4. Sistema de Equações Lineares
• A equação geral de uma reta é dada por:
• E a equação geral de um plano em é da
forma:
• Equações como as acima são chamadas de
equações lineares.
3
ax by c
ax by cz d
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
5. • Definição: Um conjunto de m equações lineares
de n variáveis x1,x2,...,xn, podem ser escritas da
seguinte forma:
onde os coeficientes a11,a12,...,a1n,...am1,...,amn e o
termo independente b são constantes.
Sistema de Equações Lineares
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
n
m m mn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
6. Aplicações
• Os sistemas de equações lineares podem ser
utilizados para uma quantidade muito grande
de aplicações, como:
• Alocação de Recursos;
• Balanceamento de Equações Químicas;
• Análise de Redes;
• Circuitos Elétricos.
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
8. Alocação de Recursos
• Ao envolver uma série de equações lineares
que envolve um conjunto de restrições,
forma-se o que chamamos de alocação de
recursos.
• Ao se formar um sistema, por meio do
método de Gauss é possível determinar cada
uma das restrições.
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
9. Aplicação de alocação
• Foi realisado um levantamento em um
condomínio de Cuiabá, de quantas pessoas
moravam por andar de cada bloco:
Bloco: A B C D E F
1º 14 5 10 11 11 12
2º 11 6 15 9 8 10
3º 8 6 13 14 7 15
4º 12 10 10 14 11 13
Total
63
59
63
70
Total 45 27 48 48 37 50 255
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
10. Exemplo 1:
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
3 2 39b m r
2 3 34b m r
2 3 26b m r
Resposta:
9,25
4,25
2,75
b
m
r ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
• Qual o preço recebido pela venda de cada fardo associado a
boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim?
3 2 1 39
2 3 1 34
1 2 3 26
Voltemos ao caso da história inicial:
11. Exemplo 2:
• Três diferentes tipos de ingredientes serão empregados na
refeição de uma escola, sendo que cada ingrediente (A, B e
C) possui uma determinada quantidade de nutriente
(expressa em miligramas) por unidade de ingrediente,
conforte apresentado na tabela abaixo:
Nutriente A B C Total Nutriente
(mg)
Vitamina C 10 20 20 100
Cálcio 50 40 10 300
Magnésio 30 10 40 200
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
12. • Determine a quantidade necessária de cada ingrediente
para satisfazer plenamente a quantidade de nutrientes
estipulada na dieta.
Solução pelo método de Gauss:
10 20 20 100
50 40 10 300
30 10 40 200
a b c
a b c
a b c
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
Exemplo 2:
13. Exemplo 2:
Resposta:
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
4,5
1,5
1, 2
a
b
c
Para satisfazer a quantidade de nutrientes será adicionado:
14. Exemplo 3:
• Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I, II e III) em
um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes
de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2300
unidade de A, 800 unidades de B e 1500 unidades de C. Cada bactéria
consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como
mostra a tabela.
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
Bactérias Espécie I Espécie II Espécie III Alimento
(unid.)
Alimento A 2 2 4 2.3000
Alimento B 1 2 0 800
Alimento C 1 3 1 1.500
15. • Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir
no tubo de ensaio de modo a consumir todo o
alimento ?
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
Exemplo 3:
2 2 4 2300
1 2 0 800
1 3 1 1500
I II III
I II III
I II III
Solução pelo método de Gauss:
16. ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
Exemplo 3:
Resposta:
100
350
350
I
II
III
Podem coexistir:
17. “A Matemática não mente.
Mente quem faz mau uso dela.”
Albert Einstein
Muito Obrigado
FIM!!!
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
18. Bibliografia
• Analise de sistemas lineares:
http://www.ee.pucrs.br/~gacs/new/disciplina
s/asl/apostilas/Aula01.pdf
• Álgebra Linear – David Poole
ARRUDA M. F. Z. de; BRANCO J. S.; RUBIN M. P.
