40450301

Ingeniería. Investigación y Tecnología
Universidad Nacional Autónoma de México
revistaiit@yahoo.com.mx
ISSN (Versión impresa): 1405-7743
MÉXICO

2004
Salvador Landeros Ayala / Ramiro Sámano Robles / Rodolfo Neri Vela
DISEÑO DE UN REFLECTOR PARABÓLICO PERFILADO PARA TRANSMISIÓN
SATELITAL SOBRE EL TERRITORIO MEXICANO
Ingeniería. Investigación y Tecnología, julio-septiembre, año/vol. V, número 003
Universidad Nacional Autónoma de México
Distrito Federal, México
pp. 149-173

Red de Revistas Científicas de América Látina y el Caribe, España y Portugal

Universidad Autónoma del Estado de México

INGENIERÍA Investigación y Tecnología V. 3. 149-173, 2004
(artículo arbitrado)

Diseño de un reflector parabólico perfilado para
transmisión satelital sobre el territorio mexicano
S. Landeros-Ayala, R. Sámano-Robles y R. Neri-Vela
Departamento de Telecomunicaciones
División de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería, UNAM
E-mails: sland@dctrl.fi-b.unam.mx, ramiro_samano@yahoo.com, aldeca@aries.fi-b.unam.mx

(recibido: enero de 2003; aceptado: junio de 2003)

Resumen
Los satélites de comunicaciones de este nuevo siglo tienden a emplear, cada
vez más, platos parabólicos perfilados e iluminados con una sola corneta para
generar huellas de radiación irregulares que se adapten a la geometría de su
zona de servicio. Esta novedosa técnica implica la síntesis de deformaciones
sobre la superficie del plato, calculadas a través de un proceso iterativo descrito
en este artículo. Además de las bases matemáticas para diseñar platos
perfilados en cualquier frecuencia y con huellas de cualquier geometría,
también se proponen las características de una antena que transmita sobre el
territorio mexicano.

Descriptores: reflector parabólico perfilado, huella irreg ular, haz conformado,
Transformada de Fourier, antena offset.

Abstract
Mod ern tele com mu ni ca tions sat el lites use shaped par a bolic re flec tors to trans mit withir reg u-
lar foot prints that cover the geo graph ical ge om e try of their ser vice ar eas. This re cent tech nique
con sists in syn the siz ing small sur face ir reg u lar i ties on a par a bolic dish il lu mi nate by a sin-
d
gle feed, that are cal cu lated through an it er a tive pro cess de scribed in this pa per. All the math-
e mat i cal pro ce dure, for any fre quency or foot print shape, is given here, as well as the char ac -
ter is tics of a shaped dish pro posed for cov er age over Mex ico.

Keywords: shaped par a bolic re flec tor, ir reg u lar foot print, con toured beam, Fou rier Trans-
form, Off set antenna.

Introducción alimentadores hechos con arreglos de
decenas de cornetas, que implicaban
Los reflectores parabólicos perfilados, ilumi- antenas muy costosas y voluminosas.
nados con una sola corneta, son utilizados Muchas de las antenas de los satélites
actualmente en satélites de comunicaciones para geoestacionarios no tienen una radiación
obtener huellas conformadas de radiación. Su simétrica alrededor de su eje, sino que el
uso ha suplantado progresivamente a los patrón de radiación de sus ganancias en

Diseño de un reflector parabólico perfilado para transmisión satelital sobre el territorio mexicano

dirección hacia la superficie de la Tierra está sino sólo una porción de éste. Para sostener el
conformado de tal manera que cubra efi- alimentador en la antena offset, se utiliza un
cientemente su zona de servicio. Para dichas brazo que sale por debajo del reflector (Figura
antenas, su directividad se representa en los 3), de manera que ni la unidad exterior ni el
mapas de la zona de servicio como pro- brazo que la sustenta proyectan sombra
yecciones de contornos de igual ganancia alguna sobre el plato, es decir, ninguna
(Neri, 2003). Las antenas utilizadas para este interferencia por bloqueo. El rendimiento de
tipo de cobertura se denominan de haz las antenas offset alcanza el 65%, con lo cual,
conformado. En la figura 1 se muestra la huella para igual ganancia, el diámetro del reflector
de radiación de un satélite europeo. es menor que el de las antenas de foco
Las antenas reflectoras son ideales para primario, mismas que sí sufren de bloqueo.
obtener haces con huellas de iluminación Existen varias formas para crear patrones
conformadas. Generalmente, se utiliza la de radiación asimétricos. La manera conven-
configuración de reflector con alimentación cional del siglo XX usaba arreglos de antenas
descentrada (offset, en inglés). Este arreglo de corneta, cada una de ellas alimentada con
elimina la desventaja del bloqueo por una amplitud y fase de señal determinada, que
alimentador y está constituido por una sección al sumarse vectorialmente modificaban el
descentrada de un paraboloide cuyo foco patrón de radiación para formar la huella
queda fuera de la trayectoria de las ondas deseada (Figura 4a). La última y más reciente
reflejadas. En la figura 2, se muestra un reflec- técnica para obtener patrones de radiación
tor parabólico visto de frente y la zona asimétricos emplea un reflector parabólico
sombreada corresponde a lo que sería una perfilado con una sola corneta como
antena tipo offset, que no emplea todo el plato, alimentador (Figura 4b).

Figura 1. Huella de radiación para Europa en la banda Ka (Satélite Hotbird). Los valores indicados de PIRE
(Potencia Isotrópica Radiada Efectiva) para cada contorno están en dBW e incluyen la ganancia de la antena y
la potencia del transpondedor en dirección hacia los puntos de dicho contorno

150 INGENIERIA Investigación y Tecnología

S. Landeros-Ayala, R.Sámano-Robles y R. Neri-Vela

Reflector off-set

Foco

Foco

R eflec tor parabólico
c on alimentación fron tal
o central.
Figura 2. Vista frontal y lateral de un reflector parabólico tipo offset y su relación con un reflector parabólico
de alimentación central

Figura 3. Zonas de iluminación y radiación de un reflector offset

Vol.V No.3 -julio-septiembre- 2004 151


Figura 4. Técnicas para producir huellas de radiación conformadas: a) Arreglo de antenas de corneta con
amplitud y fase vari ables y un reflector parabólico perfecto; b) Reflector parabólico perfilado co n una sola
corneta como alimentador



La técnica del reflector parabólico perfilado 4) Se calcula la nueva superficie del
con un solo alimentador ha sido descrita por reflector perfilado de acuerdo a la
varios autores (Cherrette y Acosta, 1989), distribución de fase optimizada en el
(Shogen et al., 1992), (Shoki y Kawabata 1993), paso ante rior.
(Pinsard et al., 1997) y a partir de los años
noventas es la más utilizada en los satélites de 5) Se obtiene la nueva distribución
comunicaciones. Además de formar huellas de de amplitud en el plano de análisis de
radiación muy aproximadas a las carac- acuerdo a la superficie calculada del
terísticas geográficas de las zonas de co- reflector en el paso 4.
bertura, disminuye el costo comparado con el
de los arreglos de fase que son muy volu- 6) Se repite iterativamente el pro-
minosos, por lo que las redes de alimentación ceso desde el punto 3 al punto 5, hasta
que eran necesarias para tales arreglos se que el patrón obtenido se aproxime lo
eliminan. El método consiste en modificar la mejor posible al deseado.
superficie del reflector, con crestas y hen-
diduras en diferentes puntos para alterar la A continuación, se de scribe la secuencia del
fase y dirección de los rayos reflejados por el análisis matemático necesario para poder
mismo, obteniéndose así el mismo efecto que sintetizar tal antena, iniciando con la selección
con la técnica del pasado. del área de cobertura.

El procedimiento de diseño de un reflector Análisis matemático (1ª Parte)
parabólico perfilado con alimentador simple
consiste básicamente en los siguientes pasos: El primer paso consiste en definir la región de
cobertura deseada, por ejemplo un país, isla o
1) Se defi nen la región de cobertura y continente, los cuales por lo general tienen
las direcciones de optimización, así co- una forma irregular. Como aproximación
mo los niveles de ganancia deseados para inicial, tomando en cuenta la figura 5, se puede
diferentes puntos. Al mismo tiempo, se saber el diámetro requerido del reflector,
aproximan las dimensiones del reflector considerando que la ganancia en el borde o
de acuerdo al ancho del haz de media contorno del área de cobertura sea de –3dB
potencia. por debajo de la máxima ganancia del reflec-
tor. Con la ecuación (1), se puede relacionar el
2) Se plantean un modelo inicial del ancho del haz de media potencia con el
reflector parabólico perfecto y las diámetro de un re flec tor (Neri, 2003):
características de su alimentador (distri-
bución de amplitud y fase iniciales, así λ 
BW−3 dB ≈ 75  grados (1)
como la definición de las dimensiones  D
iniciales del reflector). 1 Una función de costo es cualquier función de una o más
vari ables, cuyo valor se busca minimizar lo más posible. En
este caso partic ular, la función de costo se forma de una
3) Se optimiza la distribución de fa-
diferencia de cuadrados de la ganancia obtenida menos la
se, minimizando una función de costo1 . ganancia deseada hacia las direcciones de optimización.



Donde λ es la longitud de onda y D es el su pe rior (no hay una relación analítica) para el
diámetro del re flec tor. cual el método converge de manera sa-
Respecto al área de cobertura, debe tisfactoria. Fuera de este rango, el método
tomarse en cuenta que los puntos definidos resulta inestable. Por ello, resulta necesario
para el contorno de dicha área no pueden que el nivel de ganancia deseada se encuentre
tener formas muy complicadas, debido a que cercano a un promedio aproximado de la
el reflector, y en especial, la distribución de ganancia inicial del re flec tor ideal sobre dichos
fase, se verían afectadas al tener que cumplir puntos.
con condiciones muy rigurosas y discon-
tinuidades muy pronunciadas. Es conveniente, Continuando con el desarrollo matemático,
por lo tanto, definir al contorno con una forma se plantean las fórmulas para representar las
sim ple y suave, sin cambios bruscos y con un direcciones espaciales y el área de cobertura
número limitado de puntos, sólo los ne- vista desde el satélite. Para esto, resulta
cesarios para definir la figura básica. Este conveniente colocar un marco de referencia
comentario es importante, ya que se omite en global, como se muestra en la figura 6a. Se
la literatura disponible en inglés y si no se considera que el satélite está ubicado a la
toma en cuenta, puede conducir a esfuerzos misma longitud que el punto central de la
inútiles y mucho consumo de tiempo de huella donde se quiere obtener la radiación.
cómputo por investigadores que se estén En la práctica, la zona geográfica de servicio
involucrando por primera vez con esta técnica. tiene una longitud más hacia el este que la del
También es importante recalcar que la satélite, pero esto se corrige orientando la
ganancia deseada sobre los puntos de antena. No es el mismo caso para las lat i tudes,
optimización tiene un límite inferior y uno pero como aproximación inicial conviene

3 6,000 km
BW
-3 dB

- 3dB Gmax
máx -3dB

L

Figura 5. Definición de la zona de cobertura. L es cercana a la dimensión más larga de la zona



considerar que la antena del satélite apunta adelante la Fig. 17), que inicialmente recibe el
directamente hacia la línea ecuatorial. Una vez máximo de radiación, se realiza una rotación
definidas las coordenadas de los puntos de del sistema de referencia para apuntar hacia
análisis y del punto central C (véase más la latitud deseada (Figura 6b).

Figura 6. (a) Marco de referencia global para definir direcciones desde un satélite geoestacionario hacia un punto
terrestre. El vector de posición P define la ubicación de un punto del área de cobertura y su latitud geográfica. (b) Marco
de referencia del satélite rotado por un ángulo Ar o t sobre el plano yz para que el eje del plato apunte hacia el punto



Considerando inicialmente que el satélite Cuando el satélite apunta hacia una latitud
apunta hacia el ecuador y que el punto de diferente que la del ec ua dor, el sistema se rota
máxima radiación es C (longC, latC), se pueden y la conversión para las nuevas coordenadas
definir los demás puntos de análisis sobre la Ax, Ay y A z queda de la siguiente forma:
superficie de la Tierra, representados por el
vec tor de posición P, cuyas componentes son:  RTsen( latC ) 
A rot = arctan  (9)
 S + RT (1 − cos( latC )) 
Px = RT cos( latitud )sen( longitud − longC )
(2)
A x = Rx ′ (10)

Py = RTsen( latitud ) (3)
Ay = Ry ′ sen( Ar ot ) + R z ′ cos( Arot ) (11)

Pz = ( S + RT ) − RT cos( latitud) cos( long itud − longC)
Az = Ry ′ cos( Ar ot ) − R z ′sen( Arot ) (12)

(4)
De las ecuaciones anteriores pueden
Donde:
obtenerse las direcciones teta y fi de un sistema
de coordenadas esféricas:
RT=Radio de la Tierra
S= Distancia del satélite a la superficie
teta = arccos (A z ) (13)
de la Tierra.
 Ay 
La latitud y longitud son las coordenadas de fi = arctan 
A  
cualquier punto de análisis sobre la superficie  x
de la Tierra. La magnitud del vec tor P está (14)
dada por:
Los valores anteriores para teta y fi se
P = Px + Py + Pz (5)
2 2 2
obtienen para cada punto de análisis sobre la
superficie de la Tierra. Si se desea convertir a
Y sus componentes normalizadas son: valores de azimut y elevación (véase más
adelante la Fig.15) se procede de la siguiente
forma:
Px
Rx =
P
A 
(6) Azimut = − arctan x 
A  (15)
 z 
Py
Ry =
P  Ay 
Elevación = arctan
A 
 (16)
(7)  z 

Pz
Rz = (8) Una vez definidas las direcciones deseadas
P de optimización y con los datos del área



geográfica, se procede a modelar el sistema de corrugada HE11. Las características del alimen-
alimentador–reflector. El alimentador más tador, como son su ancho del haz de media
comúnmente usado para reflectores para- potencia y los niveles de sus lóbulos laterales
bólicos es la antena de corneta. Existen dependen de la configuración del reflector a
diferentes tipos de antenas de corneta: de utilizar, de su relación f/D (distancia
paredes lisas, de paredes corrugadas, pira- focal/diámetro) y de la eficiencia de iluminación.
midales, diagonales, cónicas, sectoriales, de Por lo que se refiere al modelado del re flec-
fronteras soft y fronteras hard (Clarricoats,1984). tor perfilado, es necesario definir un marco de
Los tipos de corneta más comunes para referencia apropiado para el análisis de los
aplicaciones de reflectores parabólicos son las patrones de radiación y de su proyección
antenas cónicas corrugadas, que se carac- sobre la superficie terrestre. Como primera
terizan por tener patrones de radiación de baja consideración, conviene colocar al foco en el
polarización cruzada y simetría circular casi origen del sistema de coordenadas. También
perfecta. Para modelar el patrón de radiación por conveniencia, el eje hacia donde se dirige
del alimentador en el programa del reflector la máxima radiación del reflector parabólico
perfilado, se recurre a una aproximación de inicial (superficie sin alteraciones) es el eje z+,
tipo cosinusoidal (Figura 7): apuntando hacia un plano de análisis
localizado en z = 0 (Figuras 9 a 11). El plano de
e(θ 0 ) = [cos(θ 0 )] q (17)
análisis es el plano donde se evalúan las fases
En la figura 8 se muestran cortes del patrón y amplitudes del sistema alimentador- reflec-
de radiación para algunos exponentes q de la tor, a partir de las cuales se calculan los
ecuación (17), en comparación con el patrón de patrones de radiación. También puede ser otro
una apertura circular alimentada con el modo plano paralelo al anterior y ubicado a una
fundamental de una guía de ondas circular distancia sobre el eje z mayor (Figura 11).

Figura 7. Patrón de radiación del alimentador de un reflector parabólico



Figura 8. Comparación de diferentes modelos matemáticos para describir el patrón de radiación del a limentador
de un reflector parabólico, con diferente exponente q en la ecuación (17)

Figura 9. Marco de referencia general para el análisis del reflector parabólico tipo offset



y
B

Pla nod e
A nális is

C α
Ψ= ángulo de in clinación
del alimen tador
α = ángulo entre pun tos de me dia
poten cia del h az

A
Ψ Foc o (0 ,0 , 0)
z
-x

Figura 10. Detalle del modelado geométrico del reflector offset con su alimentador inclinado y el plano de
análisis en z = 0

Figura 11. Ilustración de la utilidad del plano de análisis para calcular las ampli tudes y fases r adiadas por el
sistema alimentador-reflector



El tipo offset se modela al cortar el
paraboloide descrito por las ecuaciones 18 o
El paraboloide inicial está descrito por la 19 con el plano dado por la ecuación 20:
ecuación (18):
y = a( z − b) (20)
x +y
2 2
z = F ( x, y ) = −f (18)
4f Donde a es la pendiente del plano en el eje
y–z y b es la intersección de dicho plano con el
O bien por: eje z. Despejando z y sustituyendo en (18), se
tiene:
2f
r= (19) y x +y
2 2

1 + cosθ i +b= −f (21)
a 4f
Donde:
Y ordenando (21):
F= valor en el eje z de la superficie del
paraboloide que describe la forma del
2f 2 1
reflector. x2 + ( y − ) = 4 f 2 (1 + 2 ) + 4 fb
a a
f = distancia focal del plato parabólico.
(22)
θi= dirección espacial esférica medida
Que tiene la forma gen eral x 2 + (y - H)2 = R 2.
desde el eje z–.
Esta es la ecuación de una circunferencia
r = magnitud del vector de posición r
proyectada en el plano xy de radio R (diámetro
sobre cualquier punto de la superficie
D) y desplazada por H en el eje y (Figura 12). El
del plato (Figura 9).
campo radiado por la configuración reflec-
tor–alimentador del tipo offset tiene su com-

y

R
H

x
Figura 12. Vista frontal del reflector parabólico offset



ponente copolarizada (Collin, 1985) expresada dividido en rejillas cuadradas de dimensiones
de la siguiente forma (Figuras 9 a 11): dxd , donde:

 4 f ⋅ e( θ 0 ) ⋅ e − j2k 0 f  D
E y = X d= (26)
 ( 4 f + ρ )[ 4 f + ρ − 4 f ysin ψ + ( 4 f −ρ )c os ψ ] 
2 2 2 2 2 2
N
Donde:

[( 4 f 2 +ρ 2 − 2x2 ) + ( 4 f 2 − ρ 2 + 2x 2 )cos ψ − 4 f y s in ψ] D= diámetro del re flec tor parabólico.
N= número de elementos por lado del
(23) plano de análisis.

Donde Para modelar la fase, la amplitud y las
coordenadas de la superficie del plato
ρ = x 2 + y2 (24) calculado, se usan matrices de NxN. De la
teoría de antenas de apertura y con la ayuda
del método de la Transformada de Fourier, la
 4 f 2 − ρ2 4 fy  ganancia de cualquier antena de apertura es
θ0 = a cos 2
 4 f + ρ2 cos ψ − 4 f 2 + ρ2 sin ψ 

  (Volakis, 1998):
(25) 2
fy
G j = 4π (27)
j

El ángulo θ0 es igual al ángulo medido a ∫ E dxdy
2
s y
partir del eje cen tral del alimentador, según se
muestra en la figura 7. Si el ángulo de Donde:
inclinación del alimentador es pequeño, el
término de polarización cruzada, que resulta Gj= ganancia del re flec tor en la dirección j.
en los reflectores tipo offset, puede ser fy= Transformada de Fourier de la
despreciado. Veamos ahora cómo calcular la componente copolarizada y.
ganancia del reflector parabólico en una Ey = componente copolarizada del campo
dirección determinada. eléctrico sobre el plano de análisis.
S = apertura de la antena.
Análisis matemático (2ª parte)
Considerando la división del plano de
Una vez definidas las condiciones iniciales del análisis en NxN elementos, cada uno como
re flec tor y las direcciones espaciales sobre las una amplitud y fase constantes, y utilizando el
cuales se quiere calcular y optimizar la principio de multiplicación de patrones, se
ganancia del sistema, se procede a calcular la tiene:
distribución de intensidad de campo y fase  d / 2 d / 2 jk x + jk y 
producida por el reflector y el alimentador en f y =  ∫ ∫ e x y dydx 
 − d /2 − d / 2 
j
el plano de análisis. Para ello, conviene utilizar
el método de la Transformada de Fourier
(Sámano et al., 2002). El plano de análisis es



Donde:
∑∑ A
N N
lm e jβ(l , m) + jk x x (l, m) + jk y y (l , m) (28)
l =1 m = 1 kxd
u= (30)
2
Donde:
k yd
Alm =es la magnitud del campo eléctrico v= (31)
2
producido por el reflector en el
elemento (l,m).
kx= k senθ cosφ.
ky = k senθ senφ . Simplificando (29), se tiene:
β(l,m) = fase del elemento (l,m).
sen( u ) sen( v )
fy =4
Nótese que el término entre paréntesis, en j kx ky
la ecuación (28), es el patrón de un elemento
del arreglo y el término de sumatoria el patrón N N
del arreglo. ∑∑ A lm
e
jβ(l , m ) + jk xx (l , m) + jk yy (l , m)
(32)
l=1 m=1

sen( u) sen( v )
fy = d2
j
u v Evaluando el denominador de la ecuación
(27) se tiene:
N N
∑∑ A lm
e
jβ( l , m)+ jk x x (l , m) + jky y (l , m)
(29)
l =1 m =1

2
 sen( u) sen( v )   N N 2

16   ∑ ∑ A e jβ(l , m ) + jk xx (l , m) + jk yy (l , m) 

 k k y   l =1 m =1 lm 
 x 
G j = 4π (35)
∑ ∑ [A
N N
2 2
lm ] d
l =1 m= 1

Expresando G j en términos de direcciones espaciales:

  kdsen( θ )cos(φ )   kdsen(θ )sen(φ )  
2

 sen  sen  N N 2
      
 ∑ ∑ A e jβ(l ,m )+ jk sin(θ ) cos(φ) x (l , m) + jk
2 2
64 π sin( θ)sin( φ) y (l , m)

 ksen( θ )cos( φ ) ksen(θ )sen(φ )   l =1 m =1 lm 
 
Gj =  
N N
d 2 ∑ ∑ [ Alm ] 2
l =1 m= 1



N N  d /2 d/ 2  y multiplicarlo por 0.9 cada vez que la función
∫ E 2 dxdy = ∑ ∑  ∫ ∫ A lm dxdy  (33)
2
S y
l = 1 m =1 − d / 2 −d / 2
de costo se incrementa (Charrete, 1989). Para

calcular el gradiente de la función costo se usa
la siguiente deducción, omitida hasta ahora en
N N
la literatura disponible:
∫ E y dxdy = ∑ ∑ [ Al m d ]
2
(34)
2 2
S
l =1 m =1
∂ψ ∂ M 2
= ∑ G j − GD j  =
∂β l , m ∂β l , m  j =1
y sustituyendo (34) y (32) en (27) se tiene:  

∑ ∂β
∂
[G ]
M 2
j − GD j (40)
Donde j =1 l ,m

 2π  Desarrollando cualquiera de los sumandos
k = 
 λ  de la sumatoria finita de la ecuación (40) se
(37) tiene:

Conocida la ganancia Gj en cada dirección j,
∂
∂βl , m
G j − GD j[ 2
= ]
evaluada con la ecuación (36), se procede a ∂
2(G j − GD j ) [( G j − GD j )] (41)
compararla con la ganancia deseada, a través ∂β l , m
de una función de costo ψ:

2
Como GDj es constante, la derivada del
M
ψ = ∑ G j − GDj (38) término derecho de la ecuación anterior,
j =1 considerando la ecuación de ganancia (27), es:
Donde:
GD j= ganancia deseada en la dirección j. ∂ ∂
[( G j − GD j )] = G =
M= número de direcciones donde la ∂βl , m ∂β l , m j
ganancia será optimizada.
4π ∂
fy 2
(42)
N N 2
∂βl , m j
A continuación, se realiza un proceso de d 2
∑ ∑ [A lm
]
optimización de fase con el objetivo de reducir l =1 m = 1

dicha función de costo dada por la ecuación
(38). La fórmula recursiva para la optimización La derivada del cuadrado de la trans-
de la fase β es (Cherrette, 1989): formada de Fou rier f y en (42) es:

βl , m ( h + 1) = β l , m ( h ) − µGrad (β ) l , m (39) ∂ ∂
fy 2 = [ f y f y *] =
∂β l , m j ∂β l , m
Donde h es el número de iteración y h+1 la ∂ ∂
fy fy * + fy * fy (43)
siguiente iteración. ∂β l, m ∂βl ,m
Un método para escoger el valor de µ que
funciona bien en la práctica, es valuarlo como
el inverso de la magnitud del gradiente en (39)



Donde * in dica el complejo conjugado de la ∂ψ 8π
=∑
M
(G j − GD j )
variable que le antecede. La derivada de la ∂β l ,m N N

transformada de Fou rier fy es:
j =1
d
2
∑ ∑ [A
l =1 m =1
lm
]
2

∂ sen(u) sen(v) jβ( l, m ) +jkx x( l, m ) + jky y( l, m )  2 sen( u) sen( v ) 
fy = A lm d2 je (44)  Alm d X
∂βl , m u v  u v 

Y la derivada del conjugado de dicha
transformada de Fourier tiene la expresión
siguiente:
− jf y e − jβ lm − jk x xlm − jk y ylm + jf y * e jβlm + jk x xlm + jk y ylm 
(46)
∂
fy * = Esta ecuación expresa los elementos del
∂β l , m
gradiente de la función costo, respecto a la
sen( u) sen( v ) − jβ (l , m)− jk x x (l , m) −
− Almd 2 fase de cada elemento del plano de apertura,
jk y y (l ,m )
je
u v
por lo que se puede aplicar la fórmula (39) de
(45)
forma iterativa.
La optimización de fase puede consistir de
Sustituyendo las ecuaciones (41) a la (45) en
muchas iteraciones, dependiendo de las
(40), se tiene la expresión final:
condiciones del problema y de su com-
portamiento. En la gráfica de la figura 13

Figura 13. Comportamiento de la optimización de fase. Función costo vs número de iteraciones consecutivas de
fase, sin hacer todavía ninguna corrección de amplitud del campo eléctrico en el plano de análisis.



puede observarse el comportamiento típico de hasta 100 o más. Con esta nueva distribución
la función costo (y por ende, la cercanía a la de fase se procede entonces a modificar la
optimización de fase) y cómo en las últimas superficie del re flec tor.
iteraciones se presenta un fenómeno osci- La nueva superficie del reflector debe
latorio, pero cuasiestático; es decir, que no se calcularse a partir de la distribución final de
obtiene ninguna mejora al aumentar el número fase, que debe equivaler a diferencias de
de iteraciones después de cierto rango. Si para fracciones de longitud de onda en la superficie
un cierto ejemplo o diseño se considera del reflector. Tomando como referencia el
aceptable detenerse, digamos, después de la punto focal y la distancia que recorre un rayo
iteración 30, se procede a calcular la nueva desde el foco hasta el plano de análisis, en una
superficie del reflector parabólico perfilado, línea paralela al eje z, se tiene que:
como se in dica a continuación.
Dd = 2f = distancia de referencia.
βref = 0 = fase de referencia.
Análisis matemático (3ª parte) Dd corresponde a la distancia entre el
alimentador y el plano de análisis en
El número de iteraciones para optimizar la fase dirección del eje z (Figura 14). Para cual-
minimizando la función de costo, depende quier otro punto, como se puede ver en
directamente del número de elementos en la la misma figura:
rejilla, del número de direcciones de
optimización y del rango entre el promedio de 1
Dd′ = [x s2 + y s2 + ( z s − f ) 2 ] 2 +
la ganancia inicial y la ganancia deseada en las
direcciones de optimización. Para una cierta
1
huella pueden ser suficientes 30 o 40 [( x s − x ) + ( y s − y ) + ( z s ) ]
2 2 2 2
(47)
iteraciones, pero para otras puede llegarse
y
β=cte

D istancia
4 d e un pu nt o
cualqu iera
3 D d' =3 + 4

2
Distan ci a de
referenci a
1 Dd = 1 + 2

Foco
z

Figura 14. Definición de las distancias de referencia para el cálculo de la nueva superficie del reflector
parabólico perfilado. La línea curva punteada sobre el plano de análisis es una curva de fase const a n t e



kx 1 ∂β
mx = =
Donde (xs ,ys , zs) es un punto del re flec tor y (x, k ∂x
(x , y , z )
k (x, y , z )
y ,0) es un punto del plano de análisis. (53)

Para que el reflector produzca las ky 1 ∂β
diferencias de fase, la siguiente relación debe my = = (54)
k ( x , y, z )
k ∂y
mantenerse (Figura 14):
(x , y , z )

−1 m z = 1 − mx2 − m 2 (55)
Dd′ = [β − β ref ] + Dd (48) y

k
Con las componentes anteriores se pueden
Con la finalidad de calcular la dirección de relacionar las coordenadas de cada punto ( x, y,
cada rayo que incide sobre el plano de análisis, z ) en el plano de análisis con su punto
se demuestra a continuación que los rayos correspondiente (x s, ys, zs) en la superficie del
reflejados son normales a las curvas de reflector:
equifase de la distribución, lo cual permite x s − x zs − z
= (56)
conocer las pendientes m de cada rayo. Las mx mz
componentes de la pendiente de cada rayo ys − y z s − z
están dadas por las componentes del vector = (57)
my mz
de propagación k normalizado, es decir:

kx La solución de las ecuaciones (47), (56) y
mx = ( x , y , z)
(49) (57) está dada finalmente por:
k

Q 2 ( x, y ) − x 2 − y 2 − f 2
ky ZS =
my = (x , y , z )
(50) 2(σx + γy − f ) − 2Q( x, y )(σ 2 + γ 2 + 1)1/ 2
k
(58)
kz
mz = (51)
k
(x , y , z ) yS = γ( z S ) + y (59)

Las curvas de equifase están caracterizadas x s = σ( zS ) + x (60)
por la siguiente ecuación de onda plana:
Donde
k ⋅ r − β = k x x + k y y + kz z − β = Constante
Q( x, y ) =
1
[−β l ,m ] + Dd (61)
(52) k

Y al obtener el gradiente de la ecuación (52) my
γ= (62)
resultan las siguientes ecuaciones que com- mz
prueban lo dicho en el párrafo anterior:
mx
σ= (63)
mz



( lado3)2 − ( lado1) 2 − ( lado2 ) 2
cos α =
Los valores de z s calculados con la 2( lado1)( lado2)
ecuación (58) pueden verse afectados por
variaciones bruscas de la fase, por lo que Lado 1= P( I , J ) − P( I + 1, J )
pueden aplicarse tolerancias y límites para
que los valores de la nueva superficie del re- Lado 2= P( I , J ) − P( I , J + 1)
flector no salgan más allá de cierta región en
el espacio (Shoki, 1993). Lado 3= P( I + 1, J ) − P( I , J + 1)
Una vez calculada la superficie perfilada
del reflector, se puede proceder a obtener la Ki= dirección del rayo incidente
nueva distribución de amplitud del campo n = normal a la superficie en el punto
eléctrico en el plano de análisis. El método P(I,J).
descrito por Cherrette (1989) utiliza la
1
relación entre las áreas del plano y del reflec- área2 = (célula)k r ⋅ z
2
tor para calcular la amplitud en cada punto
célula=área de un elemento en el plano de
del plano:
análisis.
área1
E a = Er (64) Kr= dirección normalizada del rayo
área 2 reflejado.
Donde
Con las nuevas distribuciones de fase y
E r = magnitud del campo reflejado en amplitud en el plano de análisis, es posible
la superficie del reflector. calcular una nueva distribución de ganancias
E a = magnitud del campo reflejado en del campo radiado. La ganancia en cada
el plano de análisis. dirección hacia la zona geográfica de servicio
área1= área proyectada por un rayo en se compara con la ganancia deseada. Si las
forma de tubo en la superficie del diferencias entre ambas ganancias no son
reflector. satisfactorias se repite todo el proceso
área2= área proyectada por un rayo en iterativo cuantas veces sea necesario, hasta
forma de tubo en el plano de análisis. que el patrón se conforme lo más posible a las
características de la huella especificada.
Suponiendo que el área proyectada en el
re flec tor es un triángulo: Ejemplo de una antena perfilada
para el territorio nacional
1
área1 = h( lado1)k i ⋅ n (65) mexicano
2
Se aplicará ahora el método descrito para el
Donde: análisis de una huella conformada para el
territorio mexicano. El análisis se realiza con
h = ( lado2) 1 − (cos α ) dimensiones en longitudes de onda y puede
2

aplicarse a cualquier banda de frecuencias, a
excepción de que exista un límite físico en



cuanto al tamaño del plato. Siguiendo los nente del alimentador q=11 y ganancia de-
pasos mencionados al inicio de este artículo: seada en los puntos de optimización: 31dB
(con estos parámetros se obtiene el círculo
1) México, como se observa en la figura grueso de la huella en la figura 17). Las direc-
15, cuenta con una geografía complicada y con ciones de optimización se definieron sobre un
muchas irregularidades. Es conveniente no contorno suave (38 direcciones) y en un núme-
tratar con irregularidades tales como la pero suficiente de puntos para definir el con-
nínsula de Baja California, o con cavidades torno de ganancia deseado.
como el Golfo de México, por lo que se define 2) Una vez definido el reflector inicial
un contorno suave como el mostrado en la se calcula su ganancia (Figura 16) y se puede
figura. El territorio mexicano alcanza un má- observar su huella de radiación simétrica
ximo de cerca de 5 grados de ancho y un (Figura 17). A continuación se procede a
mínimo de aproximadamente 3 grados. Desde minimizar la función de costo y obtener la
luego, se tomó en cuenta el centro del área de distribución de fase óptima (Figura 18). Se
servicio con su latitud geográfica correcta, tal hicieron 60 iteraciones consecutivas.
como se aclaró en el procedimiento gen eral al 3) A partir de la nueva distribución de
inicio de este artículo. Considerando un fase se calcula una nueva superficie del reflec-
mínimo ancho del haz de 3 grados y tomando tor y en la figura 19 se muestran las curvas de
en cuenta la ecuación (1), el diámetro del re - nivel de la diferencia con el re flec tor orig i nal.
flector necesario es de 25λ. Los demás datos
utilizados son: Distancia focal f=25λ, expo-

Punto 1
2

1 Pun to 17

0

-1

-2

-2 -1 0 1 2

Figura 15. Definición de la zona de cobertura y de las direcciones de optimización. La numeración de los
círculos avanza en el sentido de las manecillas del reloj. Estos círculos delimitan el contorno deseado de –3 dB
con relación a la ganancia máxima en el centro del país. Los grados de elevación y azimut están medidos con
relación al eje prin cipal de la antena parabólica perfecta inicial; es decir, el eje z apuntando h acia el punto
(0,0). Las correcciones de latitud ya están consideradas



Figura 16. Patrón tridi men sional del reflector inicial. Ganancia = 10 log (G j )

3

P unto 1 Punto 17
2

1

0 C

-1

-2

-3
-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 17. Huella simétrica de radiación producida por el reflector inicial. El círculo grueso corresponde a los puntos
hacia donde la ganancia radiada es igual a 31 dBi.



Figura 18. Distribución de fase después de 60 iteraciones consecutivas de fase

.039 .102
25 .166
0 -0.2 4 0 -. 22 9

.039 -0.24
- .088
. 102
20

-.293
Y[λ]
15

-. 15 1
10 -0.24
.16 6
.10 2
0 -0.24
5

-10 -5 0 5 10

X[ λ]

Figura 19. Curvas de nivel de la diferencia (en λ) entre la nueva superfice del reflector y el reflector orig inal en la dirección
z. Los resultados fueron obtenidos a partir de una rejilla de 50x50 elementos y 60 iteraciones consecutivas de fase



Figura 20. Distribución de amplitud corregida en el plano de análisis a partir de la superficie del reflector de la
figura 19. El eje vertical indica la amplitud normalizada de la intensidad de campo eléctrico

Pu nto 1
3
31 dBi
Pu nt o 17
2

1

0

-1

-2

-3 -2 -1 0 1 2 3
A zimut (grados)

Figura 21. Huella de radiación del reflector parabólico perfilado después de 60 iteraciones consecu tivas de fase
y una corrección de amplitud. La diferencia de ganancia entre contornos adyacentes es 1 dB, disminuyendo
hacia fuera del contorno grueso de 31 dBi



Figura 22. Función de ganancia hacia las direcciones de optimización antes y después de modificar el reflector

amplitud del campo eléctrico en el plano de proporcionan o especifican con claridad en otras
análisis (Figura 20). publicaciones disponibles; por ejemplo, el
5) Se calcula la nueva ganancia en número de iteraciones necesarias y la con-
varios puntos dentro y fuera del contorno veniencia de definir un nivel adecuado de
establecido, originalmente para obtener la ganancia como condición inicial para que el
huella de radiación. Ésta se muestra en la método converja de una forma efectiva. El
figura 21. Como se observa, se obtuvo una presente trabajo sirve como referencia técnica y
huella bastante aproximada a la zona de matemática tanto para la docencia como para
cobertura. Por último, en la figura 22 se futuras investigaciones.
muestran comparativamente las ganancias
obtenidas en el contorno especificado antes y Referencias
después de perfilar el plato.
Clarricoats P.J. (1984). Corru gated Horns for
Micro wave Antennas. Ed. Peter Pere-
grinus, Reino Unido.
Conclusiones Collin R.E. (1985). Antennas and Radiowave
Prop a ga tion . McGraw-Hill.
El método presentado ha sido aplicado con Cherrette A.R., Lee S. y Acosta R.J. (1989).
éxito al ejemplo de México y se han desarrollado A Method for Producing a Shaped
las fórmulas matemáticas necesarias para Contour Radi a tion Pattern Using a
programarlo con facilidad y obtener resultados Single Shaped Reflector and a Single
con diferentes parámetros. Se incluyeron grá- Feed. IEEE Trans. On Antennas and Prop a-
ficas y figuras auxiliares, así como guías sobre el ga tion , Vol. 37, No. 6, pp 698-706.
comportamiento del método iterativo, que no se



Neri R. (2003). Comunicaciones por satélite. Shogen K., Nishida H. y Toyama N. (1992).
Ed. Thomson Learning, México. Single Shaped Reflector Antennas for
Pinsard B., Renaud D. y Diez H. (1997). New Broad casting Satel lites. Trans. on
Surface Expan sion for Fast PO Synthesis Antennas and Prop a ga tion , Vol. 40, No. 2,
of Shaped Reflector Antennas. 10th pp 178-187.
Inter na tional Confer ence on Antennas Shoki H. y Kawabata K. (1993). A Multiple
and Propa ga tion, Abril 14-17. Publica- Shaped Beam Antenna Using a Single
ción No. 436 del IEEE, Vol. 1, pp 25-29. Shaped Reflector. IEICE Trans. on
Sámano R., Mendoza I. y Neri R. (2002). Commu ni ca tions, Vol. E76-B, No. 12,
Programación óptima para obtener Japón, pp. 1500-1507.
patrones tridimensionales de antenas Volakis J.L. (1998). SABOR: Descrip tion of
de apertura con la Transformada the Methods Applied for a Fast Anal ysis
Discreta de Fourier. Revista Ingeniería, of Hornand Reflector Antennas. IEEE
Investigación y Tecnología, UNAM, Vol. III, Antennas and Prop a ga tion Maga zine, Vol.
No.3, Julio-Septiembre 2002, pp 40, No. 4.
93-100.

Semblanza de los autores
Salvador Landeros-Ayala Realizó estudios de ingeniería eléctrica en la Universidad Nacional Autónoma de México
.
en 1974. En 1976 obtuvo su maestría en comunicaciones por la Universidad de Penn syl vania, USA y el
doctorado por la UNAM en 1999. Ha sido profesor durante más de 20 años en la Facultad de Ingeniería en
materias como antenas, enlaces de microondas, propagación de radio y sistemas satelitales.
Ramiro Sámano-Robles . Obtuvo su título como ingeniero en telecomunicaciones con mención honorífica en la
Facultad de Ingeniería, UNAM. Perteneció al Programa de Alto Rendimiento Académico de la misma Facultad.
En el 2003, logró la maestría en telecomunicaciones en la Universidad de Essex, Inglaterra becado por el
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. Se ha desempeñado profesionalmente en el área de
comunicaciones móviles (UNEFON) y en el diseño de circuitos de RF (Kb/TEL Telecomunicaciones).
Rodolfo Neri-Vela Realizó los estudios de ingeniero mecánico electricista y se especializó en telecomunicaciones y
.
electrónica en la Facultad de Ingeniería, UNAM. En 1976, terminó la maestría en telecomunicaciones en la
Universidad de Essex, Inglaterra, becado por el Consejo Británico. Tres años después obtuvo el grado de
doctor en radiación electromagnética aplicada por la Universidad de Birmingham, Inglaterra, como becario del
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT). En 1985, se convirtió en el primer astronauta mexicano
al participar en la misión 61-B de la NASA de los EU y orbitar la Tierra 109 veces. Actualmente imparte cátedra
en el Departamento de Telecomunicaciones de la Facultad de Ingeniería de la UNAM.


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