E a chuva ... (Livro pedagógico para ser usado na educação infantil e trabal...
Analogia de-mohr-e-eq-3-momentos
1. Resistência dos Materiais II
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Capítulo 4
Analogia de Mohr e Equação
dos 3 Momentos
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Também conhecido como Método de Mohr ou Método da Viga Conjugada.
A analogia entre as equações diferenciais foi observada inicialmente por
Mohr (1835-1918)
4.1- Analogia de Mohr
3 2
3 2
d y d y dy
EI V x EI M x EI x
dx dx dx
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Exemplo 1 -
Utilizando a analogia de Mohr, determinar os valores máximos de deflexão
angular e flecha para a viga bi-apoiada esquematizada na figura.
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O traçado do diagrama de momentos fletores indica uma variação linear, à
esquerda e à direita do ponto de aplicação da carga P, onde atinge o valor
máximo Pab/L.
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Invertendo o desenho, dividindo suas ordenadas pelo produto de rigidez
EI e encarando a figura formada como uma distribuição de carga virtual
(q*) com dois trechos lineares, atingindo o valor máximo Pab/LEI,
aplicada a uma viga também fictícia, de mesmas dimensões.
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Vinculação
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Exemplos de vinculação
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O modelo do problema a ser resolvido é, a princípio, o mostrado abaixo,
uma viga hiperestática dita contínua, de eixo retilíneo e horizontal,
constituída de 2 ou mais vãos de comprimento quaisquer, cada um dele
podendo ter uma própria seção transversal (constante na extensão do vão)
e com todos os apoios capazes de oferecer reação vertical. Os
carregamentos devem ser constituídos de forças somente verticais
atuantes sobre o eixo da viga, e de momentos cujos planos de rotação é o
mesmo dessas forças.
No modelo adotado, além de não haver forças externas horizontais,
também não levamos em conta as reações horizontais que os apoios
possam apresentar, por qualquer que seja o motivo. Em outras palavras,
consideramos que a viga é indeformável quanto ao esforço axial.
4.2- Equação dos três momentos
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Nossas incógnitas hiperestáticas adotadas nesse modelo serão os
momentos atuantes nas seções transversais situadas sobre os apoios
internos. Nos externos são nulos.
Regras para numeração dos apoios:
vãos são numerados da esquerda para direita, a partir de 0, bem como
os respectivos vãos L e momentos de inércia I de suas seções transversais;
os apoios são numerados da esquerda para a direita, a partir de 0.
Em princípio, todos os momentos fletores incógnitos são supostos
positivos, ou seja, tracionam a parte superior das respectivas seções
transversais e comprimem a superior.
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Equação dos 3 momentos:
No caso particular – que ocorre com frequência na prática – em que todos
os vãos possuem a mesma seção transversal (e portanto mesmo momento
de inércia) a expressão simplifica-se:
* *
1
1 1
1 1 1 1
' ''
( 2 ) (2 ) 6( )i i i i
i i i i
i i i i i i i i
L L R R
M M M M
E I E I E I E I
* *
1 1 1( 2 ) (2 ) 6( ' '')i i i i i i i iM M L M M L R R
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Momentos máximos:
2
max
8
qL
M
max
4
PL
M
max
Pab
M
L