1. TESIS DE GRABIELA
Resumen
Este artículo presenta un análisis de los métodos Mulicritério
Decisión discreto, el AHP (Proceso Analítico Jerárquico) y una
de sus variantes, la AHP multiplicativo.
Compara ambos métodos en función de sus características
principales procedimientos yaplicaciones.
El trabajo tiene básicamente tres partes. La primera introduce
los conceptos y pasos fundamentales Decisión Multicriterio
ayuda, que describe el entorno en el que los métodos a
analizar su aplicación. La segunda parte se describen los
métodos multiplicativo AHP y AHP Classic, su
circunstancias y justificaciones. Además el sistema de análisis
sistemático, que van desde jerarquización del problema
mediante el cálculo del valor del impacto final de as
alternativas.
Se ha sugerido para el análisis de sensibilidad de más y
aplicación de métodos de caso.
La tercera parte es la comparación de ambos métodos. Se
puede afirmar el AHP multiplicativo presenta características
interesantes, tales como su Escala Natural justificadas por los
datos históricos y su procedimiento de análisis racional
bastante.
Estas características hacen Mahper, en muchas aplicaciones,
un método más adecuado que el real AHP.
1

2. Abstract
This essay explains about a comparative study on Multi-Criteria Decision
Methods, the AHP (Analytic Hierarchy Process) and one of its variations, the
Multiplicative AHP. Both methods have its main priorities, procedures, and
applications.
This essay is structured in three parts essentially. The first part talks about main
concepts and steps of Multi-Criteria Decision, describing the environment on
methods are applied.
The second part describes the Classic AHP and MAHP methods, with its
particularities. About the analytic procedure, it discuss from problem hierarchy
structure to final score of the alternatives. Have yet suggestions for sensibility
analyzes and one application in a specific case study.
The last one part is composed by a comparative analyze among both methods.
The Multiplicative AHP method has interesting characteristics, like its Natural
Scale justified by historic series, and its very reasonable analytical procedures.
Those characteristics give to MAHP, on several applications, a better
performance than the Classic AHP.
2

3. Contenido
Introducción ...................................................................... 1
1.1 Motivación ................................................... ................ 1
1.2 Propósito .................................................................... 2
1.3 Estructura de Trabajo .............................................. 2
2. Ayuda a la decisión multicriterio .................................. 4
2.1 Introducción a la Decisión Multicriterio ......................... 4
2.2 Pasos Proceso de Decisión Multicriterio ...................... 5
2.3 Conceptos de la Decisión Multicriterio Discreta............ 6
3. Proceso Analítico Jerárquico (AHP) ............................. 8
3.1 El clásico AHP ........................................................ 8
3.2 La escala fundamental ................................................ 9
3.3 Procedimiento de análisis AHP ... .............................. 10
3.4 Aplicación de AHP ..................................................... 19
4. Las críticas de la AHP ...................................... .......... 26
4.1 Principales críticas a la AHP ..................................... 26
4.2 Las ventajas de AHP ................ .............................. 28
4.3 Variaciones de AHP .............................................. ... 37
5. AHP multiplicativo ....................................................... 38
5.1 El AHP multiplicativo (Mahper )................................. 38
5.2 La escala natural ................................................... 38
5.3 Mahper Procedimiento Analítico................................ 41
5.4 Aplicación del Método Mahper .................................. 44
6. Conclusión ................................................. ................. 49
6.1 Análisis comparativo .. ............................................... 49
6.2 Comentarios .............................................................. 50
6.3 Conclusiones ............................................................ 50
Referencias .................................................................... 52
3

4. ÍNDICE DE CUADROS, GRÁFICOS Y TABLAS.
Figura 1: Pasos de un Proceso de Decisión Multicriterio ............................................... 5
Figura 2: Diagrama de flujo del procedimiento de análisis AHP ................................... .10
Figura 3: Estructura jerárquica de AHP ........................................... ............................. 12
Figura 4: Matriz de Decisión ............................................ .............................................. 13
Figura 5: Estructura jerárquica del problema ........................................... ...................... 20
Figura 6: Análisis de sensibilidad del Grupo ad hoc .......................................... ............ 25
Figura 7: Pirámide de Maslow ............................................ ........................................... 35
Figura 8: Diagrama de flujo del procedimiento analítico Mahper .................................... 41
Figura 9: Sensibilidad de Mahper .......................................... ..................... 48
Gráfico 1: Distribución de artículos por tema .......................................... ..................... 29
Gráfico 2: Distribución de artículos por área .......................................... ....................... 30
Gráfico 3: Distribución de artículos por tema (y SIMPOI SBPO ).................................. 31
Gráfico 4: Distribución de artículos por área (y SBPO SIMPOI) .................................. 31
Tabla 1: Escala Fundamentales ............................................. .............................................. 9
Tabla 2: Valores de RI para matrices cuadradas ......................................... ................. 16
Tabla 3: Los valores de RC inconsistencia aceptable .......................................... .............. 16
Cuadro 4: Las comparaciones por pares de alternativas en función de criterios de localización.. 21
Tabla 5: comparaciones por pares de alternativas a la discreción del tipo de misión ....... 21
Tabla 6: comparaciones por pares de alternativas a la discreción de la Aeronave Tipo 21 ...
Cuadro 7: Las comparaciones por pares de criterios de acuerdo con el objetivo principal... 21
Tabla 8: Análisis de la consistencia ............................................ .................................... 23
Tabla 9: Artículos de SBPO (2004-2006) ....................................... .......................................... 30
Cuadro 10: Artículos de SIMPOI (2004-2006 )....................................... .......................... 31
Cuadro 11: Escala Natural ......................... .................................................. .......... 39
Cuadro 12 comparaciones por pares de alternativas de acuerdo a la ubicación criterio 44
Cuadro 13: Matriz de la posición dominante de los criterios de ubicación........... 44
Cuadro 14: Las comparaciones de pares de alternativas a la discreción del tipo de misión ............ 45
Cuadro 15: Matriz de dominio para el tipo de criterios misión ...................................... ....... 45
Cuadro 16: Las comparaciones de pares de alternativas a la discreción del tipo de aeronave ........ 45
Cuadro 17: Matriz de dominio para el tipo de avión de prueba ...................................... .... 45
Cuadro 18 comparaciones por pares de los criterios que el objetivo principal ........................ 45
Cuadro 19: Matriz de posición dominante con el objetivo principal ........................................ .............
46
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5. 1.INTRODUCCIÓN
1.1 Motivación
La Decisión Multicriterio ayuda es un campo que surgieron en Investigación de
Operaciones años 70, a través de varios métodos que apoya la toma de decisiones
escenarios criterios complejos como los conflictos entre sí, o grupo de tomadores de
decisiones preferencias subjetiva.
• El enfoque tiene varias ventajas multicriterio de toma de decisiones, la principal,
descrito por Gomes (2007), son los siguientes:
Posibilidad de diálogo entre los distintos responsables políticos, es decir, los
responsables políticos se tomen por un enfoque constructivo, no sólo ser
responsable de la estructuración del problema, sino también por los cambios
interactivo;
• Posibilidad de trabajar con la subjetividad concreta la incertidumbre y la
imprecisión presentes en los complejos procesos de toma de decisiones, a través
de diversos métodos;
• La búsqueda no es la solución óptima, pero ofreciendo una solución de
compromiso satisfactoria entre los diferentes puntos de vista en conflicto, por lo
que el proceso de la toma de decisiones más transparente y creíble.
A través de varios métodos que puede seleccionar varios criterios, ordenar,
describir o alternativas de rango por el cual tomar la decisión. Estos métodos se
pueden se usan juntos, ya que se estructuran en los mismos principios,
permitiendo que las aplicaciones diversas.
Sin embargo, la existencia de varios métodos trae la preocupación de la elección
del método adecuada para resolver cada problema que se encuentran, el
segundo, sobre todo los aspectos relacionados con la naturaleza del problema
(selección, clasificación, clasificación y escripción), la estructura de relaciones
entre los objetivos del problema y el papel de quien toma las decisiones y el
analista durante el pasos de análisis.
Uno de los primeros métodos desarrollados para varios criterios, y quizás el más
utilizado en el mundo de hoy, es el AHP (Proceso Analítico Jerárquico). Este
método se basa en la construcción de las jerarquías de relacionar los objetivos o
criterios del representante diferentes intereses de la final. Sus aplicaciones se
encuentran en diversas áreas del conocimiento, incluyendo
ya sean políticos, sociales, económicos y tecnológicos, principalmente por la
incorporación de criterios análisis cualitativo y cuantitativo.
Sin embargo, desde su creación, el AHP ha sido criticada en la literatura. Muchos
combinado con la aplicabilidad de las críticas al método provocó la aparición de
algunos variaciones, que apunten a superar algunos de los puntos críticos
observados. Una de estas variaciones es la Mahper (multiplicativo Proceso
Analítico Jerárquico) o AHP Multiplicativo. Se propone un procedimiento de
prueba similar a la AHP, sin embargo, más
justificación de la evaluación y la agregación de las preferencias de quien toma las
decisiones. A pesar de ser un método fácil de implementar, con resultados
teóricos más racional que el AHP es poco utilizado y sin embargo hay poca
literatura al respecto.
1.2 Meta
El objetivo de este estudio es analizar y comparar los métodos y AHP AHP
Clásico Multiplicativo, a la luz de sus principales características, procedimientos y
aplicaciones.
Los objetivos específicos son: la sistematización del procedimiento analítico para
5

6. métodos, la recopilación y revisión de la literatura en el AHP multiplicativo y el
estudio de posibilidades de análisis de sensibilidad.
1.3 Estructura del Trabajo
Este trabajo está dividido en siete capítulos. Al principio, la motivación se
describen, el propósito y la estructura de la materia.
En el capítulo 2, hay una introducción a la Decisión Multicriterio Discreta, con su
conceptos y las etapas fundamentales.
Capítulo 3 trata de la AHP, describiendo sus principios, como la estructuración
Escala jerárquica y Primaria, y su procedimiento de análisis, además de la
aplicación de método en un problema propuesto.
En el capítulo 4, las principales críticas del Clásico AHP se mencionan. Ambos lo
positivo, ya que su amplia aplicación y los siete pilares del método preconizado
por el autor acerca de los comentarios negativos mismos. En consecuencia, no
son las variaciones que salen de AHP.
El capítulo 5 se refiere a una de las variaciones de AHP Classic, la AHP
multiplicativo. La los principales hitos que supere esta variación y su
procedimiento de análisis se describe aquí. El mismo caso ya resuelto a través de
AHP es resuelto a través de AHP Multiplicativo.
En el capítulo 6 tiene que completar la revisión de este trabajo, con el resultado de
Comparación de los métodos multiplicativo AHP y AHP, los comentarios acerca de
las dificultades que se encuentran y las conclusiones.
2. Ayuda a la decisión multicriterio
2.1. Introducción a la Decisión Multicriterio
El proceso de toma de decisiones en ambientes diversos, tales como el
negocio es suelen ser complejos. Los problemas son funciones complejas tales
como:
• Para más de un criterio y están en conflicto entre sí;
• Los criterios, objetivos y consecuencias de las opciones no están claramente
definidos o entendido;
• La interdependencia de los criterios;
• La cuestión debe ser resuelta por un grupo de tomadores de decisiones
contradictorias.
• Algunos criterios no son cuantificables, o que requieren juicios de valor;
• La escala con algún criterio, según los datos disponibles y la naturaleza de
discreción, puede ser cardinales, ordinales o verbal.
Hasta la primera mitad del siglo XX, la toma de decisiones en problemas
complejos Usando sólo el valor esperado de las alternativas. Con el fin de la
Segunda Guerra Mundial Mundial han desarrollado varios métodos
matemáticos para encontrar la solución óptima de
un problema. Estos métodos son ampliamente utilizados para una variedad de
aplicaciones, incluyendo: asignación de recursos, la determinación de la
trayectoria mínima, la optimización de inventarios, etc.
Sin embargo, esta optimización clásica o de programación matemática tiene un
criterio único o función objetivo a minimizar o maximizar. Y, sin embargo, todas
las condiciones o restricciones se deben cumplir, que introduce una camisa de
fuerza decisiones.
6

7. En los años 70 vio los primeros métodos de Decisión Multicriterio ayuda.
Estos métodos tienen la capacidad de agregar características importantes para
la decisión, tales como la identificación de áreas sensibles o información, una
mejor comprensión de las dimensiones
el problema, la aceptación de la representación parcial de las alternativas y el
uso de la estructura preferencias.
Un enfoque multicriterio tiene mayor capacidad de incorporar la incertidumbre
de datos o las opiniones de los interesados y destaca que rara vez se
encuentra un alternativa que es superior a los demás en todos los criterios o
puntos de vista en cuenta.
La metodología multicriterio tiene dos ramas principales: el discreto y continuo.
En rama continua, llamado Multi-objetivo de programación, los problemas
tienen múltiples objetivos, en el que las alternativas pueden adquirir un número
infinito de valores. Analíticamente consiste en un problema de decisión con
diferentes funciones objetivo y al mismo tiempo puede ser representado por:
Número máximo de F (x), x
∈
X
Dónde:
x es el vector [ ] 1 2,,, NXX ... x n de las variables de decisión;
X es el conjunto de todos los posibles valores de las variables de decisión;
F (x) es el vector () () () 1 2, n     fxfx fx ... p funciones objetivo del
problema.
En la sucursal discreta, llamada Decisión Multicriterio Discreta (DMD), los
problemas han un número finito de alternativas.
2.2 Pasos Proceso de Decisión Multicriterio
Los pasos de un proceso de decisión multicriterio se muestra en la Figura 1.
En primer lugar para detectar el problema a resolver, a continuación, los grupos
7

8. de interés, objetivos y criterios. Luego está el enfoque operativo del método, el
modelo de análisis que evalúa las alternativas. Por último, el análisis de los
resultados que conducen a una revisión del modelo o implementar la solución.
Objeto de la Decisión
Elaboración de Criterios
Modelado de Preferencias y
Un enfoque operacional
Resultados de Análisis
2.3. Conceptos de la Decisión Multicriterio Discreta
Esta sección sigue los conceptos definidos en Gomes et al (2004). El multicriterio
la decisión se basa en algunos conceptos básicos: quien toma las decisiones, el
analista, conjunto de alternativas, los atributos y criterios y ponderaciones.
2.3.1. Decider o agente de la decisión.
Es la emisión de juicios de valor en relación con las alternativas disponibles,
con el fin de identificar la mejor opción. La información introducida por el tomador
de decisiones en el proceso de decisión es fundamentalmente subjetivo y sigue la
estructura interna de las preferencias de quien toma las decisiones.
El tomador de decisiones es un elemento del modelo, una abstracción. Por lo
tanto, su existencia puede ser real o ideal. O bien, el agente de decisión puede ser
un grupo de individuos.
2.3.2. Analistas
El analista también puede ser un individuo o un grupo. Esta persona o
equipo como modelo a seguir el problema y, posiblemente, hacer
recomendaciones para su resolución definitiva. Es lo que es objetivamente la
opinión de la final, moverlos a la modelo.
Las funciones de la que toma las decisiones y analista son omplementarios, sin
embargo, la responsabilidad de decisión es la que toma las decisiones y no el
analista, ya que ningún método de apoyo a la decisión sustituye a la figura del
tomador de decisiones.
2.3.3. Juego de las alternativas
El conjunto de alternativas o de elección consiste en diferentes alternativas,
exhaustiva y exclusiva. Integridad implica que si el tomador de decisiones para
introducir un nuevo alternativa al conjunto que debe reformular el modelo. Ya
están en el medio exclusivo la prohibición de una solución intermedia.
2.3.4. Los atributos y criterios.
Los atributos son características de las alternativas que representan la
capacidad o bienes para satisfacer las necesidades de los tomadores de
decisiones o para lograr el objetivo del problema.
8

9. El conjunto de todos los atributos considerados siempre es un conjunto finito. Hay
atributos cuantificables, es decir, la cantidad o la intensidad con la que el atributo está
presente se puede medir por un número real y no hay atributos cuantificables.
Un criterio es una función que refleja las preferencias de la toma de decisiones frente a
un atributo. Una función que, para un atributo, coincide con el conjunto de todos los
pares ordenados de alternativas en una partición en el mismo conjunto. A continuación,
puede comparar los resultados de una comparación entre dos alternativas x 1 x 2, un
atributo j segundo, de la comparación de dos números reales (j (1) UXE ( ) j2 ux). Cada
atributo j asociadas a una escala que consiste en un conjunto ordenado de números
reales pueden ser aceptados por esta función.
El criterio es un modelo en el que puede ser una preposición en función del tipo: ( ) ( ) j 1
j 2 1ux > ujo
⇔
x es preferible a la de 2 x con respecto al atributo j.
El valor de la escala de los resultados de la función que compara las alternativas no es
necesariamente lineal o monótona. Y en muchos casos existe una escala natural para
evaluar un criterio que se puede utilizar una escala subjetiva. Por lo tanto, hay varias
formas de evaluar o cuantificar las alternativas con respecto cada criterio.
2.3.5. Pesos
En general, algunos criterios son más importantes que otros, de acuerdo a las
preferencias de quien toma las decisiones. El peso es el peso o la medida de la
importancia relativa de los criterios para la toma de decisiones, es decir, son los valores
de las tasas marginales de sustitución. El peso del atributo j está representado por w j.
Hay muchas formas para determinar los pesos de los criterios y determinar qué tan bien
un criterio está dispuesto a transigir con el fin de mejorar el rendimiento de otro. Al
involucrar el concepto psicológico de importancia es muy importante para su análisis de
sensibilidad, es decir, la percepción de los valores de resistencia de las posibles
alternativas cambios en las funciones de utilidad utilizados en la evaluación.
El conjunto de todos los atributos considerados siempre es un conjunto finito. Hay
atributos cuantificables, es decir, la cantidad o la intensidad con la que el atributo está
presente se puede medir por un número real y no hay atributos cuantificables.
CAPITULO III
Proceso Analítico Jerárquico (AHP)
3.1. El AHP Clásico
Teoría de las Decisiones Multicriterio Discreta, uno de los primeros métodos y hoy
tal vez el más utilizado en todo el mundo es el analítico jerárquico o AHP (Analytic
Jerarquía de Proceso), creada en los años 80 por Thomas Saaty.
El AHP proporciona una medida global para cada una de las alternativas, dando prioridad a los
o los de clasificación. El proceso se basa en tres principios:
• Construcción de jerarquías:
Un problema complejo que a menudo requiere la estructuración de los criterios en un
jerarquía, que es un procedimiento natural en el proceso del razonamiento humano.
En AHP, no es la estructuración de los criterios en una jerarquía, el más común es
9

10. forma de un árbol donde se va el más alto nivel de discreción descompone en
niveles más detallados.
• Establecimiento de prioridades:
Las prioridades se obtienen a través de comparaciones por pares. La comparación por
pares basado en la capacidad de los humanos para percibir la relación entre los objetos y
situaciones observadas mediante la comparación de pares a la luz de un criterio particular.
• coherencia lógica:
Es posible evaluar la consistencia de los índices obtenidos por prioridad o por razones
método propuesto, es decir, las medidas de la coherencia de las resoluciones judiciales.
Durante mucho tiempo las personas han tratado de establecer medidas para los eventos
social y físico y AHP tiene una teoría coherente para trabajar con ellos sin comprometer la
otra. Esta teoría utiliza una escala estándar para las comparaciones, llamada escala de
valores fundamentales. Esta escala ha sido validada en muchas aplicaciones y se verá más
adelante.
Los axiomas del AHP están alineados a factores tales como las relaciones recíprocas,
comparación de elementos homogéneos, la jerarquía y la dependencia del sistema, que se
espera para validar las escalas y la tasa marginal de sustitución.
3.2. La escala Fundamentales
Las comparaciones pareadas se realizan por elementos homogéneos, es decir,
tienen el mismo nivel jerárquico. Cada elemento está asociado con un valor de prioridad
sobre otros elementos en una escala numérica de los números reales positivos. La escala
propuesta por Saaty para representar la intensidad de estos ensayos se llama Escala
Fundamentales, que se muestra en la Tabla 1.
Saaty observa que si bien los estímulos que siguen una escala geométrica, la percepción
del individuo sigue una escala lineal. También hay umbral psicológico llamado, según la
cual los seres humanos pueden, como mucho, a juzgar correctamente 7 ± 2 puntos. Por lo
tanto, la escala fundamental define nueve puntos para distinguir las diferencias entre las
alternativas.
10

11. 3.3. AHP Procedimiento analítico
La decisión multicriterio se puede entender por etapas. Aunque secuencias que son
reiterativos en la práctica. Por ejemplo, la identificación de un nuevo Alternativamente,
usted puede sugerir un nuevo criterio también se introduce. Los pasos de la AHP se
muestra en la Figura 2 y se detallan a continuación.
3.3.1. Definición del objeto de la Decisión
Es definir el problema a resolver mediante el reconocimiento de quien toma la decisión
necesidades.
3.3.2. Identificación de los tomadores de decisiones
La identificación de grupos de interés o tomadores de decisión es de gran importancia
en el método, porque la alternativa elegida depende directamente de la información
proporcionada por los tomadores de decisiones en forma de juicios de valor.
Siempre supone la existencia de un tomador de decisiones, real o ideal. Por resoluciones
judiciales en grupos, puede tomar la media geométrica de los juicios individuales, suponiendo
que el orden de votación no afecta la decisión.
11

12. 3.3.3. Definición de las Alternativas
En algunos casos, es fácil de identificar cuáles son las alternativas, en otros es
necesario que éstos se definan, en otros puede ser necesario para reducir una lista de
alternativas en una lista más corta. Aunque no hay límite teórico al número de alternativas que
se consideran, hay que evaluar la recopilación de información para muchas alternativas puede
ser muy amplio y complejo, incluso. Otro factor a considerar en cuanto al número de
alternativas es el umbral psicológico de 7 ± 2 puntos.
3.3.4. Definición de Criterios y jerarquización.
La definición de los criterios es parte de la estructuración del problema, incluyendo todos
los intereses de la final. La construcción de una jerarquía en forma de un árbol es la ruptura
sistemática de los criterios en los niveles más detallados hasta que el criterio es lo
suficientemente específica.
Keeney y Raiffa (1976, apud Gomes, 2002, p.26) considera cinco factores de
criterios:
Integridad: si el árbol está completo, todos los criterios pertinentes al tomador de decisiones
están en él;
• Operatividad: Los criterios de nivel inferior son lo suficientemente específicos
para evaluar y comparar alternativas;
• Decomponibilidade: el rendimiento de las alternativas a los criterios tiene que ser
posible, independiente de los resultados en otros criterios;
• No hay redundancia: debe haber dos criterios que representan el mismo
Lo que suponen una doble contabilidad en la decisión final;
• Tamaño mínimo: Los criterios no deben ser divididos más allá del nivel en el que puede
ser evaluados para que el árbol no sea demasiado grande. Usted puede reducir el
árbol criterios de eliminación de las distinciones entre las alternativas.
La estructura jerárquica de la decisión es una parte esencial de la AHP. El inicio de la
jerarquía debe representar el objetivo general o de un criterio de síntesis, mientras que
los niveles más bajos son los criterios que afectan el nivel superior. En el último nivel
son los criterios que se evaluarán las alternativas. La Figura 3 muestra una estructura
jerárquica teniendo en cuenta los criterios y subcriterios.
La estructura jerárquica de la decisión es una parte esencial de la AHP. El inicio de la
jerarquía debe representar el objetivo general o de un criterio de síntesis, mientras que los
niveles más bajos son los criterios que afectan el nivel superior. En el último nivel son los
criterios que se evaluarán las alternativas. La Figura 3 muestra una estructura jerárquica
teniendo en cuenta los criterios y subcriterios.
12

13. 3.3.5. Comparación de alternativas con respecto a los criterios
La calificación o los intentos de puntuación para cuantificar el valor de cada alternativa el
uno contra el criterio del nivel más bajo del valor de los árboles.
Hay varias maneras de cuantificar el valor de las alternativas. Si una función
analítica (o valor) para la prueba, sólo tiene que calcular el valor de esta función para cada
alternativa.
Si no, puede utilizar la evaluación directa de las alternativas es clasificar las alternativas de
acuerdo a la preferencia de quien toma la decisión y luego establecer una escala de valores.
En el caso específico del Grupo ad hoc, una comparación entre las alternativas se le da un par
de par, para todos los criterios del nivel jerárquico pasado. Las cuestiones que toma las
decisiones de su preferentemente en forma de juicio verbal, que se transforma en un valor
numérico a través de la escala fundamental.
Estas preferencias están organizados en una matriz cuadrada, llamada matriz decisión o
resolución. Los elementos de esta matriz expresa el número de veces que una alternativa es
dominante o dominada por otros. Cada elemento ij de la fila de vectores de la matriz representa
el dominio predominante de la alternativa A i más de una alternativa j. La diagonal principal está
llena de un conjunto de valores para representar la falta de dominio de una alternativa sobre
otra (en la escala corresponde al valor fundamental 1).
El tomador de decisiones debe tomar n(n-1)/2 comparaciones, y el número de alternativas
analizaron los criterios. En la matriz cuadrada, tiene un ij, para i = 1,2 ,...,n e j = 1,2, …n. Estas
matrices son recíprocas positivas (aij = 1 / aji).
3.3.6. Determinación de la importancia relativa de los criterios
La importancia relativa de los criterios se atribuye al problema a través de los pesos. Los
coeficientes de las prioridades o pesos de cada elemento representa cómo un criterio está dispuesto
a transigir con el fin de mejorar el rendimiento de otro. La comparación de los criterios para un mismo
nivel jerárquico para el criterio de inmediatamente anterior tiene el mismo enfoque de la comparación
de las alternativas. Es decir, el DM envía su elección de la gama entre los elementos fundamentales
en comparación, desde el punto de vista de un elemento del nivel inmediatamente superior, la
creación de una matriz cuadrada de las preferencias.
El DM debe hacer (m-1) 2 comparaciones, donde m es el número de elementos de elementos a nivel
de análisis. Las comparaciones pareadas se llevan a cabo en todos los niveles.
3.3.7. Obtención de las prioridades del vector
Los resultados parciales del conjunto de alternativas dentro de cada criterio se puede
obtenido de la matriz de decisión. Ellos se llaman valores de impacto:
13

14. El valor del impacto de la alternativa j con respecto a la alternativa i es la representación
número de tareas verbales dadas por el DM para cada comparación de alternativas. Estos resultados
están normalizados por la expresión:
Donde n es el número de alternativas o elementos comparados, ya que
que el mismo procedimiento se debe hacer para comparar los criterios.
Por lo tanto, el vector de las prioridades de la alternativa i en el criterio C k se le da
por:
Después de obtener el vector de prioridad de las alternativas en cada k criterio C, continuase
con el nivel de los criterios. La normalización de los resultados de los resultados de las
comparaciones por parejas en los siguientes pesos a los criterios de:
Donde m es el número de criterios para un mismo nivel. El vector prioridades son:
3.3.8. Evaluación Global de cada alternativa
La puntuación de valor o importe total de cada alternativa está dada por una función de
agregado. La resultado es la prioridad o rango de alternativas.
La función de utilidad lineal aditivo es en general suficiente y evalúa el desempeño
de alternativas de acuerdo a varios criterios de la siguiente manera:
Donde n es el número de alternativas.
De este modo, se obtiene una ordenación global de alternativas a través de
una función de valor global.
3.3.9. Análisis de la Coherencia
En AHP, el rendimiento de las alternativas está dado por el vector de prioridades. Varios
metodologías fueron propuestas para obtener de la matriz de comparación por pares, como el
derecho o autovector izquierdo, aritmética o geométrica de líneas de la matriz, entre otros.
Saaty ha demostrado que el proceso de una mayor coherencia para obtener el vector de las
prioridades es el método de vector propio derecho.
Siendo aij es el valor obtenido de la comparación por pares de i elemento a elemento j
todos los juicios perfectos en todas las comparaciones sería posible verificar que aij x a
jk
= aik
para cualquier i, j, k, y la matriz A = ( aij) para ser coherente.
14

15. Sea n el número de elementos a comparar, el vector propio de un máximo de λmax El
autovector de A y w el vector de prioridades. Si los ujuicios fueran consistentes sentencias
eran completamente coherente, tener como máximo λ n = ij i, j = w de W.
Sin embargo, a menudo hay una cierta inconsistencia en los juicios. Este
inconsistencia se puede medir en el AHP utilizando los valores de distancia de un máximo de λ
es.
Por lo tanto, λ max - n es un indicador de la incompatibilidad.
Por lo tanto, siendo A la matriz de la posición dominante, es posible encontrar el vector
satisface la ecuación:
3.3.8 Avaliação Global de cada Alternativa
O valor ou pontuação global de cada alternativa se dá por uma função de agregação. O
resultado é a priorização ou classificação das alternativas.
A função de utilidade linear aditiva é geralmente adequada e avalia os desempenhos
das alternativas conforme os múltiplos critérios da seguinte forma:
Onde n corresponde ao número de alternativas.
Dessa maneira, obtém-se uma ordenação global das alternativas por intermédio de
uma função global de valor.
3.3.9 Análise da Consistência
No AHP, o desempenho das alternativas é dado pelo vetor de prioridades. Várias
metodologias foram propostas para obtê-lo a partir da matriz de comparação par a par, como o
autovetor direito ou esquerdo, a média aritmética ou geométrica das linhas da matriz, entre
outras. Saaty demonstrou que o processo de maior consistência para se obter o vetor de
prioridades é o método do autovetor direito.
Sendo ij a o valor obtido da comparação par a par do elemento i com o elemento j e
todos os juízos perfeitos, em todas as comparações seria possível verificar que ij jk ik a ×a = a
para qualquer i, j, k e a matriz ( ) ij A = a seria consistente.
Seja n o número de elementos a serem comparados, max λ o autovetor de A e w o
vetor de prioridades. Caso os juízos fossem completamente consistentes, têm-se max λ = n e
ij i j a = w w .
Contudo, quase sempre se verifica alguma inconsistência nos juízos. Essa
inconsistência pode ser medida no AHP através da distância dos valores de max λ e n .
Portanto, max λ − n é um indicador da inconsistência.
Deste modo, sendo A a matriz de dominância, é possível encontrar o vetor que
satisfaça a equação:
15

16. Saaty (1980, apud GOMES, 2002, p.47) propõe que para que a matriz A seja
consistente, λmax ≥ n e então, o Índice de Consistência (IC) deve ser menor que 0,1. O índice
de consistência é calculado pela seguinte relação:
Nessa fórmula, IR é um índice aleatório, calculado para matrizes quadradas de ordem
n pelo Laboratório Nacional de Oak Ridge, nos Estados Unidos. Alguns valores de IR estão
na tabela 2 (Gomes et all 2004).
Quanto maior for RC, maior será a inconsistência. Um resultado consistente deve
obedecer as seguintes relações apresentadas na Tabela 3.
3.3.10 Análise de sensibilidade
O processo de decisão é tipicamente iterativo. A análise de sensibilidade do modelo
construído responde questões do tipo “e se?”, como por exemplo: “Se houvesse uma mudança
sensível em um ou mais aspectos do modelo, a melhor alternativa mudaria?”. Caso a resposta
seja afirmativa o decisor deve reconsiderar esses aspectos para os quais a decisão é sensível.
Qualquer parte do modelo pode ser sujeito à análise de sensibilidade.
Assim, a análise de sensibilidade possibilita perceber a resistência dos valores das alternativas
a possíveis mudanças nas funções de utilidade empregadas, por exemplo.
Contribui também para a compreensão do decisor acerca do próprio problema, como suas
limitações ou abrangência.
Há, basicamente, quatro tipos de análises de sensibilidade a serem feitas em problemas
de decisão. São elas:
• Alteração dos pesos relativos dos critérios:
A importância relativa dos critérios, por envolver conceitos psicológicos de
importância, demanda uma análise cuidadosa. Isto porque os critérios são os eixos de
avaliação do problema e um peso excessivo em um dado critério pode privilegiar
16

17. fortemente uma alternativa em relação às outras. Portanto, é recomendável a variação
dos pesos relativos para se analisar a resistência da ordem das alternativas.
Tal variação pode ser apenas em torno da ponderação escolhida através da comparação
par a par. O valor da comparação relativa do critério i em relação ao critério j , ij a , é
alterado de um valor pequeno, sem atingir os graus anterior e posterior na Escala
Fundamental. Por exemplo, se 5 ij a = (importância grande do critério i em relação ao
critério
j ) testa-se a resistência da ordem das alternativas para 4 ij a = (importância entre grande
e pequena) e 6 ij a = (importância entre grande e muito grande). Faz-se isso para todas as
comparações par a par entre os critérios.
Outra possibilidade é a variação dos julgamentos entre critérios em todo o espectro
possível, isto é, considerando todas as possibilidades e combinações. Altera-se cada ij a
de 1 9 (importância absoluta do critério j em relação ao critério i ) até 9 (importância
absoluta do critério i em relação ao critério j ) em paralelo à alteração dos outros ij a .
• Alteração dos julgamentos das alternativas:
O julgamento das alternativas também envolve o conceito subjetivo de importância.
Porém, não faz sentido variar a preferência do decisor em todo o espectro possível,
porque se supõe que os critérios sejam suficientemente específicos para avaliar as
alternativas e distingui-las. Então, apenas a alteração do valor numérico das
comparações em torno do valor primeiramente escolhido (variação sensível) estabelece
uma análise interessante.
Dessa forma, pode-se medir a resistência da ordenação global das alternativas em
relação ao julgamento do decisor. Admite-se que as preferências da matriz de decisão
A = aij  possam variar entre uma tendência otimista e pessimista. Têm-se então
três matrizes A e cada uma delas conduz a um resultado final. A sensibilidade do
julgamento das alternativas pode ser então analisada.
Além disso, é possível utilizar esses julgamentos tendenciosos otimista e pessimista,
além do julgamento original, para se obter uma matriz de julgamentos representativa A*
tal que minimize os valores de preferência expressos pelo decisor nos diferentes juízos.
Ou seja, toma-se o menor dos valores obtidos na comparação par a par das alternativas
para ser o julgamento representativo e a partir desses valores os cálculos posteriores são
realizados.
• Alteração na quantidade de critérios:
Os critérios no AHP são organizados em uma estrutura hierárquica, segundo cinco
fatores: completitude, operacionalidade, decomponibilidade, ausência de redundância e
tamanho mínimo, descritos na seção 3.3.4. A inserção ou retirada de um critério pode
conduzir a análises interessantes.
Suponha uma decisão para um novo local comercial e entre os critérios estão
visibilidade, imagem e conforto. Após realizar o procedimento analítico do AHP para
determinação dos valores de impacto de cada alternativa segundo esses critérios,
observa-se que o critério visibilidade, parece estar influenciando fortemente uma das
alternativas; o critério conforto não estabelece grande distinção entre as alternativas e
ainda o criterio imagem, por ser difícil de ser avaliado, pode estar introduzindo
17

18. informações imprecisas nos cálculos. É recomendável então a análise do impacto que a
retirada de cada um desses critérios traz à ordenação final das alternativas. Após essa
analise, pode-se concluir que os resultados do problema estão sendo fortemente
influenciados por um dos critérios ou muito pouco por outro critério. Ambas as
situações sugerem a necessidade de revisão da estrutura hierárquica proposta.
Assim, se o problema tem muitos critérios ou alguns dos critérios é difícil de ser
avaliado, o fator tamanho mínimo deve ser reconsiderado. Isto é, os critérios não devem
ser divididos além do nível em que podem ser avaliados e ainda é possível eliminar os
criterios que não façam distinções entre as alternativas. Nesse caso uma redução na
quantidade de critérios se faz interessante.
Por outro lado, a inserção de novos critérios também pode ser importante. A árvore de
decisão deve ser completa, em outras palavras, todos os critérios que interessam ao
decisor devem estar incluídos nela. Incluir possíveis novos critérios e avaliar a robustez
da ordenação global das alternativas é uma forma de se garantir a completitude. Ou seja,
se novos criterios possíveis de serem avaliados e interessantes ao decisor provocam
mudanças na pontuação das alternativas, existe um indicativo que a árvore de decisão
não estava ainda completa. O contrário também pode ocorrer, novos critérios não
alteram a ordem das alternativas e então a estrutura inicial mostra-se adequada para
julgar o problema.
• Alteração na quantidade de alternativas:
Em muitos casos a alteração na quantidade de alternativas conduz a um melhor
entendimento do problema analisado. O modelo do AHP recebe muitas críticas devido a
ese tipo de análise, isto porque a inserção de uma nova alternativa (ou retirada) pode
alterar toda a ordenação anteriormente obtida. Isto porque a comparação par a par com a
nova alternativa pode beneficiar diferentemente cada uma das alternativas,
influenciando o resultado final.
De qualquer forma, a análise do resultado final após se retirar ou acrescentar
alternativas pode ser bastante útil. Quando se tem uma longa lista de alternativas e se
escolhe n delas para serem analisadas via AHP (as tidas como potencialmente melhores)
é bastante adequado analisar a influência da adição de mais uma alternativa no resultado
do problema.
Outra possibilidade surge quando a pontuação final de uma das alternativas é bastante inferior
à pontuação das outras, pois a alternativa é sempre dominada. Retirá-la da análise pode
permitir uma melhor comparação entre as alternativas que estão num mesmo nível de
preferência do decisor.
Deste modo, a análise de sensibilidade é uma importante ferramenta para a validação
do modelo adotado (estrutura hierárquica) e dos resultados do modelo (ordenação ou
pontuação das alternativas). Contudo, cada problema deve ser analisado de acordo com suas
especificidades, pois pouco adianta resultados de muitas análises sem que essas sejam
realmente entendidas para o problema em questão.
3.4 Aplicação do Método AHP
Uma aplicação do método AHP clássico foi desenvolvida por Avellar e Polezzi
(2002). O problema será aqui utilizado, com as mesmas alternativas, critérios e julgamentos.
Entretanto, a abordagem analítica seguirá as etapas propostas aqui anteriormente.
3.4.1 Definição do Objeto de Decisão
O objetivo principal é a determinação do Esquadrão de Caça da Força Aérea Brasileira
mais apropriado para emprego em uma situação hipotética de conflito com algum país do
continente sul-americano.
3.4.2 Identificação dos Decisores
18

19. Nesse problema o decisor é uma figura hipotética, isto é, os analistas efetuaram
julgamentos segundo suas próprias opiniões, apesar da decisão de um esquadrão de caça não
ser responsabilidade deles. Isto porque o este estudo de caso é uma análise da aplicação do
AHP num problema hipotético, porém possível.
3.4.3 Definição das Alternativas
Têm-se quatro esquadrões, com diferentes características. Por simplicidade, são aqui
tratados por: Esquadrão 1, Esquadrão 2, Esquadrão 3 e Esquadrão 4.
3.4.4 Definição dos Critérios e Estruturação Hierárquica
Três critérios foram considerados: localização, tipo de missão e tipo de aeronave do
esquadrão. A estrutura hierárquica do problema está mostrada na Figura 5.
3.4.5 Comparação das alternativas em relação aos critérios
O decisor estabeleceu comparações par a par com relações a critérios e alternativas sob
cada critério. As Tabelas 4, 5 e 6 apresentam os valores oriundos dos julgamentos do decisor,
bem como os vetores de prioridade obtidos a partir dos cálculos que compõem o método.
19

20. 3.4.6 Determinação da Importância Relativa dos Critérios
A importância relativa dos critérios foi obtida fazendo comparações par a par dos
critérios com relação ao objetivo principal. O resultado obtido está apresentado na Tabela 7.
3.4.7 Obtenção do vetor de prioridades
As matrizes acima mostram não só a dominância, mas também o vetor de prioridades
sob cada critério.
Os valores de impacto de cada alternativa foram normalizados, segundo a expressão:
20

21. 3.4.8 Avaliação global de cada alternativa
Finalmente, com base nas comparações efetuadas, o ordenamento das alternativas em
jogo foi estabelecido através da função agregativa linear f :
Tem-se então estabelecida a seguinte ordem, da melhor para a pior alternativa:
Esquadrão 1 > Esquadrão 4 > Esquadrão 2 > Esquadrão 3.
3.4.9 Análise da consistência
A análise de consistência dos juízos emitidos pelo decisor deve ser feita para cada
critério e para o objetivo principal.
21

22. Portanto, a inconsistência dos juízos quanto ao critério Localização é aceitável.
Os cálculos para os demais critérios e para o objetivo principal são análogos. Os
resultados estão sintetizados na Tabela 8.
Essa análise permitiu identificar que todos os juízos emitidos pelo decisor nesse
problema têm inconsistências dentro dos limites aceitáveis pelo método.
3.4.10 Análise de sensibilidade
Uma das características do caso em questão é o decisor ser uma abstração, isto é, o
analista tomou o papel do decisor e emitiu os julgamentos entre as alternativas e critérios. Por
essa razão a primeira análise de sensibilidade a ser feita é a variação do peso relativo dos
critérios em todo o espectro. Deste modo pode-se notar o quanto a melhor alternativa está
relacionada com o peso atribuído a determinado critério.
Como o problema possui três critérios que impactam o objetivo principal, bastam três
julgamentos: missão em relação à localização, tipo de aeronave em relação à localização e
tipo de aeronave em relação à missão.
Por simplicidade, os valores para os julgamentos foram:
22

23. Que são os valores correspondentes aos graus da Escala Fundamental, sem considerar os
valores
intermediários. Estas possibilidades geram 9×9×9 = 729 casos.
Porém, considerando válidos somente os casos cujas inconsistências estão abaixo do
limite proposto para o método têm-se 103 casos possíveis, dos
quais 64 têm como primeira alternativa o Esquadrão 1 e 39 têm como primeira alternativa o
Esquadrão 4.
Esses resultados estão graficamente mostrados na Figura 6 a seguir.
4. Críticas ao AHP
O método AHP tem sido bastante utilizado no Brasil e restante do mundo em avaliações
de natureza estratégica, desde os anos oitenta. Desde então também tem sido objeto de
críticas. Por outro lado, sua utilização é bastante justificada em problemas de decisão em que
determina o objetivo matemático através de preferências pessoais ou subjetivas.
Esse capítulo se propõe a fundamentar os pilares do AHP bem como defender sua
aplicabilidade e expor as principais críticas surgidas na literatura a sua utilização.
23

24. 4.1 Principais críticas ao AHP
As críticas descritas nesta seção foram adaptadas de GOODWIN e WRIGHT (2000
apud GOMES e ARAÚJO, 2004) e TRIANTAPHYLLOU (2001).
4.1.1 Conversão da escala verbal para numérica
A comparação par a par das alternativas em relação aos critérios é feita convertendo o
julgamento verbal do decisor em um valor numérico, através da escala fundamental. Porém a
correspondência entre as escalas (verbal e numérica) é baseada em pressupostos (Lei
Psicofísica de Weber e Fechner) que podem ser contestados. Por exemplo, se a alternativa 1 A
tem importância muito grande em relação à 2 A recebe o fator 5. Muitos autores têm
argumentado que esse fator é muito alto para a noção de preferência forte.
4.1.2 Inconsistências impostas pela escala fundamental
A escala de 1 a 9 algumas vezes restringe as comparações par a par, forçando o decisor
a cometer inconsistências. Por exemplo, se 1 A é considerada 5 vezes mais importante que 2 A
e 2 A é 5 vezes mais importante que 3 A , então 1 A deveria ser 25 vezes mais importante que
3 A , mas isso não é possível uma vez que a escala não tem propriedade multiplicativa. O
decisor tem então limitações para as comparações.
4.1.3 Significado das respostas às questões
Os valores obtidos nas comparações de alternativas não tem referencia às escalas nas
quais as alternativas são medidas, isso possibilita interpretações diferentes e, possivelmente,
erradas pelo decisor. Lootsma (1990, apud GOMES E ARAÚJO, 2004) observou a
dificuldade dos decisores para efetuar julgamentos subjetivos em relação a alternativas cujos
desempenhos estavam associados a valores físicos ou monetários.
4.1.4 Inversão do ranking das alternativas
A inversão do ranking das alternativas pode ocorrer no AHP de diversas formas:
(i) A inserção de novas alternativas pode inverter o ranking das alternativas existentes,
crítica observada por Belton e Gear (1982), Diyer e Ravinder (1983), Lootsma (1990) [apud
GOMES E ARAÚJO, 2004].
Esses problemas ocorrem devido ao modo pelo qual os pesos são normalizados para
somar 1.
Entretanto, Saaty e Vargas (2000) defendem a legitimidade da reversão do ranking,
como será mostrado em um dos sete pilares do AHP apresentados neste trabalho.
(ii) A propriedade da transitividade não é respeitada. Assim, a análise via subproblemas
(em que duas alternativas são comparadas segundo todos os critérios e posteriormente seus
resultados de preferência são combinados) e a análise convencional ou simultânea das
alternativas (em que todas as alternativas são analisadas em relação a todos os critérios)
podem conduzir a diferentes resultados. Essa crítica foi observada por Triantaphyllou (2001).
Um dos exemplos tem por resultado convencional A3 > A2 > A1 e via subproblemas 2 3 A > A ,
1 2 A > A e 1 3 A > A , ou seja, 1 2 3 A > A > A . Nesse caso, o uso do método MAHP
(Multiplicative
Analytic Hierarchy Process) garante que a reversibilidade do ranking não ocorra.
O mesmo artigo compara resultados computacionais da porcentagem de contradições
no ranking das alternativas do método AHP e sua variação MAHP, variando a quantidade de
critérios e alternativas. Nota-se que variações na melhor alternativa sofrem pouca influencia
do número de critérios analisados. Por outro lado, variações em qualquer das alternativas é
significativamente maior quanto maior o número de alternativas analisadas.
4.1.5 Grande número de comparações requeridas
Apesar da redundância existente no AHP ser uma vantagem, o número de
comparações requeridas pode ser muito grande. Isto porque o decisor deverá fazer n(n −1) 2
24

25. comparações em cada critério, sendo n o número de alternativas do critério analisado e
m(m−1) 2 comparações de critérios sendo m o número de critérios. Para um problema com
sete alternativas e sete critérios, são necessárias 168 comparações par a par. Esse grande
número de julgamentos pode dificultar a aplicação do método.
4.1.6 Axiomas do método
Vários axiomas do método já foram questionados:
(i) Dier (1990 apud GOMES e ARAÚJO, 2004) argumentou que os axiomas do AHP
não são fundamentados em descrições do comportamento racional passíveis de
teste, o que foi alvo de resposta por parte de HARKER e VARGAS (1987) [ apud
GOMES e ARAÚJO, 2004].
(ii) Bana, Costa e Vansnick (2001 apud GOMES e ARAÚJO, 2004) descreveram um
problema na quantificação das prioridades (mas não na ordem) que ocorre no
cálculo do vetor de prioridades a partir da matriz de dominância (autovetor direito)
e afirmaram que o coeficiente de inconsistência proposto por Saaty não detecta tal
situação.
4.2 Aspectos positivos do AHP
O AHP é um dos métodos de decisão multicritério mais utilizados no mundo, com
muitos trabalhos publicados. Além disso, o método tem características que o fortalecem como
defende Saaty (2000) através dos sete pilares descritos a seguir.
4.2.1. Aplicabilidade do método
O AHP desde sua invenção tem sido usado como ferramenta por tomadores de decisão
e pesquisadores. É uma das ferramentas de decisão multicritério mais largamente utilizadas.
Muitos excelentes trabalhos têm sido publicados baseados no AHP: eles incluem aplicações
em diferentes campos como planejamento, seleção da melhor alternativa, alocação de
recursos, resolução de conflitos, otimização e etc.
Vaidya e Kumar (2004), no artigo intitulado “Analytic Hierarchy Process: An
Overview of Applications”, apresenta uma revisão dos diferentes campos de aplicação do
AHP. São 150 artigos (publicados entre 1990 e 2003) referenciados nessa revisão, com
diferentes aplicações do AHP.
As aplicações foram divididas em três diferentes grupos:
- Aplicações baseadas em temas;
- Aplicações específicas ou áreas;
- Aplicações combinadas com alguma outra metodologia.
Os principais temas são: seleção, avaliação, análise custo-benefício, alocação,
planejamento e desenvolvimento, prioridade e ranking, tomada de decisão, previsão, medicina
e campos relacionados e aplicações com QFD (Quality Function Deployment).
As áreas de aplicação ou temas específicos considerados são: social, pessoal,
educação, manufatura, política, engenharia, indústria, governo, gerenciamento, banco,
esportes e comércio.
Já algumas das metodologias aplicadas em conjunto são: teoria Fuzzi, programação
linear, redes neurais, probabilidade e estatística, programação GOAL, programação
multiobjetivo,
modelo de simulação, teoria gráfica, ANP (Analitic Network Process), tabelas
lógicas, método de restrições, Prometeè, diagramas de causa e efeito, programação dinâmica,
entre muitas outras.
O resultado dessa análise pode ser observado nos Gráficos 1 e 2 a seguir.
25

26. Uma análise semelhante pode ser feita para aplicações do AHP publicadas em artigos
no Brasil. Os dois principais simpósios que incluem artigos sobre Pesquisa Operacional são o
SIMPOI (Simpósio de Administração da Produção, Logística e Operações Internacionais) e o
SBPO (Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional).
Uma pesquisa nos artigos publicados nesses simpósios nos últimos três anos (2004,
2005 e 2006) encontrou 15 artigos que utilizavam o AHP como parte fundamental de suas
análises. As principais informações desses artigos estão nas Tabelas 9 e 10.
26

27. A partir desses quinze artigos construíram-se gráficos similares da análise de Vaidya e
Kumar (2004), isto é, gráficos da distribuição dos artigos quanto aos temas e quanto às áreas
de aplicação do AHP. Os resultados são mostrados nos Gráficos 3 e 4 a seguir.
27

28. Essa análise permite constatar a aplicabilidade do AHP em diversas áreas, tanto no
Brasil quanto em todo o mundo.
4.2.2. Os sete pilares do AHP
Vargas e Saaty (2000) defenderam o uso do AHP através de sete pilares que sustentam
o método. Esses pilares estão descritos a seguir.
a Razão de escala e proporcionalidade
Razão é o valor relativo ou o quociente a / b de duas quantidades a e b de alguma
mesma coisa. Já a proporcionalidade é a condição de igualdade entre duas razões a / b e c / d .
A razão de escala é um número invariante para a operação de multiplicação por uma constante
positiva, pois essa constante é cancelada na razão dos números.
No AHP, a razão de escala relativa é derivada da comparação par a par e recíproca da
matriz dominante e é o resultado do sistema:
A razão de escala é essencial para a geração e síntese de prioridades em um método
multicritério que necessite integrar medidas de comparação com sua própria escala. Sua
aplicação principal é em alocação de recursos, em que é possível associar a cada alternativa
um vetor de benefícios, custos, oportunidades e riscos para a determinação da alternativa
ótima do problema.
b Comparações recíprocas par a par e escala fundamental
Existem basicamente três maneiras para classificar alternativas: relativa, absoluta e
benchmarking. A relativa compara cada alternativa par a par com relação a um critério
enquanto a absoluta classifica as alternativas numa escala de intensidade. Já o processo de
benchmarking insere uma alternativa conhecida e as demais são comparadas a ela.
alternativa sobre outra sob um determinado critério, essa preferência é expressa em uma
escala numérica, derivada da relação entre reações humanas e estímulos.
Weber e Fachner desenvolveram estudos sobre a relação entre a intensidade física de
uma excitação e a intensidade subjetiva da sensação do ser humano. A lei de Weber (Saaty,
2000) anuncia que a mudança sensorial é notada quando o estímulo é acrescido de uma
porcentagem constante do próprio estímulo. Ou seja, é necessário um acréscimo de ∆s em
um estímulo s para que a percepção humana possa detectá-lo. O valor ∆s é chamado
28

29. diferença notável.
Considerando uma seqüência crescente de diferenças notáveis, em que 0 s denota o
estímulo inicial, tem-se:
Ou seja, o estímulo das diferenças notáveis segue uma progressão geométrica.
Já as correspondentes sensações seguem uma seqüência aritmética de pontos discretos
onde as diferenças notáveis ocorrem. Essa seqüência é obtida a partir da equação seguinte,
resolvida para cada n :
Assim, a sensação M para um estímulo s obedece a seguinte expressão, conhecida
como lei psicofísica de Weber-Fechner:
Enquanto o estímulo s cresce geometricamente, a resposta ao estímulo aumenta
aritmeticamente. Como o interesse está em comparações, tem-se 0 s como estímulo unitário e
b = 0 . Então, ao dividir n M por 1 M tem-se a seqüência 1,2,3,...,n.
Porém, segundo Saaty (2000) as pessoas são capazes de dividir qualitativamente sua
resposta a um estímulo em três categorias: alta, média ou baixa. E refinar essas divisões
novamente em alta, média ou baixa, gerando nove subdivisões.
Saaty propõe então uma escala de 1-9, com cinco intensidades cujos equivalentes
verbais são: igual, moderada, forte, muito forte e extrema. Podendo haver intensidades
intermediárias. Esses níveis de intensidade correspondem aos números 1, 3, 5, 7 e 9 e 2, 4, 6 e
8 respectivamente. Assim tem-se a escala fundamental de Saaty. O valor zero pode ser
atribuído a um elemento caso ele não esteja sujeito ao dado critério, excluindo assim as
comparações.
c Sensibilidade do autovetor principal
A sensibilidade do autovetor direito a perturbações nos julgamentos limita o número
de elementos em cada conjunto de comparações e requer que os elementos sejam
homogêneos. Isto porque o autovetor consegue ser insensível a pequenas perturbações de uma
matriz de dominância consistente.
Já o autovetor esquerdo é significativo e recíproco. Portanto, para identificar quão
menor é um elemento em relação a outro se deve tomar o autovetor recíproco (ou autovetor
esquerdo) perguntando quanto maior o outro elemento é.
d Aglomeração ou clustering
Para estender a escala fundamental de 1-9 para 1− ∞, pode-se utilizar a idéia de
clustering, isto é, criar níveis de categorias sempre em escalas de 1-9, com o maior item de
um nível (9) correspondendo ao menor do nível seguinte (1).
Maslow considera sete grupos, mas, de maneira simplificada, podemos agrupar os
problemas de decisão para o ser humano em quatro áreas de elementos homogêneos, em
ordem decrescente de importância:
29

30. Adotando a correspondência multiplicativa entre as áreas (níveis) acima, tem-se a
ampliação da escala de 1-9 para 1-6561. Agrupamentos semelhantes podem ser tomados para
decisões de grupos, corporações e governos.
e Combinação de elementos tangíveis e intangíveis
Para representar a avaliação global de cada alternativa é necessário se determinar uma
escala unidimensional a partir das escalas de cada critério. Essa síntese das escalas na
estrutura de decisão é feita no AHP através da adição ponderada do valor de cada escala, ou
seja, uma função de valor linear aditiva, conforme mostrado anteriormente:
Onde ( ) j v a representa o desempenho da alternativa a conforme o j-ésimo critério, e
j w (com 0 j w ≥ ) representa o peso do j-ésimo critério.
A multiplicação ponderada do valor das escalas, no qual as prioridades das alternativas
são elevadas conforme o peso dos critérios e os resultados são multiplicados, apresenta as
seguintes falhas:
- Caso a mesma escala seja utilizada em diversos critérios, estas não receberão os
mesmos pesos.
- Assume que a matriz de comparações é sempre consistente, o que elimina a
possibilidade do modelo incorporar as inconsistências do mundo real.
- Não ocorre a generalização para o caso de interdependência e feedback, onde os
critérios e as alternativas dependem um do outro.
- Sempre ocorre a preservação de ordem, contradizendo casos onde a reversibilidade de
ordem é permitida.
f Reversibilidade e preservação da ordem
A adição de uma nova alternativa, sem a adição de um novo critério, pode preservar
ou alterar o ranking das alternativas. Para garantir a preservação ou reversibilidade da ordem,
o método AHP possui teorias e procedimentos específicos: modo ideal e modo distributivo
respectivamente.
O modo ideal, que preserva o ranking das alternativas, traz a idéia de desempenho
(performance), ou seja, as alternativas são comparadas com a alternativa tida como
benchmark em cada critério. Assim, o resultado de cada alternativa é independente das outras
alternativas, com exceção à alternativa de referência. É a chamada comparação absoluta, que
exige o estabelecimento de padrões.
Já no modo distributivo, a preferência por alguma alternativa pode reduzir a
performance de outra alternativa, ou seja, o conceito de dominância está presente. Assim,
30

31. pode ocorrer alteração da ordem de preferência (reversibilidade). A comparação aqui é
relativa, pois compara alternativas de acordo com os atributos que elas têm em comum.
g Decisões em grupo
Em relação à presença de mais de um decisor, o AHP possui duas preocupações: como
agregar julgamentos individuais e como construir uma decisão do grupo a partir de decisões
individuais.
É possível considerar fatores como experiência, conhecimento e poder de cada decisor
envolvido no processo. A forma de agregar os valores dos decisores no processo satisfaz a
propriedade recíproca, para a qual a ordem de votação não interfere nos resultados. Assim, a
média geométrica apresenta-se como melhor alternativa de agregação.
Dado um grupo de s decisores, em que cada decisor é representado pelo parâmetro k ,
k =1,…, s , o valor da decisão final será:
Onde m corresponde ao número de critérios. A esse valor, aplica-se a função aditiva:
Onde n corresponde ao número de alternativas.
Para lidar com grupos grandes, o AHP faz uso de ferramentas estatísticas para
amostras grandes.
4.3 Variações do AHP
Gomes et all (2004) comenta sobre três principais variações do AHP: AHP
Multiplicativo, Referenciado e B-G. Os principais pontos de cada uma dessas variações e os
pontos críticos que superam são:
- AHP Multiplicativo:
Os principais pontos críticos que supera são a Escala Fundamental, o uso do autovetor
e a agregação aritmética das alternativas. Sua metodologia consiste em uma nova escala
com natureza multiplicativa e uma função de agregação geométrica, além de alguns
procedimentos analíticos diferentes do AHP Clássico.
- AHP Referenciado:
É uma evolução do AHP que surgiu devido à controvérsia relacionada aos valores dos
critérios e alternativas. Sua metodologia consiste na introdução de uma constante de
proporcionalidade e fatores de escala para os atributos, relacionando o peso de cada
critério com o seu fator de escala e o desempenho das alternativas nesse critério.
- AHP B-G (Belton e Gear):
A principal crítica que tenta superar é a ocorrência de inversão de ordem quando uma
nova alternativa é inserida. Sua metodologia consiste em dividir os resultados do vetor de
prioridade das alternativas em cada critério pelo maior valor de prioridade, tornando o
maior valor igual à unidade e os demais valores proporcionais.
5. AHP Multiplicativo
O AHP Multiplicativo se propõe a superar três pontos críticos do método clássico: a
escala fundamental, o uso do autovetor para o cálculo dos valores de impacto das alternativas
e os valores finais calculados por uma regra aritmética de agregação (função de valor linear).
5.1 O método AHP Multiplicativo (MAHP)
31

32. Desenvolvido por Lootsma (1990, apud GOMES, 2002, p.61), observa que os valores
obtidos por meio de coeficientes calculados a partir da comparação par a par das alternativas
deveria seguir uma regra de agregação geométrica e não aritmética. Dessa forma, propõe a
combinação das matrizes de decisão em uma única matriz, da qual se extraiam os valores
finais e a combinação dos valores de impacto sob determinado critério em um único vetor.
O método se baseia na comparação par a par das alternativas não mais sob a escala
fundamental, mas sob uma escala de valores numéricos ij γ . Esta escala é geométrica, ou seja,
corresponde a uma escala discreta de intervalos, constituída por uma progressão geométrica.
5.2 A Escala Natural
A observação que seres humanos são sensitivos somente para mudanças relativas é
resultado de estudos sobre a relação entre a intensidade física de um estímulo e a intensidade
da resposta sensorial. As leis de Weber-Fechner discutidas anteriormente declaram que a
diferença notável entre duas intensidades de estímulos (∆s ) deve ser proporcional ao estímulo
s e que a resposta sensorial ∆ψ para a diferença notável ∆s é suposta constante, o que faz
∆ψ deve ser proporcional a ∆s s . Integrações resultam em uma relação logarítmica entre ψ
e s .
Contudo, experiências adicionais mostraram que a lei de Fechner não se sustenta.
Brentano (1974, apud LOOTSMA, 1996) que a resposta sensorial ∆ψ para uma diferença
notável ∆s deve ser proporcional ao próprio nível de ψ , então ∆ψ ψ deveria ser
proporcional a ∆s s (Loosta, 1995, apud LOOTSMA, 1996).
Essa relação é a mesma encontrada na curva de indiferença, na qual i1 i1 ∆v v é
proporcional a i2 i2 ∆v v . Por integração, obtém-se ψ como função de potência de s .
Evidências empíricas em diversas áreas de percepção sensorial levaram Stevens (1957, apud
LOOTSMA, 1996) a postular a então chamada lei psicofísica geral, resultado que é bastante
aceito na comunidade científica.
Essas experiências justificam uma opção por uma escala geométrica na graduação do
juízo humano. Uma escala geométrica apresenta as seguintes relações:
Onde (1+ε ) é o fator de progressão, µ é o número da ordem e 0 e é o passo inicial. O
fator de escala γ é obtido por:
Assim, diferentes escalas podem ser geradas a partir dos valores do parâmetro γ .
Lootsma (1990, apud GOMES, 2002, p.64 ) propôs o uso de um fator de escala igual a
2, caso existam entre seis e nove categorias principais. Segundo ele existem vários exemplos
de escalas geométricas em períodos históricos, tamanho das nações, intensidade da luz e do
som que justificam essa escolha do fator de escala 2.
Dessa forma, tem-se (1+ε )2
= 8 intervalos, como pode ser visto na Tabela 11.
32

33. Essa escala é utilizada pelo decisor, para avaliar dois estímulos i S e j S (ou duas
alternativas i A e j A ) através do seu julgamento comparativo (indiferença, preferência fraca,
forte ou muito forte). Os estímulos têm valores desconhecidos i V e j V .
O julgamento verbal do decisor convertido em um valor numérico ( ij r ). Este valor é
uma estimativa da razão i j V V .
O julgamento comparativo é convertido em um valor numérico de uma escala
geométrica de parâmetro γ . Os valores verbais são convertidos em valores numéricos através
da expressão:
A escala com fator de progressão igual a 2 foi denominada “Escala Natural”. Os
valores intermediários (ímpares) também podem ser utilizados, representando juízos também
intermediários.
Por possuir uma natureza multiplicativa, a escala natural apresenta uma tendência
natural para evitar a inversão de ordem, além de possuir um espectro mais amplo que a escala
fundamental de Saaty.
O valor V de cada estímulo é então aproximado via método dos mínimos quadrados
logarítmicos. Assim, o vetor V é aproximado pelo vetor v normalizado que minimiza a
função:
5.3 Procedimento Analítico do MAHP
O procedimento analítico do MAHP, mostrado na Figura 8, tem basicamente as
mesmas etapas do AHP.
33

34. 5.3.1 Definição do Objeto de Decisão
Procedimento análogo ao do AHP, descrito no item 3.4.1.
5.3.2 Identificação dos Decisores
Procedimento análogo ao do AHP, descrito no item 3.4.2.
5.3.3 Definição das Alternativas
Procedimento análogo ao do AHP, descrito no item 3.4.3.
5.3.4 Definição dos Critérios e Estruturação Hierárquica
Procedimento análogo ao do AHP, descrito no item 3.4.4.
5.3.5 Comparação das Alternativas em relação aos Critérios
As alternativas são comparadas par a par segundo a escala natural. Isto é, o decisor
emite seu julgamento verbal para as alternativas i A e j A , que é convertido para o valor
numérico δij de acordo com a escala natural (para γ = ln 2 ≈ 0,7 ).
A matriz das alternativas, que representa a hierarquia das alternativas em cada um dos
critérios é obtida pela fórmula:
5.3.6 Determinação da importância relativa dos critérios
Da mesma maneira que as alternativas, os critérios são comparados par a par segundo
o nível imediatamente superior. O julgamento ij δ entre os critérios i C e j C compõe a matriz
A de decisão, através da relação:
5.3.7 Obtenção do vetor de prioridades
34

35. Espera-se que o valor estimado ij γ se aproxime do valor real da relação entre o valor
i v da alternativa i A em relação ao valor j v da alternativa j A . Para minimizar o erro, toma-se
o mínimo dos quadrados logarítmicos, ou seja, minimiza-se a função:
Assim, o valor i v da alternativa j A é dado por:
Onde n corresponde ao número de alternativas e m ao número de critérios.
O mesmo cálculo é feito para o nível dos critérios, a fim de se obter os valores dos
pesos, ( ) i w C :
5.3.8 Avaliação global de cada alternativa:
A avaliação global de cada alternativa é feita através de da função de agregação
multiplicativa:
5.3.9 Análise de sensibilidade
Como o AHP Multiplicativo é uma variação do AHP Clássico e ambos estão no
conjunto dos métodos de Decisão Multicritério Discreta, eles possuem muitas semelhanças,
desde os axiomas até o procedimento analítico. Assim, as possibilidades para análise de
sensibilidade proposta para o AHP são também interessantes para o MAHP. Assim, têm-se
quatro tipos de análises: alteração dos pesos relativos dos critérios, alteração dos julgamentos
das alternativas, alteração na quantidade de critérios e alteração na quantidade de alternativas
5.4 Aplicação do Método MAHP
O mesmo problema proposto na seção 3.4 será agora resolvido através da versão
multiplicativa do AHP (MAHP). As principais diferenças são: o uso da escala natural e uma
função de agregação multiplicativa.
O problema consiste em escolher o melhor esquadrão para um conflito hipotético no
cone sul. Para avaliar as quatro alternativas possíveis (quatro esquadrões), têm-se três
critérios: localização, tipo de missão e tipo de aeronave. A estrutura hierárquica é idêntica à
35

36. Figura 5 apresentada anteriormente. Portanto, as primeiras etapas são idênticas às explicitadas
na seção 3.4.
Os diferentes procedimentos relativos ao MAHP são detalhados a seguir.
5.4.1. Comparação das alternativas em relação aos critérios
As alternativas foram comparadas par a par segundo cada um dos critérios. O
julgamento verbal do decisor foi convertido em um valor numérico através da escala natural.
36

37. 5.4.2. Determinação da importância relativa dos critérios
Seguindo o mesmo procedimento anterior, agora para o nível dos critérios, têm-se as
matrizes abaixo:
5.4.3. Obtenção do vetor de prioridades
O vetor de prioridades para cada critério é dado pela expressão
Já o vetor com o peso dos critérios é dado por:
5.4.4. Avaliação global de cada alternativa:
Dada a função de agregação minimizada:
37

38. Para os dados do problema tem-se:
A ordem é então estabelecida, da melhor para a pior alternativa: Esquadrão 1 >
Esquadrão 4 > Esquadrão 2 > Esquadrão 3.
A ordem obtida pelo AHP Multiplicativo é a mesma encontrada anteriormente pelo
AHP clássico, pois se utilizou os mesmos julgamentos verbais nas comparações par a par das
alternativas em relação aos critérios e dos critérios em relação ao objetivo principal.
Somente a importância relativa das alternativas, ou seja, o scoring das mesmas é
alterado devido ao uso da escala natural cuja natureza é multiplicativa, diferente da natureza
aditiva da escala utilizada no AHP (Escala Fundamental).
5.4.5. Análise de sensibilidade
Da mesma forma realizada no método AHP Clássico, a análise de sensibilidade variou
o peso relativo dos critérios em todo o espectro possível, ou seja, os valores correspondentes
aos julgamentos foram: {−8;−6;−4;−2;0;2;4;6;8} que são os valores correspondentes aos
graus na Escala Natural. Estas possibilidades também geram 9×9×9 = 729 casos.
Contudo, o método AHP Multiplicativo não tem uma medida de consistência dos
julgamentos associados, tal como a razão de consistência RC do AHP. Têm-se então todos os
729 casos, dos quais 484 privilegiam o Esquadrão 1 e os outros 245 casos têm o Esquadrão 4
como melhor alternativa.
A Figura 9 apresenta os resultados da análise de sensibilidade para o MAHP
38

39. 39

40. 6. Conclusão
6.1 Análise Comparativa
Os dois métodos discutidos nesse trabalho apresentam vantagens e desvantagens
quando analisados comparativamente. O AHP Multiplicativo procura superar alguns dos
pontos críticos do AHP apontados na literatura, através de:
- Escala geométrica na graduação do juízo humano, baseada em séries de fenômenos
naturais e históricos;
- Uso dos mínimos quadrados logarítmicos para minimizar o erro dos valores de impacto
das alternativas;
- Função de agregação multiplicativa para cálculo do valor final das alternativas.
As principais vantagens do AHP Multiplicativo estão relacionadas à sua natureza
multiplicativa. O procedimento analítico, que é semelhante ao do AHP, incorpora uma
tendência natural à não-inversão de ordem das alternativas devido à escala sobre a qual os
juízos humanos são convertidos para valores numéricos. A Escala Natural também possui um
espectro mais amplo que a Escala Fundamental, possibilitando análises mais abertas. Esses
fatores fazem do MAHP um método bastante adequado para representar a racionalidade ou a
lógica do pensamento humano.
Por outro lado, o AHP Clássico, apesar de todas as críticas que recebe desde o seu
surgimento, tem sua vasta aplicabilidade justificada pela utilização de níveis hierárquicos para
modelar o processo decisório e pela aceitação da inconsistência como um efeito normal da
escolha humana. O método inclusive propõe um índice para avaliar essa inconsistência
inerente.
Outra grande vantagem do AHP é a disponibilidade de um software comercial, o
Expert Choice, que auxilia o procedimento analítico. Porém, a existência do software pode
muitas vezes incidir na utilização do método sem a devida análise do problema e então os
resultados obtidos tornam-se pouco válidos.
40

41. 6.2 Comentários
As principais dificuldades encontradas durante o desenvolvimento desse trabalho
foram duas, ambas relacionadas a pouca disponibilidade de informações a respeito do AHP
Multiplicativo, restringindo o estudo e até mesmo o melhor entendimento do método de
decisão.
Lootsma, além do método em si, desenvolveu um software, cujo nome é
REMBRANDT, que incorpora os conceitos e procedimentos dessa versão multiplicativa do
AHP. Porém, esse software não é de fácil acesso e somente referências ao seu uso foram
encontradas.
Outro problema, de mesma natureza, foi a dificuldade de se encontrar referências
bibliográficas a respeito do AHP Multiplicativo, ainda que somente a cerca de aplicações
possíveis. Assim, toda a sistematização do método foi estabelecida através de um paralelo
com o AHP, ressaltando as diferenças impostas.
6.3 Conclusões
Embora algumas dificuldades tenham sido encontradas, o objetivo do trabalho foi
alcançado, isto é, a comparação dos métodos AHP Clássico e AHP Multiplicativo, através de
seus princípios, conceitos fundamentais, críticas e aplicações.
Além da comparação dos métodos, outra contribuição desse trabalho foi sistematizar o
procedimento analítico, tanto do AHP Clássico quanto do AHP Multiplicativo. Isto porque
poucas referências estabelecem de forma clara e analítica os passos ou procedimentos desses
métodos. Muitas vezes pelo uso do software para os cálculos que apenas fornecem os
resultados finais das análises.
Uma última contribuição foi reunir referências bibliográficas do AHP Multiplicativo,
auxiliando o início de novos trabalhos a esse respeito.
As sugestões para trabalhos futuros são:
- A sistematização do procedimento do AHP Multiplicativo via software, ou seja, a
programação de um algoritmo que permita a aplicação direta do método para diversos
números de critérios e alternativas. Porém, é importante ressaltar que a programação
para um problema específico é bastante simples num software como o Excel, por
exemplo.
- O estudo da aplicação do AHP Multiplicativo em conjunto com outros métodos da
Decisão Multicritério Discreta, tal como o SMART para determinação de pesos
relativos. Essa possibilidade de integração dos métodos multicritérios pode ser
bastante útil em problemas específicos, que possuam características que privilegiem o
uso de um método para a organização dos critérios e outro para a avaliação das
alternativas.
41

42. Referências Bibliográficas
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COMAER a partir da utilização de ferramentas estatísticas, Trabalho de Graduação,
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos – SP, 2002.
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Críticos de Sucesso. Apêndice: O Método AHP – Características, Aspectos Positivos e
Críticas. SIMPOI, 2004.
GOMES, L.F.A.M.; ARAYA, M.; CARAGNANO, C. – Tomada de Decisões em Cenários
Complexos. São Paulo: Editora Thomson Learning, 2004.
GOMES, L.F.A.M.– Teoria da Decisão. São Paulo: Editora Thomson Learning, 2007.
LOOTSMA, F.A. – A model for the relative importance of the criteria in the Multiplicative
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SAATY, T.L.; VARGAS, L.G. – The Seven Pillars of the Analytic Hierarchy Process.
Chapter 2 in Models, Methods, Concepts & Applications of the Analytic Hierarchy Process.
Editado por Frederick S. Hillier, Stanford University, 2000.
SILVA, R.C.; Proposta de Método para Priorização de Alternativas por Múltiplos
Critérios. Dissertação de Mestrado – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos
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TRIANTAPHYLLOU, E. – Two New Cases of Rank Reversals when the AHP and Some of
its Additive Variants are Used that do not Occur with the Multiplicative AHP. Jornal of
Multi-Criteria Decision Analysis. Anal 10: 11-25, 2001.
VAIDYA, O.S.; KUMAR, S. – Analytic Hierarchy Process: An Overview of Applications.
European Journal of Operational Research 169: 1-29, 2006.
42