Apunts de trigonometria bàsica per a 4t d'ESO

1. Unitat 2: Trigonometria
1. Introducció
1.1 Triangles
1.2 El Teorema de Pitàgores
2. Raons trigonomètriques d'un angle agut
3. Relacions trigonomètriques fonamentals
4. Raons trigonomètriques de 30º, 45º i 60º.
5. Ús de la calculadora
6. Resolució de triangles rectangles
7. Càlcul de longituds i àrees
8. Càlcul de distàncies

2. 1. Introducció
1.1 Els triangles
Quadre classificació
-Un triangle és el polígon de tres costats i tres angles.
*Un polígon és una figura plana formada per una línia
poligonal tancada.
-Classificació segons els costats: Equilàter, Isòsceles i Escalè.
-Classificació segons els angles: Acutangle, Rectangle i Obtusangle.
-Importància en la vida real per la seva indeformabilitat.
Exemples

3. En un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets
és igual al quadrat de la hipotenusa.
Formulació:
Pitàgores de Samos (illa grega), 582-496 aC,
filòsof i matemàtic, relació matemàtiques i la
música, terra rodona, secta dels pitagòrics,
doctrina estricta, “tot és nombre”, prohibit
menjar faves, llegenda mort pel camp de faves.
c
b
a
a2
=b2
c2
1.2 El Teorema de Pitàgores
catet
hipotenusa
catet

4. Demostració geomètrica:
4 blaus + a2
= 4 blaus + b2
+ c2
a2
= b2
+ c2
Fitxa Pitàgores

5. 2. Raons trigonomètriques d'un angle agut
El sinus:
p124: E1, 1 i 2, 19, 20, 21, 23, Fitxa raons
catet
oposat
hipotenusa
α
catet contigu
catet
contigu
β
catet oposat
hipotenusa
c
b
a
sin α=
catet oposat
hipotenusa
=
c
a
α El cosinus: cosα=
catet contigu
hipotenusa
=
b
a
La tangent: tg α=
catet oposat
catet contigu
=
c
b

6. 3. Relacions trigonomètriques fonamentals
sin
2
α+ cos
2
α=1 tg α=
sin α
cosα
c
b
a
α
(c
a )
2
+ (b
a )
2
=1
c
2
a2
+
b
2
a2
=1
c
2
+ b
2
a2
=1
c
2
+ b
2
=a
2
c
b
=
c
a
b
a
c
b
=
c
a
:
b
a
c
b
=
c·a
a·b
c
b
=
c
b
p125:E1,4,27,28,29,fitxaRelacions

7. 4. Raons trigonomètriques de 30º, 45º i 60º
1
1
h
45º
h2
=12
+ 12
;h2
=1+ 1;h2
=2;h=√ 2
sin 45=
1
√ 2
=
1·√ 2
√ 2·√ 2
=
√ 2
2
cos 45=
√ 2
2
tg 45=
1
1
=1
a) Angle de 45º
11
1
60º
1/2
b) Angles de 30 i 60º
a
12
=a2
+ (1
2)
2
;1=a2
+
1
4
;
a2
=1−
1
4
=
3
4
;a=
√3
4
=
√ 3
√ 4
=
√ 3
2
30º

8. 11
1
60º
1/2
b) Angles de 30 i 60º
a
12
=a2
+ (1
2)
2
;1=a2
+
1
4
;
a2
=1−
1
4
=
3
4
;a=
√3
4
=
√ 3
√ 4
=
√ 3
2
30º
sin 30=
1/2
1
=
1
2
cos30=
√ 3/2
1
=
√ 3
2
tg 30=
1
2
:
√ 3
2
=
2
2·√ 3
=
1
√ 3
=
1·√ 3
√ 3·√ 3
=
√ 3
3
sin 60=
√ 3/2
1
=
√ 3
2
cos60=
1/2
1
=
1
2
tg 60=
√ 3
2
:
1
2
=
2·√ 3
2
=√ 3
Fer quadre resum i empollar-lo com a animals

9. 5. Ús de la calculadora
a) Sistema de mesura d'angles
MODE
Deg (1):
Rad (2):
Gra (3):
Degrees = Graus sexagesimals, minuts i segons
Radians: π = 180°, π/2 = 90°
Graus centesimals (90°/100)
Tots posem mode deg
b) Raons trigonomètriques
-Calcular el Cosinus de l'angle 53°23'47'':
COS 53 23 47 = 0,596275472
c) Trobar angle a partir de la raó
-Calcular l'angle que té per tangent 1,34:
SHIFT TAN 1,34 ° ' ''= 53,26717334
tan-1
= 53° 16' 1,82''
fitxa calculadora
° ' '' ° ' '' ° ' ''

10. 6. Resolució de triangles rectangles
a) Problema tipus 1: Tenim dos catets
E3 p127
b) Problema tipus 2: Tenim un catet i la hipotenusa
(Resoldre un triangle significa dir quant valen tots els seus angles i costats)
-Calcular hipotenusa:
-Calcular un dels angles aguts:
-Calcular l'altre angle agut:
fitxa resolució
Per Pitàgores (+)
Amb la tg, i fer inversa
Restar a 90
E4 p127
-Calcular altre catet:
-Calcular un dels angles aguts:
-Calcular l'altre angle agut:
Per Pitàgores (-)
Amb el sin/cos, i fer inversa
Restar a 90
c) Problema tipus 3: Tenim un costat i un angle
E5 p127
-Calcular 2n costat:
-Calcular 3r costat:
-Calcular l'altre angle agut:
Per definició sin/cos/tan
Per definició sin/cos/tan
Restar a 90

11. 7. Càlcul de longituds i àrees
p128, E7, E6 and go on
Àrea pol.reg.=
Perímetre· Apotema
2
Àrea triangle=
Base· Altura
2
Base
h
ap
Només sabent un angle i un costat d'un triangle rectangle, la trigonometria
ens permetrà mesurar altures i apotemes desconeguts.
ap
c
costat
c
c/2
α
h
h=c·sin α
sin α=
h
c α
ap=
c/2
tg α
tg α=
c/2
ap

12. 8. Càlcul de distàncies a punts inaccessibles
47, 48, E9 p129
La clau per resoldre aquests tipus de problemes és:
-Identificar el triangle rectangle
-Tenir un dels costats (cinta mètrica, làser, roda mètrica, etc.)
-Tenir un dels angles (teodolit, clinòmetre)
Amb sin/cos/tg i Pitàgores puc aconseguir tot el què necessito
-Problemes més complexes: 2 triangles rectangles, un SISTEMA D'EQUACIONS
E10, 16, 62, fitxa problemes