1) O documento apresenta resoluções de problemas de matemática para concursos públicos. 2) As soluções envolvem cálculos geométricos, algébricos e proporcionais para triângulos, máquinas, sequências numéricas e conjuntos. 3) As respostas são apresentadas de forma passo-a-passo e com justificativas para chegar aos resultados finais.

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- CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO RIO DE JANEIRO - MOTORISTA - 2012 -
PROVA DE MATEMÁTICA
Resolução da Prova
por
Prof.: Thieres Machado
aulastm@bol.com.br
Solução:
Sejam x, y e z as medidas dos ângulos internos do triângulo e k a constante de proporcionalidade. Como a
razão entre eles é de 1:2:3 e x + y + z = 180° temos:
x y z
k
1 2 3
= = = , portanto x = k ; y = 2k e z = 3k. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é
180° (x + y + z = 180°), podemos escrever o seguinte: k + 2k + 3k = 180°, então 6k = 180º e k = 30°.
Concluímos que: x = 30º (menor), y = 60º e z = 90º.
RESP.: OPÇÃO 2
Solução:
1 máquina – 500 pacotes.
4 máquinas – 4.500 = 2000 pacotes.
1 máquina nova – 20% maior do que a maquina velha = 500 + 20% de 500 = 600 pacotes.
2 máquinas novas – 2.600 = 1200 pacotes.
Produção total = 2000 + 1200 = 3200 pacotes.
RESP.: OPÇÃO 1

2. Solução:
Observando a tabela dada no enunciado, temos:
W – 5 = 1, então W = 6. X – Y = 7, como Y = 2, então X = 9.
4 – Y = 2, então Y = 2. W – Z = 1, como W = 6, então Z = 5.
2X – Y – Z + W = 2.9 – 2 – 5 + 6 = 17.
RESP.: OPÇÃO 3
Solução:
Bebia 0,5 l/dia passou a beber 2 l/dia, então houve um aumento de 1,5 l/dia.
0,5 l (equivalem a 100%), logo 1,5 l = 3.0,5 (três vezes 0,5; equivalem a 300%).
Observação: aumentou-se a quantidade de água ingerida, logo haverá um aumento na porcentagem, portanto
as grandezas (litros e %) são diretamente proporcionais.
RESP.: OPÇÃO 4

3. Solução:
Observado a sequência temos:
220 – 218 = 2
218 – 216 = 2
216 – 212 = 4
212 – 208 = 4
208 – 202 = 6
202 – 196 = 6
196 – 188 = 8
188 – ? = 8
Veja que a cada três termos, o valor da diferença entre um termo e seu antecessor é aumentado de 2 unidades
em relação ao último valor da diferença, então (diferença entre os dois últimos termos é igual a 8) a diferença
entre 188 e o próximo termo deve ser 8, logo 188 – 8 = 180.
RESP. OPÇÃO 3
Solução:
Sejam A, J e M as quantidades de figurinhas de Antônio, João e Marcos respectivamente e estas quantidades
devem ser números inteiros positivos. Do enunciado temos:
- “... Antônio tem duas miniaturas menos do que João.” (matematicamente em símbolos): A = J – 2. (1)
- “Este (João), ..., tem metade da quantidade de miniaturas de Marcos”: J = M/2. (2)
- “Se triplicasse a sua coleção, Antônio passaria a ter mais miniaturas do que Marcos.”: 3.A > M. (3)
Substituindo a relação (2) em (1):
M
A J 2 A 2 2A M 4 M 2A 4.
2
= − → = − ⇔ = − ⇔ = + (4)
Da relação (4) em (3):
3A > M, então 3A > 2A + 4 e A > 4. Concluímos que a quantidade de miniaturas de Antônio tem que ser
maior do que 4.
Como a pergunta se refere a menor quantidade de miniaturas que Marcos pode possuir, escolheremos para a
quantidade de miniaturas de Antônio o valor mínimo e a partir desta, descobriremos as demais, isto é,
Como A > 4, façamos A = 5 (menor número maior do que 4). Logo M = 14.
RESP.: OPÇÃO 1

4. Solução:
Com gasolina: 14 km/litro.
Com álcool: 10 km/litro.
Capacidade do tanque = 50 litros.
20% de 50 litros = 10 litros, isto é, o tanque está com 10 litros de álcool e 50 – 10 = 40 litros de gasolina.
Com 10 litros de álcool percorrerá: 10.10 = 100 km.
Com 40 litros de gasolina percorrerá: 40.14 = 560 km.
Portanto, nas condições dadas, o carro pode percorrer: 100 + 560 = 660 km.
RESP.: OPÇÃO 2
Solução:
f(1) = -4 e f(2) = 1
f(x) + (P -1)f(2x) = 3, fazendo x = 1 (pois, f(2x) = f(2) se 2x = 2, então x = 1).
f(1) + (P – 1).f(2) = 3 4 (P 1).1 3 P 8⇔ − + − = ⇔ = . Agora, como queremos o valor de f(4), devemos fazer x =
2, pois em f(2x) com x = 2, teremos f(4). Veja:
x = 4 f (2) (8 1).f(4) 3 1 7.f (4) 3 f(4) 2 / 7.→ + − = ⇔ + = ⇔ =
RESP.: OPÇÃO 2

5. Solução:
Analisando as opções:
Opção 1: O símbolo ∈ é usado para relacionar elemento e conjunto. Veja que Y = {1,2} não pertence a X, isto
é, o elemento {1,2} não pertence a X, não vemos este elemento em X. Esta opção é falsa.
Opção 2: O elemento 2 não contém o conjunto X. Esta opção é falsa.
Opção 3: Veja que X união Y é igual a X, pois todo elemento de Y pertence a X. Esta opção é falsa.
Opção 4: O conjunto Z possui apenas 2 elementos de X, logo Z não contem X. Esta opção é falsa.
Opção 5: X interseção Y é igual ao conjunto {1,2} e {1,2} interseção Z = {4,6,8} é vazia, pois não temos
elementos na interseção. Esta opção é verdadeira.
RESP.: OPÇÃO 5
Solução:

6. Sejam R e r as medidas dos raios das circunferências maior e menor, respectivamente.
Observe que a área pedida é a área de um setor angular, cujo ângulo central mede 90º - 18º = 72° e o raio é a
medida do raio da circunferência menor, r. Utilizaremos a relação
2
r
360
π α
para o cálculo da medida do setor
angular, cujo ângulo central mede 72α = ° e raio r. Vamos descobrir a medida de r. Do enunciado, temos:
Amaior = 160, então
4
2 160 2 .2.5 10
R 160 R 4 .π
π π π
= ⇔ = = = E
r =
3
R
4
=
3 10 10
.4 3 .
4 π π
=
Asetor =
2
r
360
π α
Asetor =
2
2
10 10. 3 .72 .9. .72
9.10.72
18cm
360 360 360
π ππ π
 
 
  = = = .
RESP.: OPÇÃO 4
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