (2x + 1, 2y + 1, 2z + 1), g(x, y, z) = (2x, 2y, 2z),
y en los puntos donde se alcanzan los valores extremos se cumple
2x + 1
x
=
2y + 1
y
=
2z + 1
z
,
lo que equivale a x = y = z. Hay dos puntos en estas condiciones, y en ellos se
alcanzan el máximo y el m´ınimo valor de f,
f − 2/
√
3, −2/
√
3, −2/
√
3 = 4 − 2
√
3, f 2/
√
3, 2/
√
3, 2/
√
3 = 4 + 2
√
3.
Ejemplo. Vamos a hallar los puntos a distancia máxima y m´ınima del origen en la
curva definida por las ecuaciones
z = x2
+ y2
, x + y + z = 1.
En el cap´ıtulo próximo veremos por qué llamamos curva al conjunto de puntos de R3
que cumple estas ecuaciones. En todo caso no es dif´ıcil ver que se trata de un conjunto
compacto (verif´ıcalo), y por tanto la norma tiene máximo y m´ınimo. Aplicamos el
método de Lagrange a
f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
, g1(x, y, z) = x2
+ y2
− z, g2(x, y, z) = x + y + z − 1,
y el punto a distancia m´ınima debe cumplir
2x 2x 1
2y 2y 1
2z −1 1
= 0.

Tras operaciones elementales, llegamos a la ecuación (x − y)(2z + 1) = 0.
• Consideramos primero el caso x−y = 0. Sustituyendo y por x en las ecuaciones
de la curva resulta z = 2x2
= 1 − 2x, y podemos hallar x resolviendo 2x2
+
2x − 1 = 0. Las soluciones son x = − 1 ±
√
3 /2. Resultan, pues, dos puntos,
(−1 +
√
3)/2, (−1 +
√
3)/2, 2 −
√
3 y (−1 −
√
3)/2, /(−1 −
√
3)/2, 2 +
√
3 .
• El caso 2z + 1 = 0, nos lleva, sustituyendo z por −1/2 en las ecuaciones de la
curva, al sistema
x + y =
3
2
, x2
+ y2
=
1
2
,
que no tiene solución.
As´ı pues, los puntos que hemos hallado en primer lugar son los que buscábamos, y
corresponden a la distancia m´ınima y máxima, respectivamente.
Ejercicios
1. Halla la distancia del punto (0, 3) a la parábola y = x2
, usando el método de
Lagrange.
2. En el problema 3.10 se hallaba el m´ınimo de f(x, y) = e−x
+e−y
en la circunferencia
unidad hallando el m´ınimo de una función de una variable. Usa ahora el método de
Lagrange para llegar al mismo resultado.
: 5x + 6xy = 8 → R por f(x, y) = x2
y2
. Halla el
máximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
4. Se define f : (x, y, z) ∈ R3
: xyz = 27 → R por f(x, y, z) = xy + xz + yz. Halla
el máximo y el m´ınimo valor de f, si existen.
: x2
+ y2
≤ 1, x2
− y ≤ 1 → R por f(x, y) = y − x.
PROBLEMAS
→ R2
por f(x, y) = (ex
+ ey
, ex
− ey
). Prueba que f define un
difeomorfismo de R2
en G = (u, v) ∈ R2
: −u < v < u .
4.2. Sean A ⊂ Rn
abierto, y f : A → Rn
de clase C1
, tal que, si x, y, x + y ∈ A, se
cumple
f(x + y) − f(x) − y ≤
y
2
.
(a) Prueba que se cumple Duf(x) − u ≤ 1/2 para u = 1, x ∈ A.
(b) Prueba que f define un difeomorfismo entre A y f(A).
4.3. Prueba que la ecuación z cos x − y cos z = 0 define una función impl´ıcita z(x, y)
en un entorno de (π/2, π/2, π/2). Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de z(x, y),
centrado en (π/2, π/2).
4.4. Sean g : R2
→ R de clase C2
, y λ > 0, tales que
g(0, 0) = λ, D2
1,1g(0, 0) = D2
2,2g(0, 0) = D2
1,2g(0, 0) = −λ.
(a) Prueba que la ecuación xz3
+ z g(x, y) = x2
+ y2
+ z2
define impl´ıcitamente
una función z = h(x, y) de clase C1
en un entorno de (0, 0), con h(0, 0) = λ.
(b) Prueba que, si h tiene un extremo local en (0, 0), se cumple D2g(0, 0) = 0.
(c) ¿Es un máximo o un m´ınimo?

→ R por f(x, y, z) = x + y + z − sin(xyz).
(a) Demuestra que la ecuación f(x, y, z) = 0 define en un entorno de (0, 0, 0) una
función impl´ıcita z = h(x, y).
(b) Calcula las derivadas segundas de h en (0, 0).
(c) ¿Hay algún entorno de (0, 0) donde la función (x, y) → h(x, y), 2y tenga
inversa diferenciable?
4.6. Halla el máximo y el m´ınimo valor, si existen, de f(x, y, z) = xy(z + 1) en
D = (x, y, z) ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
≤ 1, z ≥ 0 .
4.7. ¿Dónde alcanza su máximo valor f(x, y, z) = ax2
+by2
+cz2
, con 0 < a < b < c,
en D = (x, y, z) ∈ R3
; x2
+ y2
+ z2
≤ 1, z ≥ 0 .
4.8. Halla el máximo y el m´ınimo valor, si existen, de f(x, y) = (x2
+ y2
)ex+y
en
D = (x, y) ∈ R2
; x2
+ y2
≤ 1, x + y ≤ −1 .
4.9. Halla el máximo y el m´ınimo valor, si existen, de f(x, y) = x2
− 3x + 4y2
− 4y
en D = (x, y) ∈ R2
; x2
+ 4y2
≤ 1, x ≥ 0 .
4.10. Halla el máximo y el m´ınimo valor, si existen, de f(x, y, z) = x2
+y2
+z2
+x+y
en D = (x, y, z) ∈ R3
; x2
+ y2
+ z2
≤ 4, z ≥ 0 .

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