Capitulo vi el plano

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EL PLANO
1. DETERMINACIÓN DE UN PLANO. De todas las formas posibles de
representar o determinar un plano, ellas puede reducirse a
las siguientes formas:
a. Por tres puntos no situados en línea recta:
En este caso se ha representado el plano por los puntos
m, n y s no situados en línea recta.
b. Por dos rectas que se cortan.
En este caso hemos representado un plano por las rectas
ab y cd que se cortan en el punto t.

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c. Por dos rectas paralelas.
Representamos el plano como por ejemplo: un triángulo,
un paralelogramo, un círculo, etc., puede representar un
plano. Hay que tener en cuenta también que un polígono
cualquiera plano puede representar a un plano, pero
teniendo cuidado, que al darse sus proyecciones, se
pueda comprobar fehacientemente que todos sus elementos
se hallan coplanares.

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d. Por una figura geométrica cualquiera plano:
Cualquier figura plana como por ejemplo: un triangulo,
un paralelogramo, un circulo, etc. Puede representar un
plano, pero teniendo cuidado, que al darse sus
proyecciones, se pueda comprobar fehacientemente que
todos sus elementos se hallan coplanares.
2. DEPURADO CLÁSICO DE UN PLANO
Para efectos de nuestro estudio, representaremos siempre un
plano mediante un triángulo cualquiera.
Considerando que un plano es ilimitado, hay que tener
presente que el triángulo representativo del plano no es
único, pues el mismo plano se podrá representar por

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infinitos triángulos, según las necesidades de elementos de
estudio.
En la Fig. 5, estamos representando el plano por el
triángulo abc, y que en todos los casos leeremos: El plano
abc.
3. PROBLEMAS FUNDAMENTALES EN EL PLANO
Se puede considerar como problemas fundamentales en el
plano los siguientes:
a. Localización de una recta cualquiera en el plano.

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El objetivo básico de este problema, es que: para
determinar en forma completa una recta de un plano,
primeramente tenemos que darnos una de las proyecciones
de dicha recta y encontrar la otra proyección de la
misma, aplicando las propiedades de rectas que se
cortan.
Aplicación: Se da la proyección horizontal mHnH de una
recta mn contenida en el plano abc. Se pide encontrar la
proyección frontal mFnF de la misma.
Procedimiento:

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Análisis previo: como la recta mn se encuentra en el
plano abc, quiere decir que deberá cortar a dos rectas
cualquiera de él. En nuestro caso, la recta mn corta a
la recta ab en el punto 1 y a la recta ac en el punto 2.
Las proyecciones horizontales de los puntos 1 y 2,
sabiendo que estos deben encontrarse en las proyecciones
frontales de las rectas ac y ab.
Uniendo las proyecciones frontales de los puntos 1 y 2,
queda determinada la proyección frontal de la recta mn
buscada y cuyos puntos extremos se definen por simples
líneas de referencia.
Depurado:
 Donde la proyección mHnH corta a las proyecciones
horizontales aHcH y aHbH de las rectas, se encuentran
1H y 2H respectivamente.
 Por la proyección 1H una referencia hasta cortar a
aFcF en un punto que será 1F; en forma semejante, por
2H bajamos una referencia hasta cortar a bFaF en el
punto 2F.
 Unimos las proyecciones 1F y 2F que nos va a definir
la proyección que falta de la recta.
 Mediante líneas de referencia, determinamos mF y nF.
Nota: En forma análoga se puede resolver el problema
planteado de la siguiente manera: Dado la proyección

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frontal de una recta de un plano, determinar su
proyección horizontal.
La solución se efectúa bajo las mismas consideraciones
hechas en el caso anterior.
b. Localización de un Punto cualquiera en un Plano:
Aplicación: Se da la proyección horizontal aH de un
punto de un plano mns. Se pide encontrar su proyección
frontal.

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Análisis previo: Si un punto se encuentra en un plano,
entonces forzosamente debe encontrarse en alguna recta
de él.
Por esta razón, por la proyección horizontal del punto,
hacemos pasar la proyección horizontal de una recta
cualquiera y que pertenezca al plano dado.
Se encuentra la proyección frontal de la recta auxiliar
tomada (con el método del problema 3a).
Finalmente, con una referencia determinamos la
proyección aF buscada que debe encontrarse en la
proyección frontal de la recta auxiliar.
Depurado:
 Por aH y mH hacemos pasar la proyección horizontal
de una recta auxiliar y que se encuentre en el plano
mns.
 La proyección aHmH tiene que cortar a la recta sHnH
en el punto de proyección horizontal 1H.
 Se determina la proyección 1F (que se encuentra en
sFnF).
 Determinamos la proyección frontal mF1F de la recta
auxiliar.
 Como el punto a se encuentra en la recta auxiliar,
con una simple línea de referencia trazada por aH

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hasta que la corte, queda determinada la proyección
buscada aF del punto.
Nota: con un procedimiento semejante, se puede resolver
el problema cuando se da la proyección frontal del
punto, para hallar su proyección horizontal. El alumno
puede resolver este ejercicio en base a lo aprendido en
el caso anterior.
VISTAS PARTICULARES DEL PLANO EN EL ESPACIO
Generalmente un plano en el espacio, puede tener una posición
arbitraria o sea que puede presentarse en infinitas formas,
pero referidas a los planos de proyección, pueden adoptar
formas particulares que signifiquen ayuda para su estudio y
que pueden favorecer grandemente a la solución de los
numerosos problemas planteados en todos los casos.
1. Planos Perpendiculares a los planos de proyección: Planos
de Canto.
2. Planos Paralelos a los planos de proyección: Planos de
Verdadera Magnitud.
1. Planos Perpendiculares a los planos de proyección: Planos
de Canto.
A este tipo de planos, en muchos textos se les conoce con
diferentes nombres, tales por ejemplo como: Planos con
vista Lineal, Planos Normales, Planos inclinados, Planos

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auxiliares, etc. Es necesario que el alumno se familiarice
con toda la nomenclatura existente para que en cualquier
momento, sepa identificarlos.
Los Planos perpendiculares a los planos de proyección,
pueden ser los siguientes:
a. PLANO DE CANTO VERTICAL. Es el plano que es
perpendicular al plano horizontal de proyección.
Sus características en el depurado son las siguientes:
 Su Proyección Horizontal es una línea.
 Cualquier punto, recta o figura que esté contenido en
este plano, tiene su proyección horizontal confundida
con la proyección horizontal del plano de canto
vertical.
 Sus proyecciones frontal y lateral son arbitrarias.

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b. PLANO DE CANTO NORMAL. Se llama así al plano que es
perpendicular al plano frontal de proyección.
Sus características en el depurado son:
 Su Proyección Frontal es una línea.

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 Cualquier punto, recta o figura que esté contenido en
este plano, tiene su proyección frontal confundida
con la proyección frontal del plano.
 Sus proyecciones horizontal y lateral son
arbitrarias.

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c. PLANO DE CANTO LATERAL (paralelo al eje H-F). Es el
plano que tiene que ser perpendicular al plano lateral
de proyección. A este tipo de plano también se le conoce
con el nombre de Plano paralelo al eje H-F.
 Su Proyección lateral o de perfil es una línea.
 Todas las figuras contenidas en él, tienen su
proyección de perfil confundidas con las del plano.
 Sus proyecciones horizontal y frontal son
arbitrarias.

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2. Planos Paralelos a los planos de proyección: Planos de
Verdadera Magnitud.
Algunos textos los conocen con los nombres de: Planos
Normales, Planos de Vista de Canto, etc.
Los planos paralelos a los planos de proyección son:
a. PLANO HORIZONTAL. Son los planos Paralelos al Plano
Horizontal de Proyección.
 Su Proyección Frontal es una línea paralela al eje
H-F.
 Su Proyección Horizontal se ve en verdadera magnitud.
Toda gran figura contenida en este plano, se proyecta
en verdadera extensión en proyección horizontal.
 Su Proyección lateral es una recta paralela al eje
H-F.

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b. PLANO FRONTAL. Es el Plano Paralelo al plano frontal de
proyección.
 Su Proyección Horizontal es una línea paralela al eje
H-F.
 Su Proyección Frontal se ve en verdadera magnitud.
Toda figura contenida en él, se proyecta en
proyección frontal en su misma extensión.
 Su Proyección Lateral es una recta perpendicular al
eje H-F.

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c. PLANO LATERAL O DE PERFIL. Es el Plano Paralelo al plano
lateral de proyección. Fig. 6 y 6a.
 Su Proyección Horizontal y Frontal se encuentran en
una misma línea perpendicular al eje H-F.
 Su Proyección Lateral se ve en Verdadera magnitud.
Toda figura contenida en este tipo de plano, se
proyecta en su proyección lateral en su verdadera
extensión o magnitud.

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RECTAS PRINCIPALES O NOTABLES DEL PLANO
Además de poder identificar cualquier tipo de recta, que se
encuentre contenida en un plano, existen varios tipos que a
través de sus características especiales, tienen posiciones
especiales con sus formas propias dentro del depurado.
Estas rectas en cuestión se les llaman Rectas Principales o
Notables de un Plano; y las consideraremos a las siguientes:
1. Horizontales del Plano
2. Frontales del Plano

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3. Recta de Perfil del Plano
4. De Máxima Pendiente
1. HORIZONTALES DEL PLANO
Horizontal del Plano, es la recta que pertenece al plano y
es paralela al plano horizontal de proyección. Un plano
tiene infinidad de rectas horizontales.
Su determinación: Para encontrar una recta horizontal del
plano se procede en la siguiente forma:
a. Primeramente se traza la Proyección Frontal de la
Horizontal, paralela al eje H-F.
b. Ahora, considerando que esta Horizontal pertenece al
plano, determinamos su Proyección horizontal, aplicando
el primer problema fundamental del plano.
Aplicación: Encontrar las proyecciones de una recta
horizontal del plano abc.

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Procedimiento:
 Consideremos que la recta horizontal es mn.
 Trazamos mFnF paralela al eje H-F.
 Encontramos mHnH aplicando el procedimiento general.
2. FRONTALES DEL PLANO
Frontal del Plano, es la recta que pertenece a él, es
paralela al plano frontal de proyección. De igual manera,
un plano cualquiera tiene infinidad de frontales.
Su determinación: Para encontrar la recta frontal de un
plano, procedemos en la siguiente forma:
a. Trazamos primero la Proyección Horizontal de la recta
Frontal buscada.
b. Como la recta pertenece al plano, encontramos su
proyección frontal, aplicando el primer problema
fundamental del plano.
Aplicación: Determinar las proyecciones de una recta
frontal del proyección mns.

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Procedimiento:
 Llamemos a la recta frontal buscada vz.
 Trazamos vHzH paralela al eje H-F.
 Encontramos vFzF con ayuda del procedimiento general.
3. RECTA DE PERFIL DEL PLANO
Recta de Perfil de un Plano, es la recta que es paralela al
plano lateral o de perfil de proyección. Un plano dado,
tiene infinidad de rectas de perfil.
Su determinación:

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 Trazaos las proyecciones horizontal y frontal de la
recta buscada, de modo que sean perpendicular al eje
H-F.
 Como para que la recta quede definida, se necesitan dos
puntos de ella, los tomamos donde ella corte a las otras
dos rectas cualquiera del plano.
Aplicación: Hallar las proyecciones de una recta de perfil
st del plano abc.

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4. RESTAS DE MÁXIMA PENDIENTE
Generalidades: Si dos planos se cortan, la recta de uno de
ellos forma el ángulo máximo con el otro, es perpendicular
a la intersección de ambos planos.
Tomemos los planos P y Q, cuya intersección es la recta mn.
Tomemos en el plano Q un punto cualquiera tal como a y
trazamos desde éste punto el segmento perpendicular ab a la
intersección mn y que se encuentre en P.
La proyección de ab en el plano P es el segmento bc.
Sabemos que la proyección bc es también perpendicular a la
intersección mn (teorema de las tres perpendiculares).

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Tomemos ahora un punto cualquiera d en la recta mn y lo
unimos con los puntos a y c. El segmento dc viene a ser la
proyección de ad en el plano P.
Tenemos que demostrar que cdacba

>
 Por perpendicularidad y oblícua: cb < cd
 Tomemos en el segmento cd una longitud cs = cb
 Trazemos el segmento as.
 Tenemos que tríangulo abc = triángulo asc por ser
triángulos rectángulos que tienen iguales catetos;
por lo tanto.
csacba

=
 Pero el ángulo csa

, como ángulo externo que es del
triángulo asd, será:
sadcdacbacsa

+==
 Por lo tanto tendremos:
cdacdacba

+=
Línea de Máxima Pendiente de un Plano: (Fig. anterior)
Puesto que la recta ab del plano P forma el ángulo máximo
con el plano Q entre todas las rectas que parten del punto

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a y cortan a la intersección mn de los dos planos, esta
línea, que es una de las pendientes del plano P, no puede
confundirse en ningún momento con alguna otra, y se le
designa con el nombre de la de Máxima Pendiente del Plano.
Por lo tanto, para efecto del Curso definiremos a la recta
de Máxima pendiente de un plano P con respecto a otro plano
Q, a la recta que es perpendicular a la intersección de los
dos.
Para obtener utilidades en el transcurso del estudio de las
propiedades de un plano, referiremos el de las Rectas de
máxima pendiente en cuanto a los tres planos de proyección:
Horizontal, Frontal y Lateral.
Esto significa que existirán las siguientes:
a. De Máxima Pendiente respeto al plano Horizontal
b. De Máxima Pendiente respeto al plano Frontal.
c. De Máxima Pendiente respeto al plano Lateral.
a. Rectas De Máxima Pendiente respeto al plano Horizontal
Generalidades:

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 Consideremos el plano P cuya intersección con el
plano horizontal de proyección H es la recta i.
 Sea la recta mn la recta de máxima pendiente respecto
al plano horizontal.
 Por definición sabemos que Recta mn ⊥ Recta i.
 Pero la recta i tiene que ser paralela a todas las
rectas horizontales del plano P.
 Por lo tanto, la recta mn deberá ser entonces,
perpendicular a todas las horizontales del plano P.
 Si tomamos una horizontal st del plano y como sabemos
que ella es perpendicular a la recta mn, deberá
cumplirse:
mHnH ⊥ sHtH
(propiedad de rectas perpendiculares cuando una de
ellas es paralela al plano horizontal de proyección)
En base a esta característica fundamental, es que se
determina las proyecciones de cualquier recta de máxima

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pendiente con respecto al plano horizontal de
proyección.
Aplicación: Determinar las proyecciones de una recta de
máxima pendiente mn, con respecto al plano horizontal de
proyección, de un proyección abc.
Procedimiento:
 Trazamos la recta horizontal del plano abc. Recta at.

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 Definimos la proyección horizontal de la recta
buscada con la condición de:
mHnH ⊥ aHtH
 Como sabemos que la recta mn pertenece al plano abc,
determinamos su proyección frontal mFnF aplicando el
primer problema fundamental del plano (localización
de rectas).
b. Rectas De Máxima Pendiente respeto al plano Frontal.
Generalidades: Sea el plano P que interseca al plano
frontal de proyección según la recta i.
 Tomemos la recta vz como la de máxima pendiente con
respecto al plano frontal del plano P.
 Sabemos por definición que la Recta vz ⊥ Recta i.
 Pero además, la recta i es paralela a todas las
rectas frontales del plano P. De esto podemos deducir
entonces que la recta de máxima pendiente con
respecto al plano frontal vz es perpendicular a todas
las rectas frontales del plano P.
 Por lo tanto, si tememos una frontal del plano xy y
ésta es perpendicular a la recta vz, se debe cumplir:
vFzF ⊥ xFyF
(propiedad de dos rectas perpendiculares, cuando una
de ellas es paralela al plano frontal)

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Con esta característica básica, es que se determina las
proyecciones de cualquier recta de máxima pendiente con
respecto al plano frontal de proyección.
Aplicación: Se da un plano abc. Determinar las
proyecciones de una recta de máxima pendiente vz con
respecto al plano frontal de proyección.

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Procedimiento:
 Trazamos la recta cw frontal al que pase por el punto
c.
 Definimos la proyección frontal de la recta buscada
con la condición básica de:
vFzF ⊥ cFwF
 Perteneciendo la recta vz al plano abc, se determina
la proyección horizontal vFzF aplicando el problema
fundamental del plano (localización de rectas).
c. Rectas De Máxima Pendiente respeto al plano Lateral.
Generalidades: Es una forma análoga a los casos
anteriores se puede establecer, que la recta de máxima
pendiente de un plano P con respecto al plano lateral de
proyección, es perpendicular a todas las rectas de
Perfil del plano.

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Consideremos la recta ab como la de máxima pendiente con
relación al plano lateral de proyección del plano mns.
Sea zw una recta de perfil cualquiera de dicho plano.
Fig. 15.
Por definición sabemos que: ab es perpendicular a la
recta zw, pero como la recta zw es paralela al plano de
perfil, se tiene que cumplir que:
aPbP ⊥ zPwP
Procedimiento:
 Primeramente se determina las proyecciones de perfil
de una recta cualquiera de perfil del plano, o sea en
nuestro caso hallamos zPwP.

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 En esta proyección trazamos aPbP ⊥ zPwP. La
determinación de las proyecciones horizontal y
frontal de la recta buscada, se efectúa aplicando las
propiedades de las rectas de un plano.

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PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
A. PARALELISMO
1. Paralelismo entre Rectas. Si dos rectas ab y mn son
paralelas entre sí: sus proyecciones horizontales,
sus proyecciones frontales y sus proyecciones de
perfil deben ser paralelas entre sí, respectivamente.
De modo, que si la recta ab es paralela a la recta mn
debe cumplirse los siguientes postulados:
Condición Nº 1: aHbH // mHnH
Condición Nº 2: aFbF // mFnF
Condición Nº 3: aPbP // mPnP
Estas tres condiciones deben cumplirse simultáneamente.
Si sólo una de ellas no se cumple para que dichas rectas
no sean paralelas.

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2. Paralelismo entre Rectas y Planos: Para que una recta
sea paralela a un plano, es necesario y suficiente que
la recta sea paralela por lo menos a una recta del
plano.
 recta ab // st
 recta st en el
plano P
 Luego recta
ab // P
Determinación y comprobación en el Depurado: Dado la
recta anb en el espacio y el plano mns, verificar si la
recta y el plano son paralelos.
Procedimiento:
a. Nos damos la proyección horizontal de una recta
auxiliar del plano tal como la a’-b’ y que cumpla con
la condición Nº1 de paralelismo entre rectas.

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b. Teniendo en cuenta que a’-b’ pertenece al plano,
determinamos su proyección frontal a’Fb’F (primer
problema fundamental del plano).
c. Si obtenemos a’Fb’F//aFbF (condición Nº 2 de
paralelismo entre 2 rectas), la recta será paralela
al plano. Caso de que esto no se cumpla, la recta ab
no será paralela al plano.
Nota. Así como se empieza trabajando con la proyección
horizontal de la recta, también se puede iniciar la

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comprobación por la proyección frontal a’Fb’F. Todo el
resto del proceso, es semejante al del caso anterior.
3. Paralelismo entre Planos:
Si dos planos son paralelos entre sí, es condición
necesaria y suficiente que tengan por lo menos dos
rectas paralelas entre si y en diferente dirección.
Fig. 4 y 4a con vista espacial y Fig. 4c nos da la
interpretación en el depurado.

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En los croquis 4 y 4a podemos observar lo siguiente:
Fig. 4
( )
( )msac
mnab
//
//
son paralelos los planos.
Fig. 4a
( )
( )stcd
mnab
//
//
son planos no paralelos.
Bastará entonces, que el en depurado se cumpla:
PPPP
FFFF
HHHH
PPPP
FFFF
HHHH
smca
smca
smca
msac
nmba
nmba
nmba
mnab
//(
//(
//(
//
//(
//(
//(
//

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B. PERPENDICULARIDAD
1. Perpendicularidad entre Rectas.
Dos rectas son perpendiculares entre si, cuando forman
un ángulo de 90º. Cabe hacer notar que las dos rectas no
necesariamente deben cortarse según un punto común;
pueden ser también dos rectas perpendiculares y que se
cruzan.
Principio fundamental: Si dos rectas cualesquiera no
perpendiculares entre sí, y una de ellas es paralela a
un plano, las proyecciones de dichas rectas en ese plano
son también perpendiculares entre sí.
Esto quiere decir, que si la recta a es perpendicular a
la recta b, y la recta a es paralela al plano P, la
proyección aP de la recta a debe ser perpendicular a la
proyección bP de la recta b.

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Colorarios:
Colorario 1: Si la recta ab es perpendicular a la recta
cd, y la recta ab es paralela al plano horizontal de
proyección siguiente:
aHbH ⊥ cHdH
aFbF ≠ cFdF
cd, y la recta cd es paralela al plano frontal de
proyección, las proyecciones frontales de dichas rectas
son perpendiculares entre sí. Quiere decir que se debe
tener lo siguiente:
aFbF ⊥ cFdF
aHbH ≠ cHdH

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mn y la recta ab es paralela al plano lateral de
proyección, las proyecciones de perfil de dichas rectas
son perpendiculares entre sí. Esto significa que se
tendrá lo siguiente:
aPbP ⊥ mPnP
aHbH ≠ mHnH
aFbF ≠ mFnF
2. Perpendicularidad entre Rectas y Planos
Sea la recta ab que es perpendicular al plano cualquiera
P. Referiremos sus proyecciones al plano horizontal de
proyección. Según esto, podemos exponer lo siguiente:
a. Como la recta ab es perpendicular al plano, debe
serlo a cualquier recta de él; digamos a la recta ws.
Por esta razón, la recta ab deberá ser perpendicular
a la recta mn (que en este caso es una horizontal del
plano).
b. Como la recta ab es perpendicular a la recta mn y
siendo mn paralela al plano horizontal de proyección,
debe cumplirse que:

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aHbH ⊥ mHnH
(Corolario 1 de perpendicularidad entre rectas)
c. Si hacemos un análisis análogo con respecto a una
recta frontal del plano, podemos llegar a la
conclusión de que, si la recta ab es perpendicular a
una recta st que es frontal de un plano, y siendo st
paralela al plano frontal, debe cumplirse que:
aFbF ⊥ sFtF
(Corolario 2 de perpendicularidad entre rectas)
Conclusión
Para que una recta perpendicular a un plano cualquiera
quede completamente determinada, basta que su proyección
horizontal sea perpendicular a la proyección horizontal
de una recta horizontal del plano, y que su proyección
frontal, sea perpendicular a la proyección frontal de
una recta frontal del plano. Ambas condiciones deben
cumplirse simultáneamente.

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Aplicación: Trazar una recta ab que sea perpendicular al
plano P representado por los puntos vxz. Fig. 9.
Procedimiento
 Trazamos la horizontal del plano: mn
 Trazamos la frontal del plano: st.
 Definimos la perpendicular buscada ab de la
siguiente manera:
aHbH ⊥ mHnH
aFbF ⊥ sFtF
El alumno deberá ver la Fig. 9a para visualizar todo el
conjunto en el espacio, referido a los planos de
proyección Horizontal y Frontal.

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3. Perpendicularidad entre Planos:
Para que dos planos sean perpendiculares entre sí, es
condición necesaria y suficiente que, en uno de los
planos exista por lo menos una recta que sea
perpendicular al otro plano.
Por lo tanto, si el plano abc es perpendicular al plano
mns debe existir en el plano abc (o en el plano mns) una
recta wd que sea perpendicular al otro plano mns (o al
abc).
De esto podemos deducir un procedimiento para averiguar
si existe perpendicularidad entre dos planos dados:
 Se toma un punto v en el plano abc.
 Por el punto v trazamos la recta vz perpendicular
al plano mns.
 Si la recta vz pertenece al plano abc, quiere decir
que ambos planos dados son perpendiculares.
 Si la recta vz no pertenece al plano abc, significa
que los planos dados no son perpendiculares.
Planos abc y mns:
Recta vz pertenece al plano abc
Luego tendremos:

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Plano abc ⊥ plano mns
Plano abc y msn:
Recta vz ⊥ plano mns
Recta vz no pertenece al plano abc:
Luego tendremos:
Plano abc no es perpendicular al plano mns.

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