1. This is the demo version of PDF-to-Word. It replaces
random characters in the destination document with
asterisks. Click the link below to order full version:
http://www.avanquest.com/redirections/intelligentconverters/pdftoword_AQUK
.htm

2. 3. FLEXIÓN E* VIGAS RECTAS
3.1.- Conceptos Bás*cos
 Una vig* se encuentra sometid* a *l**ión Pura cuando el *o*en*o Flector es la ú*ica
fuerz* al int*rior de la sección.
Ejemplo:
 Una viga simple*ente ap*yada de luz "L" y solicitada por dos *a*gas "P", ubic*da* a
una d**tancia "a" de cad* *no de los apo*os.
Calculem*s las *e*cciones e* los apoyos y a **ntin*ación los *iag*amas d* e*fuerzo*
internos (N,Q y Mf).
Equi*ib*io
:
i)
Fx 0
AH 0
ii) Ma *
**  P a P ( 
a)
DV
P
i*i)
Fy 0
AV
DV
2P
AV P
*sfuerzos *nternos:

3. Ana*icemos los esfue*zo* en el Tramo BC:

4. Eq*ilibrio:
i) *y 0
*y ( x)
PP Qy
( x) * * xa
ii) Mo
* Mf
*x P ( x
a) M f ( x)
Pa
a *a
** Tramo BC *e encuentra en Fl*x*ón Pura.
Un* viga se encu*ntra en Flexión Co*pue*ta, cuando el M*men*o F*ecto* está
acom*añ*d* por un esf*erz* Normal, para pr*ducir una fuerza al interior de *a
sección.
3.2.- Fle*i*n *i*pl*
 Se di*e qu* *a Flexión es Simp*e *uand* la deforma*a del eje ** l* barra es una curva
conte*ida en *l *lano de la* *o*ici*aciones.
 *i el plano d* *as solic*tacion*s pasa por *no de *os ejes pr*ncipale* de ine*cia de la
s**ción tran*versal, entonc*s la *l*xión se denomina Sim*l* ó Plana.
*.2.1.- Hipó**sis Fu*damentales de la Teor*a de la **exión
i.
ii.
iii.
iv.

5. .
*
n
l
a
*
l
*
x
i
ó
*
P
u
r
a
s
e
i
d
e
n
t
*
f
i
c
a
u
n
E
j
e
N
e
u
t
r
o
,
e
s
d
*
c
i
r
,
u
n
a
f
i

6. r

7.  A*alicemo* *na p*qu*ñ* *orción de* tramo *entral d* viga someti*a * Flexió* Pura
 Existe una sección "c" *e*t*o de la viga q*e no se acorta ni *e **a*g*, *s decir, e x = 0,
ta* como lo muestra la *ig*ra ad*unta.
3.2.2.- *cuacione* Básica*

8. La ecuación (1) representa el Giro Relat**o entre dos secc*ones
1
d
dx d
(1)
dx
Determina*e*os la def*rmación u*i*a*ia de una fibra a una distancia "*" con resp*c*o al
Eje Neutro.
 dx  a*f
 abf ab*
y) x
( d

9. ( y) dx
x con dx d
d
dx
y
x (2) *cua*ión de Comp*ti*ilidad
Con*iderando u* materi*l *n r**go l*n*a* *lástic* (Ley *e **oke)
*y
E
(3) *
x
*
Ecua*ión d* Tensiones

10. *o** el Módu*o de El*sticid** d*l material *s constante y su radio de c*rvatura,
también lo es, se puede seña*ar que:
y k* y cte.* y x
x
Donde:
1
: Cur*atura del Eje Neutro (E.N.)
Por lo tant*, se pue*e señalar que las defo*maciones *nit*rias n*r*ales * las
tensiones normale* *arí*n linealme*te con la dist*ncia "y", siendo máximas en las
fibras ext**mas.
Veamos como va*ía el radio de curvat*ra con *as diferentes tip*s de momentos
Flectores.
3.2.3.- Ec*acione* de E*uilibrio
i) F 0 F dF x dA 0 x
*A E y d A 0
F * A A
x x
x x
Se* Sz, el momen*o est*tico *e la se*ción con respecto al ej* "z":
Sz
ydA 0 (*)
A
La ecuaci*n (*) i*dica que la Lí*ea Neutra en la Flexi*n pasará por *l Centro de
Gra*edad de la Secc*ón.
ii) Mz 0 Mz ydFx * * dA M z ( x) E y 2 dA
F A A
x

11. *ea Iz, el momen*o de inercia de la secc*ó* con re*p*cto al eje "z":
Iz y2dA M z ( x) 1
Mz ( EI z (4) (5)
A
*) E*
z
De la ecuación (*) y (3) s* p**de obtener:
x
M z ( x) (6) Ec*ación Fun*amenta * de la Flexión (Navier)
*
Iz
En *a f*g*ra s* aprecia q*e las tensiones v*rí*n
lin*almente con *a d*stan*ia "y", teni*nd* tracciones par*
*as dista**ia "y" positivas * c*mpresione* par* la*
*istancias "y" nega*i*as.
iii) My 0 My zdFx z x dA My E *z d A 0
Fx A
A
Sea Iyz, el Pro*ucto de I*ercia de la *ec*ión:
Iy* *zdA
A
D*bido a que Iyz = *, los ej*s "z" e "y" deberán ser Ej*s Pri*ci*ale* de Inercia d* la
secc*ón y e* M*mento Flect*r *eb*r* enco*trarse en *l plano qu* pasa po* uno de
ést*s ejes.
M y M x (Torsor) 0
N Q y *z 0

12. Se defin* Wz, como e* Momento Resistente de ** sección con *especto *l eje "z"
Iz máx Mz
M z y máx
W y máximo x
Iz *z (7)
z
Ejemplo:
 *na vig* *im*lemente apoya*a de luz *,* *. se enc*entra so*icitada por una ca*ga
un*f*rmemen*e *ep*rti*a de 2,* t*n/m. Si la sección de la viga es tria*gular de base 2*
*m. y altura 30 cm. Se *ide determi*ar l*s Máxi**s *ensiones N*rmales qu* se
desarrollan *n l* viga y el lugar donde ocurr*n. In*icació*: El plano de c*rga coinci** con
el e*e de Sime*ría de *a sección.
Solución:
i. El Plano de *arga p**a por el Cent*oide y *o***i*e *on el *j* de Sim*tría de la
Se*ció*.
ii. ** Eje "y" por se* de Simetría es un Eje Principal *e I*er*ia.
iii. De i) y ii) se deduce que la *lexión es Si*ple.
1.- Cálculo del Mome*t* Má*imo:
*ramo AB 0 x 
q * qx 2 dM z (x) q  q x *, 0 *x
M* *,*x x 2 0
* 2 dx 2
( x)
 q2
x Mmáx Mz ) M*áx 6,25 ton - m Mmáx 6,25x*05 *g/*m 2
2 2 8
(x

13. 2.- Cál*ulo *e Inercia:
** y2*A * bh 3
15000 c*4
*6
A
3.- Cálculo de las *ens***** Normal*s Máximas:
Determinare*os las tensiones normales al centro de ** luz de la vi**, q*e es la
s*cción do*de *cur*e ** Momen*o *lector **ximo.
T
M z ( x) *,25x105 y ( y *0) 416,67 kg/c* *
x 41,67 y máx x
y
Iz *5*0 m*
C
x (y 20) 833,33 kg/cm *
0 x
3.3.- Flexió* Comp*esta
 La Flex**n Compuesta *curre, como y* se señalo, c*and* ad*c*on*lmente al Momen**
F*ector existe u* E**uerzo N*rmal *ctu*nte en l* Secc**n.
 *ara calcul** la dis**ibución de Tensione* Normal*s d*bido a la F*exión Compuest*,
utilizare*os el Princi*i* de *upe*posició*.
1 *
( y)
x ) )
x *
(* (y
Flexión Pura **mpresi*nPura

14. Para Flexió* Pura:
*
x ( y) Mz *
Iz
N
( y) Mz y
Pa*a Carg* A*ia* *ura: x
* Iz (8)
2 N
x ( y)
A
Nota:
El Eje N*utr* no coincide co* e* Cen*roid* * las distan*ias se **man d**de el
Cen*r* de *r*vedad.
La distancia "d" *e puede obtener h**i*ndo σ x = *
3.3.*.- Ecu*ci*nes de Equil*br*o
i) *x 0 N *F * **
F A
x
x
ii) Mz 0 Mz ydFx y x d*
*x A
Obs*rvación:
El Eje Neutro no coincide con el Centro *e Gra*edad de la sección, puesto que:
*A N
0x
A
Veamos que ocur*e si la fuerza "N" es de Tr*cción y e* Momento Flector "M*" es
**gativo (*o*o vect*r en la d*rección *os*t*v* del e*e "z").

15. Ejemp*o:
 Un* v*ga co* un extremo empot*ado y el otro en *olad**o de l** 5,* m. se **cuentr*
s*licita*a por una carga pu*ta* exc*nt*ica 5* to*. Si la sección de la viga es un perf*l
"I" d* *l*s iguales de 30x*0*15 cms., tal **mo lo muestra la f*gura adjunt*. Se pide
determi**r las Má*im*s *ensi*nes Nor*al*s *ue se de*arrollan en la vig* y el lug**
donde o**rren. *ndicación: *l *lano de c*rga coinci*e con el ej* de *imetría d* la
secci*n.
Sol*c*ó*:
 La carga "*" al estar ex*éntr*ca me genera un Momento Flecto* c/r al eje "z", al
*es*laz*r la *arga al ce*troid* (Resu*tante de un Sistema de Fuerzas Copl*n*res)
 La secció* es Simétrica, ent*nces e* *je "y" e* Principal y el P*ano *e carg*
*oincide con el eje *rin*ipal, po* *o que la Comp*nente de la *lexión es Simp*e.
*a Distribuc*ón d* T**siones N*rmales viene dada *or:
N P
x ( y) Mz y x ( y) Pe * (*)
A * * Iz
z
L*s Propiedade* de l* *ecc*ón son: 506.250 cm4
Iz
A 1.350 cm 2
e 15 cm
Reemplaz*ndo los *atos *n la ec*a**ón (*): ( y) 37,03 1,48y
x

16. *ensiones *ormales *áxim*s en las Fi*r*s Ex*remas:
*
máx x ( y 30) 7,4* kg/*m 2
*
má* x
(y 3*) 81,43 kg/cm 2
L* que s* de**laza e* E*e Neutro s* ob*iene de: ( y) 0
x
( y) 37,03
1,48y 0 y 25,02 cm
x
3.4.- Flexión De**i*da
 La Flex*ó* Desv*ada ocurre si la def*rmada de la vi*a no e*t* con**n*da en uno de los
p**no* principa**s *e l* s*cción.
 A c*nti*u*ció* reco*daremos *os con*eptos de Ejes Princip*les de Inercia *e una
Sec*ión.
3.4.1.- Ejes P*incipale* de una Se*ción:
Mo**ntos de Inercia */r a l*s Ejes Z-Y:
Iz y2dA
A
* z2d*
A
y
yzdA
Iyz A

17. Moment*s de In**cia c/r a los Ejes u-v:
Iu v2dA
A
Iv u2dA
A
Iuv uvdA
A
Rotación d* *jes:
u * cos
*sen
* zsen
y cos
En forma Matricial:
*
cos
se*
z
v
n o y s e  c s
R
Reemplazando en el valo* de l*s M*men*os d* Inercia* de los ejes rotad**
Iu v2** ( *sen
y co* )2 dA
(z2sen2
2z**en *os
y2 cos 2 )dA
* A
A
Iu I *sen2 Iz cos2 I yzsen* (9)
Iv I y cos2 I z se n 2 I yzs*n2 (10)
Iz I*
Iuv *en2 I yz cos 2 (*1)
2
 Al hacer *ari*r el ángulo a, *as magnitu*es de Iu, Iv e Iuv t*mbién va*ían.
 *as ecuaciones (9), (10) y (1*), son las *cu**io*es de Tr*ns*ormación de

18. M*men*os de Inercia y corr**ponden a ecuaciones *ar*métricas, cuyo parámetr* es el
á*gulo α.
 El m*xi*o Momento de In*rc*a se obtiene derivando la ecuaci*n (9) con *esp*c*o al
p**ámetr* e *gu*lando a cero.

19. ** máximo ocurre cuando:
*Iu
(I y I z )sen(2 ) 2I yz cos(2 ) *
*
2I
*z
tg(2 p ) (12)
(I y Iz )
 El subínd**e "*" i*dica que e* *ngulo * define la orie*ta*ión de lo* planos pri*cipa*es.
 Para el ángulo αp obtenido de la ecuación (12), las expres*on*s de I* e Iv al*a*zan
valo*es *xtremos.
 Al igual q*e las te**iones y las defor*a*iones, *as Ecuacione* de transfo*mació* de
Momen*os de Inercias pue*en s*r *ep*esentadas e* u* Círculo *e Mohr de Inercias.
Con*ición para Ejes Princip*le* de I*er*ia
Iu *áximo
Iv Mín*m
Iuv o
es *ulo
3.4.2.- Flexión Desvi*da
(u,*) ejes Principales d* In*rcia
Obse*va*iones:
1. Si un Eje es de Simet*ía en l* sección, entonces el eje es princip*l, puesto que la
*i*et*ía indica necesa*ia*ente que e* ej* es centroidal.
*. Si el **a** de carga es de simetría, ento*ces la Flexión e* Simple.
3. La condición anterior *s s*ficient* pero no necesaria, en efecto, el pl*no de ca*ga
p*ede no s** de s*metría y *a *lexión *s s*mpl*, puesto que *in eje e* p*in*ipa* no
necesariamen*e es por ser de si*etría.

20.  En este caso, el Plano *e *arg* no es de *ime*ría, p*ro pasa p*r un Eje P*i*cipal
de Inercia, por lo que la Fle*ió* e* Sim*le.
3.4.2.1- Análisi* General de la *le*i*n D*svi*da
 S* *et*rmina el M*men*o Flector que gener* la solicitación. El Plan* *onde actú* el
Momento Fle*tor ** "*erpendi*ul*r" al Plano de las Sol*citaci*nes.
 Para de*erm*nar *l M*mento F*ecto* que actúa en los Ej*s Principales de Ine*cia,
exi*ten do* alternativas:
i. Pro*ectar el Momento Flector (M) a l*s Ejes "Z" e "Y" * determinar los Mo*entos
Flecto*es "M*" y "My". * con*inuación, a **avés de la Matr*z de Rotación para el est*do
Plano, pr**ect*r los Mom*ntos "Mz" y "My" * lo* Ejes "u" y *" y deter*inar los
momentos "Mu" * "Mv".
Mu co s α senα M z
M* sen α co* α M *
ii. *ro*ect*r el M**ento Flector (M) a l*s Ej** "u" e "v" y determinar los Momentos
Flecto*es "Mu" y "Mv".
 Se calcula* la distribu*ión de las T*nsiones Norm*l*s como:
Fle*ión B**xial x (*, v) *u v M* u (13)
Iu Iv

21. 3.4.2.2- Ecuación Gen*r*l ** ** Flex*ón
 Para determinar *a distr*bu*ión de las Tensione* Norm*l*s en la sección, se realiza *e
l* misma ma*er* *ue p*ra la Flexión Biaxial, co* la sa*v*dad que se le adiciona *a
comp*nent* del Esfuerz* A*ia* (*), el qu* deb* estar ubicado en el Centroide de la
Sec*ión.
x
Mv u (14)
* Iu Iv
N
F*exión *iaxial Compue**a (u,
*) Mu v
Ejemplo:
 Un* viga con un extr*mo empotrado y el otro en vol*dizo ** luz 20,0 m. se encuentra
solici*a*a po* una ca*ga puntal excéntrica de * ton y una c*rga uniformemente
**stribuida *e 15 kg/m. Si la sección de la viga es un pe*fil "Z" de alas desiguales, ta*
como lo muestra la figur* adjunta. Se pide determ*nar la* Máximas Tens*o*e*
**rma*es q*e se desa*rollan en la viga y el lugar donde ocurren. Indicac*ón: *l plano
de carga distri*ui*a coincide con el eje "y" de la se**ión.
Sol****n:
 *a carg* "P" *l es*ar excéntric* *e genera M*mentos *lector*s c/* a los eje "z" e "y",
al *esplazar la carga al Cen*roide.
 *a c*rga uniformemen*e distri*u*da me g*nera un Momento *lector c/r al eje "z".

22.  Los Ejes "z" e "y" no son Ej*s Pri*cipa*es de I*erc*a, entonces s* desarro*la *lexión
Desviada.
La D*stribución de Tensiones *orm**es viene dad* por: N
x (u, v) Mu v *v u
A Iu Iv
*.- Cálc*lo *e *e*tro*d*s:
Element* *i zi yi *i*zi ***yi Ai*zi*yi
1 100 *0 2,5 1000 250 2500
2 125 17,5 17,5 21 * 7,5 2187,5 38281,25
* 50 20 32,* 100* 1625 *2**0
= 275 4187,* 4062,5 * 3281,25
A* yi Ai
*i
* 14,773 cm
z 15,227
cm
Ai
Ai
2.- Cálc*lo ** *nercias:
Base Altura *rea Ine ias *e**ro*d ale
Centroides *zi Iyi *
Elem*n*o
1 bi
*0 15270,317 6065,771 Iziyi
-19994,835
5 7 * 40,169 9 * 6,078 1016 * ,707
100 15 * 16,977 1 * 5 * ,* 13 21 * 5 * ,583
= 38527,462 85 * 7,462 11 * 20,455
rc
3 *
bihi3
I I ( y yi )* Ai
i1 i1 12
i
* z
3 3
hibi
(z z i ) 2 A i
i1 i1 3
Iy I yi
12
3 3
I yz Iy z i
Ai (z* z y)
i
i1 i1
yi
2.1- Inercia* Princi*ales:
2I
*z
tg(* )
0,761
18,642
p
(I y
*z )
Iu I
*
s*n 2 ( 18,642 ) *z cos 2 ( 18,642 ) I yz sen2( 1*,6*2 ) Iu
42.3*0,23 c*4

23. I* Iv Iy
Iz
47.054,90 c*4
Iv
4.674,69 cm4
Iz Iy
*u 2 se*2( 18,624 ) I *z c*s 2( 18,624 ) Iuv 0
v

24. 3.- Cálculo *e Moment* Flec*o* Máximo d*bido a *a ca*ga "q":
Tramo AB 0 x  20,0 m.
q*2 q2
M qz(*) *,0075 x 2 x M*áx M q*(x ) M*áx 3,00 ton - m
2 2
4.- Proyección d* Mo*entos Flect*r*s a lo* Ejes Pr*nc*pal*s:
Determinemos los *omentos Flectore* en los Ejes "z" e "y"
*2
Mz Mq M pz
Py 2,261 *on
-m
2
My M py Pz 0,*6* ton - m
A través de *a Matriz de R*tac*ón determi*emos ** y Mv.
Mu cos( 18,642 )
sen( 18,642 ) * z M u 1,899 to* - m
Mv se*( *8,642 )
*os( 18,642 ) M y M v 1,*44 ton - m
Nota:
Si *tilizamos descomposición de vec*ores, utilizare*os a en Valor Absoluto. Si lo
hacemos con la matr** de r**ación lo haremos con si*no.
* *u v
Mv *
x
A Iu Iv
N
(u, v) Mu v
(u, v)
Mv u
x
AIu
Iv
(u,v) 18,18 4,481 v
30,890 u x

25. Para determinar la* Te*s*one* Normales Máxi*a*, es compli*ado *tilizar la ecuación
anterior en e* sistema "u-v", por lo que nos devol*emos a* s*s*ema "z-y" a tra*és *e:
u cos( 18,642 )
sen( 18,6*2 ) z
v sen( 18,64* ) *os( 18,642 ) *
(z, *) 18,18 27,837* 14,12*
*

26. 5.- Cálculo del Eje Neu*r*:
( z, y ) 18,18 27,837z 14,12y 0
x
y 1,*71(z-*,653 ) Ec. Eje Neutro
tg m
1,972 6*,104
b -*,288 cm (i*tersec*ión eje ordenado)
6.- Tensiones Normales Máximas:
z *,*7 c*
Máxima Tracción en el P*nto A A 323,16 kg/cm 2
y 14,7* cm
Máxima Compre*ión en e* Pu*to B * 0,23 cm
B 310,*3 kg/c* 2
y 20,23 cm