1) El documento describe cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli. 2) Para ecuaciones lineales, se separan variables y se integran para obtener la solución general. 3) Para ecuaciones de Bernoulli, se multiplica por una potencia de y y se hace un cambio de variable para convertirla en una ecuación lineal.

1. ECUACION DIFERENCIAL LINEAL :
Son EDO de la forma:
ௗ௬
ௗ௫
൅ ܲሺ‫ݔ‬ሻ‫ݕ‬ ൌ ܳሺ‫ݔ‬ሻ ‫݋‬
ௗ௫
ௗ௬
൅ ܲሺ‫ݕ‬ሻ‫ݔ‬ ൌ ܳሺ‫ݕ‬ሻ
Solución:
1) Simplificar la EDO a su forma general identificando ܲሺ‫ݔ‬ሻ y ܳሺ‫ݔ‬ሻ. (o ܲሺ‫ݕ‬ሻ ‫ݕ‬
ܳሺ‫ݔ‬ሻሻ.
2) Igualar ܳሺ‫ݔ‬ሻ ሾܳሺ‫ݕ‬ሻሿ a cero para obtener una EDO de variables separadas;
ésta se resuelve, obteniéndose una ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ߮ሺ‫ݔ‬ሻ ሾ‫ݔ‬ ൌ ݂ሺ‫ݕ‬ሻ ‫כ‬ ߮ሺ‫ݕ‬ሻሿ. (A).
3) Se sustituye (A) y su derivada en la EDO lineal dada y se despeja
߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ሾ߮ᇱሺ‫ݕ‬ሻሿ (B).
4) Se integra (B) y se sustituye ߮ሺ‫ݔ‬ሻ ሾ߮ሺ‫ݕ‬ሻሿ en (A) obteniéndose la solución
general.
Ejemplos:
1) ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ᇱ
൅ 5‫ݕݔ‬ ൅ 3‫ݔ‬ହ
ൌ 0 ‫݁ݏ‬ ݀݅‫݁݀݅ݒ‬ ݁݊‫݁ݎݐ‬ ‫ݔ‬ଶ
՜ ‫ݕ‬ᇱ
൅
ହ
௫
‫ݕ‬ ൌ െ3‫ݔ‬ଷ
ܲሺ‫ݔ‬ሻ ൌ
5
‫ݔ‬
‫ݕ‬ ܳሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ3‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ᇱ
൅
5
‫ݔ‬
‫ݕ‬ ൌ 0 ;
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
ൌ െ
5
‫ݔ‬
‫ݕ‬ ; න
݀‫ݕ‬
‫ݕ‬
ൌ െ5 න
݀‫ݔ‬
‫ݔ‬
ln ‫ݕ‬ ൌ െ5 ln ‫ݔ‬ ൅ ln ߮ሺ‫ݔ‬ሻ ; ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ିହ
߮ሺ‫ݔ‬ሻ
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
ൌ െ5‫ݔ‬ି଺
߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ݔ‬ିହ
߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ
Ahora se sustituye ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ y su derivada en la EDO Lineal quedando:
െ5‫ݔ‬ି଺
߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ݔ‬ିହ
߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ൅
5
‫ݔ‬
‫ݔ‬ିହ
߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ3‫ݔ‬ଷ
߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ3‫ݔ‬଼
; ߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ
3
9
‫ݔ‬ଽ
൅ ܿ ൌ െ
1
3
‫ݔ‬ଽ
൅ ܿ
‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ିହ
൬െ
1
3
‫ݔ‬ଽ
൅ ܿ൰

2. 2) cos ‫ݔ݀ݕ‬ ൌ ሺ‫ݔ‬ sin‫ݕ‬ ൅ tan ‫ݕ‬ሻ݀‫ݕ‬ ՜
ௗ௫
ௗ௬
െ ‫ݔ‬
ୱ୧୬௬
ୡ୭ୱ ௬
ൌ
୲ୟ୬ ௬
ୡ୭ୱ ௬
݀‫ݔ‬
݀‫ݕ‬
െ ‫ݔ‬
sin‫ݕ‬
cos ‫ݕ‬
ൌ 0 ;
݀‫ݔ‬
݀‫ݕ‬
ൌ ‫ݔ‬ tan ‫ݕ‬ ; න
݀‫ݔ‬
‫ݔ‬
ൌ න tan ‫ݕ݀ݕ‬
ln ‫ݔ‬ ൌ lnሺsec‫ݕ‬ሻ ൅ ln ߮ሺ‫ݕ‬ሻ ; ‫ݔ‬ ൌ ߮ሺ‫ݕ‬ሻ sec‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
݀‫ݕ‬
ൌ ߮ᇱሺ‫ݕ‬ሻ sec ‫ݕ‬ ൅ sec ‫ݕ‬ tan ‫߮ݕ‬ሺ‫ݕ‬ሻ
Ahora se sustituye ‫ݔ‬ ൌ ݂ሺ‫ݕ‬ሻ y su derivada en la EDO Lineal quedando:
߮ᇱሺ‫ݕ‬ሻ sec ‫ݕ‬ ൅ sec ‫ݕ‬ tan ‫߮ݕ‬ሺ‫ݕ‬ሻ െ ߮ሺ‫ݕ‬ሻ sec ‫ݕ‬ tan ‫ݕ‬ ൌ
tan ‫ݕ‬
cos ‫ݕ‬
߮ᇱሺ‫ݕ‬ሻ ൌ
tan ‫ݕ‬
cos ‫ݕ‬
‫כ‬
1
sec‫ݕ‬
; ߮ᇱሺ‫ݕ‬ሻ ൌ tan ‫ݕ‬ ; ߮ሺ‫ݕ‬ሻ ൌ lnሺsec ‫ݕ‬ሻ ൅ ܿ
ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI:
Su forma general es:
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
൅ ܲሺ‫ݔ‬ሻ‫ݕ‬ ൌ ܳሺ‫ݔ‬ሻ‫ݕ‬௡
‫݋‬
݀‫ݔ‬
݀‫ݕ‬
൅ ܲሺ‫ݕ‬ሻ‫ݔ‬ ൌ ܳሺ‫ݕ‬ሻ‫ݔ‬௡
݀‫݁݀݊݋‬ ݊ ‫א‬ ܼ െ ሼ0,1ሽ
Solución:
1) Simplificar la EDO a su forma general.
2) Multiplicar ambos miembros de la EDO por ‫ݕ‬ି௡
obteniéndose:
1
‫ݕ‬௡
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
൅ ܲሺ‫ݔ‬ሻ
1
‫ݕ‬௡ିଵ
ൌ ܳሺ‫ݔ‬ሻ ሺ‫ܣ‬ሻ
3) Hacer el cambio de variable ‫ݖ‬ ൌ
ଵ
௬೙షభ ൌ ‫ݕ‬ଵି௡
; ‫݁ݏ‬ ݀݁‫ܽݒ݅ݎ‬
ௗ௭
ௗ௫
ൌ ሺ1 െ ݊ሻ‫ݕ‬ି௡ ௗ௬
ௗ௫
Se despeja
ௗ௬
ௗ௫
.
‫ݔ‬ ൌ sec ‫ݕ‬ሾlnሺsec ‫ݕ‬ሻ ൅ ܿሿ

3. 4) Se sustituye ‫ݖ‬ ‫ݕ‬
ௗ௬
ௗ௫
en la ecuación ሺ‫ܣ‬ሻ obteniéndose una EDO Lineal.
Ejemplos:
1) ‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ሻ݀‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬ଶ
݀‫ݕ‬ ൌ 0 ՜
ௗ௬
ௗ௫
െ
௬
௫
ൌ
௬మ
௫మ
1
‫ݕ‬ଶ
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
െ
1
‫ݕݔ‬
ൌ
1
‫ݔ‬ଶ
‫ݖ‬ ൌ
1
‫ݕ‬
;
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
ൌ െ
1
‫ݕ‬ଶ
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
;
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
ൌ െ‫ݕ‬ଶ
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
1
‫ݕ‬ଶ
൬െ‫ݕ‬ଶ
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
൰ െ
‫ݖ‬
‫ݔ‬
ൌ
1
‫ݔ‬ଶ
;
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
൅
‫ݖ‬
‫ݔ‬
ൌ െ
1
‫ݔ‬ଶ
‫ܱܦܧ‬ ‫݈ܽ݁݊݅ܮ‬
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
൅
‫ݖ‬
‫ݔ‬
ൌ 0 ; න
݀‫ݖ‬
‫ݖ‬
ൌ െ න
݀‫ݔ‬
‫ݔ‬
ln ‫ݖ‬ ൌ െ ln ‫ݔ‬ ൅ ln ߮ሺ‫ݔ‬ሻ ; ‫ݖ‬ ൌ ‫ݔ‬ିଵ
߮ሺ‫ݔ‬ሻ
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
ൌ െ‫ݔ‬ିଶ
߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ‫ݔ‬ିଵ
; െ‫ݔ‬ିଶ
߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ‫ݔ‬ିଵ
൅
‫ݔ‬ିଵ
߮ሺ‫ݔ‬ሻ
‫ݔ‬
ൌ െ
1
‫ݔ‬ଶ
߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ
1
‫ݔ‬
; ߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ ln ‫ݔ‬ ൅ ܿ
‫ݖ‬ ൌ ‫ݔ‬ିଵሾെ ln ‫ݔ‬ ൅ ܿሿ ;
1
‫ݕ‬
ൌ
ܿ െ ln ‫ݔ‬
‫ݔ‬
2) 2 sin‫ݔ‬
ௗ௬
ௗ௫
൅ ‫ݕ‬ cos ‫ݔ‬ ൌ ‫ݕ‬ଷሺ‫ݔ‬ cos‫ݔ‬ െ sin ‫ݔ‬ሻ
Se divide entre 2 sin‫ݔ‬ quedando:
ௗ௬
ௗ௫
൅
௬
ଶ
cot ‫ݔ‬ ൌ
௬య
ଶ
ሺ‫ݔ‬ cot ‫ݔ‬ െ 1ሻ
1
‫ݕ‬ଷ
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
൅
cot x
2yଶ
ൌ
1
2
ሺ‫ݔ‬ cot ‫ݔ‬ െ 1ሻ
‫ݖ‬ ൌ
1
‫ݕ‬ଶ
;
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
ൌ െ
2
‫ݕ‬ଷ
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
‫ݕ‬ ൌ
‫ݔ‬
ܿ െ ln ‫ݔ‬

4. 1
‫ݕ‬ଷ ቆെ
‫ݕ‬ଷ
2
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
ቇ ൅
‫ݖ‬ cot ‫ݔ‬
2‫ݕ‬ଶ
ൌ
1
2
ሺ‫ݔ‬ cot ‫ݔ‬ െ 1ሻ
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
െ ‫ݖ‬ cot ‫ݔ‬ ൌ 1 െ ‫ݔ‬ cot ‫ݔ‬ ‫ܱܦܧ‬ ‫݈ܽ݁݊݅ܮ‬
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
ൌ ‫ݖ‬ cot ‫ݔ‬ ; න
݀‫ݖ‬
‫ݖ‬
ൌ න cot ‫ݔ݀ݔ‬
ln ‫ݖ‬ ൌ lnሺsin‫ݔ‬ሻ ൅ ln ߮ሺ‫ݔ‬ሻ ՜ ‫ݖ‬ ൌ ߮ሺ‫ݔ‬ሻ sin ‫ݔ‬
݀‫ݖ‬
݀‫ݔ‬
ൌ ߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ sin‫ݔ‬ െ cos ‫߮ݔ‬ሺ‫ݔ‬ሻ
߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ sin ‫ݔ‬ െ cos‫߮ݔ‬ሺ‫ݔ‬ሻ െ ߮ሺ‫ݔ‬ሻ sin‫ݔ‬ cot ‫ݔ‬ ൌ 1 െ ‫ݔ‬ cot ‫ݔ‬
߮ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ൌ
1
sin‫ݔ‬
െ ‫ݔ‬
cos ‫ݔ‬
ሺsin‫ݔ‬ሻଶ
՜ ߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ න csc ‫ݔ݀ݔ‬ െ න
‫ݔ‬ cos ‫ݔ‬
ሺsin‫ݔ‬ሻଶ
݀‫ݔ‬
߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ln|csc ‫ݔ‬ െ cot ‫|ݔ‬ െ ሺെ‫ݔ‬ csc‫ݔ‬ ൅ ln|csc ‫ݔ‬ െ cot ‫|ݔ‬ሻ
߮ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ csc‫ݔ‬ ൅ ܿ ; ‫ݖ‬ ൌ ሺ‫ݔ‬ csc ‫ݔ‬ ൅ ܿሻ sin‫ݔ‬
‫ݖ‬ ൌ ‫ݔ‬ ൅ ܿ sin‫ݔ‬ ;
1
‫ݕ‬ଶ
ൌ ‫ݔ‬ ൅ ܿ sin‫ݔ‬ ; ‫ݕ‬ ൌ ඨ
1
‫ݔ‬ ൅ ܿ sin‫ݔ‬
‫ݕ‬ ൌ
√‫ݔ‬ ൅ ܿ sin ‫ݔ‬
‫ݔ‬ ൅ ܿ sin ‫ݔ‬