Prezentacja przedstawia metodę badania pierwszości liczb specjalnego typu

1. Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze.
Sebastian Agata
sierpie« 2012
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 1 / 12

2. Jak szybko sprawdzi¢, czy liczba 2k −1 jest pierwsza?
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 2 / 12

3. Twierdzenie.
Je±li p jest liczb¡ pierwsz¡ nieparzyst¡ to ka»dy dzielnik liczby 2p −1 jest
postaci 2kp +1 dla pewnego k ≥0 .
A dzielniki pierwsze liczby 2p − 1
B dzielniki dowolne liczby 2p − 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 3 / 12

4. Twierdzenie (Fermat - 1640 rok)
Dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnego a nie podzielnego przez p
zachodzi:
a
p −1 ≡ 1 (mod p ) .
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 4 / 12

5. Lemat.
(2a − 1, 2b − 1) = 2(a,b) − 1 .
dygresja na temat algorytmu Euklidesa
Dla liczb caªkowitych a b , przy czym b >0 istnieje dokªadnie jedna para
liczb caªkowitych ,
q r
a = q · b + r, oraz 0 ≤ r < b.
Šatwo zauwa»y¢, »e
(a, b) = (b, r = a − q · b)
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 5 / 12

6. Lemat.
(2a − 1, 2b − 1) = 2(a,b) − 1 .
dygresja na temat algorytmu Euklidesa
Dla liczb caªkowitych a b , przy czym b >0 istnieje dokªadnie jedna para
liczb caªkowitych ,
q r
a = q · b + r, oraz 0 ≤ r < b.
Šatwo zauwa»y¢, »e
(a, b) = (b, r = a − q · b)
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 5 / 12

7. 20=6·3+2
3=1·2+1
2=2·1+0
(20, 3) = (3, 2 = 20 − 6 · 3) =
= (2, 1 = 3 − 1 · 2) = (1, 0) = 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 6 / 12

8. 20=6·3+2
3=1·2+1
2=2·1+0
(20, 3) = (3, 2 = 20 − 6 · 3) =
= (2, 1 = 3 − 1 · 2) = (1, 0) = 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 6 / 12

9. (2a − 1, 2b − 1) = (2a − 1) − (2b − 1), 2b − 1 =
= (2a − 2b , 2b − 1) = (2b (2a−b − 1), 2b − 1)
= (2a−b − 1, 2b − 1) = . . . =
= (2(a,b) − 1, 0) = 2(a,b) − 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 7 / 12

10. q | 2p − 1 oraz q ∈P
q | 2q−1 − 1.
(2p − 1, 2q−1 − 1) = 2(p,q−1) − 1.
q | 2p − 1 q | 2 q −1 − 1 . q | 2(p,q−1) − 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 8 / 12

11. q | 2p − 1 oraz q ∈P
q | 2q−1 − 1.
(2p − 1, 2q−1 − 1) = 2(p,q−1) − 1.
q | 2p − 1 q | 2 q −1 − 1 . q | 2(p,q−1) − 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 8 / 12

12. q | 2p − 1 oraz q ∈P
q | 2q−1 − 1.
(2p − 1, 2q−1 − 1) = 2(p,q−1) − 1.
q | 2p − 1 q | 2 q −1 − 1 . q | 2(p,q−1) − 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 8 / 12

13. 2(p ,q −1) − 1 > 1 ⇒ (p , q − 1) > 1 ⇒ (p , q − 1) = p ⇒ p | q − 1 .
q − 1 = tp
q = tp + 1
tp jest parzysta.
t = 2k
q = 2kp + 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 9 / 12

14. 2(p ,q −1) − 1 > 1 ⇒ (p , q − 1) > 1 ⇒ (p , q − 1) = p ⇒ p | q − 1 .
q − 1 = tp
q = tp + 1
tp jest parzysta.
t = 2k
q = 2kp + 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 9 / 12

15. 2(p ,q −1) − 1 > 1 ⇒ (p , q − 1) > 1 ⇒ (p , q − 1) = p ⇒ p | q − 1 .
q − 1 = tp
q = tp + 1
tp jest parzysta.
t = 2k
q = 2kp + 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 9 / 12

16. 2(p ,q −1) − 1 > 1 ⇒ (p , q − 1) > 1 ⇒ (p , q − 1) = p ⇒ p | q − 1 .
q − 1 = tp
q = tp + 1
tp jest parzysta.
t = 2k
q = 2kp + 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 9 / 12

17. 2(p ,q −1) − 1 > 1 ⇒ (p , q − 1) > 1 ⇒ (p , q − 1) = p ⇒ p | q − 1 .
q − 1 = tp
q = tp + 1
tp jest parzysta.
t = 2k
q = 2kp + 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 9 / 12

18. 2(p ,q −1) − 1 > 1 ⇒ (p , q − 1) > 1 ⇒ (p , q − 1) = p ⇒ p | q − 1 .
q − 1 = tp
q = tp + 1
tp jest parzysta.
t = 2k
q = 2kp + 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 9 / 12

19. 2(p ,q −1) − 1 > 1 ⇒ (p , q − 1) > 1 ⇒ (p , q − 1) = p ⇒ p | q − 1 .
q − 1 = tp
q = tp + 1
tp jest parzysta.
t = 2k
q = 2kp + 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 9 / 12

20. Twierdzenie.
Je±li p jest liczb¡ pierwsz¡ nieparzyst¡ to ka»dy dzielnik liczby 2p −1 jest
postaci 2kp +1 dla pewnego k ≥0 .
A dzielniki pierwsze liczby 2p − 1
B dzielniki dowolne liczby 2p − 1
(2ap + 1)(2bp + 1) = 2(2abp + a + b)p + 1
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 10 / 12

21. makelist ([k , 2k − 1, primep (2k − 1)], k , 1, 20);
10 1023 false
11 2047 false
12 4095 false
13 8191 true
14 16383 false
15 32767 false
16 65535 false
17 131071 true
18 262143 false
19 524287 true
20 1048575 false
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 11 / 12

22. Badamy czy rzeczywi±cie 219 − 1 = 524287 ∈ P.
Badamy dzielniki pierwsze liczby 219 − 1 , które s¡ mniejsze od 724
poniewa»
√
524287 ≈ 724.077
Z ostatniego twierdzenia wiemy, »e dzielniki liczby 219 −1 s¡ postaci
2k · 19 + 1 = 38k + 1 .
39,77,115,153,191,
229,267,305,343,381,
419,457,495,533,571,
609,647,685,723,761
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 12 / 12

23. Badamy czy rzeczywi±cie 219 − 1 = 524287 ∈ P.
Badamy dzielniki pierwsze liczby 219 − 1 , które s¡ mniejsze od 724
poniewa»
√
524287 ≈ 724.077
Z ostatniego twierdzenia wiemy, »e dzielniki liczby 219 −1 s¡ postaci
2k · 19 + 1 = 38k + 1 .
39,77,115,153,191,
229,267,305,343,381,
419,457,495,533,571,
609,647,685,723,761
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 12 / 12

24. Badamy czy rzeczywi±cie 219 − 1 = 524287 ∈ P.
Badamy dzielniki pierwsze liczby 219 − 1 , które s¡ mniejsze od 724
poniewa»
√
524287 ≈ 724.077
Z ostatniego twierdzenia wiemy, »e dzielniki liczby 219 −1 s¡ postaci
2k · 19 + 1 = 38k + 1 .
39,77,115,153,191,
229,267,305,343,381,
419,457,495,533,571,
609,647,685,723,761
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 12 / 12

25. Badamy czy rzeczywi±cie 219 − 1 = 524287 ∈ P.
Badamy dzielniki pierwsze liczby 219 − 1 , które s¡ mniejsze od 724
poniewa»
√
524287 ≈ 724.077
Z ostatniego twierdzenia wiemy, »e dzielniki liczby 219 −1 s¡ postaci
2k · 19 + 1 = 38k + 1 .
39,77,115,153,191,
229,267,305,343,381,
419,457,495,533,571,
609,647,685,723,761
Sebastian Agata () Du»e ale nie za du»e liczby pierwsze. sierpie« 2012 12 / 12