2. Sistemas de unidades
Quem é maior 8 ou 80?
2
Para se responder a esta pergunta deve-se
pensar em definir a grandeza de forma
qualitativa e quantitativa
3. A pergunta necessita de sentido porque não há
termo de comparação.
Evidentemente que 8 m3
significa mais que 80 litros
(80 dm3
).
Sendo de outra forma, identificando-se a dimensao,
fica mais facil de responder:
8 kg e 80 kg
3
Importância das dimensões
4. Para se definir uma grandeza existem duas
dimensões a qualitativa e a quantitativa
Qualitativamente – a grandeza será definida pela
equação dimensional, sendo esta constituída
pela base MLT ou FLT, onde o expoente indica o
grau de dependência entre a grandeza derivada
e a grandeza fundamental
(MLT ou FLT)
4
Sistemas de unidades
5. Sistemas de unidades
A depender da base utilizada, as "unidades" de
grandezas físicas permitem organizar o trabalho
científico e técnico sendo que, com apenas sete
grandezas básicas é possível formar um sistema que
abranja todas necessidades. :
Dimensões de um corpo,
Velocidade,
Força,
Trabalho
Potência
5
6. Tradicionalmente a Engenharia usava 3
sistemas:
MKS (metro, quilograma, segundo)
ou
CGS (centímetro, grama, segundo),
MKfS (metro, kilogramaforça, segundo)
Sistemas de unidades
6
7. A definição quantitativa depende
do sistema de unidade considerado
Por exemplo, se considerarmos o
Sistema Internacional (SI), temos
como grandezas fundamentais ou
primarias:
M – massa – kg (quilograma)
L – comprimento – m (metro)
T – tempo – s (segundo)
7
8. A definição quantitativa depende
do sistema de unidade considerado
Mas existem outros sistemas que utilizam
outras unidades:
Massa
SI Americano Inglês
kg oz lbm
8
9. A definição quantitativa depende
do sistema de unidade considerado
Comprimento
m (SI)
ft (Inglês)
in
jd
mil
lg
9
10. A definição quantitativa depende
do sistema de unidade considerado
Tempo
s (SI)
min
h
dia
semana
mês
ano
séc
milênio10
12. As demais grandezas são denominadas
grandezas derivadas:
Grandeza Unidade Equação dimensional
v(velocidade) m/s [v] = L/T
F (força) N (newton) [F] = (M*L)/T2
dv/dy hz ou 1/s [dv/dy] = T-1
(gradiente de velocidade)
[dv
dy ]=
LT
-1
L
=T-1
=
1
T
12
13. Energia = Força * Distância
Energia = (Kg*m/s2
) * (m)
Energia = kg*m2
/s2
= J (Joule) 13
15. 512.106
[bytes] = 512 [Mbytes] = 512.000.000 bytes
400.10-9
[s] = 400 [ns]
HD com 80Gbytes
80.000.000.000 bytes
80 bilhões de bytes 15
16. As unidades não podem ser canceladas ou fundidas
a menos que sejam homogêneas.
Elas contêm quantidades sinificativas de informações
que não podem ser ignoradas.
16
Sistemas de unidades
17. 5 quilogramas + 3 calorias (massa e energia)
Não tem significado, pois as dimensões dos dois termos
são diferentes !!!
Importância das dimensões
17
1 kg + 500 gramas (massa)
Mesma dimensão. Tem significado, mas ainda não pode ser
executada. As unidades devem ser transformadas em iguais,
sejam libras, gramas, kg, onças e assim por diante, para que a
operacao seja efetuada.
1 kg =1000 gramas, então, 1000 g + 500 g pode ser somado,
resultando em 1500g
Cuidado
18. 1 hp + 300 W (Potencia)
As dimensões são as mesmas (potência = energia por unidade de
tempo), porém as unidades são diferentes.
Precisam ser transformadas em unidades iguais para
depois somar os termos:
1 hp = 746 W (caderno de dados ou outras tabelas)
746 W + 300 W = 1046 W
18
Importância das dimensões
25. Exemplo: Transforme 400 in3
/dia em cm3
/min
400
in3
dia (2,54
cm
in )
3
1dia
24h
1h
60min
=4,56
cm3
min
25
Transformação de unidades
26. Muitas unidades possuem nomes especiais:
Força = Newton = N
F = m * a
N=kg.
m
s2
Outros exemplos:
J = Joule
W = Watt
26
Transformação de unidades
27. Massa = M Comprimento = L Tempo = Ø
Temperatura = T
Exemplo: qual a dimensão da força?
F = m . a
F=M .
L
φ2
M = kg, g, ton, lb, etc...
L = m, cm, mm, km, pé, polegada, etc...
Ø = h, min, s, dia, ano, etc…
T = °C, K, °R, °F
F=kg.
m
s2
27
Consistencia dimensional
28. Sistema MKfS
Um outro sistema bastante utilizado até hoje é o
MkfS. Neste sistema as grandezas
fundamentais adotadas para o estudo dos
Fenômenos de Transporte são:
Grandeza Unidade
F (força) kgf (1 kgf = 9,8 N)
L (comprimento) m (metro)
T (tempo) s (segundo)
28
29. Algumas grandezas derivadas no
MKfS:
Grandeza Unidade
M (massa) utm (1 utm = 9,8 kg)
- massa específica kg/m³
M=
F×T
2
L
ρ=
M
L3
=
F×T
2
L4
29
31. 7 Passos para a resolução
1- Faça um desenho esquemático do sistema
(geometria do problema)
2 - Verifique a consistência do Sistema de medidas e a
compatibilidade dos algarismos significativos
3- Declare de forma concisa a informação dada e a solicitada
para resolução do problema
4 - Liste as leis matemáticas básicas
5- Relacione as hipóteses simplificadoras
6- Faça uma análise algébrica
7- Introduza valores numéricos
Princípios e técnicas para
resolução de problemas
31
33. 7 Passos para a resolução
1- Faça um desenho esquemático do sistema
(geometria do problema)
2 - Verifique a consistência do Sistema de medidas e a
compatibilidade dos algarismos significativos
3- Declare de forma concisa a informação dada e a solicitada
para resolução do problema
4 - Liste as leis matemáticas básicas
5- Relacione as hipóteses simplificadoras
6- Faça uma análise algébrica
7- Introduza valores numéricos
Princípios e técnicas para
resolução de problemas
33
34. Tabela de conversão
1 ft 0,3048 m 1 gl 231 in3
1 lb 0,4536 Kg 1 in3 0,01639litros
1 lbf 4,4482 N 1 psi 6, 895x103
Pa
1 ft 12 in 1W 1,341x 10-3
HP
1in 2,54 cm
Princípios e técnicas para
resolução de problemas
34
35. Exercícios exemplo
35
Se um avião voa a uma velocidade duas vezes
superior à do som ( 1.100 ft/s), qual será sua
velocidade em milhas por hora?
2 1100 1 mi 60s 60 min = 1500 mi/h
S 5.280 ft 1min 1h
36. Exercício resolvido
1.13 FOX 6ª ed.
Enunciado
A massa da bola de golfe oficial inglesa é 45,9 g e o seu diâmetro
médio é 41,1 mm. Determine a massa específica e a densidade
relativa da referida bola. (ρH2O = 1000 kg/m3
)
Resolução: Passos 1 – 3
1- Geometria do problema
2- Declaração das informações dadas e solicitadas
3- Formulação básica
36
37. Exercício 1.13 FOX 6ª ed.
Resolução: Passos 1 – 3
Modelo Físico e Dados Modelo matemático
37
40. Três enfoques para o estudo dos
processamentos industriais iniciais
1. Estudar a tecnologia de um certo tipo de
indústria, por exemplo: cervejarias, laticínios,
industria açucareira, etc...
2. Estudar as operações usuais a muitas
indústrias, por exemplo: evaporação, extração,
centrifugação, etc...
3. Estudar os fenômenos de transferência de
quantidade de movimento, calor e massa.
41. Princípios básicos
Existe um pequeno número de princípios
elementares, técnicas matemáticas e leis da físico-
química que são fundamentais e formam a base para
o estudo da transferência de momento, calor e massa
e os processos de separação. Quem pretende operar
processos industriais deve ter um bom domínio destes
conhecimentos.
41
42. a)a) Princípios ou leis daPrincípios ou leis da conservação de massa,conservação de massa,
quantidade de movimento e energiaquantidade de movimento e energia
b)b) Equações constitutivas ou descritivas doEquações constitutivas ou descritivas do
fenômeno de transferênciafenômeno de transferência
c)c) Equações de estado (gases ideais, Van derEquações de estado (gases ideais, Van der
Walls, etc.)Walls, etc.)
Princípios básicos
43. As operações unitárias e os princípios
de transferência
Força ouForça ou
fluxo porfluxo por
unidade deunidade de
superfíciesuperfície
CoeficienteCoeficiente
dede
transferênciatransferência
GradienteGradiente
dede
potencialpotencial
GradienteGradiente
VelocidadeVelocidade
TemperaturaTemperatura
FluxoFluxo
MomentumMomentum
CalorCalor
44. Conservação da massa
Como se sabe, “na natureza nada se cria, nada se
destrói, tudo se transforma”, ou seja, a matéria não é
criada e muito menos destruída, e, portanto, num
balanço material envolvendo um certo sistema, a
massa que neste entra deverá ser a mesma que dele
estará saindo.
45. A massa de um produto que entra em um sistema,
mesmo que transformada em outros produtos,
sempre
será a mesma que está saindo deste sistema.
Vazoes Vazoes
de de
Entrada Saida
Balanço de massa
sistema
46. PROCESSOS ESTACIONÁRIO⇒ Balanços para os
quais o termo de acumulação é igual a zero.
Regime Permanente – aquele em que as
propriedades do sistema não variam com o tempo.
PROCESSOS NÃO - ESTACIONÁRIO⇒ Balanços
para os quais as quantidades e as condições
operacionais variam com o tempo no interior do
sistema. Regime transiente – aquele em que as
propriedades do sistema variam com o tempo.
Balanço de massa
47. A tecnica de balanco de massa demanda um
tratamento sistematico do problema, com a realizacao
de algumas etapas para sua resolucao.
1. Esquematizar um fluxograma basico do processo
2. Identificar as correntes de entrada e saida
3. Quantificar as substancias que compoem as
correntes
4. Escolher uma base de calculo e indica-la com
clareza
5. Fazer os balancos global e por componente
Balanço de massa
48. Balanço de massa
Em um Balanço Material, não se deve confundir
massa com volume, pois as massas específicas
dos produtos são diferentes.
m assa
ent rando
rig h
m assa
ge rada
rig h
m assa
sa indo
rig h
m assa
c onsum ida
rig h
[ ]
49. A tecnica de balanco de massa demanda um
tratamento sistematico do problema, com a realizacao
de algumas etapas para sua resolucao.
1. Esquematizar um fluxograma basico do processo
2. Identificar as correntes de entrada e saida
3. Quantificar as substancias que compoem as
correntes
4. Escolher uma base de calculo e indica-la com
clareza
5. Fazer os balancos global e por componente
Balanço de massa
51. Para produção de 25 Kg de salsicha com teor de
gordura de 30% utilizam-se carne de gado e gordura
de gado. A carne de gado contém 18% de proteína,
70% de água e 12% de gordura. E a gordura contém
78% de gordura, 17% de água e 5% de proteína.
Faça um balanço global da massa
do sistema e de cada componente
da mistura.
Balanço de massa
52. 1. Esquematizar um fluxograma basico do processo
2. Identificar as correntes de entrada e saida
3. Quantificar as substancias que compoem as
correntes
4. Escolher uma base de calculo e indica-la com
clareza
5. Fazer os balancos global e por componente
Balanço de massa
53. Base de Cálculo: 25 Kg de salsicha
Corrente de Entrada = C + G
Corrente de Saida = S
Balanço de massa global: C + G = S
Carne gordura salsicha
Balanço de gordura: 0,12C + 0,78G = 0,3(25)
Balanço de massa
54. Base de Cálculo: 25 Kg de salsicha
Balanço de massa global: C + G = 25 (1)
Carne gordura salsicha
Balanço de componente: 0,12C + 0,78G = 0,3(25) (2)
(gordura)
Temos um sistema de equação, que pode ser resolvido
por um dos 2 métodos. Vamos resolver por substituição:
Balanço de massa
55. Base de Cálculo: 25 Kg de salsicha
Substituindo a equacao 1 em 2 e resolvendo a
equação para o balanço de gordura, temos:
0,12 (25 – G) + 0,78 G = 7,5
3,0 – 0,12 G + 0,78 G = 7,5
0,66 G = 4,5
G = 4,5 / 0,66
G = 6,82 Kg Massa de gordura = 6,82Kg
Balanço de massa
56. Base de Cálculo: 25 Kg de salsicha
Balanço de massa global: C + G = 25 (1)
Carne gordura salsicha
Balanço global: C + 6,82 = 25
C = 25 – 6,82
C = 18,18 Kg de carne
Balanço de massa
58. Se alimenta um evaporador de forma continua com 25
Ton/h de uma solucao que contem 10% de NaOH,
10% de NaCl e 80% de H2
O. Durante a evaporacao
se elimina agua e o sal se precipita na forma de
cristais, que sedimentam. A solucao concentrada que
sai do evaporador contem 50% de NaOH, 2% de NaCl
e 48% de agua. Calcule a vazao massica (Kg/h):
a) De solucao concentrada
b) De agua evaporada
c) De sal que precipita
Balanço de massa
E
S
Evap
P
59. Base de Cálculo: Tomar o NaOH como componente
para a base de calculo, visto que não se precipita e
sua massa não se modifica nas correntes de entrada
e saida.
Dados
ENTRADA 25Ton/h SAIDA S
ENaOH
= 10% SNaOH
= 50%
ENaCl
= 10% SNaCl
= 2%
EH2O
= 80% SH2O
= 48%
Balanço de massa
E
S
P
Evap
60. Calculo da vazao massica dos componentes na
corrente de entrada em (Kg/h)
Base de calculo
ENTRADA E = 25Ton/h
MNaOH
= ENaOH
* E = 0,1*25.000 = 2.500 Kg/h
MNaCl
= ENaCl
* E = 0,1*25.000 = 2.500 Kg/h
MH2O
= EH2O
* E = 0,8*25.000 = 20.000 Kg/h
Balanço de massa
61. SOLUCAO
Cálculo da massa dos componentes da corrente de
saida (solucao concentrada)
BALANCO
SAIDA S (Kg/h)
MNaOH
entra = MNaOH
sai 2.500 = SNaCl
* S
2500 = 0,5 * S S = 5.000Kg/h
MNaCl
= SNaCl
* S = 0,02* 5.000 = 100Kg/h
MH2O
= SH2O
* S = 0,48 * 5.000 = 2.400 Kg/h
Balanço de massa
62. SOLUCAO
Cálculo da massa de agua evaporada
BALANCO
ENTRADA(Kg/h) SAIDA (kg/h)
NaOH = 2.500 2.500
NaCl = 2.500 100
H2
O = 20.000 2.400
MH2O
evaporada = MH2O
(entra – sai) = 20.000 – 2.400
MH2O
evaporada = 17.600Kg/h
Balanço de massa
63. SOLUCAO
Cálculo da massa de sal que precipita
BALANCO
ENTRADA(Kg/h) SAIDA (kg/h)
NaOH = 2.500 2.500
NaCl = 2.500 100
H2
O = 20.000 2.400
MNaCl
precipita = MNaCl
(entra – sai) = 2.500 – 100
MNaCl
precipita = 2.400Kg/h
Balanço de massa
64. Se alimenta um evaporador de forma continua com 25
Ton/h de uma solucao que contem 10% de NaOH,
10% de NaCl e 80% de H2
O. Durante a evaporacao
se elimina agua e o sal se precipita na forma de
cristais, que sedimentam. A solucao concentrada que
sai do evaporador contem 50% de NaOH, 2% de NaCl
e 48% de agua. Calcule a vazao massica (Kg/h):
a) De solucao concentrada
b) De agua evaporada
c) De sal que precipita
Balanço de massa
E
S
Evap
P
65. Base de Cálculo: Tomar o NaOH como componente
para a base de calculo, visto que não se precipita e
sua massa não se modifica nas correntes de entrada
e saida.
Dados
ENTRADA 25Ton/h SAIDA S
ENaOH
= 10% SNaOH
= 50%
ENaCl
= 10% SNaCl
= 2%
EH2O
= 80% SH2O
= 48%
Balanço de massa
E
S
P
Evap
66. Base de Cálculo: Tomar o NaOH como componente
para a base de calculo, visto que não se precipita e
sua massa não se modifica nas correntes de entrada
e saida.
Dados
ENTRADA 25Ton/h SAIDA S
ENaOH
= 10% SNaOH
= 50%
ENaCl
= 10% SNaCl
= 2%
EH2O
= 80% SH2O
= 48%
Balanço de massa
E
S
P
Evap
67. SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/h
BALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)
BALANCO POR COMPONENTE
NaOH: 0,1E = 0,5 S (2)
NaCl: 0,1E = 0,02 S + P (3)
H2
O: 0,8 E = 0,48 S + Evap (4)
a) Calculo da corrente de Saida S: (2)
0,1* 25.000 = 0,5 * S S = 5.000 Kg/h
Balanço de massa
E
S
P
Evap
68. SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/h
BALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)
BALANCO POR COMPONENTE
NaOH: 0,1E = 0,5 S (2)
NaCl: 0,1E = 0,02 S + P (3)
H2
O: 0,8 E = 0,48 S + Evap (4)
b) Calculo da massa de precipitado P: (3)
0,1* 25.000 = 0,02 * S + P P = 2.500 – 0,02* 5.000
P = 2.400 Kg/h
Balanço de massa
E
S
P
Evap
69. SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/h
BALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)
BALANCO POR COMPONENTE
NaOH: 0,1E = 0,5 S (2)
NaCl: 0,1E = 0,02 S + P (3)
H2
O: 0,8 E = 0,48 S + Evap (4)
c) Calculo da massa de agua evaporada Evap: (3)
0,8* 25.000 = 0,48 * S + Evap
Evap = 20.000 – 0,48* 5.000 = 17.600
Evap = 17.600 Kg/h
Balanço de massa
E
S
P
Evap
70. SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/h
BALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)
Confirmacao dos resultados (validando 1)
E = 25.000
S = 5.000
P = 2.400
Evap = 17.600
E = S + P + Evap
25.000 = 5.000 + 2.400 + 17.600 (Kg/h)
Balanço de massa
E
S
P
Evap
71. Introdução
Vamos analisar a queda de pressão para o
escoamento de um fluido com viscosidade numa
tubulação cilíndrica, retilínea, horizontal e cuja parede
apresente rugosidade. Algumas variáveis devem ser
consideradas.
71
Análise dimensional
72. 72
Análise dimensional
O ideal seria a resolução analítica do problema para,
através de uma lei física, relacionar a variável
dependente ∆P, com as variáveis independentes,
relacionadas com as características do tubo e do
fluido
73. 73
Análise dimensional
Solução empírica
Que experimentos devem ser conduzidos para
determinar a queda de pressão dentro do tubo?
De que depende a queda de pressão?
Que parâmetros são significativos para a resolução
do problema?
74. Análise dimensional
Vamos especificar alguns parâmetros cujo senso
comum nos leva a crer que variáveis são significativos:
Com relação à tubulação :
O comprimento: L
O diâmetro do tubo: D
A variação média do raio interno do tubo: ε
(altura média da rugosidade)
74
75. Análise dimensional
Vamos especificar alguns parâmetros cujo senso
comum nos leva a crer que variáveis são significativos:
Com relação ao fluido:
A viscosidade : μ
A massa específica do fluido: ρ
Com relação ao escoamento:
A velocidade média: V
A queda de pressão: ∆P
75
76. Introdução
Pelo menos 7 parâmetros estão envolvidos:
Comprimento do tubo: L
Diâmetro do tubo: D
Rugosidade do tubo: ε
Velocidade do escoamento: v
Massa específica do fluido: ρ
Viscosidade do fluido: μ
Queda de pressão: ΔP
76
Análise dimensional
78. Análise dimensional
O uso da análise dimensional permite obter
resultados significativos com pouco esforço.
Teorema de Buckingham
(1867 – 1940)
78
79. Teorema dos Buckingham
O lorde do condado de Buckingham descobriu, no
início do século XX, uma relação de enorme valor.
Como ele usou a letra grega para designar os
grupos adimensionais seu teorema ficou conhecido
como o teorema dos .
79
Análise dimensional
80. Análise dimensional
Dado um problema físico que possa ser expresso
pela relação:
q1 = f (q2, q3,..., qn)
Onde:
q1: é o parâmetro dependente
q2, q3,..., qn: são os (n-1) parâmetros independentes
80
81. Análise dimensional
Matematicamente podemos expressar a expressão
funcional equivalente por:
g = f (q1,q2, q3,..., qn) = 0
Onde:
g: é uma função não especificada, diferente de f
81
83. Análise dimensional
O Teorema de Buckingham afirma que o
investigador não precisa tomar em consideração
cada uma das variáveis em separado, para obter
uma expressão válida de uma lei física.
Pode-se reduzir o número de variáveis em uma
quantidade igual ao número de dimensões em que
se expressam estas variáveis.
83
84. Análise dimensional
Ou seja, os parâmetros podem ser agrupados em
uma quantidade de razões adimensionais,
dadas pela fórmula:
n – K
Onde:
n: números de parâmetros do problema
k: número mínimo de dimensões independentes
necessárias para especificar as dimensões de todos
os parâmetros
84
85. Análise dimensional
Pesquisando-se o conjunto de grandezas da
Mecânica, observa-se a existência de somente 3
grandezas independentes (primárias), a partir das
quais, podem ser relacionadas as demais
grandezas (derivadas).
Na base MLT, tem-se as grandezas primárias:
Massa, comprimento e tempo;
Na base FLT, tem-se as grandezas primárias:
Força, comprimento e tempo;85
86. Teorema dos Pi Buckingham
Passo 1: Listagem dos parâmetros (n) envolvidos
Se todos os parâmetros pertinentes não forem incluídos, uma
relação pode ser obtida, mas não fornecerá a história completa.
Se houver inclusão de parâmetros que não têm efeito sobre o
fenômeno físico em estudo, o processo de análise dimensional
mostrará que eles não entram na relação buscada.
ΔP = g(x, D, ρ, μ, ε , v)
G = (∆P,x,D, ρ, μ, ε,v) = 0
(n = 7 parâmetros)
86
Análise dimensional
87. Teorema dos Pi Buckingham
Passo 2: Escolha das dimensões básicas (k)
Selecione um conjunto (k) de dimensões primárias.
Por exemplo:MLT ou FLT (Em ambos os casos k = 3)
87
Análise dimensional
88. Teorema dos Pi Buckingham
Passo 3: Expressão dos parâmetros em termos das
dimensões básicas
Expresse todos os parâmetros em termos das dimensões básicas
(MLT), G =(∆P,x,D, ρ, μ, ε,v) = 0
∆P [M/LT2
]
x [L]
D [L]
ρ
μ
ε
v
88
Análise dimensional
89. Análise dimensional
Passos para determinação dos grupos :
Listar as dimensões de todos os parâmetros em
termos das dimensões primárias: (MLT)
Variável D
x
∆P V ε ρ μ
Dimensão L L ML-1
t -2
L t -1
L ML -3
ML-1
t -1
89
90. Teorema dos Pi de Buckingham
Passo 4: Determinação do número de termos Pi
n (Pi) = n – k = 4
90
Análise dimensional
91. Teorema dos Pi de Buckingham
Passo 5: Escolha das variáveis de referência
Escolha uma quantidade de variáveis de referência (r), que
seja igual ao número de dimensões básicas. Estes
parâmetros não podem ter as mesmas dimensões finais.
Ex.: (ρ,v, D ) r = k = 3
91
Análise dimensional
92. Teorema dos Pi Buckingham
Os 7 parâmetros envolvidos no cálculo da queda de pressão
em um tubo horizontal podem ser classificados:
Comprimento do tubo: x
Diâmetro do tubo: D
Rugosidade do tubo: ε
Massa específica do fluido: ρ
Viscosidade do fluido: μ
Velocidade do escoamento: v
Queda de pressão: ΔP
92
Análise dimensional
GEOMÉTRICOS
(dimensões lineares)
FÍSICOS
CINEMÁTICOS
93. Análise dimensional
Passos para determinação dos grupos :
Selecionar da lista um nº de parâmetros a serem
repetidos (r), igual ao nº de dimensões primárias
(m), desde que sejam incluídas todas as
dimensões primárias
m = r = 3 parâmetros a serem repetidos
Variável D
x
∆P V ε ρ μ
Dimensão L L ML-1
t -2
L t -1
L ML -3
ML-1
t -1
93
94. Análise dimensional
Passo 6: Construção dos termos Pi
Estabeleça equações dimensionais combinando os
parâmetros selecionados no Passo 5 com cada um
dos outros parâmetros a fim de formar grupos
adimensionais.
G = (∆P, x , ρ, v, D, μ, ε) = 0
1 = ρa
Vb
Dc
∆P
2 = ρd
Ve
Df
x
3 = ρg
Vh
Di
ε
4 = ρj
Vk
Dm
μ94
95. Teorema dos Pi de Buckingham
Passo 7: Resolução dos sistemas de equações
dos termos
Resolva as equações dimensionais para obter os n-k grupos
adimensionais. G = (∆P, x, ρ, v, D, μ, ε) = 0
95
Análise dimensional
π1
= ρ
a
v
b
D
c
ΔP
M 0
L0
T 0
=
(M
L3)
a
(L
T)b
(L) c
( M
LT2)
M : 0 = a + 1 ⇒ a =−1
L: 0 =−3a + b +c−1 ⇒ c =0
T : 0 =−b − 2 ⇒ b =−2
96. Análise dimensional
Encontrando o grupo adimensional 1:
1 = ρa
Vb
Dc
∆P =
M: a + 1 = 0 a = - 1
L: -3a + b + c – 1 = 0 c = 0
T: - b + 2 = 0 b = - 2
1 = ρ-1
V-2
D0
∆P
96
97. Teorema dos Pi de Buckingham
Passo 7: Resolução dos sistemas de equações
dos termos Pi
Agora resolva as equações dimensionais para obter os outros
n-k grupos adimensionais.
97
Análise dimensional
π2
= ρ
d
v
e
D
f
x π 2
=
L
D
π 3
= ρ g
v h
Di
∈¿
¿
π 3
= ∈
D
π4
= ρ
j
v
k
D
m
μ π4
=
μ
ρ v D
98. Teorema dos Pi de Buckingham
Passo 8: Verificando a adimensionalidade dos
termos Pi
98
Análise dimensional
π 2
=
x
D
L
L
= 1
π 3
= ∈
D π1
=
ΔP
ρ v 2
π4
=
μ
ρ v D
99. Teorema dos Pi de Buckingham
Dada uma relação entre n parâmetros, então os n
parâmetros podem ser agrupados em n-k razões independentes
adimensionais, ou parâmetros que podem ser expressos na
forma funcional por:
99
Análise dimensional
π 1
= g (π 2 , π 3
, . . ., πn −k )
G = ( π1, π2 , π3
, ..., π n−k ) = 0
100. Teorema dos Pi de Buckingham
100
Análise dimensional
π1
=
ΔP
ρ v 2 π4
=
μ
ρ v D
π 3
= ∈
D
π 2
=
L
D
π 1
= g (π 2 , π 3
, . . ., πn −k )
ΔP
ρ v
2
= g
(x
D
,
e
D
,
μ
ρ v D)
Passo 9: Encontrando a função dos termos
101. Teorema dos Pi de Buckingham
A forma da função deve ser determinada
experimentalmente. Entretanto, em vez de realizar 1
milhão de experimentos, pode-se estabelecer a
natureza da função a partir de 10 experimentos
apenas.
101
Análise dimensional
ΔP
ρ v
2
= g(L
D
,
D
,
μ
ρ v D)
102. Teorema dos Pi de Buckingham
Somente o parâmetro precisa ser
variado. E isto pode ser feito simplesmente pela
variação da velocidade, por exemplo.
102
Análise dimensional
ΔP
ρ v
2
= g
(L
D
,
D
,
μ
ρ v D)
π4
=
μ
ρ v D
103. Teorema dos Pi de Buckingham
Encontrar a relação entre os termos Pi usando as
dimensões F L T.
103
Análise dimensional
104. 104
Análise dimensional
Grupos adimensionais
Existem várias centenas de grupos adimensionais
de importância para a engenharia.
Seguindo a tradição, cada um desses grupos
recebeu o nome de um cientista que pela primeira
vez o utilizou.
Alguns são fundamentais para a mecânica dos
fluidos. Nós hoje encontramos um deles.
105. 105
Análise dimensional
Grupos adimensionais
Alguns são fundamentais para a mecânica dos
fluidos. Nós hoje encontramos um deles. O número
de Reynolds. (Osborne Reynolds, 1880)
Re=
1
π 4
=
ρ v D
μ
106. Análise dimensional
Grupos adimensionais importantes para a MF
Com o passar dos tempos vários grupos adimensionais
diferentes foram identificados. Seguindo uma tradição,
cada um recebeu o nome do cientista que o utilizou
pela primeira vez.
Alguns ocorrem com muita frequencia que vão ser
apresentados na lâmina a seguir.
106
107. Análise dimensional
Números adimensionais:
1880 – Número de Reynolds:
Re =
Parâmetro chave para determinar o regime de um
escoamento. É a razão entre forças de inércia e forças
viscosas.
Escoamentos com Re muito grandes são turbulentos.
Aqueles em que as forças de inércia são pequenas
comparadas com as viscosas, são chamados
escoamentos laminares107
108. Análise dimensional
Números adimensionais:
Número de Euler:
Eu =
É a razão entre forças de pressão e forças de inércia.
É conhecido como coeficiente de pressão. É utilizado no
estudo de fenômenos de cavitação.
108
109. Análise dimensional
Números adimensionais:
Número de Froude:
Fr2
=
O número de Froude elevado ao quadrado pode ser
interpretado como a razão entre forças de inércia e a
gravidade.
É utilizado no estudo de escoamento em canais abertos,
onde L (o comprimento característico é a profundidade
da água). Número de Froude < 1, indicam escoamento
subcrítico e > 1, escoamento supercrítico.109
110. 110
Análise dimensional
Exercício proposto 7.14 FOX 6ªed.
Medições da altura de líquido a montante de uma
obstrução colocada em um escoamento de canal
aberto podem ser usadas para determinar a vazão em
volume (Q). Admita que a vazão sobre um vertedor é
uma função da altura a montante (h), da gravidade (g)
e da largura do canal (b). Utilize a análise dimensional
para determinar a dependência funcional de Q em
relação às outras variáveis.
111. 111
Análise dimensional
Exercício proposto 7.17 FOX 6ªed.
O tempo (t) para drenagem de óleo para fora de um
recipiente de calibração depende da viscosidade (),
da massa específica do fluido (), do diâmetro do
orifício (D), e da gravidade (g). Utilize a análise
dimensional para determinar a dependência funcional do
tempo (t) em relação às outras variáveis.
112. 112
Análise dimensional
Exercício proposto 7.17 FOX 6ªed.
Encontre um conjunto adequado de parâmetros
adimensionais para organizar dados oriundos de uma
experiência de laboratório, na qual um tanque é drenado
através de um orifício a partir de um nível inicial de
líquido (h0). O tempo (t) para esvaziar o tanque depende
do seu diâmetro (D), do diâmetro do orifício (d), da
aceleração da gravidade (g), da massa específica () e
da viscosidade do fluido (). Quantos parâmetros
adimensionais resultarão? Quantas variáveis de
referência devem ser selecionadas? Explicite o
parâmetro que contém a viscosidade.
113. Referências
BROWN, George Granger. Operaciones basicas de la
Ingenieria Quimica. Editorial Marin. Barcelona: 1965
ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecânica dos fluidos:
Fundamentos e aplicações. McGraw Hill do Brasil. 2007.
FOUST, Alan S. ; WENZEL, Leonard A.; CLUMP, Curtis W.;
MAUS, Louis. Principios de Operaciones Unitarias. Companhia
Editorial Continental. Mexico. 13ªed.
FOX, Robert W.; McDONALD, Alan T. Introdução à mecânica
dos fluidos. Ed. LTC: Rio de Janeiro. 2009. 6ªed.
McCABE, Warren L; SMITH, Julian C.; PETER, Harriott,
Operações basicas da Engenharia Quimica. McGraw Hill do
Brasil. 5ed.
113