1. I Parte
II Parte
Estudio Gr´fico de Funciones
a
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
2. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
3. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
4. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
´
Funcion
Definicion´
Funci´n es una correspondencia entre dos conjuntos “A” y “B” tal
o
que a cada elemento del conjunto “A” le corresponde un unico
´
valor y solo uno del conjunto “B”.
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a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
5. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
´
Funcion
y
La gr´fica de la funci´n “f ”
a o
es el lugar geom´trico de los
e
puntos del plano cuyas
coordenadas satisfacen la
ecuaci´n y = f (x).
o
x
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a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
6. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
7. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Dominio y Recorrido
Dominio
Es el conjunto de los valores de
“x” para los que existe f (x).
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a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
8. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Dominio y Recorrido
Dominio Recorrido
Es el conjunto de los valores de Es el conjunto de todos los
“x” para los que existe f (x). valores de la “y ”
correspondientes a las “x” que
pertenecen al dominio.
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a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
9. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Dominio y Recorrido
Ejemplo
y
2
x
−2
f (x) = senx
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a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
10. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Dominio y Recorrido
Ejemplo
y
2
Dominio D(f ) = R
x
−2
f (x) = senx
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
11. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Dominio y Recorrido
Ejemplo
y
2
Dominio D(f ) = R
Recorrido el intervalo
x [−1, 1].
−2
f (x) = senx
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a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
12. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
13. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte eje OX
Los puntos situados sobre el eje
de abscisas tienen por
coordenadas (xi , 0), calculamos
los valores de “x” que tienen
como imagen el cero, f (x) = 0.
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a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
14. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte eje OX Puntos de corte eje OY
Los puntos situados sobre el eje Los puntos situados sobre el eje
de abscisas tienen por de ordenadas tienen por
coordenadas (xi , 0), calculamos coordenadas (0, yi ), calculamos
los valores de “x” que tienen el valor de “y ” para “x” igual a
como imagen el cero, f (x) = 0. cero, f (0) = y .
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
15. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Puntos de corte con los ejes
Ejemplo
y
3,0
1,5
−3 −2 −1 1 2 3 x
−1,5
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
16. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Puntos de corte con los ejes
Ejemplo
y
3,0
Puntos de corte eje OX
1,5
(−1′ 5, 0) (1, 0) (2′ 5, 0)
−3 −2 −1 1 2 3 x
−1,5
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
17. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Puntos de corte con los ejes
Ejemplo
y
3,0
Puntos de corte eje OX
1,5
(−1′ 5, 0) (1, 0) (2′ 5, 0)
Punto de corte eje OY
(0, 1′ 5)
−3 −2 −1 1 2 3 x
−1,5
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a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
18. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
19. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Crecimiento y decrecimiento
y
f (x2 )
f (x1 )
x1 x2 x
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
20. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Crecimiento y decrecimiento
y
f (x2 )
´
Funcion Creciente
f (x1 ) Una funci´n es creciente
o
en un intervalo si
x1 < x2 entonces f (x1 ) < f (x2 ).
x1 x2 x
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a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
21. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Crecimiento y decrecimiento
y
f (x1 )
f (x2 )
x1 x2 x
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
22. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Crecimiento y decrecimiento
y
f (x1 ) ´
Funcion Decreciente
Una funci´n es decreciente
o
f (x2 ) en un intervalo si
x1 < x2 entonces f (x1 ) > f (x2 ).
x1 x2 x
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
23. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
24. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Maximos y m´
´ ınimos
y
f (x)
m´ximo
a
f (x1 )
x1 x
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
25. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Maximos y m´
´ ınimos
y
f (x) ´
Maximo relativo
m´ximo
a
f (x1 ) Si en x1 la funci´n pasa de
o
creciente a decreciente, f tiene
en x1 un m´ximo relativo.
a
x1 M´ximo relativo en (x1 ,f (x1 )).
a
x
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
26. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Maximos y m´
´ ınimos
y
f (x)
x2
f (x2 ) x
m´
ınimo
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
27. Funci´n
o
Dominio y Recorrido
I Parte
Puntos de corte con los ejes
II Parte
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
Maximos y m´
´ ınimos
y
f (x) M´ ınimo relativo
Si en x2 la funci´n pasa de
o
decreciente a creciente, f tiene
x2 en x2 un m´ ınimo relativo.
f (x2 ) M´ınimo relativo en (x2 ,f (x2 )).
x
m´
ınimo
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
28. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
29. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
30. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Continuidad
y
Funci´n continua es aquella
o
que se puede representar
con un solo trazo.
x
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
31. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Continuidad
Discontinuidad NO evitable
y y
2
3
−2 2 x x
−3 3
−2 −3
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
32. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Continuidad
Discontinuidad evitable
y
x
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
33. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Continuidad
Discontinuidad evitable
y y
x x
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
34. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
35. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Periodicidad
y
“p” periodo
x
Funci´n Peri´dica f (x) = sen x
o o
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
36. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Periodicidad
y
“p” periodo
Una funci´n “f ” es
o
Peri´dica cuando existe
o
un n´mero “p”, llamado
u
x periodo, tal que
f (x) = f (x + p).
Funci´n Peri´dica f (x) = sen x
o o
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
37. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
38. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Simetr´
ıas
y
x
Funci´n Par
o
Sim´trica respecto del eje OY
e
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
39. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Simetr´
ıas
y
Respecto del eje OY
Una funci´n es
o
“Sim´trica respecto del eje OY”
e
x cuando se verifica que
f (x) = f (−x).
Decimos que es una funci´n par.
o
Funci´n Par
o
Sim´trica respecto del eje OY
e
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
40. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Simetr´
ıas
y
x
Funci´n Impar
o
Sim´trica respecto del Origen
e
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
41. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Simetr´
ıas
y
Respecto del origen
Una funci´n es “Sim´trica
o e
respecto del origen de coordenadas”
x cuando se verifica que
f (x) = −f (−x).
Decimos que es una funci´n impar.
o
Funci´n Impar
o
Sim´trica respecto del Origen
e
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
42. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Esquema
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
43. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
As´
ıntotas
Se dice que una recta es
as´ıntota de una funci´n
o
si la gr´fica de la funci´n
a o
se aproxima a la recta cada
vez m´s, sin llegar a tocarla
a
nunca.
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
44. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
As´
ıntotas
y
Se dice que una recta es
as´ıntota de una funci´n
o
si la gr´fica de la funci´n
a o
se aproxima a la recta cada
vez m´s, sin llegar a tocarla
a
nunca. x
As´
ıntota Horizontal
y =0
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
45. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
As´
ıntotas
y
y = mx + n
x
x =a
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
46. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
As´
ıntotas
y
As´
ıntota Vertical
y = mx + n x =a
x
x =a
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
47. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
As´
ıntotas
y
As´
ıntota Vertical
y = mx + n x =a
As´
ıntota Oblicua
x
y = mx + n
x =a
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
48. Continuidad
I Parte Periodicidad
II Parte Simetr´
ıas
As´
ıntotas
1 I Parte
Funci´n
o
Dominio y Recorrido
Puntos de corte con los ejes
Crecimiento y decrecimiento
M´ximos y m´
a ınimos
2 II Parte
Continuidad
Periodicidad
Simetr´
ıas
As´
ıntotas
Dep. de Matem´ticas. IES Rosario de Acu˜a. Gij´n 2008.
a n o Estudio Gr´fico de Funciones
a
